La partícula libre I

En varias entradas previas hemos estado considerando sistemas ligados en los cuales tenemos alguna partícula encerrada dentro de una caja, o lo que es lo mismo, aprisionada dentro de los confines de una barrera de potencial. Pero no todas las partículas pueden ser consideradas atrapadas dentro de algún pozo de potencial con “paredes” infinitamente altas, existen en el Universo muchas partículas libres que pueden y deben ser estudiadas dentro de los confines de la Mecánica Ondulatoria. Interesantemente, el caso de las partículas libres no se presta a la aplicación de los métodos matemáticos de la Mecánica Matricial en virtud de que la esencia misma de la estructura matemática de la teoría está basada en expansiones de Fourier válidas para sistemas periódicos que necesariamente requieren que la partícula esté confinada a un sistema ligado. Considérese una partícula libre de momentum conocido p que no está sujeta a fuerza alguna (lo cual equivale a decir que se mueve en una región de potencial constante) y cuya energía cinética E está dada clásicamente por la relación:

Siguiendo la esencia básica de la Mecánica Cuántica y substituyendo las variables por operadores, bajo la Mecánica Matricial el operador matricial de energía H substituye a la variable de la energía E y la matriz momentum P subsituye a la variable del momentum p:

Esto es lo que tenemos para llevar a cabo el análisis dentro de la Mecánica Matricial de una partícula libre. Sin embargo, siendo la partícula una partícula completamente libre, su energía no puede estar discretizada y concebiblemente puede tomar cualquier valor. Esto significa que la matriz H no puede ser una matriz con un conjunto discreto de valores eigen, así sea un conjunto infinitamente grande, porque entre dos valores discretos contiguos siempre habrá una infinidad de valores intermedios de energía que puede tomar la partícula. Para poder manejar el caso de la partícula libre, la matriz H tendría que ser una matriz continua. Esta es una situación peculiar que se antoja mucho más manejable recurriendo a la Mecánica Ondulatoria que a la Mecánica Matricial.

El caso de las partículas libres, analizadas bajo la filosofía de la Mecánica Ondulatoria como paquetes de onda (conocidos en la literatura técnica de habla inglesa como wavepackets) puede resultar paradójico al principio para muchos. Considérese el caso de dos bolas de billar. Cuando una bola de billar choca directamente en contra de la otra, entonces tras el breve contacto que hay entre ambas involucrando un intercambio de energía y momentum cada una se va por su lado obedeciendo las leyes de la física clásica. Pero si en vez de dos bolas de billar consideramos dos partículas propias del mundo sub-microscópico comportándose como ondas de materia, entonces si ambas tienen un encuentro “frente a frente”, en vez de rebotar como lo hacen dos bolas de billar pueden pasar cada una a través de la otra, como podemos verlo en el siguiente gráfico animado en donde tenemos dos paquetes de onda con amplitudes de probabilidad |Ψ(x)|² ligeramente diferentes que están rebotando entre dos paredes pero que al encontrarse se atraviesan el uno al otro continuando con sus caminos como si nada hubiera pasado:

Esta superposición lineal de dos ondas en movimiento es lo que hace posible que dos rayos láser emitidos desde fuentes distintas se puedan “cruzar” en sus caminos al intersectarse sus trayectorias en cierto punto, continuando tras esto con sus respectivos recorridos como si nada hubiera pasado. Por esto mismo, a causa de su índole de naturaleza electromagnética que permite a varias estaciones de radio y televisión de distintos canales convivir en un mismo espacio, dos fotones luminosos se pueden atravesar el uno al otro como si fuesen fantasmas sin que ello altere en lo más mínimo sus trayectorias posteriores, continuando su viaje por sus respectivos caminos. Pero entonces, ¿cómo explicar las colisiones que se llevan a cabo entre partículas atómicas y sub-atómicas en donde dos partículas tras un choque frontal en lugar de pasar la una a través de la otra no sólo pueden rebotar obedeciendo las leyes clásicas de la conservación de la energía y el momentum, sino inclusive pueden desintegrarse en otras partículas como resultado de la colisión? La respuesta está en la cantidad de energía que lleven las partículas al momento de su encuentro. Recuérdese que hay una dualidad onda-partícula mediante la cual un cuerpo de dimensiones sub-microscópicas puede comportarse como una onda o puede comportarse como una partícula dependiendo de la naturaleza del experimento que se esté llevando a cabo. En el gráfico animado de arriba, se asume implícitamente que las partículas no son partículas portadoras de una gran cantidad de energía, como ocurre en el caso de dos fotones. Pero si se trata de partículas que han sido aceleradas como ocurre en los aceleradores diseñados para tal efecto, entonces las partículas son portadoras de una gran cantidad de energía que supera incluso por varios órdenes de magnitud la energía en reposo (relativista) mc² de las mismas, y en esta situación las partículas ya no “pasan” la una a través de la otra sino que tiene lugar un intercambio brusco de energía y momentum.

