Esta expresión acarrea equipaje en cierta forma innecesario. Se pueden simplificar los desarrollos posteriores que serán llevados a cabo mediante el siguiente cambio de variable:
Con este cambio de variable, se tiene entonces:
Enfocando nuestra atención en lo que hay dentro del paréntesis del Hamiltoniano, podemos ver que se puede descomponer algebraicamente en tres términos, el primero de los cuales es un producto de dos factores:
Los últimos dos términos pueden ser simplificados viendo cuál es la acción de ambos sobre una función diferenciable cualquiera f(q):
La acción de dichos términos sobre la función consiste en regresarnos la misma función. Entonces dichos términos juntos representan un operador identidad:
Por lo tanto:
Con esto y tras un reacomodo del factor de 1/2, la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico simple se convierte en:
Podemos ver aquí el “nacimiento” ante nuestros ojos de los dos operadores escalera con los que estaremos trabajando, empezando por el operador:
mejor conocido como el operador de creación (y también como el operador de elevación), y el operador:
mejor conocido como el operador de aniquilación (y también como el operador de descenso).
Definidos de este modo los operadores de creación y aniquilación, la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico simple toma la siguiente forma mucho más sencilla que la forma original:
Tomando a:
como un operador de momentum adimensional para el cual se ha hecho ħ.=.1, y haciendo lo mismo para trabajar con una relación de Born también adimensional:
se tiene entonces para el operador de creación:
y para el operador de aniquilación:
Una relación importante que inevitablemente sale a relucir cuando por curiosidad tomamos el conmutador del operador de creación a y el operador de aniquilación a† es que el conmutador de ambos operadores escalera es igual a la unidad:
Lo que se ha obtenido hasta aquí es lo suficientemente promisorio como para justificar la repetición de los pasos anteriores pero sin tomar atajos, conservando todas las constantes físicas en su posición original. Si hacemos esto, obtenemos lo siguiente para los operadores de creación y aniquilación (se destaca el hecho de que por la presencia tanto en la relación para a† como en la relación a del operador del momentum p, el cual es un operador diferencial de primer orden en la Mecánica Ondulatoria, ambos operadores también son a su vez operadores diferenciales:
Interesantemente, si volvemos a tomar el conmutador de estos dos operadores, volvemos a obtener el equivalente de un operador identidad sin que aparezca constante física alguna en ello:
Tomando ahora el producto de ambos operadores en el orden a†a, definiremos un operador de número N:
Por la forma en la que se ha definido este último operador, obviamente se trata de un operador Hermitiano. Y se recalca el hecho de que no se trata de un simple número, sino de un operador en toda la extensión de la palabra. Tomando en cuenta de que tanto a† como a están definidos sobre un operador del momentum que es un operador diferencial bajo el contexto de la Mecánica Ondulatoria, a estas alturas podríamos resaltar el hecho utilizando algún distintivo para resaltar que se trata de operadores, por ejemplo mediante el uso de “sombreros” puestos encima de las literales como acostumbran hacerlo en algunos textos:
Este es el operador de número tal y como se utiliza en la Mecánica Ondulatoria. Pero si estuviéramos trabajando dentro de la Mecánica Matricial, la definición sería esencialmente la misma, excepto que estaríamos utilizando matrices, lo cual se puede simbolizar de la siguiente manera:
ya que tanto a† como a se deben interpretar como matrices.
