podía ser considerada como una ecuación diferencial homogénea de segundo orden:
para la cual la solución general de la ecuación diferencial viene siendo:
y siendo A y B dos constantes. Habíamos visto también que, dependiendo del hecho de que el potencial constante V sea mayor o menor que la energía E, podemos tener dos tipos de soluciones admisibles: (1) soluciones exponencialmente decrecientes, y (2) soluciones oscilantes. Obviamente, considerar al potencial V(x) constante tiene sus ventajas en el análisis de la ecuación de Schrödinger.
Desafortunadamente, en una gran mayoría de aplicaciones el potencial V(x) no puede ser considerado constante, y por el contrario puede ser una función matemática tal que la ecuación de Schrödinger no tendrá una solución analítica cerrada que pueda ser expresada mediante una simple fórmula, lo cual nos obliga a tener que recurrir a aproximaciones. Y si bien para poder avanzar se requiere trabajar con potenciales V(x) que ya no son constantes sino variables, podemos hacer algo que nos ponga a la “mitad del camino” entre la comodidad de trabajar con potenciales constantes y la realidad de tener que trabajar con potenciales variables. Esto consiste en trabajar con potenciales V(x) que si bien son potenciales variables la variación no es brusca sino es tan “lenta” (por llamarla así de alguna manera) que dicha variación se puede considerar como una variación que puede considerarse aproximadamente constante. Siendo así, podemos esperar que las soluciones aproximadas sigan siendo alguno de los dos tipos que ya hemos estado manejando, esto es, exponencialmente decrecientes y oscilantes. Este es el espíritu detrás de la técnica de aproximación que estudiaremos a continuación.
La aproximación Wentzel-Kramers-Brillouin o aproximación WKB, también conocida como aproximación Jeffrey-Wentzel-Kramers-Brillouin o aproximación JWKB, una aproximación del tipo “semi-clásico” en virtud de que entre las diversas formas de obtenerla se puede obtener a partir de una de las relaciones fundamentales de la mecánica clásica, la ecuación de Hamilton-Jacobi, proporciona otro medio para resolver problemas cuánticos en los cuales no es posible obtener una solución analítica exacta. Esta aproximación se puede utilizar en problemas en los cuales la función del potencial V(x) varía lentamente con la coordenada de la posición. Al referirnos a una “variación lenta”, nos estamos refiriendo a un potencial que varía lentamente en una región de interés que abarca varias longitudes de onda de “de Broglie” como nos lo muestra la siguiente figura en la cual el cambio fraccional de la función potencial (en color verde) dentro de una longitud de onda es relativamente pequeño:
Esta condición equivale en realidad a suponer que, en la región de interés, el potencial V(x) permanece constante, y se puede tomar como una constante del problema.
Sin entrar en detalles sobre la forma en la cual la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi nos puede conducir a la expresión general para la aplicación del método de aproximación WKB, usaremos una ruta más accesible recurriendo a una línea de consideraciones que nos pueden llevar a la utilización a dicho método.
Considérese nuevamente la ecuación de Schrödinger de una partícula moviéndose en una región de potencial constante V(x) siendo la energía E de la partícula mayor que el potencial V (correspondiendo a la región “clásica”). En tal caso, partiendo de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
dicha ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera:
en donde, el momentum es, por supuesto:
siendo p(x) real por estarse considerando la región clásica. Podemos postular que la solución a la ecuación diferencial es una función de onda ψ(x) compleja (esto es, puede constar de una parte imaginaria además de una parte real) de la forma:
siendo A(x) la amplitud y siendo φ(x) la fase, ambas reales. Si diferenciamos esto con respecto a la variable independiente (usaremos una comilla para simbolizar una primera derivada y doble comilla para simbolizar la segunda derivación) se tiene:
Efectuando una segunda derivación, se tiene también:
Insertando tanto la primera derivada como la segunda derivada en la ecuación de Schrödinger puesta arriba:
Agrupando en ambos lados las partes reales e imaginarias e igualando, se puede ver que lo último es equivalente a dos ecuaciones, La parte imaginaria nos conduce a lo siguiente:
Esto último tiene una solución sencilla:
en donde C es una constante de integración. Por otro lado, la parte real nos conduce a lo siguiente:
Hablando en términos generales, esto último ya no tiene una solución analítica sencilla. Y es aquí en donde entra precisamente la aproximación. La aproximación consiste en suponer que A(x) varía lentamente. ¿Qué tan lentamente? Con la suficiente lentitud como para suponer que la derivada de segundo orden de A(x) puede considerarse despreciable. Suponiendo que se cumple esta condición, entonces lo que se tiene en el lado izquierdo de la igualdad nos va conduciendo de manera casi predeterminada a lo siguiente (obsérvese que en el paso final la integral se escribe como una integral indefinida):
Hay, pues, dos soluciones, una de ellas corresponde a la solución con signo positivo, y la otra corresponde a la solución con signo negativo. Metiendo esto en la forma que tenemos arriba para la función de onda ψ(x) compleja, llegamos entonces a cualquiera de las siguientes dos formas convencionales en las cuales se acostumbra escribir el resultado de la aproximación:
Esta es la estructura básica de la solución mediante el método de aproximación WKB a una ecuación de Schrödinger en la cual el potencial V(x) varía lentamente. En lo que toca a la densidad de probabilidad de tal función de onda:
queda claro que la probabilidad de encontrar a la partícula en cualquier punto a lo largo de la coordenada en la cual se está moviendo es inversamente proporcional al momentum clásico de la partícula y por lo tanto a su velocidad en dicho punto. Esto es justo lo que puede esperarse, ya que la partícula no permanecerá mucho tiempo en los lugares en donde se está moviendo rápidamente, de modo tal que la probabilidad de encontrarla en tales lugares es pequeña. De hecho, es posible derivar la aproximación WKB partiendo precisamente de esta consideración, en lugar de remover el término A’’ como lo hicimos arriba, lo cual resulta en un proceso demostrativo que matemáticamente se puede considerar más limpio y más elegante, aunque menos intuitivo físicamente que lo que hemos llevado a cabo aquí.
De cualquier modo, y para mejor comprensión y completitud del asunto del método de aproximación WKB, a continuación lo veremos desde un punto de vista primordialmente matemático, dando algunos ejemplos de solución al problema matemático.
La ecuación de Schrödinger en una dimensión, en su esencia básica, es una ecuación diferencial que pertenece al tipo de ecuaciones clasificadas como ecuaciones diferenciales lineares homogéneas de segundo orden. El esqueleto básico en el que estamos interesados es una ecuación diferencial de este tipo que tenga la siguiente forma:
en donde λ es un parámetro que consideraremos suficientemente grande para nuestros propósitos, y al decir “suficientemente grande” estamos refiriéndonos a la condición en la que λ es mucho mayor que la unidad. Un ejemplo de este tipo de ecuación que tenga el “coeficiente” q(x;λ) en cuestión anexado a la variable dependiente y es el siguiente:
De manera más específica, el tipo de aproximación que estamos tratando de utilizar es aquél en el cual la ecuación diferencial en su forma más general tenga la siguiente estructura:
Una ecuación diferencial de segundo orden con este aspecto es algo que cae dentro de la clase de problemas conocidos comúnmente como problema Liouville.
Más específicamente, si λ es mucho mayor que la unidad, entonces la anterior ecuación se reduce a la siguiente ecuación diferencial que resulta más sencilla de manejar:
Lo que estamos haciendo, en efecto, es considerar una clase especial de ecuaciones diferenciales lineares homogéneas de segundo orden con un parámetro grande, siendo λ el parámetro al que estamos haciendo alusión.
Definida de la anterior manera la ecuación diferencial que queremos resolver, la solución aproximada de la ecuación diferencial dependerá del hecho de que en el rango de interés q(x) tenga un valor positivo o tenga un valor negativo.
Si q(x) tiene aparejado un valor positivo, entonces la solución aproximada a la ecuación diferencial está dada de la siguiente manera:
Y si q(x) tiene aparejado un valor negativo, entonces la solución aproximada a la ecuación diferencial está dada de la siguiente manera:
Estas son las dos soluciones proporcionadas por el método WKB a la ecuación de Schrödinger, y en realidad todo el método de aproximación WKB se reduce esencialmente a la aplicación de estas dos soluciones como “recetas de cocina”. Las cn son constantes que deben ser determinadas a partir de las condiciones de frontera. Si la variable y es una función de onda ψ, una situación aplicable vendría siendo aquella en la cual se requiere que la función de onda ψ(x) se desvanezca en las paredes de la caja dentro de la cual está confinada la partícula bajo estudio, o sea ψ(0) = 0 y ψ(a) = 0 para una caja de longitud a.