Ahora bien, de acuerdo con la hipótesis básica de Louis de Broglie, toda partícula puede ser considerada como una onda de materia, de modo tal que la partícula es capaz de exhibir tanto las propiedades de un corpúsculo como las propiedades de una onda, y a toda partícula de masa m en principio debe ser posible asociarle una longitud de onda λ. El caso peculiar de una partícula libre es que si le vamos a adjudicar una longitud de onda λ a lo largo de un eje coordenado (horizontal) de acuerdo con la fórmula de De Broglie, entonces tenemos que estar hablando necesariamente de una onda senoidal (o cosenoidal) infinita que se extiende en ambas direcciones contrarias a lo largo del eje coordenado:

trátese de una onda senoidal estática:

ψ(x) = Asen(kx)

o de una onda senoidal viajera:

Ψ(x,t) = Asen(kx - ωt)

ya que de no ser así entonces lo que tendremos no será ya una onda senoidal sencilla de longitud de onda λ que se extienda infinitamente en ambas direcciones sino un paquete de onda. Suponiendo que insistamos en adjudicarle a la partícula una longitud de onda fija de De Broglie correspondiente a la onda de materia que consideramos que es la partícula, entonces el problema inmediato que enfrentamos es que no es posible localizar a la partícula en ningún lado, ya que toda la partícula como onda de materia está desparramada a lo largo de la extensión del eje coordenado que estamos considerando, y la incertidumbre en la posición será infinitamente grande.Obsérvese que en las expresiones para una onda senoidal infinita que se han dado arriba, no hay valor alguno para la constante A que pueda satisfacer el requerimiento básico de normalización:

Empezaremos por describir un paquete de onda como una onda viajera solitaria, como la que observamos cuando le damos un movimiento de vaivén rápido a una cuerda que está sujeta en el otro extremo contrario, o como el “golpe viajero” que se desplaza rápidamente a lo largo de un látigo cuando producimos el chasquido con un movimiento rápido desde el maneral del látigo. La característica principal de un “pulso” de este tipo es su localización en el tiempo y en el espacio. Puesto que a una onda descrita por una sola frecuencia y longitud de onda no se le puede adscribir localización fija en ningún punto en el espacio ni en el tiempo, el problema que enfrentamos es tratar de postular un modelo matemático que sea capaz de producirnos un “paquete de onda”. Esto en realidad no resulta tan difícil si empezamos por recurrir a lo que se conoce comúnmente como una función compuesta, un producto de funciones.

PROBLEMA: Dadas las siguientes funciones:

hágase una gráfica del producto de ambas funciones.

La función compuesta del producto de ambas funciones será:

La gráfica de esta función compuesta se presenta a continuación:

Lo que tenemos en la gráfica es esencialmente una onda senoidal de frecuencia fija que en vez de extenderse infinitamente en ambas direcciones con la misma amplitud resulta ser acotada drásticamente por la función exponencial que la multiplica. Se ha superimpuesto en la gráfica de arriba a la función exponencial que se encarga de hacer el acotamiento. En principio, cualquier otro tipo de función puede ser utilizada para acotar a la onda senoidal siempre y cuando la función acotadora tienda a cero para x.→.±∞. Una función que nos acota una onda senoidal (o cosenoidal) pura convirtiéndola en un paquete de onda para representar con ello a un corpúsculo de materia, o mejor dicho, un corpúsculo de onda de materia, es conocida como una envoltura o envoltorio (la palabra inglesa usada en estos casos es envelope).

Podemos construír algo parecido a un paquete de onda si sumamos dos ondas de la misma amplitud pero de frecuencias ligeramente distintas, dando lugar al fenómeno que se conoce como el fenómeno de los batidos. Considérense las siguientes dos ondas cosenoidales viajeras cuyos números de onda son k₁ y k₂ y sus frecuencias angulares son ω₁ y ω₂ (podemos utilizar ondas senoidales en lugar de ondas cosenoidales sin que ello nos altere en nada los resultados obtenidos):

Si sumamos ambas ondas cosenoidales, tenemos entonces lo siguiente:

Factorizando la amplitud A que es común a ambos términos y usando la siguiente igualdad trigonomética:

podemos escribir la suma compuesta de la siguiente manera:

Reagrupando, esto mismo se puede escribir de la siguiente forma:

Si definimos a las diferencias en los números de onda y frecuencias angulares de la siguiente manera:

y si definimos los valores medios de los números de onda y las frecuencias angulares poniendo una barra horizontal encima de las definiciones:

tendremos entonces como expresión final:

Esto, en sí, nos describe un “paquete de onda” viajero, con el primer factor proporcionando la envoltura y con el segundo factor proporcionando la onda cosenoidal que es “envuelta” (acotada) por el factor “modulador”. Haciendo, para fines de claridad:

tenemos entonces la siguiente expresión simplificada:

Si B fuese simplemente igual a una constante (por ejemplo, la unidad), entonces Ψ(x,t) sería simplemente una onda cosenoidal plana extendiéndose infinitamente hacia ambas direcciones del eje horizontal, moviéndose hacia la derecha a una velocidad constante. Pero como B no es simplemente igual a una constante, lo que se está moviendo hacia la derecha seguirá siendo algo con el aspecto de una onda cosenoidal pero “modulada” por la función B. Un examen cercano del término modulador nos muestra que la envolutura que le dá su forma a la onda cosenoidal se mueve con una velocidad igual a:

