¿Por qué precisamente en este orden y no en otro? Después de todo, si la observable física a la que estamos haciendo referencia es la posición, cuyo valor esperado viene siendo:
lo mismo dá lo mismo intercambiar los tres componentes en cualquier orden bajo el signo de la integral ya que obtendremos el mismo resultado:
Esta última observación es válida cuando se trata del operador posición, el cual no es un operador diferencial. Sin embargo, cuando se trata de evaluar la esperanza matemática del momentum, al cual le corresponde un operador diferencial que es (ħ/i)(∂/∂x), el orden de los componentes bajo el signo integral sí importa, porque el operador diferencial actúa sobre lo que tiene inmediatamente a su derecha. Todo esto cuando estamos trabajando dentro del espacio-posición. Y si estamos trabajando en el espacio-momentum, entonces el operador posición se convierte en un operador diferencial que ya no puede ser movido libremente bajo el signo integral.
Para poder entender cómo es que se llega a fijar cierto orden de operaciones bajo el signo integral en la definición de una esperanza matemática, trabajando dentro del espacio-momentum lo mejor será ver el origen del operador diferencial del momentum bajo este contexto. Primero que nada, escribiremos la función de onda ψ(r) en el espacio-posición tridimensional como una integral de Fourier:
Obsérvese que se ha suprimido la variable del tiempo, esto en virtud de que se supondrá que esta ecuación es válida para cierto tiempo fijo, como si se estuviese tomando una “instantánea fotográfica” (si suponemos que la función de onda es una función tanto de la posición como del tiempo, la variable del tiempo aparecerá bajo el signo integral siendo Ψ una función del número de onda tridimensional k y el tiempo). Por tanto, se supone que las mediciones del momentum son llevadas a cabo en un momento en el cual las funciones de onda tienen la forma dada por la relación anterior. El número de onda o vector de propagación k está relacionado con el momentum p de la manera en que ya se ha visto previamente a través de la constante reducida de Planck:
Puesto que la función de onda ψ en el espacio-posición está normalizada, la función de onda Ψ(k) en el espacio-k también lo está:
Esto significa que |Ψ(k)|2 puede ser interpretada como la probabilidad por unidad de volumen en el espacio-k de que una partícula posea cierto momentum. En consecuencia, de acuerdo a lo que vimos en la entrada “Interpretación probabilista de ψ I”, el valor promedio de una componente particular del momentum sobre el eje-x está dada por:
Esta integral puede ser transformada a una integral sobre el espacio ordinario, sobre el espacio-posición, usando la ecuación del eigenvalor del operador momentum P tridimensional:
y la ecuación que tenemos arriba para ψ(r):
conduciéndonos a lo siguiente:
Premultiplicando esto por el conjugado complejo de la función de onda e integrando sobre todo el espacio-posición produce:
Combinado con la función delta de Dirac sobre la variable vectorial número de onda:
se tiene entonces:
Haciendo uso del efecto del delta de Dirac sobre lo anterior:
Todo esto nos lleva finalmente a:
Obsérvese que la evaluación de la esperanza matemática para el momentum nos fija un orden muy específico de operaciones que requieren aplicar primero un operador diferencial a la función de onda ψ, tras lo cual lo que resulte se debe multiplicar por ψ*, el conjugado complejo de ψ. Y aunque al estar trabajando dentro del espacio posición el orden de operaciones no importa cuando se trata de la variable de la posición, resulta aconsejable mantenerlo todo bajo cierta convención haciéndolo más memorizable.
Para poder movernos con mayor facilidad entre las arenas movedizas del espacio posición y el espacio momentum, una relación que resulta conveniente para lograr atajos en ciertos cálculos y demostraciones es la relación conocida como el teorema de Plancherel. Este teorema nos dá la siguiente prescripción para transformar una función f(x) dada en el espacio-x a su equivalente en el espacio-k o viceversa:
El teorema de Plancherel no debe ser confundido con el concepto de la transformada de Fourier. Obsérvese que en ambas equivalencias dadas arriba en el teorema de Plancherel no hay exponenciales con signos negativos, en tanto que el proceso de la toma de una transformada de Fourier destaca el símbolo negativo presente en el exponencial. El siguiente ejercicio con un resultado útil servirá para destacar la diferencia.
PROBLEMA: Obténgase una expresión para la función δ(x) de Dirac en función de una integración llevada a cabo sobre eikx en el espacio-k.
