Si estamos en plena libertad de haber metido previamente dentro de la caja (antes de sellarla herméticamente) no una sino dos o más partículas, y si estamos en plena libertad de seleccionar el tipo de partícula que queramos meter, entonces, y a primera vista, puesto que todos los sistemas tienden a buscar su configuración de energía mínima (recalcándose que este es un principio fundamental de la física clásica), si metemos en la caja una tipo de partícula que carezca por completo de carga eléctrica (de modo tal que no haya repulsión eléctrica de ningún tipo entre las partículas que vayamos metiendo), y si metemos cinco partículas dentro de la caja, esto es, cinco neutrones, entonces esperamos que todos los neutrones se vayan hacia la configuración del estado fundamental ocupando la capa de energía basal:
Esto es lo que esperaríamos, y no esperaríamos otra cosa más que ésta. Puesto que las cinco partículas son neutrones, no existe fuerza de repulsión eléctrica alguna entre los mismos. Debería ser posible tener lo anterior. Excepto por un pequeño detalle, un principio teórico cuyo inesperado descubrimiento asentó uno de los más grandes avances de la nueva física. Enunciado en su forma más sencilla, dicho principio enuncia lo siguiente: No es posible tener en un sistema físico aislado dos partículas idénticas que tengan todos sus números cuánticos iguales.
Si tal principio es verdadero, entonces, al no haber más que un solo número cuántico (el número cuántico n) para cada uno de los cinco neutrones, sólo sería posible acomodar un neutrón en cada nivel energético, ya que dos neutrones puestos en el mismo nivel energético tendrían el mismo número cuántico n, y la misma Naturaleza se encargaría de “expulsar” con violencia extraordinaria a uno de los neutrones enviándolo hacia otra capa energética en la cual tenga asignado un número cuántico diferente. Y esto no tiene absolutamente nada que ver con repulsión eléctrica alguna, porque se trata de neutrones, partículas neutras carentes de carga eléctrica. Esto significa que, en el mejor de los casos, la configuración de energía mínima se encargaría de acomodar los neutrones del modo siguiente:
Así pues, si cada neutrón es distinguible por un solo número cuántico, el número cuántico n que caracteriza su energía, sólo es posible acomodar un neutrón en cada nivel. La única manera en la cual resulte posible el poder meter más de un neutrón en cada nivel energético es que haya un segundo número cuántico que permita diferenciar a los neutrones de alguna otra manera. Y esto no es algo que nosotros podamos darle a las partículas, esto es algo que dá la Naturaleza. Supóngase que cada neutrón, además del número cuántico n que lo caracteriza, posee otro número cuántico, que por lo pronto llamaremos ξ. La pregunta que nos hacemos a continuación es: ¿cuántos neutrones podemos meter ahora en cada nivel energético? Ello depende, desde luego, de la cantidad de valores distintos que pueda tomar ξ para cada valor de n. Supóngase que ξ puede dos (y sólo dos) valores distintos para cada valor de n. Entonces debe ser posible meter dos neutrones en cada capa, puesto que hay ya dos números cuánticos que lo permiten evitando que en cualesquiera de las capas los dos neutrones tengan sus dos números cuánticos iguales. Si simbolizamos uno de los valores posibles de ξ con una flecha apuntando hacia arriba (↑) y el otro valor posible de ξ con una flecha apuntando hacia abajo (↓), entonces la configuración de energía mínima para cinco neutrones dentro de la caja sería la siguiente:
¿Podemos meter más neutrones en cada nivel? Imposible, no a menos de que haya un tercer número cuántico para hacer tal cosa factible, respetando en todo momento con ello el principio de que en un sistema físico cualesquiera no puede haber dos partículas con todos sus números cuánticos iguales.
Como ya se afirmó, la razón por la cual no es posible meter muchos neutrones en un mismo nivel energético no tiene nada que ver con fuerza de repulsión eléctrica alguna, porque los neutrones son partículas carentes de carga eléctrica. ¿Entonces de dónde proviene la naturaleza de la repulsión, que no es de origen eléctrico? Esta repulsión va directo a la naturaleza ondulatoria de la materia, y proviene de las cosas que permiten las matemáticas de la Mecánica Cuántica y las cosas que prohiben.