Obsérvese con detenimiento que la primera de las aproximaciones WKB dada arriba está dada en función de argumentos senoidales y cosenoidales, mientras que la segunda de las aproximaciones WKB está dada en función de argumentos exponenciales. Esto se corresponde directamente con los dos tipos de soluciones posibles para la ecuación de onda de Schrödinger dependiendo de que la función del potencial V(x) sea positiva o sea negativa, algo que fué fundamental para determinar el tipo de soluciones estudiadas previamente en la serie de entradas tituladas “Transmisión y reflexión de partículas”. En ese tipo de problemas ya se vió que la existencia de dos tipos de soluciones diferentes presenta el problema de tener que “pegar” de alguna manera las soluciones en el punto de contacto en donde la función de onda “cruza” de una región a otra. El problema de “pegar” dos soluciones distintas en cierto punto es la razón principal por la cual las integrales dadas arriba son integrales indefinidas por lo menos en uno de sus puntos extremos.
Basta con ver la ecuación diferencial a la cual le estamos dando solución con la aproximación WKB para darse cuenta de que si q(x) toma el valor de cero entonces la ecuación diferencial se nos deshace literalmente en nuestras manos. Puesto en otras palabras, la aproximación WKB se “rompe” en la cercanía de los ceros que tenga la función q(x). Estos ceros son conocidos como puntos de volteo (turning points) o puntos de transición.
PROBLEMA: Determínense los puntos de volteo de la siguiente ecuación diferencial:
El término entre paréntesis se puede factorizar para escribir la ecuación diferencial de la siguiente manera:
Hay dos valores de x para los cuales la ecuación diferencial se nos deshace: x1 = 3 y x2 = -4. Entonces hay dos puntos de volteo, siendo precisamente los dos valores citados.
Si la función q(x) tiene un cero sencillo en el punto de volteo x = ξ, una de las dos aproximaciones WKB será válida en una de las regiones que está a un lado del punto de volteo, mientras que la otra aproximación WKB será válida en la otra región que está al otro lado del punto de volteo. En virtud de que el problema de Liouville es una ecuación diferencial de segundo orden, esto implica que los coeficientes c3 y c4 de una región están relacionados de alguna manera con los coeficientes c1 y c2 de la otra región. El problema de “conectar” estos dos pares de coeficientes es justo lo que se conoce como el problema de conexión.
PROBLEMA: Obténgase la solución general de la siguiente ecuación diferencial por medio de la aproximación WKB suponiendo que el parámetro λ es mucho mayor que la unidad y suponiendo que x>-1:
En este caso q(x) = (1+x)4. La condición x>-1 garantiza que en el rango en el que estaremos trabajando la función q(x) no tendrá la preocupante posibilidad de tomar el valor de cero. Puesto que:
entonces, utilizando la primera solución aproximada del método WKB en virtud de que q(x) tiene aparejado un valor positivo, obtendremos la siguiente solución general a la ecuación diferencial:
Los coeficientes c1 y c2 quedan como algo aún pendiente a ser determinado, dependiendo de las condiciones de frontera que se establezcan para este problema.