En el límite, conforme k₂ se aproxima a k₁, la velocidad del grupo de ondas termina siendo:

El efecto de “batidos” que podemos esperar que se nos produzca de la suma de dos términos cosenoidales con frecuencias angulares ligeramente diferentes es el mismo que el que obtenemos en un patrón Moiré formado con la superposición de dos conjuntos de líneas paralelas verticales cuando el espaciamiento en las líneas verticales de uno de los conjuntos es ligeramente diferente al espaciamiento en las líneas verticales del otro conjunto (en el ejemplo que se muestra, la diferencia en los espaciamientos de las líneas verticales en ambos conjuntos es igual al 5 por ciento):

Así pues, la suma directa de dos ondas cosenoidales (o senoidales) con frecuencias angulares ω₁ = 2πf₁ y ω₂ = 2πf₂ y con un tiempo T_b entre dos “batidos” tiene la siguiente representación gráfica:

La gráfica de los “batidos” que obtenemos será la misma si para un cierto valor particular cualquiera de la coordenada horizontal x = x₀ mantenemos fijo dicho valor y hacemos cambiar a la variable tiempo graficando con ello a Ψ(x₀,t), que si mantenemos fijo el tiempo en un valor t = t₀ y hacemos cambiar a la variable posición graficando con ello a Ψ(x,t₀).

Si definimos a la extensión espacial Δx (medida a lo largo del eje horizontal) del grupo combinado de ondas como:

siendo x₂ y x₁ dos valores consecutivos para los cuales la envoltura del grupo tiene un valor igual a cero, entonces tendremos lo siguiente:

 

Por su parte, la extensión en el tiempo Δt (medida a lo largo del eje horizontal) está relacionada con Δω de la siguiente manera:

El análisis que se ha llevado a cabo arriba es de índole puramente matemática, desprovisto de toda constante física. Y sin embargo, las últimas dos relaciones que acabamos de obtener empiezan a tomar una semejanza con el principio de incertidumbre de Heisenberg, tanto para el producto de la incertidumbre en la variable posición con la incertidumbre en la variable momentum (primera relación) como para el producto de la incertidumbre en la variable del tiempo con la incertidumbre en la variable frecuencia angular. La física entra en el panorama en cuanto metemos a la constante reducida de Dirac ħ, lo cual nos empieza a revelar que la estructura física del Universo es en realidad una consecuencia directa de su estructura matemática, y no al revés.

En la última gráfica en donde se muestra la suma de dos ondas senoidales combinadas confirmamos que dos ondas cosenoidales (o senoidales) superpuestas de la misma amplitud y con longitudes de onda λ₁ y λ₂ que se encuentran inicialmente en fase eventualmente volverán a estar en fase produciendo no un paquete de onda aislado sino una cantidad infinitamente grande de ellos pegados el uno al otro. Este es uno de los aspectos desagradables en tratar de construír matemáticamente un paquete de onda de esta manera con la simple suma de dos ondas senoidales de la misma amplitud y con frecuencias ligeramente diferentes: no es posible obtener un solo “pulso” individual a lo largo de un eje coordenado sino que eventualmente tendremos una larga cadena de pulsos a lo largo de dicho eje que se repiten periódicamente, no cumpliéndose así la condición fundamental que le hemos impuesto a la función de onda ψ(x) para que pueda tener significado físico:

ψ(x) → 0 para x →  ± ∞

Sin embargo, si estamos dispuestos a sumar no sólo dos ondas senoidales sino varias, con frecuencias ligeramente diferentes, no tardamos en descubrir un efecto interesante que sale a relucir con el siguiente ejercicio.

PROBLEMA: (1) Hágase una gráfica de la siguiente función de onda estática que se obtiene mediante la suma de tres términos senoidales:

(2) Una vez hecha la gráfica que corresponde a la expresión anterior, hágase una gráfica de ls siguiente función de onda estática que se obtiene mediante la suma de cinco términos senoidales:

Háganse ambas gráficas abarcando un rando de valores desde x = -150 hasta x = +150.

(1) La primera gráfica resulta ser la siguiente:

En esta gráfica en la cual se suman no dos términos senoidales sino tres, puede observarse un efecto interesante: entre los “pulsos” de “batidos” grandes hay ya un espaciamiento, con “pulsos de batidos” intermedios más pequeños.

(2) La segunda gráfica resulta ser la siguiente:

En esta segunda gráfica en la cual se suman no tres términos senoidales sino cinco, puede observarse que entre los “pulsos” de “batidos” grandes hay un espaciamiento todavía mayor, con “pulsos de batidos” intermedios aún más pequeños que los que teníamos en la gráfica anterior..