Si usando neutrones, partículas carentes de carga eléctrica, no podemos meter más de dos neutrones en cada nivel energético, ni siquiera en principio, entonces si en lugar de neutrones usamos electrones, partículas cuya carga eléctrica negativa hace que se repelan en razón inversa del cuadrado de la distancia que las separa (ley de Coulomb), tratar de meter dos electrones en un solo nivel energético se antoja un problema de los mil demonios, algo imposible de lograr. Sin embargo, esto contradice aparentemente nuestros conocimientos sobre el comportamiento químico de la materia. Se sabe que el átomo (al cual consideraremos como una “caja” esférica) es capaz de albergar inclusive ocho o más electrones en una misma capa energética, inclusive pese a la repulsión eléctrica que hay entre ellos. Esto aparentemente sería una prescripción inestable, y el átomo no debería de existir. Sin embargo, el acertijo se aclara cuando consideramos que el átomo, a diferencia de la caja hermética que hemos considerado arriba, posee una fuerza central. La partícula encerrada en una caja sellada como en los ejemplos de arriba no tiene enfrente de sí potencial alguno que altere su comportamiento, ya que suponemos que el potencial dentro de la caja es constante e igual a cero. En cambio, en el átomo, los electrones están sujetos a un potencial V(r) producido por el protón (o los protones) situado en el núcleo atómico, el cual a su vez es capaz de proporcionar dos números cuánticos adicionales al número cuántico n, los cuales llamaremos l y m. Cada electrón, por su parte, contribuye con su propio número cuántico, que llamaremos s. Esto proporciona cuatro números cuánticos diferentes para caracterizar a cada electrón que está atrapado en esa “caja esférica” que es el átomo. Las combinaciones posibles de valores de esos cuatro números cuánticos es lo que hace posible la rica variedad de combinaciones que dan origen a los elementos. A fin de cuentas, la disponibilidad de cuatro números cuánticos resulta ser lo suficientemente poderoso para sobreponerse incluso a la repulsión eléctrica que guardan entre sí los electrones que forma parte del átomo.
Veamos a continuación un poco más a fondo el aspecto teórico bajo el cual ciertas combinaciones de funciones de onda hacen que algo sea posible y otras combinaciones de funciones de onda hacen que algo sea imposible.
En la mecánica clásica es posible distinguir partículas idénticas la una de la otra especificando la trayectoria de cada partícula. Si dos canicas idénticas están rodando sobre una mesa, podemos especificar a la primera canica recorriendo una trayectoria y a la segunda canica recorriendo otra trayectoria. En la Mecánica Cuántica las partículas idénticas no pueden ser distinguidas la una de la otra porque el principio de incertidumbre nos niega la posibilidad de que podamos especificar trayectorias exactas. Esto tiene una consecuencia importante, porque la función de onda de un sistema combinado de partículas interactuantes tampoco debe distinguir a las partículas. Considérese la función de onda para el estado fundamental del átomo de helio en el cual tenemos dos electrones en la misma órbita (cuyas funciones de onda espaciales designaremos aquí como φ1s) pero cuyas funciones de onda de spin (las cuales designaremos como α) son diferentes. La función de onda
φ1s(1) φ1s(2) α(1) α(2)
no es satisfactoria porque permite distinguir a los electrones 1 y 2 el uno del otro (si el electrón 1 es el que tiene el spin “hacia arriba” entonces el electrón 2 es el que tiene el spin “hacia abajo” de acuerdo con esta función de onda). En cambio cualquiera de las siguientes funciones de onda no poseen este problema (el factor 1/√2! es una constante de normalización):
ψ1 = (1/√2!)[φ1s(1) φ1s(2) α(1) β(2) + φ1s(2) φ1s(1) α(2) β(1)]
ψ2 = (1/√2!)[φ1s(1) φ1s(2) α(1) β(2) - φ1s(2) φ1s(1) α(2) β(1)]
ψ2 = (1/√2!)[φ1s(1) φ1s(2) α(1) β(2) - φ1s(2) φ1s(1) α(2) β(1)]
La primera función de onda es simétrica porque un intercambio en los dos electrones no cambia a la función. La segunda función de onda es antisimétrica porque un intercambio en los dos electrones cambia el signo de la función.