Empezaremos por el hecho de que la transformada de Fourier de cualquier función f(x), incluyendo la función delta de Dirac, está definida de la siguiente manera:
Haciendo f(x).=.δ(x), se tiene:
Esto se puede desarrollar de la manera siguiente:
Usaremos ahora la propiedad característica de la función delta de Dirac:
De este modo:
Recurriremos ahora al teorema de Plancherel, que nos permite escribir lo siguiente:
Simplificando:
En rigor de verdad, la formulación original del teorema de Plancherel hecha en 1910 por el matemático Michel Plancherel, la cual es un resultado de una área de las matemáticas puras conocida como el Análisis Armónico, es más abstracta y no tan clara, ya que dice que “la integral del módulo cuadrático de una función es igual a la integral del módulo cuadrático del espectro de frecuencia de dicha función”, y que aquí aparece traducido y reformulado de una manera que es más accesible a nuestros propósitos aunque superficialmente parezcan ser cosas distintas.
Mediante las transformadas de Fourier, podemos resumir de la siguiente manera las conversiones matemáticas requeridas para convertir una función de onda Ψ(x,t) que está expresada en el espacio-posición a su símil Φ(p,t) en el espacio-momentum y viceversa:
Mientras que el cálculo mecánico-cuántico para el valor esperado de una observable física Q en el espacio posición está dado por la siguiente relación (distinguiremos al operador que correponde a dicha observable física poniéndole un “sombrero” encima):
el cálculo mecánico-cuántico para el valor esperado de la misma observable física Q en el espacio momentum está dado por la siguiente relación
Si la observable física es, por ejemplo, la posición de la partícula, el valor esperado de la posición evaluado en el espacio-posición es:
En cambio, el valor esperado de la posición de la partícula evaluado en el espacio-momentum es:
Ambas evaluaciones deben producir el mismo resultado. En caso contrario, se debe suponer un error en los cálculos.
Aunque en virtud del principio de incertidumbre no es posible medir simultáneamente con precisión ilimitada tanto la posición como el momentum de una misma partícula a lo largo de un mismo eje coordenado, esto no significa que no podamos medir la posición de una partícula con una precisión teóricamente ilimitada cuando la posición de una partícula es lo único que medimos. A diferencia de lo que ocurre con la energía de una partícula que forma parte de un sistema ligado, la posición de una partícula no está discretizada, puede tomar cualquier valor real posible que podamos imaginarnos, sean 2.54 centímetros con respecto a cierto punto de referencia, sean 450 kilómetros, o sean 8 angstroms. El espectro de valores posibles de la posición de una partícula es un espectro continuo. ¿Pero cómo podemos fijar simbólicamente de manera precisa la posición de una partícula (considerada como una partícula puntual) a lo largo de un eje coordenado de modo tal que la expresión simbólica pueda ser manipulada bajo la notación de la Mecánica Cuántica? Ello resulta muy fácil si recurrimos a la función delta de Dirac. Precisamente para tal situación fue creada la función delta. Supóngase que queremos ubicar a una partícula a una distancia de 3.78 metros con respecto a un punto de origen:
En tal caso, podemos ubicar simbólicamente a la partícula sobre el eje-x de la siguiente manera:
δ(x - x’) = δ(x - 3.78 metros)
Para x.=.3.78 metros, la función delta de Dirac toma el valor de 1, mientras que para cualquier otra posición la función delta de Dirac toma un valor igual a cero, lo cual nos ubica a la partícula de manera precisa en cierto punto a lo largo de un eje coordenado. Pero generalmente queremos que la expresión nos devuelva una respuesta más específica que un “1” ó un “0”, que un “sí” o un “no”. Esto lo podemos lograr multiplicando a la función delta de Dirac por la magnitud de la variable posición, de modo tal que la expresión correcta será:
x · δ(x - x’) = (3.78 metros)·δ(x - 3.78 metros)
De este modo, la relación toma el valor de 3.78 metros justo para x.=.3.78 metros, mientras que toma el valor de cero para x.≠.3.78 metros.