Lo anterior nos proporciona la pista para poder obtener la representación matemática de un paquete de onda que vendría siendo el equivalente de un “pulso” aislado sin compañeros a cada lado. El truco consiste en ir sumando más y más terminos senoidales, con un espaciamiento en frecuencia cada vez menor entre los términos senoidales individuales. Entre más y más términos senoidales vayamos sumando tanto más pequeños serán los “pulsos de batidos” intermedios y tanto más alejados estarán los “pulsos” de “batidos” grandes, de modo tal que si escogemos el eje coordenado horizontal de modo tal que el origen x.=.0 del mismo coincida lo más que se pueda con el “centro” de simetría de un pulso de batido grande, entonces el “pulso” que representa a nuestro paquete de onda se irá quedando cada vez más solo al irse alejando hacia la derecha y hacia la izquierda los otros “pulsos” de “batidos” grandes casi perdiéndose en el infinito en ambas direcciones. La suma de una cantidad infinitamente grande de términos senoidales discretos viene siendo el equivalente de una serie de Fourier. Pero si vamos acotando el espaciamiento entre la frecuencia fundamental de la serie de Fourier y las armónicas, entonces el espectro de frecuencias se vuelve denso y eventualmente terminaremos con lo que viene siendo ya no una serie discreta de Fourier sino un espectro para cuyo estudio recurrimos a la transformada de Fourier. De este modo, para representar un “pulso”, de la forma que sea, necesitamos un rango de números de onda Δk que incluya una cantidad infinitamente grande de números de onda k. Como un paquete de onda descrito matemáticamente no es algo que se deba repetir en forma periódica a lo largo de un eje coordenado si es que realmente nos va a representar a una partícula como una onda de materia, no basta con recurrir a una suma infinitamente grande de términos, tenemos que recurrir a una integral.

Considérese un paquete de onda formado por una cantidad grande N de ondas individuales, con el número de onda de cada onda individual espaciado igualmente entre k_i y k_i+1. Supondremos que los términos serán términos cosenoidales en lugar de senoidales, lo cual tiene la ventaja de simetría de que el máximo valor del pulso coincidirá exactamente con el origen del sistema coordenado horizontal (x.=.0). El paquete de onda formado por la suma de estas ondas individuales será entonces:

En el límite, conforme N tiene hacia el infinito (N.→.∞), la distribución discreta de números de onda se convierte en una distribución continua, y la suma tiene que ser reemplazada por una integral. De este modo, podemos calcular ψ(x) mediante la siguiente integración:

siendo g(k) una distribución continua de números de onda.

Lo que acabamos de obtener se puede entender mejor con un ejemplo específico. Supóngase que para el paquete de onda que queremos construír utilizaremos una distribución de números de onda k con la forma de un pulso rectangular especificado de la manera siguiente:

g(k) = C___para k₂ ≤ k ≤ k₁

g(k) = 0___para otros k

Entonces la evaluación de la integral nos dará lo siguiente para el paquete de onda ψ(x):

Llevando a cabo la integración:

siendo:

Cuando hay un total de N ondas individuales, la constante C está dada por:

De este modo, el paquete de onda con forma de pulso rectangular puede ser escrito de la siguiente manera:

Haciendo A_m = 1 por comodidad, podemos escribir de la siguiente manera esta relación que acabamos de obtener mostrando de color magenta al envoltorio del paquete de onda:

Quizá la mejor manera de poder apreciar los detalles de la relación obtenida sea poniendo algunos números en la misma con el fin de obtener algunas conclusiones que nos puedan ser de utilidad. Empezaremos por seleccionar dos valores k₁ y k₂ tales que:

 k₁ = 2___ k₂ = 4

Esta selección de valores nos produce lo siguiente:

y corresponde a la distribución g(k) cuya gráfica con forma de pulso rectangular tiene el siguiente aspecto:

La forma del envoltorio del paquete de onda correspondiente ψ(x) destacado por la parte de color magenta en la fórmula (sin incluír en la gráfica el producto del envoltorio por la onda cosenoidal) es la siguiente:

El paquete de onda, obtenido multiplicando punto por punto el envoltorio de la onda por la función cosenoidal cos(3x), tiene la siguiente forma:

Obsérvese un hecho importante: este paquete de onda es ya un verdadero paquete de onda en el sentido de que es el único “pulso” a lo largo del eje horizontal, cumpliéndose así con la condición esencial impuesta a la función de onda ψ(x) para que pueda tener significado físico:

ψ(x) → 0 para x →  ± ∞

Por otro lado, si eleccionamos dos valores k₁ y k₂ tales que:

 k₁ = 2___ k₂ = 12

entonces esta selección de valores nos producirá lo siguiente:

lo cual corresponde a una distribución g(k) cuya gráfica con forma de pulso rectangular tiene el siguiente aspecto:

La forma del envoltorio del paquete de onda correspondiente ψ(x) destacado por la parte de color magenta en la fórmula (sin incluír en la gráfica el producto del envoltorio por la onda cosenoidal) es la siguiente:

El paquete de onda, obtenido multiplicando punto por punto el envoltorio de la onda por la función cosenoidal cos(7x), tiene la siguiente forma:

Comparando ambos resultados, si definimos (vagamente) a la anchura Δx del paquete de onda ψ(x) como la distancia horizontal desde el tercer cero de la función ψ(x) en el lado negativo hasta el tercer cero de la función ψ(x) en el lado positivo, un dato importante salta a la vista: La anchura de la distribución g(k) es inversamente proporcional a la anchura del paquete de onda ψ(x). Esta es una conclusión importante, ya que si asociamos a Δx con la incertidumbre con la cual se puede ubicar la posición horizontal del paquete de onda ψ(x), y si asociamos a Δk con la incertidumbre con la cual se puede determinar el momentum de la partícula (a través de las relaciones de De Broglie), entonces tenemos que una menor incertidumbre en el conocimiento del momentum del paquete de onda (obtenida mediante una reducción en el rango de Δk) llegará a expensas de una mayor incertidumbre en el conocimiento de la posición del paquete de onda. Esto, en realidad, es una manifestación dentro de la Mecánica Ondulatoria del principio de incertidumbre al ser aplicada para el análisis de los paquetes de onda.

Hablando en términos generales, si conocemos ya sea la forma ψ(x) de un paquete de onda o una distribución g(k) de números de onda, el uno puede ser obtenido del otro mediante el análisis de Fourier, a través del empleo de las transformadas de Fourier. Obtenemos la distribución g(k) de números de onda tomando la transformada de Fourier ψ(x) del paquete de onda, y se obteniene la función ψ(x) del paquete de onda tomando la transformada de Fourier de la distribución g(k) de números de onda; así de fácil (este procedimiento casi mecánico es facilitado por la disponibilidad de tablas impresas de transformadas de Fourier de las funciones más conocidas, muchas de las cuales se encuentran disponibles a través de Internet).

No hay que perder jamás de vista el hecho de que el uso de una sola coordenada espacial para describir un paquete de onda es una sobresimplificación que no representa todo lo que ocurre en la realidad. Una descripción más completa de un paquete de onda ψ(x) se lleva a cabo empleando dos coordenadas espaciales ortogonales (dos ejes rectangulares Cartesianos) que nos representaría a un paquete de onda en un plano:

Y de hecho, puesto que vivimos en un espacio tridimensional, una partícula y por lo tanto una onda de materia requiere de tres coordenadas para poder ser ubicada en el espacio tridimensional en el que se mueve; de forma tal que la partícula vendría siendo descrita correctamente mediante una densidad de probabilidad |ψ(x,y,z)|². Desafortunadamente, no es posible llevar a cabo la representación de un paquete de onda tridimensional en la forma en la cual lo hacemos para el caso unidimensional. Afortunadamente, puesto que los ejes son ortogonales y para nuestros propósitos podemos considerar muchas funciones de onda distribuídas simétricamente en el espacio tridimensional (como en el caso del átomo de hidrógeno y los átomos hidrogenoides), podemos seguir recurriendo a la representación unidimensional sin que ello altere de modo substancial nuestras conclusiones.

La mayor parte de los paquetes de onda que hemos estado considerando arriba son paquetes de onda estáticos ψ(x). Pero el paquete de onda que representa a una partícula libre por lo general es un paquete de onda en movimiento como lo es la partícula en movimiento a la que modela, de modo tal que que más que un paquete de onda ψ(x) lo que se tiene es un paquete de onda Ψ(x,t) que representa a una onda de materia viajera como lo muestra el siguiente gráfico animado:

La construcción matemática de un “paquete de onda” a partir de la suma de una gran cantidad de ondas senoidales de frecuencias diferentes puede ser visualizada como un proceso inverso a la descomposición de la luz llevado a cabo por Newton al hacer pasar un rayo de luz a través de un prisma de vidrio. Recuérdese cómo en el fenómeno conocido como la dispersión de la luz se obtiene al otro lado del prisma no el rayo de luz blanca que entró inicialmente sino un arco iris (en virtud de que la dispersión que se produce en el vidrio retarda más a la luz azul que a la luz roja) comprobándose así que la luz solar está formada no por una sola frecuencia monocromática (de un solo “color”, blanco) sino por una gama compuesta por una gran cantidad de colores (ondas luminosas que pueden ser consideradas como ondas senoidales de distintas frecuencias):

En el proceso inverso a la descomposición de la luz en sus colores constituyentes, enviamos hacia el prisma (por el lado izquierdo en la figura de arriba) una gran cantidad de ondas senoidales de distintos “colores” (frecuencias), usando los ángulos de entrada al prisma apropiados para cada color, con lo cual se puede llevar a cabo dentro del prisma la suma, o mejor dicho la superposición de las ondas individuales, y entonces a la salida (por el lado derecho del prisma en la figura de arriba) tendremos la suma combinada de todas las ondas dándonos el efecto resultante de un “paquete de onda” de luz blanca:

Obsérvese que la línea central de la figura que pasa por el “eje” en el cual está situada la máxima amplitud del paquete de onda es también el punto en el cual todas las ondas senoidales de los distintos colores están en fase. Esto es lógico, porque es precisamente el punto en el cual todas las ondas se encuentren en fase cuando su suma dará el máximo valor posible para el paquete de onda. Teniendo todas las ondas senoidales que constituyen al paquete de onda longitudes de onda λ distintas, entre más nos vayamos alejando del punto de máxima amplitud tanto más se irán desfasando entre sí las ondas senoidales, disminuyendo la magnitud de la suma que nos resulta de la superposición de las mismas y por ende disminuyendo la amplitud del paquete de onda.