Considérense ahora dos partículas que no interactúan entre sí, a las cuales meteremos en un pozo de potencial rectangular infinito. Sea Ψ(x1,x2) la función de onda independiente del tiempo del sistema que combina las dos funciones de onda de las partículas, en donde x1 es la posición de la partícula 2 y x2 es la posición de la partícula 2. La probabilidad de encontrar a la partícula 1 en dx1 y a la partícula 2 en dx2 será entonces:
Aunque se le ha asignado un número a cada partícula para propósitos de discusión, esta identidad impone la restricción sobre la función de onda de que el numerado no tiene consecuencia física alguna, esto es, si intercambiamos los números 1 y 2 la probabilidad que se ha definido arriba no cambiará. En pocas palabras:
Esta ecuación será válida ya sea que la función de onda Ψ sea simétrica:
o que la función de onda Ψ sea antisimétrica:
Si metemos dos partículas en un pozo de potencial rectangular infinito cuyas paredes están ubicadas en las coordenadas -a y +a, la expresión clásica para la energía del sistema es:
La ecuación mecánico-cuántica correspondiente se enuncia substituyendo a los momentums P1, y P1 por los respectivos operadores mecánico-cuánticos en la siguiente eigenecuación:
siendo los operadores:
Tenemos entonces la siguiente ecuación de Schrödinger para el sistema de dos partículas:
Nuevamente, para resolver esta ecuación diferencial, recurrimos a la técnica de separación de variables, pudiendo escribir en este caso:
Haciendo la substitución y dividiendo entre ψ(x1)ψ(x2) llegamos a lo siguiente después de transponer uno de los términos a la derecha:
Como se ha hecho ver en casos anteriores con la técnica de separación de variables, cada lado de esta relación debe ser igual a una constante que llamaremos E1. Esto nos resulta entonces en las siguientes dos ecuaciones:
en donde se ha hecho E2 = E - E1. Las soluciones a estas dos ecuaciones, tomando en cuenta que las funciones de onda deben ser iguales a cero en las paredes del pozo de potencial, vienen siendo las mismas que ya se han discutido previamente.
Para n impar (n = 1, 3, 5, 7, ...):
Para n par (n = 2, 4, 6, 8):
En donde las energías de cada nivel están dadas por (el nivel E0 se debe tomar simplemente como una constante de referencia):
La energí total del sistema de dos partículas puestas dentro del pozo de potencial será entonces:
La función de onda combinada de las dos partículas vendrá siendo la siguiente:
Supóngase, a modo de ejemplo, que en el pozo de potencial infinito (o lo que es lo mismo, en una caja con paredes rígidas) metemos dos partículas cuyas energías las sitúan en los niveles E1 y E4:
Entonces una función de onda total posible viene siendo la siguiente:
Esta es nuestra primera solución ondulatoria al sistema combinado de dos partículas. Pero en realidad no es una solución aceptable, porque la función de onda no satisface ni el requisito de simetría ni el requisito de antisimetría, puesto que en la segunda solución posible:
resulta claro que Ψ4,1 es diferente de +Ψ1,4 y de -Ψ1,4, o sea Ψ4,1 ≠ ±Ψ1,4.
Hay, sin embargo, una manera de obtener una solución total ya sea simétrica o antisimétrica, y ésta consiste en combinar las dos soluciones posibles ya sea sumándolas o restándolas. Si sumamos las dos soluciones obtenemos una función de onda total simétrica:
mientras que si restamos las dos soluciones obtenemos una función de onda total antisimétrica:
Este procedimiento es de carácter general. Las soluciones ψn(x1) y ψn(x2) son las funciones de onda para las partículas individuales. A partir de tales funciones de onda, siempre podemos contruír una función de onda total simétrica:
o una función de onda total antisimétrica:
Tenemos, pues, dos posibilidades distintas, ΨS ó ΨA, para la función de onda total de las dos partículas. Y cada una nos conduce a conclusiones distintas. Considérese el caso de dos partículas que tienen todos sus números cuánticos iguales. Para n1 = n2 tenemos que la función de onda antisimétrica ΨA es idénticamente igual a cero para todos los valores posibles de x1 y x2, mientras que la función de onda simétrica ΨS no lo es. La pregunta ahora es, ¿cuál de ambas es la correcta? La teoría cuántica no-relativista por sí sola no nos proporciona pista alguna sobre si dos partículas idénticas deban tener una función de onda simétrica o antisimétrica. Para dirimir este asunto, tenemos que recurrir al laboratorio, tenemos que recurrir al experimento. Y la evidencia experimental nos confirma en todos los casos que dos electrones no pueden tener los mismos números cuánticos. Por lo tanto, los electrones deben poseer funciones de onda antisimétricas. Este es uno de los principios más fundamentales de la Mecánica Cuántica, propuesto por vez primera por Wolfgang Pauli en 1925, confirmado rigurosamente bajo las condiciones experimentales más extremas y extenuantes, según el cual en un átomo y en general en un sistema físico de cualquier tipo no puede haber dos electrones con todos sus números cuánticos iguales.