Aclarado lo anterior, podemos considerar ahora el aspecto operacional del asunto. Si hay un operador Hamiltoniano de energía H relacionado con la observable energía E, debe ser posible también definir un operador de posición. Pero para que esto último tenga sentido, el operador debe ser capaz de actuar sobre algo, sobre un operando, del mismo modo que el símbolo de la integral actúa sobre un integrando. Esto implica que, así como hay eigenkets (o eigenfunciones de onda) para describir a una partícula, debe ser posible definir también el eigenket de posición, el cual debe ser tal que en una eigenecuación mecánico-cuántica al aplicarle el operador de posición nos regrese al mismo operador multiplicado por el eigenvalor de posición, la posición actual de la partícula en un momento dado. Tenemos pues tres elementos para montar una eigenecuación de posición: el operador de posición, el eigenket de posición que viene siendo el operando, y el eigenvalor que resulta de la acción del operador sobre el operando (lo que se mide en el laboratorio). La eigenecuación de la que estamos hablando es la siguiente:
Pero en virtud de la dualidad que existe entre los bras y los kets, los cuales forman un espacio dual, podemos definir también el efecto de un operador de posición actuando no sobre un ket de posición que está a su derecha, sino sobre un bra de posición que está a su izquierda, o mejor dicho, sobre un eigenbra de posición. En este caso, la eigenecuación de la que estamos hablando es la siguiente:
Esto, tal y como está escrito, se debe leer de derecha a izquierda. Lo que está puesto en el lado derecho de la igualdad nos dice que si aplicamos un operador de posición al eigenbra que está a la izquierda, la acción producirá lo que vemos en el lado izquierdo de la igualdad, el mismo eigenbra de posición pero multiplicado por una constante numérica que interpretamos como la posición (observable) de la partícula.
El eigenvalor de posición x’, la posición de la partícula que medimos en el laboratorio con respecto a algún punto de referencia, no debe ser confundido jamás con el operador posición que actúa sobre el eigenket (o sobre el eigenbra) de posición de la partícula. Aunque dentro del espacio-posicion estas aserciones pueden ser triviales, no lo son cuando estamos trabajando dentro del espacio-momentum en donde el operador posición es de hecho un operador diferencial de primer orden.
Así como en el espacio-posición podemos montar una eigen-ecuación en la cual la aplicación de un operador a una eigen-función de onda nos regresa la misma eigen-función de onda multiplicada por una constante que viene siendo el eigen-valor que corresponde a dicha eigenfunción, en el espacio-momentum ocurre exactamente lo mismo:
La misma eigenecuación de Mecánica Ondulatoria, pero expresada en notación bra-ket de Dirac en la cual podemos definir a un operador de momentum actuando sobre un eigenket de momentum regresándonos al eigenket de momentum multiplicado por una constante numérica que vendría siendo el eigenvalor de momentum, tiene el siguiente aspecto:
Pero al igual que como ocurre con el operador posición, un operador de momentum tiene la capacidad de poder actuar no sólo sobre el ket que tiene a su derecha, también puede actuar sobre el bra de momentum que tiene a su izquierda, o mejor dicho, sobre un eigenbra de momentum. En este caso, la eigenecuación de la que estamos hablando es la siguiente:
Esto nos dice que si aplicamos un operador de momentum al eigenbra que está a la izquierda, la acción producirá lo que vemos en el lado derecho de la igualdad, o sea el mismo eigenbra de momentum pero multiplicado por una constante numérica que interpretamos como el momentum (observable) de la partícula.
Anteriormente, en una de las entradas tituladas “El espacio de Hilbert”, se había dejado como algo pendiente de estudiar más a fondo la siguiente simbología en la notación de bras y kets de Dirac:
En cada caso de estas dos nuevas definiciones, los bras representan las dos variables continuas espacio y momentum. Estas definiciones que se acaban de dar pueden ser manipuladas en forma similar a como lo hemos hecho anteriormente en las relaciones más convencionales para el producto interno bra-ket. Si se invierten el bra y el ket en la relación que corresponde al espacio posición, se debe interpretar entonces como el conjugado complejo de lo que se tenía en el orden original:
De modo similar, tratándose del espacio momentum se tiene que:
Considérese ahora la siguiente expansión de un ket que representa cierto estado, en función de un espectro continuo de eigenkets de posición, para lo cual utilizamos el operador identidad (la relación de cerradura) que se muestra a continuación (lo que está destacado en color azul es lo que corresponde al operador de identidad usado para la expansión, lo cual se cubrió en una tabla puesta en la entrada titulada “El espacio de Hilbert II”):
A continuación, tomaremos el producto interno bra-ket de la expresión de arriba pre-multiplicando ambos miembros de la igualdad por el bra obtenido del ket que está representando al estado bajo consideración:
En el lado derecho de la igualdad, podemos meter al bra dentro del signo integral para tener así:
Esto se puede simplificar aún más “pegando” los bras con los kets en la forma convencional:
A continuación, podemos reemplazar ambos productos internos bra-ket que aparecen bajo el signo integral por las funciones de onda convencionales que representan cada uno de los productos bra-ket:
Esto que hemos obtenido de las definiciones dadas arriba concuerda con la definición convencional que se dá en la Mecánica Ondulatoria al producto interno de una función de onda consigo misma. Entonces las definiciones dadas arriba son consistentes con lo que hemos venido manejando con anterioridad.