Estamos preparados para resumir lo anterior de una manera un poco más generalizada, más formal (se antoja utilizar aquí la palabra abstracto, aunque esta palabra desafortunadamente conlleva la idea de algo abtruso difícil de entender).

Para que un paquete de onda pueda ser un análogo de la partícula clásica, el conexión clásica entre la velocidad y el momentum de una partícula debe ser igualmente válida para un paquete de onda. Suponiendo que el principio de superposición sea válido para las ondas ψ utilizadas (lo cual a su vez significa que la Mecánica Cuántica es una teoría lineal), la superposición de ondas para un paquete de onda a lo largo del eje coordenado-x puede ser escrita en su forma más generalizada de la siguiente manera:

Para que esto pueda representar una onda grupal, es necesario que el rango de los vectores de propagación k incluídos en la superposición sea relativamente pequeño, lo cual supone que la función A(k) será diferente de cero únicamente en torno a cierto valor de k₀ para un pequeño rango de valores de k:

Supondremos que debe ser posible llevar a cabo la expansión de ω = ω(k) mediante una serie de potencias en la vecindad del valor k₀:

Con la ayuda de esta expansión en serie de potencias, la expresión para G(x,t) puede ser escrita de la siguiente manera aproximada, conservando los primeros términos de la expansión:

La integral, considerada como una función de la coordenada posición y la coordenada del tiempo, tiene la siguiente forma:

En este último paso, se está dando a entender que tras el proceso de integración lo que obtenemos simbolizado como B viene siendo una función de:

De este modo, podemos ver que G(x,t) consta de dos partes, una onda plana (destacada mediante el color magenta) y una envoltura (destacada mediante el color azul):

Esto representa la propagación de un grupo de ondas para el cual, de la parte que corresponde a la envoltura, podemos ver que la velocidad de la envoltura o la velocidad de grupo está dada por:

tal y como se había definido previamente. Podemos identificar la velocidad con la cual se mueve el paquete de onda como la velocidad con la cual se mueve la partícula clásica. Por otro lado, de la parte que corresponde a la onda plana, podemos ver que la velocidad de la misma que se acostumbra llamar velocidad de fase está dada por:

Si un paquete de onda ha de ser asociado con una partícula clásica, la velocidad grupal (del paquete) debe estar dada por la relación clásica:

siendo p el momentum clásico de la partícula y siendo m la masa de la misma. Entonces debemos tener lo siguiente:

Usando la relación De Broglie p = ħk en función de números de onda obtenible como:

 podemos escribir entonces lo siguiente:

Integrando ambos lados de la expresión y multiplicándolos por ħ:

En el lado derecho de esta expresión podemos ver que el primer término es la energía cinética de la partícula mientras que el segundo término es una constante de integración C que también debe tener las dimensiones de energía, razón por la cual parece razonable asociar esta constante de integración con una energía potencial V(x) que debe ser constante. Esta es una interpretación apropiada, puesto que una partícula libre que se desplaza sin que haya fuerzas externas actuando sobre la misma se está moviendo de hecho en una región en donde la energía potencial es constante.

PROBLEMA: Usando la expresión relativista para la energía total:

demuéstrese que: (1) que la velocidad de fase de una “onda de electrón” es mayor que la velocidad de la luz, y (2) que la velocidad de grupo de una “onda de electrón” es igual a la velocidad del electrón como partícula.

(1) La velocidad de fase de la “onda de electrón” está relacionada con la longitud de onda λ de la partícula y su frecuencia a través de la relación usual que ya conocemos:

Por otro lado, de la relación de De Broglie sabemos que:

Entonces:

Haciendo uso de la expresión relativista, obtenemos entonces lo siguiente:

Dentro del radical, tenemos la suma de dos cantidades. Una de ellas es 1, y la otra siempre será una cantidad positiva en virtud de que todos sus valores están elevados al cuadrado, con lo cual:

Entonces, siendo el radicando mayor que la unidad, la raíz cuadrada siempre nos producirá un factor mayor que la unidad, razón por la cual la velocidad de fase para una onda de electrón siempre será mayor que la velocidad de la luz:

(2) Por definición, la velocidad de grupo está dada por la relación:

En algunos textos, esta misma relación se expresa de una manera un poco más elegante aunque la definición sigue siendo esencialmente la misma:

Volviendo a usar la expresión relativista, tenemos de la misma:

la cual podemos escribir de la siguiente forma usando las relaciones de De Broglie:

Tomando la derivada de ω con respecto al número de onda k:

Esto lo podemos poner de la siguiente manera:

Simplificando aún más, obtenemos el siguiente resultado:

Entonces para una onda de electrón su velocidad de grupo es igual a su velocidad de partícula.