No todas las partículas obedecen el principio de exclusión de Pauli. Las partículas que lo obedecen (como en el caso de los electrones) poseen funciones de onda antisimétricas, mientras que aquellas que no lo obedecen poseen funciones de onda simétricas. Hay una conexión muy importante entre el spin intrínseco de una partícula y la simetría de intercambio de las funciones de onda que describen sistemas de partículas. En su disertación con motivo de su galardonamiento con el Premio Nóbel en 1945, Wolfgang Pauli asentó lo siguiente:
“Para prepararnos para la discusión de asuntos más fundamentales, queremos enfatizar aquí una ley de la Naturaleza generalmente válida, que es, la conexión entre el spin y la clase de simetría. Un valor de medio entero del número cuántico del spin siempre está conectado con estados antisimétricos (principio de exclusión), mientras que un valor entero de spin lo está con estados simétricos. Esta ley se sostiene no sólo para protones y neutrones sino también para fotones y electrones. Más aún, su validez se mantiene para sistemas compuestos si es válida para sus partes constituyentes. Si buscamos una explicación teórica de esta ley, debemos pasar a la discusión de la Mecánica Ondulatoria relativista, puesto que hemos visto que ciertamente no puede ser explicada por la Mecánica Ondulatoria no relativista.”
Para una determinación sobre la simetría o la antisimetría de una función de onda con respecto a un intercambio de varias partículas, existe un procedimiento matemático sumamente útil conocido como el determinante de Slater, desarrollado en 1929 por John C. Slater, el cual será introducido mediante un problema aplicado precisamente a un sistema de dos partículas.
PROBLEMA: Demuéstrese que la siguiente función de onda es antisimétrica con respecto al intercambio de los dos electrones:
Obsérvese que la función de onda para este sistema de dos partículas está expresada como un determinante, mientras que el factor 1/√2! es la constante de normalización que arriba habíamos dejado pendiente para su determinación. La evaluación directa del determinante nos dá:
ψ = φ1s(1) α(1) φ1s(2)β(2) - φ1s(1) β(1) φ1s(2) α(2)
Para demostrar el comportamiento antisimétrico de la función de onda se intercambia el número electrónico 2 por el número electrónico 1 y viceversa, dándonos una nueva función ψ’:
ψ’= φ1s(2) α(2) φ1s(1)β(1) - φ1s(2) β(2) φ1s(1) α(1)
= - [φ1s(2) β(2) φ1s(1) α(1) - φ1s(2) α(2) φ1s(1)β(1)]
= - ψ
= - [φ1s(2) β(2) φ1s(1) α(1) - φ1s(2) α(2) φ1s(1)β(1)]
= - ψ
Las dos funciones de onda ψ1 y ψ2 dadas arriba para los electrones de un átomo de helio en su estado fundamental dán densidades diferentes de spin, y consecuentemente “nubes de probabilidad” distintas. Ambas no pueden ser simultáneamente correctas. El experimento demuestra que únicamente la función de onda antisimétrica ψ2 es la que describe correctamente al átomo de helio. Esto puede ser generalizado de la manera siguiente: La función de onda para cualquier sistema de electrones debe ser antisimétrica con respecto a un intercambio de cualquier par de electrones.
El método matemático desarrollado por John C. Slater, introducido en el problema anterior, para poder definir funciones de onda capaces de satisfacer el requerimiento de antisimetría, nos dice que la función de onda antisimétrica para el estado fundamental (o estado basal, no excitado) de un átomo polielectrónico está dada por el siguiente determinante conocido como el determinante de Slater:
en donde φ1s(1) α(1) representa el producto del orbital semejante al hidrógeno en su estado fundamental (que aquí llamaremos 1s) y la función de onda del spin α para un electrón, etc. De este modo, las n columnas corresponden a los n electrones y las n hileras a los n estados cuánticos más bajos. El intercambio de las coordenadas de dos electrones cualesquiera equivale a intercambiar dos columnas, lo que invierte el signo del determinante. El determinante de Slater resume matemáticamente el hecho enunciado por Wolfgang Pauli de que en un sistema físico no puede haber dos electrones con todos sus números cuánticos iguales, porque si dos renglones o dos columnas en el determinante de Slater son iguales, el determinante automáticamente se desvanece nulificándose la función de onda.