Si repetimos los pasos anteriores, pero tomando el producto del ket que está representando al estado bajo consideración no consigo mismo sino con otro ket, entonces obtenemos lo siguiente:
Esta integral de traslape es lo que caracteriza el traslape entre dos funciones de onda distintas. Obsérvese con detenimiento que no estamos definiendo con esto último a <β|α> como una integral de traslape, ya que esto no es más que un resultado final, una consecuencia algebraica directa de la aplicación de una relación de completitud (un operador identidad) para un ket de estado dado en función de un espectro continuo de eigenkets de posición. Más aún, la interpretación más general de <β|α> es independiente del tipo de representación que estemos utilizando, trátese de espacio posición o espacio momentum, ya que al ver el símbolo compacto <β|α> no aparece en dicho símbolo la forma en la cual se obtiene dicha cantidad, ya sea trabajando dentro del espacio posición o trabajando dentro del espacio momentum. Esta interpretación más general es que se trata simplemente de la amplitud de probabilidad del estado |α> de encontrarse en el estado |β> (o bien, a amplitud de probabilidad del estado |β> de encontrarse en el estado |α>)
Si las definiciones de <x|α> y de <p|α> que se dieron arriba no fueron algo confusas al principio, seguramente la siguiente definición dada en notación bra-ket resultará extraña para quien la vea por vez primera:
La forma de leer esto tal vez parezca algo inusual en un comienzo, pero se debe leer como “el operador del momentum actuando sobre una eigenfunción α de onda en el espacio posición”, lo cual significa que la forma más desarrollada (menos compacta) de escribir lo anterior es:
Nuevamente, y al igual que como ocurrió en el caso de las eigenfunciones de onda α expresadas ya sea en el espacio posición o en el espacio momentum, lo único que se requiere para aceptar este tipo de notación (además del hecho de acostumbrarnos a ella) es que su aplicación metódica en desarrollos algebraicos no conduzca a contradicciones sino a la obtención de los mismos resultados y/o definiciones que ya habían sido obtenidos previamente.
PROBLEMA: Desarróllense en detalle las siguientes dos expresiones:
Aplicando la definición dada arriba, la primera relación se puede expresar de la siguiente manera:
Es, en efecto, la aplicación repetida del operador del momentum en el espacio posición actuando sobre una eigenfunción de onda α.
La segunda relación es lo mismo, excepto que el operador del momentum en el espacio posición es aplicado un total de n veces sobre la eigenfunción de onda α:
Si estamos trabajando en el espacio momentum y lo que se quiere es definir al operador posición actuando sobre una eigenfunción de onda α, entonces esto debemos escribirlo e interpretarlo de la siguiente manera:
La aplicación repetida n veces del operador posición sobre la eigenfunción de onda α en el espacio momentum se escribe entonces como:
Ahora veremos otras definiciones cobijadas bajo la notación bra-ket de Dirac que tampoco resultan muy evidentes a primera vista cuando insistimos en verlo todo como un simple producto interno entre un bra y un ket. Por principio de cuentas, tomaremos los siguientes kets que corresponden a dos funciones de onda distintas:
Tomaremos una de las funciones de onda convirtiendo su ket correspondiente en un bra:
Considérese a continuación un operador A que será “planchado” a manera de sandwich entre el bra y el ket que tenemos arriba. Hecho esto, introduciremos el operador identidad (relación de cerradura) no una vez sino dos veces del modo que se muestra a continuación dando su equivalente en notación convencional de la Mecánica Ondulatoria (si borramos todo lo que está en color azul y en color magenta, regresamos a la relación original con la cual habíamos comenzado):
Los dos sub-corchetes horizontales puestos debajo de la línea intermedia destacan lo que fue “injertado” entre los símbolos de la relación original, mientras que los tres super-corchetes horizontales puestos encima de la misma línea intermedia destacan la interpretación que queremos darle a la relación bajo un nuevo reagrupamiento de símbolos.