Volviendo a la notación más general bajo la cual la referencia simbólica se aplica tanto a operadores diferenciales (Mecánica Ondulatoria) como a matrices (Mecánica Matricial), y llevando a cabo la multiplicación en el orden indicado en la definición del operador de número (de hecho ya se había llevado a cabo previamente en la obtención del conmutador de los operadores de creación y aniquilación), se tiene:
que metiendo de nueva cuenta al operador Hamiltoniano de energía H se va simplificando sucesivamente hasta llegar a:
Despejando para el Hamiltoniano H:
Esto parece una relación que involucra números. Sin embargo, es una relación operacional en todo el sentido rigorista de la palabra, en virtud de que el operador de número es precisamente eso, un operador. Si interpretamos esta relación como una expresión propia de la Mecánica Ondulatoria, podemos hacer resaltar el carácter operacional escribiéndola de la siguiente manera:
Y en caso de estar trabajando dentro de la Mecánica Matricial, la relación anterior basada en matrices se debe tomar de la siguiente manera:
Volviendo nuevamente a la notación más general bajo la cual la referencia simbólica se aplica tanto a operadores diferenciales (Mecánica Ondulatoria) como a matrices (Mecánica Matricial), en virtud de que el operador Hamiltoniano H es una función lineal del operador número N, bajo la óptica de la Mecánica Matricial ambos operadores pueden ser diagonalizados simultáneamente. Lo que tenemos aquí es una expresión operacional que se parece ya mucho a la misma expresión que nos proporciona los eigenvalores de energía para el oscilador armónico simple. ¿Qué relación puede tener esto con las eigenfunciones de onda para cada estado estacionario del oscilador armónico simple? Para responder a esto último, por simplicidad notacional utilizaremos la notación bra-ket de Dirac en lugar de la notación regular, lo cual significa que haremos:
Trabajando con eigenkets en lugar de funciones de onda, y aplicando el operador Hamiltoniano obtenido arriba al eigenket general, se tiene:
Ahora bien, si evaluamos el conmutador [N,a], llegamos a la siguiente relación operacional:
Del mismo modo, si evaluamos el conmutador [N,a†], llegamos a la siguiente relación operacional:
Como consecuencia de lo anterior, se tiene:
Y se tiene también:
Estas últimas dos relaciones implican que a†|n> (igual que a|n>) es un eigenket de N con el eigenvalor elevado (o disminuído) en una unidad. Puesto que la elevación (o el descenso) de n en una unidad equivale a la creación (o la destrucción) de un cuanto de energía ħω, esto proporciona la razón del por qué se ha utilizado el término operador de creación (operador de aniquilación en el caso de a).
La última relación tal y como es leída implica que a|n> y a|n-1> deben ser iguales hasta una constante multiplicativa c, lo cual podemos expresar de la siguiente manera:
en donde sabemos de antemano que la constante multiplicativa se puede determinar de la condición de que tanto |n> como |n-1> deben estar normalizados.
Formemos a continuación el siguiente producto bra-ket:
Esto nos dice que podemos evaluar el lado izquierdo de esta última relación observando que a†a es simplemente el operador de número N, de modo que:
Puesto que, por convención, n es tomado como un número positivo y real, se concluye que la constante multiplicativa c que se había especificado arriba debe ser √n, con lo cual finalmente podemos escribir lo siguiente para el caso del operador a:
Procediendo de modo similar, obtenemos también lo siguiente para el caso del operador a†:
Supóngase que aplicamos repetidamente al mismo eigenket el operador de aniquilación a. Podemos ver entonces que:
De este modo, podemos ir “descendiendo”, obteniendo eigenkets de operador numérico con valores cada vez más pequeños de n hasta que eventualmente agotamos la secuencia hecha posible cuando se empieza con cierto entero positivo n. Es como si estuviéramos bajando por una escalera, peldaño por peldaño, justificando el término “operadores de escalera”. Aunque pudiera argumentarse que la secuencia nunca terminará al continuar el descenso con eigenkets con valores negativos de n, a esto se contrapone el requerimiento de positividad para la norma de a|n> que debe ser mayor (o igual) que cero:
En pocas palabras, n no puede ser negativo. La secuencia descendente debe terminar con n.=.0 y los valores permitidos de n deben ser enteros no negativos. En virtud de que el valor más pequeño posible de n es cero, el estado fundamental (estado basal) del oscilador armónico simple tiene como energía:
Ahora bien, de acuerdo a lo que hemos visto arriba se tiene lo siguiente:
Si aplicamos sucesivamente el operador de creación a† al estado fundamental del oscilador armónico simple, podemos ver que emerge el siguiente patrón:
De esto se puede intuír de inmediato la relación más general:
Hemos logrado de este modo la construcción de eigenkets simultáneos del operador de número N y del operador Hamiltoniano H con los eigenvalores de energía:
Ahora bien, usando la condición de ortonormalidad que deben cumplir los kets |n>:
se tiene entonces la siguiente relación:
Del mismo modo, puesto que en virtud de la ortonormalidad lo que sigue debe ser cierto:
entonces también lo que sigue debe ser cierto:
Estas son relaciones para los elementos matriciales que corresponden a los operadores a† y a. En este punto, cabe hacer una pausa para un momento de reflexión. Los elementos matriciales que se acaban de definir para los operadores a† y a parecen ser una cosa sacada de la Mecánica Matricial. Sin embargo, hemos estado trabajando dentro de la Mecánica Ondulatoria estableciendo paralelos de semejanza en donde tal cosa resulta conveniente. De alguna manera, y casi sin darnos cuenta de ello, estamos dando un salto hacia la Mecánica Matricial.