PROBLEMA: Determínese la función de onda para un átomo de litio.
Teniendo el átomo de litio un número atómico Z = 3, la función de onda para el átomo de litio está dada en forma compacta por el siguiente determinante:
Al estudiar en la entrada “Ondas de materia” el concepto de una partícula en una caja, descubrimos que en el mundo sub-microscópico, por la naturaleza ondulatoria de la materia, la partícula sólo puede tomar valores discretos de energía.
Limitándonos a un solo eje coordenado por razones de simplicidad, si la partícula que metamos dentro de una caja es un electrón, entonces sabemos ya que además del número cuántico que le corresponda al electrón por el nivel de energía en el que esté situado, el electrón posee otro número cuántico relacionado con su spin, el cual sólo puede tomar dos valores:
+1/2 y -1/2
Una vez que hemos metido un electrón dentro de una “caja”, podemos explorar nuevos horizontes viendo qué es lo que sucede cuando metemos otro electrón dentro de la misma caja. A continuación tenemos un diagrama de una caja en la cual tenemos a dos electrones, uno puesto en el nivel de energía que corresponde a la capa n =1 y el otro puesto en el nivel de energía que corresponde a la capa n = 3:
En la figura se ha representado al electrón que tiene el valor de spin +1/2 con una flecha apuntando hacia arriba, y al electrón que tiene el valor de spin -1/2 con una flecha apuntando hacia abajo. Un electrón está descrito por los números cuánticos:
(n, ms) = (1, +1/2)
mientras que el otro electrón está descrito por los números cuánticos:
(n, ms) = (1, +1/2)
Ahora bien, al meter el primer electrón a la caja éste siempre buscará el estado energéticamente más estable, que es el que corresponde al nivel más bajo de energía que es n = 1:
Al meter el siguiente electrón, éste también tratará de irse al nivel de energía de mayor estabilidad, que sigue siendo n = 1, y al entrar en la caja lo podría hacer en dos formas, con su spin apuntando “hacia arriba” o con su spin apuntando “hacia abajo”. Sin embargo, aquí entra en acción el principio de exclusión propuesto por Wolfgang Pauli, según el cual dos electrones en un contenedor cerrado no pueden tener todos sus números cuánticos iguales. De este modo, el siguiente electrón sólo puede entrar al estado basal o estado fundamental de la caja con su spin apuntando hacia abajo, con lo cual tenemos lo siguiente:
Se dice que dos electrones que están colocados en la misma “caja” con sus spines opuestos son electrones apareados:
En el caso del electrón, hay una explicación sencilla del por qué no es posible tener tres electrones en una misma “caja”, y por qué los dos electrones que se pueden poner en ella deben estar apareados. Un electrón, poseyendo carga eléctrica, si está girando sobre su propio eje entonces debe ser capaz de generar un campo magnético, actuando como un pequeño electroimán. Nuestra experiencia cotidiana con imanes macroscópicos nos indica que si acercamos dos imanes lado a lado con sus polos magnéticos (Norte y Sur) apuntando en la misma dirección, entonces los imanes se repelerán mutuamente. Pero si acercamos los dos imanes con sus polos apuntando en direcciones opuestas, entonces los imanes se atraerán el uno al otro. En pocas palabras, polos magnéticos iguales se repelen, polos magnéticos opuestos se atraen. Esta equivalencia entre el spin de dos electrones apareados y los campos magnéticos de dos imanes que apuntan en direcciones opuestas la podemos enunciar visualmente de la siguiente manera:
Pero si tratamos de meter un tercer electrón en la misma caja, entonces aunque sea posible aparearlo con cualquiera de los dos electrones que ya están en la caja necesariamente quedará desapareado con el otro y quedará apuntando en la misma dirección, incapaz de poder vencer la fuerza de repulsión. Simple y sencillamente, no hay espacio disponible para un tercer electrón en la caja, y esto nos lo confirman las matemáticas de la Mecánica Cuántica.