El primer resultado que acabamos de obtener en la resolución de este problema puede parecer paradójico. ¿No nos dice acaso la misma Teoría de la Relatividad que no es posible para objeto alguno el poder desplazarse a una velocidad mayor que la velocidad de la luz? La salida a este dilema nos la dá el hecho de que este desplazamiento que se lleva a cabo aparentemente a una velocidad mayor que la velocidad de la luz es en realidad una apariencia y nada más, al igual que las ilusiones ópticas. Esto saca a relucir lo fácil que es caer en una confusión al malinterpretar lo que es la velocidad de grupo con la velocidad de fase, una confusión que puede hacer dudar inclusive a quienes se dicen expertos en la materia. En una publicación de la revista Nature del 20 de julio de 2000 que en su momento causó conmoción en los medios de comunicación, Wang, Kuzmich y Dogariu describen un experimento llevado a cabo por ellos en el cual aparentemente se lleva a cabo una transmisión a una velocidad mayor que la velocidad de la luz. El experimento consistió en hacer pasar un pulso de luz por una celda de gas de 6 centímetros de longitud conteniendo vapor de cesio, preparado especialmente para tener propiedades adecuadas de emisión y absorción de fotones, midiéndose la velocidad de propagación del pulso, observándose un avance de 62 nanosegundos en el pulso mientras pasaba a través de la celda. Aún si la velocidad de transmisión hubiera sido instantánea (infinitamente grande), esto sólo podría sacar fuera 0.2 nanosegundos del tiempo observado. El avance observado, siendo mucho mayor, podía interpretarse como un “viaje a través del tiempo”, en este caso hacia el pasado, pero no un recorrido llevado a cabo a una velocidad superior a la velocidad de la luz. En realidad el efecto observado, como los mismos autores admiten veladamente reconocerlo, tiene que ver más con un efecto que llamamos dispersión anómala (mientras que la dispersion normal en el vidrio de un prisma retarda más a la luz azul que a la luz roja, en la dispersión anómala ocurre el efecto contrario, ya que se retarda más a la luz roja que a la luz azul). Lo que en realidad sucede en este tipo de experimentos es que lo que va más rápido que la luz es la llamada velocidad media de grupo, algo que es bastante distinto de la rapidez con la que viajan los fotones del pulso de luz, y un análisis un poco cuidadoso hace ver que si esta velocidad media es mayor que la velocidad de la luz en el vacío esto se debe al empleo de una definición poco apropiada de la velocidad de grupo que en realidad no es la velocidad media de los fotones luminosos. Podemos visualizar lo que sucede con un ejemplo propuesto por el Profesor Francisco J. Yndurain de la Universidad Autónoma de Madrid. Consideremos un conjunto de 10 corredores que recorren una pista de atletismo, todos ellos corriendo a 30 kilómetros por hora. Supongamos que al empezar los corredores del grupo comienzan a correr separados uno del otro por un metro. Llamemos ahora velocidad del grupo a aquella con la que se mueve el centro del grupo, centro que está cinco metros detrás del que va en cabeza al comenzar la carrera. Ahora viene el truco. Cada vez que los corredores pasan por la línea de meta, se suma un nuevo corredor que se pone a la altura del que va a la cabeza comenzando a correr también a 30 kilómetros por hora. Además, liquidamos al último corredor que pase por meta, procedimiento algo drástico pero que podemos realizar por ser éste un experimento puramente gedanken (imaginario, hipotético). Al cabo de 10 vueltas, todos los corredores que se han ido añadiendo van juntos en la cabeza del grupo, los rezagados han desaparecido y el corredor que va en el medio del grupo va cinco metros antes de lo que hubiera ido la mitad del grupo si no lo hubiésemos tocado; por tanto, la velocidad media del grupo es mayor que la de cualquiera de los corredores, a pesar de que todos van a la misma velocidad de 30 kilómetros por hora. Por supuesto, el truco es que los corredores que empezaron la prueba no son los mismos que los que la terminaron. El concepto de velocidad media de grupo usado aquí es correcto si el grupo contiene las mismas personas al principio y al final; pero deja de serlo si añadimos y suprimimos corredores. El que tal velocidad de grupo sea superior a los 30 kilómetros por hora no implica que los corredores pudieran trasmitir información más rápido de lo que corría cada uno: si damos un testigo a uno de los corredores, el testigo irá a la velocidad del corredor. Y eso si hemos tenido suerte y escogimos a uno de los corredores que sobreviven hasta el final.

Lo anterior se puede aclarar mejor empezando con la siguiente figura que representa a ocho corredores con camisetas negras moviéndose todos juntos hacia la derecha a la misma velocidad:

Ahora repetiremos la caminata de arriba moviendo al grupo de corredores exactamente a la misma velocidad que el grupo de arriba, pero poniéndole cada par de corredores que van juntos camisetas del mismo color, y haciendo lo mismo que lo que describe el Profesor Yndurain: en intervalos igualmente espaciados iremos agregando adelante del grupo de corredores a dos corredores con camisetas de color negro, y al hacer esto iremos eliminando a cada par de corredores que va atrás del grupo:

Obsérvese que, pese a que el grupo de corredores se sigue moviendo a la misma velocidad, lo que hemos hecho ha ocasionado el efecto real de que aparentemente el grupo se esté moviendo a una velocidad mayor. Este es el verdadero significado de la diferencia entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase. Los corredores que van saliendo fuera de “la cola” al mismo tiempo que va ingresando una cantidad igual en número de corredores al frente del grupo en realidad son las ondas individuales “puras” utilizadas para la construcción del paquete de onda, las cuales van saliendo cada vez más fuera de fase por un lado del paquete de onda (por la parte de atrás) pero que van entrando en fase por el otro lado del paquete de onda (por la parte delantera).