La relación anterior nos indica que para poder evaluar a <β|A|α> tenemos que conocer el elemento matricial <x’|a|x’’> el cual consideraremos una función de x’ y x’’. Podemos llevar a cabo una simplificación en la expresión si consideramos que la observable A es exclusivamente alguna función de la posición como x2 (lo cual ocurre en el caso del Hamiltoniano del oscilador armonico simple). Utilizando las relaciones:
y:
podemos efectuar el siguiente desarrollo (se ha destacado de color magenta lo que representa un eigenvalor obtenido de la aplicación de un operador de posición a un eigenket de posición):
Si nos fijamos con atención, esto último nos permite reducir la integral doble a una integral sencilla gracias a la acción de la función delta de Dirac. De este modo, prescindiendo ya de la doble integración, podemos escribir lo siguiente utilizando la definición obtenida del “enclaustramiento” de un operador A entre dos funciones de onda distintas:
Generalizando lo anterior, podemos afirmar lo siguiente para una expresión cualesquiera que es a su vez función del operador posición:
Este resultado lo hemos obtenido trabajando exclusivamente dentro del espacio-posición. Si trabajamos dentro del espacio-momentum, no es difícil llegar a la siguiente relación:
en la cual:
son funciones de onda en el espacio-momentum, y la cual nos dá la acción del operador posición en el espacio-momentum cuando en la simbología bra-ket el operador posición está encajonado entre dos eigenkets distintos (dos funciones de onda distintas).
El problema con la notación anterior es que, si vemos algo como lo siguiente:
¿cómo vamos a saber si esto es una referencia al operador del momentum en el espacio-posición considerado dentro de dos funciones de onda distintas, o una referencia al mismo operador del momentum pero en el espacio-momentum? La respuesta franca es que sobre este asunto la notación es ambigüa y no va más lejos de lo que puede llegar. Para saber en estos casos si estamos trabajando dentro del espacio-posición o dentro del espacio-momentum es necesario consultar el resto del texto o del documento científico en donde aparece una relación bra-ket como esta última, lo cual supone que el autor o los autores del texto que estamos consultando ha sido lo suficientemente cuidadosos como para anticipar la confusión que puede ocasionar este tipo de ambigüedades y aclarar la confusión dando mayores detalles en el resto del texto de la obra.
El par inseparable de ecuaciones que nos permite convertir una función del espacio-posición al espacio-k y del espacio-k al espacio-posición:
es conocido esporádicamente como el teorema de Plancheret, aunque comunmente lo que se lleva a cabo con cada una de estas relaciones es un proceso mejor conocido como la transformada de Fourier, la cual es una extensión de la serie de Fourier mediante el cual el intervalo entre las frecuencias armónicas (múltiplos de la frecuencia fundamental) se va haciendo cada vez más pequeño hasta que la sumatoria se convierte en una integral, pasando de un espacio discreto a un espacio continuo y denso. Daremos un repaso rápido a una justificación que se le puede dar a este paso.
El teorema de Dirichlet nos garantiza que cualquier función “bien comportada” f(x) definida en un intervalo:
[-a,+a]
puede ser representada de la siguiente manera mediante una expansión en series de Fourier:
Demostraremos primero que esta expansión se puede escribir en forma de exponenciales:
Usando la fórmula de Euler, podemos escribir la sumatoria infinita de términos trigonométricos del siguiente modo:
Igualando coeficientes respectivos entre las sumatorias de esto último y la sumatoria a la que queremos llegar, vemos que:
Puesto que en todos los casos podemos calcular las constantes cn para cualquier valor entero positivo o negativo de n, en términos de las an y las bn, queda demostrado que podemos representar la expansión de términos trigonométricos de Fourier en la forma exponencial indicada, o sea:
Recurriremos ahora al “truco de Fourier” para poder extraer cualquiera de los términos de una sumatoria explotando la ortogonalidad de los términos, llevando a cabo la siguiente operación:
Para n.≠.m, tenemos que:
lo cual era de esperarse a causa de la misma ortogonalidad. Por otro lado, para n.=.m, se tiene:
con lo cual:
de donde:
A continuación, definiremos las nuevas variables:
k = nπ/a
F(k) = √2/πacn
Con estas nuevas definiciones, la expansión Fourier mediante exponenciales toma el siguiente aspecto:
con lo cual:
Al tomar el límite a.→.∞, k se vuelve una variable continua y Δk se convierte en un elemento infinitesimal dk, y así de este modo tenemos para ambas relaciones lo siguiente:
que era lo que se desaba demostrar.