A partir de los operadores a† y a, despejando de las relaciones dadas arriba para dichos operadores podemos definir los operadores de posición y momentum de la siguiente manera:
De este modo, con un poco de álgebra de conmutadores, podemos derivar los elementos matriciales para los operadores de la posición y el momentum:
Pero esto es precisamente lo mismo que utilizamos para el manejo matricial de los operadores posición y momentum cuando se trató el caso del oscilador armónico simple dentro del contexto de la Mecánica Matricial en la entrada “Oscilador armónico simple: solución matricial”. Podrá parecer curioso que estemos hablando acerca de los elementos matriciales de un operador como el operador del momentum que dentro de la Mecánica Ondulatoria corresponde a un operador diferencial de primer orden, pero como hemos visto tal cosa es perfectamente posible y consistente con todos los postulados que hemos ido estableciendo. Esto debe ir disipando nuestras dudas acerca del vínculo estrecho que hay entre la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria. Lo que hicimos arriba fue trabajar dentro de la Mecánica Ondulatoria para obtener un resultado que puede ser trasladado de inmediato a la Mecánica Matricial como ya lo hicimos anteriormente en el caso de la matriz posición Q y la matriz momentum P para el oscilador armónico simple:
Todo lo anterior nos indica la enorme ventaja de poder contar con dos técnicas matemáticas diferentes para poder atacar problemas que pueden ser complicados cuando no se utiliza todo el arsenal de herramientas que tenemos a nuestra disposición.
PROBLEMA: Obténganse los elementos matriciales que correspondan al conmutador del operador posición y del operador momentum propios del oscilador armónico simple.
De lo visto anteriormente, tenemos las siguientes dos relaciones para el oscilador armónico simple que tomaremos como punto de partida:
De estas dos relaciones, podemos obtener directamente las que corresponden al espacio dual de dicha pareja (el cambio de signo proviene del proceso de conjugación compleja efectuado al pasar al espacio dual):
A continuación, evaluaremos el siguiente elemento matricial que corresponde al producto del operador posición y del operador momentum en ese mismo orden:
Usando lo que tenemos arriba, el cálculo procede por vía directa:
Llevando a cabo las multiplicaciones requeridas, se tiene entonces:
Ahora evaluaremos el siguiente elemento matricial que corresponde al producto del operador momentum y del operador posición en ese mismo orden:
Nuevamente, usando lo que tenemos arriba, el cálculo procede por vía directa:
Llevando a cabo las multiplicaciones requeridas, se tiene entonces:
De acuerdo a la definición del conmutador, la evaluación de los elementos matriciales que corresponden al conmutador del operador posición y del operador del momentum propios del oscilador armónico simple se debe llevar a cabo de la siguiente manera:
Usando lo que acabamos de evaluar arriba y simplificando (lo que está resaltado de color rojo se cancela mutuamente):
Simplificando:
En virtud de la ortonormalidad de los pares bra-ket, se debe cumplir lo siguiente:
Por lo tanto:
Por las mismas propiedades del delta de Kronecker, ambos sub-índices en un delta de Kronecker deben ser iguales para que dicho símbolo tome el valor de la unidad, ya que de lo contrario su valor será cero. Esto implica que, necesariamente, en los dos términos que tenemos arriba se debe cumplir la condición m.=.n, lo cual nos lleva a:
Aquí alcanzamos a vislumbrar ya que lo que tenemos en nuestras manos es algo que se corresponde con una matriz diagonal en la cual los elementos iguales a cero están situados fuera de la diagonal principal. Para saber lo que tenemos entre manos, le daremos algunos valores enteros positivos a n, empezando por n.=.1 ya que como vimos antes dicho número cuántico no puede tomar valores negativos:
En todos los casos que hemos considerado, obtendremos siempre el mismo valor de iħ. Si se tratase de una matriz, estaríamos hablando de una matriz diagonal cuyos elementos son todos iguales a iħ, o bien de una matriz identidad I multiplicada por un factor constante iħ. ¿Por qué no considerar entonces al operador posición y al operador del momentum como operadores matriciales haciendo la siguiente transcripción?:
Si hacemos tal cosa, obtendremos entonces la siguiente relación sencilla:
Lo que aparece ante nuestros ojos no es poca cosa. Hemos obtenido la relación fundamental de Born. Y la hemos obtenido sin haberla anticipado y sin habérnoslo propuesto. Fue una consecuencia inevitable de las operaciones matemáticas que hemos estado llevando a cabo. Es muy posible que Max Born haya llegado a este mismo resultado procediendo de la manera en la cual lo hemos hecho, trabajando sobre el oscilador armónico simple. A estas alturas del juego, podría resultar tentador afirmar que este es un resultado muy peculiar que sólo puede considerarse válido para el caso del oscilador armónico simple. Pero si dejamos atrás al oscilador armónico simple y pasamos a considerar otras situaciones, como aquellas en las cuales está involucrado el momento angular, el mismo resultado vuelve a aparecer inevitablemente, al punto de que, más que considerarlo como un resultado, podemos tomarlo como un postulado, como un punto de arranque para el análisis deductivo de la Mecánica Cuántica. Esto último fue precisamente lo que hizo Max Born al elevar esta “extraña ecuación” al nivel de postulado. Aquí podemos apreciar la emoción que habrá sentido Max Born al haber sido el primero en descubrir esta relación cuya derivación hoy parece cosa sencilla pero que en aquellos tiempos resultó ser un reto intelectual formidable.
PROBLEMA: Obténganse los elementos matriciales que correspondan al anticonmutador del operador posición y del operador momentum propios del oscilador armónico simple.
Por definición, dados dos operadores A y B el anticonmutador de los mismos está definido como:
{A,B} = AB + BA
Si tomamos al operador A como el operador posición y al operador B como el operador posición, entonces los elementos matriciales que corresponden al anticonmutador del operador posición y del operador momentum estarán dados por:
Podemos evitar una repetición innecesaria de pasos utilizando los resultados intermedios logrados en el problema anterior, con lo cual:
PROBLEMA: Obténganse los elementos matriciales que correspondan al cuadrado del operador posición y al cuadrado del operador del momentum propios del oscilador armónico simple.
Para obtener los elementos matriciales que corresponden al cuadrado del operador posición, podemos utilizar lo siguiente:
De nueva cuenta, utilizando los resultados obtenidos arriba, tenemos el siguiente resultado:
Y en lo que respecta a los elementos matriciales que corresponden al cuadrado del operador del momentum, procediendo de modo similar podemos utilizar lo siguiente:
De nueva cuenta, utilizando los resultados obtenidos previamente, llegamos al siguiente resultado:
PROBLEMA: Usando los resultados del problema anterior, y haciendo:
demuéstrese que:
es una matriz diagonal.
Desarrollando la expresión matricial proporcionada con lo obtenido en el problema anterior:
Lo que está destacado de color rojo se anula mutuamente, dejándonos con:
Por la acción del delta de Kronecker, los únicos elementos matriciales diferentes de cero son aquellos para los cuales m.=.n, o sea:
Entonces la expresión matricial proporcionada es una matriz diagonal:
Resulta obvio que los elementos diagonales son los eigenvalores de energía para el oscilador armónico simple, como obvio debió de haber sido desde un principio que la expresión matricial proporcionada en el enunciado del problema es el Hamiltoniano H del oscilador armónico simple expresado en el lenguaje propio de la Mecánica Matricial, lo cual nos devuelve al punto de origen.
Recurriremos nuevamente a los operadores escalera cuando llevemos a cabo el análisis mecánico-cuántico de la cuantización del momento angular orbital.