Volviendo a nuestro esquema previo, si tenemos ya dos electrones dentro de la caja energéticamente más estable (la que corresponde al estado basal), la caja ya no admite otro electrón en el estado n = 1 porque cualquier otro electrón sólo podría tener una de las combinaciones de números cuánticos que ya están ocupando el estado basal. El estado basal está vedado a cualquier otro electrón. Si metemos otro electrón en el sistema, la configuración más estable disponible a la que puede ir es al estado n = 2:
De este modo, tenemos un proceso de llenado de niveles de energía que procede en forma ordenada como la que se muestra a continuación:
PROBLEMA: Suponiendo que se tiene un pozo de potencial rectangular de anchura L con paredes infinitamente altas que contiene 5·109 electrones por metro, calcúlese la energía del electrón más energético si todos los niveles inferiores se encuentran llenos.
En virtud de que hay dos electrones en cada nivel de energía, el número total de electrones incluyendo al electrón que se encuentra en el n-ésimo nivel (el nivel más energético) es N.=.2n. El número total de electrones en el pozo de potencial rectangular será entonces:
N/L = 2n/L = 5·109 electrones/metro
n/L = 2.5·109 electrones/metro
n/L = 2.5·109 electrones/metro
Convirtiendo de metros a angstroms:
n/L = 0.25 electrones/Å
El problema de una partícula en un pozo de potencial rectangular con paredes infinitamente altas es esencialmente el mismo que el de una partícula encerrada en una caja. La energía del electrón más energético será por lo tanto:
Metiendo valores:
En = (0.25 electrones/Å) · [(12.4·103 eV·Å)2/8·(0.511·106 eV)2
En = 2.35 eV
En = 2.35 eV
La restricción impuesta al “llenado gradual” de partículas en un pozo de potencial por el principio de exclusión de Pauli es aplicable únicamente en el caso de partículas idénticas, pero tratándose de partículas diferentes entonces el principio de exclusión se aplica por separado a cada “set” de partículas puestas en el mismo pozo.
PROBLEMA: ¿Cuál es la energía mínima de siete neutrones no interactuantes puestos en un pozo de potencial con anchura L y paredes infinitamente grandes? ¿Cuál es la energía mínima cuando en vez de siete neutrones se meten en el pozo cuatro neutrones y tres protones? ¿Qué conclusión se puede sacar de este problema?
Los niveles de energía para cada partícula serán los mismos que los de una partícula encerrada en una caja de anchura L, y están dados por En = n2E0 en donde E0 = h2/8mL. El arreglo menos energético será aquél en el que metemos dos neutrones en el nivel n = 1, dos neutrones en el nivel n = 2, dos neutrones en el nivel n = 3, y un neutrón en el nivel n = 4, lo cual dá una energía total igual a:
Emin = 2(1)2E0 + 2(2)2E0 + 2(3)2E0 + 1(4)2E0
Emin = 44E0
Emin = 44E0
Este arreglo (con cada neutrón mostrado de color rojo) será el siguiente:
El spin resultante de este estado será 1/2, debido al neutrón desapareado, en virtud de que los spins de los seis neutrones restantes se cancelan en pares.
Por otro lado, puesto que un protón no es idéntico a un neutrón, podemos tener un protón y un neutrón en el mismo nivel energético con todos sus números cuánticos iguales. El arreglo menos energético será aquél en el que metemos dos neutrones y dos protones en el nivel n = 1, con dos neutrones y un protón en el otro nivel energético n = 2, lo cual dá una energía total igual a:
Emin = 4(1)2E0 + 3(2)2E0
Emin = 16E0
Emin = 16E0
Este arreglo (con cada neutrón mostrado de color rojo y cada protón mostrado de color azul) será el siguiente:
Podemos ver que, despreciando el efecto de la repulsión eléctrica entre los protones, se requiere considerablemente menos energía para poner cuatro neutrones y tres protones en un pozo de potencial que para poner siete neutrones (o en su caso, siete protones) en el mismo pozo. Puesto que las partículas que estamos considerando para este problema no son electrones sino protones y neutrones, el pozo de potencial vendría siendo el núcleo del átomo. Este sencillo problema nos sugiere una de las principales razones del por qué los números de protones y neutrones son aproximadamente iguales en los núcleos de los átomos estables.