PROBLEMA: Obténgase la solución general de la siguiente ecuación diferencial por medio de la aproximación WKB suponiendo que el parámetro λ es mucho mayor que la unidad y suponiendo que x>-1:
Este problema es esencialmente muy parecido al problema anterior, excepto por una diferencia importante: q(x) tiene aparejado un valor negativo. Esto significa que en lugar de utilizar la primera solución aproximada del método WKB tenemos que utilizar la segunda, para la cual los argumentos en el numerador son argumentos de funciones exponenciales y no de funciones senoidal y cosenoidal. Nuevamente, la condición x>-1 nos garantiza que en el rango de valores en el que estaremos trabajando la función q(x) no tendrá la preocupante posibilidad de tomar el valor de cero. Entonces la solución general a este problema es la siguiente:
PROBLEMA: Obténganse los eigen-valores de la siguiente ecuación diferencial:
suponiendo que el parámetro λ es mucho mayor que la unidad y que la ecuación diferencial está sujeta a las siguientes condiciones de frontera:
En virtud de que el parámetro λ es mucho mayor que la unidad, podemos utilizar la aproximación WKB para obtener una solución aproximada de la ecuación diferencial. Este problema ya fue resuelto arriba, excepto que aún no teníamos las condiciones de frontera con las que ahora contamos. Para esta situación tenemos lo siguiente llevando a cabo la integración entre las condiciones de frontera:
Puesto que q(x) tiene aparejado un valor positivo, entonces la solución aproximada WKB a la ecuación diferencial está dada por:
que en este caso tendrá el siguiente aspecto:
Para la determinación de las constantes c1 y c2, empezaremos aplicando la condición de frontera y(0) = 0, llegando entonces a la siguiente situación:
Esta es una situación en la cual tenemos la suma de las dos funciones trigonométricas, seno y coseno, teniendo ambas el mismo argumento (7λ/3). Hablando en términos más generales, lo que tenemos es lo siguiente:
La única forma en la cual en el intervalo de interés se puede cumplir este requerimiento es haciendo una de las dos constantes igual a cero. Escogeremos la constante c1 para ello. Aplicando la segunda condición de frontera, y(1) = 0, esto nos deja con lo siguiente:
Lo último que tenemos aquí es una ecuación trascendental que posee no una sola solución sino un número infinito de ellas. Puesto que, por hipótesis, la constante c2 no es igual a cero, entonces el factor senoidal debe serlo. Esto se cumplirá cuando el argumento del factor senoidal sea un múltiplo entero de π. Entonces las soluciones eigen aproximadas de la ecuación diferencial son los siguientes:
PROBLEMA: Obténganse los eigen-valores de la siguiente ecuación diferencial:
suponiendo que el parámetro λ es mucho mayor que la unidad y que la ecuación diferencial está sujeta a las siguientes condiciones de frontera:
Para esta ecuación diferencial se tiene q(x) = x², no habiendo ceros (puntos de volteo) en el intervalo de interés, [1,2]. Puesto que q(x) tiene aparejado un valor positivo, entonces la solución aproximada WKB a la ecuación diferencial está dada por:
Aplicando la condición de frontera y(1) = 0 sobre esto, tenemos lo siguiente:
La única manera en la que esto puede ser cierto es teniendo el numerador igual a cero. Pero esto nos lleva a la misma situación que vimos arriba, en la cual para poder cumplir con el requerimiento necesitamos que una de las dos constantes sea igual a cero. Escogeremos la constante c1 para ello. Aplicando la segunda condición de frontera, y(2) = 0 y llevando a cabo la integración en el intervalo [1,2], esto nos lleva a lo siguiente:
Nuevamente, tenemos aquí otra ecuación trascendental que posee no una sola solución sino un número infinito de ellas, y puesto que por hipótesis la constante c2 no es igual a cero, entonces el factor senoidal debe serlo, lo cual se cumple cuando el argumento del factor senoidal sea un múltiplo entero de π. Entonces las soluciones eigen aproximadas de la ecuación diferencial son los siguientes:
PROBLEMA: Obténganse los eigen-valores de la siguiente ecuación diferencial:
suponiendo que el parámetro λ es mucho mayor que la unidad y que la ecuación diferencial está sujeta a las siguientes condiciones de frontera:
En este caso el exponente de q(x), siendo un exponente par, siempre tendrá aparejado un valor positivo, razón por la cual la solución aproximada WKB a la ecuación diferencial está dada por:
Podemos ver que no habrá ceros (puntos de volteo) en el intervalo de interés, [0,1], ya que el único cero de q(x) que es x = -1. La evaluación del argumento de los términos senoidal y cosenoidal en el intervalo de interés [0,1] se lleva a cabo de la manera siguiente:
Al igual que en los problemas anteriores, tanto el término cosenoidal como el término senoidal tienen el mismo argumento, y aplicando la condición de frontera y(0) = 0 se requiere que una de las dos constantes sea igual a cero. Escogeremos la constante c1 para ello. Aplicando la segunda condición de frontera, y(1) = 0 y llevando a cabo la integración en el intervalo [1,2], esto requiere entonces que el argumento del término senoidal sea un múltiplo entero de π, lo cual nos proporciona las soluciones eigen aproximadas de la ecuación diferencial:
El método de aproximación WKB puede ser refinado recurriendo a un truco ingenioso que permite transformar lo que sería usualmente una suma divergente de una cantidad infinita de términos en una suma convergente. Tómese por ejemplo la siguiente suma:
1 - 2 + 4 - 8 + ...