Podemos ilustrar mejor los dos casos anteriores recurriendo a archivos gráficos animados. Para la primera situación, el efecto es el siguiente:

mientras que para la segunda situación, el efecto es el siguiente:

Independientemente de la función matemática que se utilice para el modelaje de una partícula aislada concebida como un paquete de onda cuya amplitud cae y se vuelve prácticamente cero más allá de una longitud espacial estrecha (aproximándose matemáticamente a la imagen que tendríamos de un electrón como una pelotita pequeña aunque algo difusa y borrosa):

y no como una onda cuya amplitud varía senoidalmente hacia ambos extremos del infinito manteniéndose constante la variación de amplitud, para resolver problemas relacionados con partículas libres vistas como paquetes de onda resulta conveniente recurrir a los conceptos y las herramientas matemáticas desarrolladas en las entradas previas tituladas “El espacio-posición y el espacio-momentum”. Supóngase que se tiene un paquete de onda cuya función de onda conocemos simplemente como Ψ(x), siendo ésta una función independiente del tiempo, y supóngase que queremos expresar esta función de onda como Ψ(x,t), esto es, como un paquete de onda que varía con el tiempo. La modificación que se debe llevar a cabo sobre Ψ(x) debe ser de una naturaleza tal que Ψ(x,t) sea una solución a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Si se tratara de una partícula atrapada en un sistema ligado, como ocurre en el caso de una partícula encerrada en una caja, esto no presentaría mayores problemas, porque cada estado discreto de energía E_n se corresponde con una eigenfunción ψ_n(x) cuya longitud de onda permanece constante e invariable. En cambio la construcción de un paquete de onda requiere de la superposición de un número infinito de ondas senoidales, cada una con una longitud de onda, o dicho mejor aún, con un número de onda k infinitesimalmente diferente de las demás. Este proceso de construcción de paquetes de onda se lleva a cabo mediante la transformada de Fourier, con lo cual la función de onda Ψ(x) pasa al espacio-k como φ(k). Una vez que se tiene definido el paquete de onda, es necesario regresar al espacio-posición dándole a cada onda-k su propia variación temporal mediante el proceso de transformación de Fourier, con lo cual se puede tener entonces Ψ(x,t). Esto nos dá la prescripción general para obtener a Ψ(x,t) de Ψ(x) usando a φ(k) como paso intermedio:

El paso trivial inicial, desde luego, consiste en escribir a Ψ(x) como Ψ(x,0), dando por hecho que Ψ(x) es lo mismo que Ψ(x,t) para t.=.0.

Ilustraremos este procedimiento en detalle con un ejemplo específico. Considérese un paquete de onda para el cual la función de onda está modelada de la siguiente manera:

siendo A la constante de normalización. Esta constante de normalización la podemos obtener de la manera usual:

Puesto que la función de onda propuesta no contiene términos imaginarios o complejos, el conjugado complejo de la función de onda Ψ(x,0) es igual a dicha función de onda. con lo cual:

Desarrollando:

Obtenemos ahora φ(k) con el proceso de transformación de Fourier:

El integrando cosenoidal de una función par, mientras que el integrando senoidal es una función impar, lo cual implica que el segundo se desvanece quedando únicamente el primero, con lo cual:

Finalmente, podemos obtener Ψ(x,t) de φ(k) con la siguiente transformación de Fourier en la cual el término exponencial propio de la transformación Fourier incorpora al factor tiempo a través de ωt:

Es importante tomar en cuenta que ω no es una constante dentro de la integral, de hecho ω es una función de k, o sea que:

ω = ω(k)

en virtud de que:

Esto significa que la expresión obtenida para Ψ(x,t) en su forma más completa debe ser puesta como:

Analizando en mayor detalle las expresiones para Ψ(x,0) y para φ(k), podemos ver que en el tiempo inicial t.=.0 y para un valor grande de a, la función Ψ(x,0) tiene un pico agudo y bien definido mientras que φ(k) que podemos aproximar como:

es amplia y aplanada, lo cual implica que la posición de la partícula paquete de onda está bien definida mientras que su momentum dista mucho de estar bien definido, siendo incierto. Por otro lado, para valores muy pequeños de a se tiene que Ψ(x,0) es amplia y aplanda, mientras que φ(k) que podemos aproximar como:

tiene un pico agudo y bien definido, lo cual implica que la posición de la partícula paquete de onda es incierta mientras que su momentum está bien definido. Esta es, desde luego, la manifestación del principio de incertidumbre de Heisenberg.