Lo que hemos visto tiene un impacto directo en la construcción de la Tabla Periódica de los Elementos, porque un átomo puede ser considerado en cierta forma como una caja, pero no una caja rectangular sino una caja de simetría esférica, cuyos niveles de energía en ausencia de un campo magnético son esencialmente de aspecto esférico. En presencia de un campo magnético, un nivel de energía puede desdoblarse en otros orbitales que son también solución a la ecuación de Schrödinger y en donde tenemos que recurrir a un sistema de coordenadas esféricas para la obtención de los varios modos de vibración permisibles. El punto de partida usual es la solución de Schrödinger obtenida para el átomo de hidrógeno, el cual para ser eléctricamente neutro debe poseer un electrón con su carga eléctrica negativa contrarrestando la carga eléctrica del protón. Si al núcleo del átomo de hidrógeno le agregamos otro protón, entonces el átomo de hidrógeno se convierte en un átomo helio con un número atómico igual a 2, y para que el átomo de helio sea eléctricamente neutro entonces se dá entrada a otro electrón que apareado con el primero (pero con los spines de ambos apuntando en la dirección contraria para que sus números cuánticos sean diferentes) llenan la primera capa de energía. La siguiente capa admite cuatro orbitales, tres de ellos situados en una subcapa a un nivel de energía mayor que la otra subcapa, de modo tal que en esta capa se pueden acomodar ocho electrones en total, uno en cada orbital, creciendo la “caja de simetría esférica” en una forma como la siguiente:
Cuando tenemos tres orbitales situados en una misma subcapa, a un mismo nivel energético, la duda surge sobre la manera en la cual se debe llevar a cabo el llenado. Si se tienen tres electrones, entonces una forma en la cual se pueden acomodar los electrones en los tres orbitales es la siguiente con un electrón situado en cada orbital que corresponda a la subcapa:
Pero otra forma de hacerlo es con dos electrones apareados compartiendo un mismo orbital y con un electrón solitario puesto en cualquiera de los otros dos orbitales libres de la subcapa:
¿Cuál de estas dos situaciones es la más probable? Para dar una respuesta a esto, recurrimos a una regla conocida como la regla de Hund, obtenida como una regla empírica por Friedrich Hund, la cual nos dice que “al llenar orbitales de igual energía, los electrones se distribuyen, siempre que sea posible, con sus espines paralelos (apuntando en la misma dirección)”, ya que la partícula es más estable (tiene menos energía o energía más negativa) cuando tiene electrones desapareados (spines paralelos) que cuando esos electrones están apareados (spines opuestos o antiparalelos). De este modo, la primera configuración es más probable que la segunda. Una explicación intuitiva de la regla de Hund es que si bien es cierto que dos electrones apareados ejercen una atracción mutua en virtud de sus campos magnéticos como se indicó arriba, también es cierto que en virtud de poseer la misma carga eléctrica también se repelen el uno al otro debido a que cargas eléctricas del mismo signo se repelen. Esta repulsión es la que “empuja” a los electrones a ir ocupando individualmente subcapas distintas en una misma capa, hasta que las subcapas se han agotado tras lo cual los nuevos electrones que vayan entrando a la capa se irán apareando con los que ya estaban distribuídos individualmente en cada subcapa.
Se puede obtener una buena parte de la información acerca de la naturaleza de los estados atómicos con varios electrones suponiendo en primer lugar que cada electrón se mueve independientemente de los demás en presencia del campo del núcleo atómico y en el campo promedio producido por los demás electrones. En un modelo de partícula independiente, los números cuánticos n, l, ml y ms se utilizan para describir cada estado del electrón. Para un valor dado del número cuántico principal n, los valores enteros que puede tomar el número cuántico l son:
l = 0, 1, 2, 3, 4, ... , n -1
Se acostumbra designar a los valores de l mediante letras minúsculas de acuerdo a la siguiente convención:
El esquema para especificar el número de electrones para una órbita en particular, definida por los números cuánticos (n,l), consiste en dar el valor de n seguido de la letra que representa a l, con el número de electrones escrito como un super-índice derecho. Las diferentes órbitas se escriben una a continuación de la otra, definiéndose de este modo una configuración electrónica. A modo de ejemplo, para los seis electrones en el estado fundamental del carbono la configuración electrónica es 1s22s22p2.
Los electrones con el mismo valor de n ocupan la misma capa electrónica. Las diferentes capas son designadas con letras mayúsculas mediante el siguiente esquema:
Dentro de una misma capa son posibles diferentes valores de l. Cada valor de l define una subcapa o subnivel. A modo de ejemplo, en la configuración electrónica del estado no excitado del boro, 1s22s22p1, hay dos electrones en la subcapa s, y un electrón en la subcapa p de la capa L (n = 2).