A primera vista, la suma es divergente, y no parece posible asociar con dicha suma un número que no sea infinito y que no dependa de la cantidad de términos que se tomen de la serie. Sin embargo, hay ocasiones en las cuales a las sumas divergentes se les puede dar un significado físico, y fué en 1896 cuando el matemático francés Émile Borel definió un método de sumación que permite asignar a una suma aparentemente divergente de términos un número finito si utilizamos una definición que hoy se conoce como suma Borel.
Considérese la siguiente serie de términos que supondremos que es divergente:
Llevaremos a cabo ahora una multiplicación y división de cada término de la serie por el número factorial n!, lo cual es una operación matemática perfectamente válida, de modo tal que tengamos lo siguiente:
El siguiente paso, perfectamente válido también, consiste en reemplazar al número factorial en su calidad de multiplicando por su forma integral tan ampliamente conocida:
Ahora haremos lo mismo que lo que hizo Borel. Intercambiaremos el signo de la sumación y el signo de la integral, lo cual nos lleva directamente a la definición de lo que es una suma Borel:
Desde un punto de vista matemático riguroso, este último paso que dimos ya no es válido para una suma divergente, pero de cualquier manera nos lleva a la definición de lo que debe ser una suma de Borel.
Si la serie:
es una serie convergente, entonces la suma Borel es una suma bien definida. Y si la serie no es convergente, entonces el método puede ser repetido.
Si hemos de darle una definición un poco más formal a la suma de Borel de una serie, entonces podríamos decir que es la transformada de Laplace de la suma de las anti-transformadas de Laplace término a término de la serie original. Si la transformada de Laplace de una serie infinita fuera igual a la suma de la transformada de Laplace término a término entonces la suma de Borel sería igual a la suma común. La suma de Borel es definida en muchas situaciones en las que la suma no esta definida. Expresándolo en términos llanos, permite darle un significado a la “suma” de cierto tipo de series divergentes.
Como un ejemplo de la suma de Borel, considérese la siguiente suma:
Excepto para x = 0, la suma es obviamente divergente. En el caso de la ecuación de Schrödinger, podríamos imaginarnos a x como un parámetro que mide la fuerza de una parte adicional en el potencial, de modo tal que la serie vendría siendo el resultado de una expansión perturbativa. Utilizando la definición dada para la suma de Borel, la serie divergente vendría siendo evaluada de la manera siguiente:
Esto último ya es convergente y es finito para todos los valores x<0. En ciertos casos, se puede demostrar que la solución exacta para algún problema dentro de la Mecánica Cuántica es sumable bajo el criterio de Borel cuando la solución se puede expandir perturbativamente.
Hemos visto lo que es la aproximacion WKB desde el punto de vista estrictamente matemático como un procedimiento aproximado para resolver ecuaciones diferenciales, el cual nos proporciona dos tipos de soluciones, una de tipo exponencial, y la otra de tipo oscilatorio, lo cual nos deja en mejores condiciones de poder entender desde el punto de vista teórico de la física cómo podemos llegar a la aproximación WKB y cómo podemos aplicarla en problemas de la Mecánica Cuántica. El problema residual consistirá en “pegar” de alguna manera las dos soluciones, la solución exponencial y la solución ondulatoria, para que el recorrido de la función de onda de una región a otra (de la región exponencial a la región oscilatoria o viceversa) ocurra de una manera suave, sin discontinuidades, cumpliendo esencialmente los mismos requerimientos que se impusieron en la serie de entradas tituladas “Transmisión y reflexión de partículas”. Generalmente hablando, esto requerirá meter una condición de linearización en el punto de encuentro de ambas regiones, que equivale a enunciar el requerimiento de que la pendiente de la línea tangente a ambas funciones de onda en el punto de encuentro sea la misma para ambas funciones de onda.