PROBLEMA: Escríbanse los orbitales de los átomos semejantes al hidrógeno en orden creciente de energía.
Puesto que todos los orbitales que tienen el mismo valor de n tendrán la misma energía, podemos acomodar las capas y subcapas de la siguiente manera:
1s < 2s = 2p < 3s = 3p = 3d < 4s = 4p = 4d = 4f
< 5s = 5p= 5d = 5f = 5g < etc.
< 5s = 5p= 5d = 5f = 5g < etc.
Puesto que de acuerdo al principio de exclusión de Pauli no pueden existir dos electrones en un mismo átomo con igual conjunto de números cuánticos (n,l,ml,ms), el número de combinaciones posibles de ml y ms para una determinada subcapa (n,l) dá el número máximo de electrones en esa subcapa. Puesto que para cada valor de l hay 2l+1 valores posibles de ml, y puesto que para cada valor de l y ml hay dos valores posibles de ms:
ms = +1/2 , ms = -1/2
entonces el mayor número de electrones que puede ser ubicado dentro de una subcapa sin violar el principio de exclusión de Pauli es:
2(2l+1)
PROBLEMA: Determínese el número máximo posible de electrones en una subcapa d.
Para una subcapa d, l = 2, y el máximo número de electrones estará dado por:
2(2l+1) = 2(2·2 + 1) = 10 electrones
El conjunto de las combinaciones posibles para la subcapa d, sin que haya dos de ellas con todos los números cuánticos iguales, es el siguiente:
En la siguiente tabla se resume el número máximo posible de electrones para varias subcapas:
PROBLEMA: ¿Cuáles de los siguientes orbitales tienen sentido y cuáles carecen de sentido de acuerdo con la Mecánica Cuántica?
2d___6h___7g___3f
Para n = 2, los valores posibles de l son 0 y 1, simbolizados como s y p, no habiendo capacidad de acomodo para un orbital d. Por lo tanto, el subnivel 2d carece de sentido. Para n = 6, los valores posibles de l van desde 0 hasta 5, simbolizados como s, p, d, f, g, h. Entre las subcapas posibles está incluída la subcapa 6h, la cual tiene sentido. Para n = 7, los valores posibles de l abarcan las subcapas s, p, d, f, g, h, i. Entonces la subcapa 7g tiene sentido. Para n = 3, los valores posibles de l son 0, 1 y 2, simbolizados como s, p, d, lo cual no incluye una subcapa f. Por lo tanto, el subnivel 3f carece de sentido.
PROBLEMA: ¿Cuál es el número máximo de electrones que pueden ser acomodados en un orbital 6g? ¿En un orbital 7s? ¿En un orbital 8f ?
A un orbital 6g le corresponde un l = 4, con lo cual el número máximo de electrones que admite es:
2(2l+1) = 2(2·4+1) = 18 electrones
A un orbital 7s le corresponde un l = 0, con lo cual el número máximo de electrones que admite es:
2(2·0+1) = 2 electrones
Y a un orbital 8f le corresponde un l = 4, con lo cual el número máximo de electrones que admite es:
2(2·4+1) = 18 electrones
Confirmado por muchas mediciones experimentales precisas, salvo algunas excepciones el llenado electrónico de los orbitales atómicos por capas (n = 1, 2, 3, etc.) y sub-capas (s, p, d, f, etc.), acomodado en niveles crecientes de energía, procede de la manera siguiente:
1s < 2s < 2p(3) < 3s < 3p(3) < 4s < 3d(5) < 4p(3)
< 5s < 4d(5) < 5p(3) < 6s < 4f (7) < 5d(5) < 6p(3)
< 7s < 5f (7) = 6d(5) < 7p(3) < etc.
< 5s < 4d(5) < 5p(3) < 6s < 4f (7) < 5d(5) < 6p(3)
< 7s < 5f (7) = 6d(5) < 7p(3) < etc.
en donde el número entre paréntesis representa el número de orbitales que constituyen la subcapa. Esquemáticamente, el orden de llenado se puede representar de la siguiente manera:
Los orbitales 2p tienen una energía ligeramente mayor que los orbitales 2s, y los orbitales 3p tienen una energía mayor que el orbital 3s, pero el orbital 3d tiene un nivel situado entre los niveles energéticos 4s y 4p.