Llevaremos a cabo un análisis un poco más sofisticado de la derivación de la aproximación WKB empezando desde primeros principios con la relación fundamental de De Broglie que nos dá la longitud de onda que se puede asociar con una partícula material:
Ya hemos visto que la energía E de una partícula que se mueve en una región de potencial V(x) está asociada con su momentum mediante:
De este modo, podemos escribir la longitud de onda De Broglie para una partícula material de la siguiente manera:
Supondremos que el potencial V(x) varía lentamente a lo largo de una región cuya longitud equivale a varias longitudes de onda De Broglie, lo cual descarta la consideración de barreras de potencial como las que fueron tratadas en los temas relacionados con la transmisión y reflexión de partículas en donde el potencial cambia abruptamente al pasar de una región a otra. Puesto que el potencial varía tan lentamente, para empezar podemos suponer que permanece constante sobre una región pequeña, esto es, V(x).=.V. Entonces, en dicha región podemos tomar a la función de onda ψ como teniendo la forma de una onda plana. La constante de propagación k (el número de onda) para tal onda plana será entonces (obsérvese cómo tenemos que usar aquí la constante reducida de Planck ħ):
Ahora bien, la función de onda ψ para una onda plana sinusoidal es usualmente especificada mediante la siguiente expresión:
Podemos expresar con mayor generalidad tanto a una onda plana que se mueve hacia la derecha (en el sentido positivo de la abcisa-x) como una onda plana que se mueve hacia la izquierda (en el sentido negativo de la abcisa-x) de la siguiente manera:
Esta ecuación de onda supone que la onda plana está viajando en una zona de potencial constante V, con lo cual la longitud de onda λ (y por ende el número de onda k) permanecen constantes, sin variación alguna. Pero cuando el potencial deja de ser constante y se convierte en una función V(x) que varía suavemente y lentamente, la anterior expresión deja de ser válida, y se vuelve necesario modificarla de alguna manera. La forma más general de hacerlo es con algo que permita que la función de onda tenga una solución de tipo oscilatorio (términos senoidales y/o cosenoidales) con el siguiente aspecto:
siendo:
En pocas palabras, esperamos una función de onda en la forma de ondas planas que viajan tanto hacia +x como hacia -x y cuyas constantes de propagación k varían gradualmente al pasar de una región a otra, la cual a su vez sea una solución a la ecuación de onda de Schrödinger. El factor 1/√k es utilizado aquí para asegurar que la probabilidad de encontrar a la partícula en cierto punto particular del espacio sea inversamente proporcional a la velocidad clásica de la partícula en dicho punto (clásicamente, la probabilidad de encontrar a una partícula en cierto punto debe ser inversamente proporcional a la velocidad de la partícula en dicho punto porque entre más rápido se mueva dentro de cierta región la probabilidad de encontrarla en dicha región debe ser proporcionalmente menor). De este modo, sobre consideraciones físicas, esperamos que la solución propuesta arriba sea una solución adecuada para un potencial que varíe lentamente, observándose que nuestra línea de razonamiento nos está llevando hacia lo que son esencialmente las soluciones dadas por el método WKB.
Podemos formular criterios un poco más formales para la validez de la aplicación del método de aproximación WKB tomando la solución WKB propuesta arriba, substituyéndola en la ecuación de Schrödinger unidimensional:
con lo cual entonces, tras unas cuantas simplificaciones recurriendo al método de separación de variables para separar la parte espacial y la parte temporal de la función de onda, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:
en donde:
Obsérvese que se ha destacado el tercer término (dentro de los paréntesis cuadrados, en el lado izquierdo de la igualdad) en color magenta. Podemos eliminar los primeros dos términos que le preceden si los consideramos despreciables en comparación con el tercero, lo cual equivale a imponer sobre el primer término la condición:
y a imponer sobre el segundo término la condición:
Puesto que dk/dx es la variación (en constantes de propagación k) a lo largo de cierta región espacial unidimensional limitada que suponemos pequeña, inspeccionando las dos condiciones con algo de detenimiento podemos darnos cuenta de que no son más que un reflejo de ambas de que efectivamente el potencial V(x) varía lentamente (y con ello la longitud de onda λ así como la constante de propagación k). Entonces la solución propuesta como solución aproximada es, en efecto, una solución a la ecuación de onda de Schrödinger. La relación estrecha entre la aproximación WKB y la descripción clásica del movimiento de una partícula se vuelve aparente en el hecho de que tanto la longitud de onda como la amplitud de la función de onda ψ en cierto punto están dadas por el momentum clásico en dicho punto, y por tal razón en la física a la aproximación WKB se le conoce como una aproximación semi-clásica.
Podemos simplificar un poco más la solución dada arriba fijando la variable tiempo en t.=.0, lo cual equivale a “congelar” la onda como si se estuviese tomando una fotografía instantánea de la misma. Con esta simplificación, la solución toma el siguiente aspecto:
Puesto que esta solución es válida para la región clásicamente permitida en la cual la energía E es mayor que el potencial V(x), se acostumbra en algunos textos modificar lo anterior introduciendo de manera explícita lo que representa k, y agrupando las constantes numéricas y físicas en una sola constante:
La solución aproximada WKB que se ha dado es válida para una región en la cual la energía E es mayor que el potencial V, y nos dá una solución de tipo oscilatorio. Pero en una región en la cual el potencial V es mayor que la energía E, o sea una región clásicamente prohibida, dicha solución deja de ser válida, en virtud de que la constante de propagación:
se vuelve imaginaria. Para esta región, la solución debe ser una solución de forma exponencial, justo como lo resumen las soluciones WKB a este tipo de problemas. En analogía con la solución dada arriba, esperamos que la solución para una región en la cual el potencial V sea mayor que la energía E esté dada por:
siendo:
De nueva cuenta, podemos simplificar un poco más la solución para el caso exponencial fijando la variable tiempo en t.=.0, lo cual equivale a “congelar” la onda como si se estuviese tomando una fotografía instantánea de la misma. Con esta simplificación, la solución para el caso exponencial toma el siguiente aspecto:
Puesto que esta solución es válida para la región clásicamente prohibida en la cual la energía E es menor que el potencial V(x), se acostumbra en algunos textos modificar lo anterior introduciendo de manera explícita lo que representa k, y agrupando las constantes numéricas y físicas en una sola constante:
Obsérvese cómo el número imaginario i ya no aparece aquí, precisamente en virtud de que la solución ya no es oscilatoria sino puramente exponencial. Suponiendo que en esta región el potencial aún varía lentamente, las dos condiciones dadas arriba como desigualdades siguen siendo válidas y encontramos que la ecuación:
también sigue siendo válida, pero con k imaginario.
Antes de entrar en detalle dando algunos ejemplos y problemas con aplicaciones del método de aproximación WKB, veremos una derivación alterna de la fórmula WKB basada en la expansión de la función de onda en potencias de ħ, la cual será motivada por la función de onda para una partícula libre (no confinada a un sistema ligado) que podemos escribir de la siguiente manera:
Propondremos como alternativa de solución la siguiente función de onda:
en donde g(x) puede ser alguna función compleja, no habiendo pérdida alguna de generalidad en virtud de que cualquier función diferente de cero puede ser escrita de esta manera. Tomaremos la primera derivada de esta función (nuevamente, usaremos una comilla y dos comillas para simbolizar una primera derivación y una segunda derivación, respectivamente):
Una segunda derivación nos produce lo siguiente:
De la ecuación de Schrödinger que vimos al principio, se tiene:
Injertando en esta ecuación de Schrödinger las relaciones obtenidas arriba, vemos que:
A continuación, llevaremos a cabo una expansión de g(x) como una serie de potencias en ħ:
Tomando la primera derivada de lo anterior, se tiene:
Elevando al cuadrado ambos lados de esto:
Tomando la segunda derivada de lo penúltimo:
Substituyendo estos resultados intermedios en la relación que se obtuvo arriba, vemos que:
De este modo, recolectando las potencias iguales de ħ, se tiene por principio de cuentas:
Integrando:
Del mismo modo:
que viene siendo lo mismo que:
lo cual podemos escribir como:
Integrando:
De este modo, podemos justificar el siguiente desarrollo que nos conduce a la misma fórmula WKB que habíamos obtenido anteriormente por otros medios (obsérvese que Q es una constante intermedia):
El método de aproximación WKB fue concebido desde un principio como un método para ser utilizado en la solución de problemas que tienen que ver directamente con la Mecánica Cuántica, y es por ello que en las siguientes entradas estarmos viendo algunos ejemplos específicos en donde se utilizan las aproximaciones WKB.