Hemos visto ya que la conversión de una función de onda Φ(p,t) definida en el espacio-momentum a su contraparte Ψ(x,t) en el espacio-posición se debe llevar a cabo de la siguiente manera:
Con algo como esto, tanto en el espacio-posición como en el espacio-momentum, podemos obtener los valores esperados (las esperanzas matemáticas) de cualquier observable física siguiendo al pie de la letra las convenciones dadas para la evaluación de tales esperanzas matemáticas. Suponiendo, por ejemplo, que queremos evaluar la esperanza matemática de la observable posición (en una dimensión) llevando a cabo el cálculo en el espacio-momentum, el cálculo empezaría de la siguiente manera (el conjugado complejo de la función Ψ(x,t) se destaca en la forma usual con un asterisco y con color rojo):
en donde debemos substituír la segunda relación en la primera. La primera relación nos proporciona el valor esperado de la observable posición partiendo de la definición convencional para el valor esperado cuando todo se lleva a cabo en el espacio-posición. Haciendo la substitución, se tiene:
Podemos simplificar esto recurriendo a una integración por partes, usando el hecho de que:
De este modo:
Por lo tanto:
Llevaremos a cabo la primera integración sobre la variable x, para lo cual como medida simplificadora haremos la siguiente substitución de variable:
De este modo:
en donde hemos utilizado el resultado obtenido en el problema anterior para la función δ(x) de Dirac. Así, lo que nos viene quedando se reduce a:
Obviamente, el único resultado diferente de cero solo se puede obtener con la condición p’.=.p, lo cual nos lleva al resultado final:
En general, si queremos obtener en el espacio-posición el valor esperado de alguna observable física Q(x,p,t) cualesquiera representada por un operador Q, el cálculo llevado a cabo en un espacio uni-dimensional (con el resultado fácilmente extendible hacia tres dimensiones) se lleva a cabo de la siguiente manera substituyendo al momentum p por su expresión diferencial mecánico-cuántica:
mientras que si lo que queremos es obtener en el espacio-momentum el valor esperado de alguna observable física Q(x,p,t) cualesquiera representada por un operador Q, el cálculo llevado a cabo en un espacio uni-dimensional (con el resultado fácilmente extendible hacia tres dimensiones) se lleva a cabo de la siguiente manera substituyendo a la variable de la posición por su expresión diferencial mecánico-cuántica:
Como un primer ejemplo de lo que podemos tener cuando trabajamos en el espacio-momentum, recurriremos a un problema que ya hemos visto anteriormente, el problema (unidimensional) de una partícula encerrada dentro de una caja, para el cual obtuvimos las siguientes eigenfunciones de onda Ψn(x,t) en el espacio-posición:
en donde:
La conversión de las eigenfunciones de onda Ψn(x,t) del espacio-posición a sus contrapartes Φn(p,t) espacio-momentum se debe llevar a cabo usando la prescripción:
De este modo, se tiene:
Podemos llevar a cabo la integración de la siguiente manera:
Llevando a cabo la integración:
Estas son las funciones de onda en el espacio-momentum para una partícula encerrada en una caja, las cuales también muestran una cuantización en estados discretos.
La densidad de probabilidad definida en el espacio-mometum para estas funciones es, desde luego:
En base a esto, las primeras dos eigenfunciones en el espacio-momentum son:
Las gráficas respectivas de estas dos densidades de probabilidad en el espacio-momentum son:
A continuación, obtendremos el valor esperado (la esperanza matemática) del cuadrado del momentum, o sea de p2. La extensión natural en este caso al espacio-momentum de la definición empleada al estar trabajando en el espacio-posición es:
Tenemos dos tipos de soluciones, una para valores impares y la otra para valores pares:
Con la finalidad de simplificar un poco las integraciones que se deben llevar a cabo, haremos el siguiente cambio de variables:
Con esto, en ambas integraciones podemos hacer la siguiente simplificación en la notación:
siendo las Qn:
Llevar a cabo la integración requiere recurrir a la técnica matemática de las fracciones parciales:
De este modo, la integral In a ser evaluada toma la forma:
Para el caso en el cual n es impar y efectuando un nuevo cambio de variables, se tiene:
mientras que para el caso en el cual n es par se tiene:
Así pues, se tiene lo mismo en ambos casos ya sea n par o impar. De este modo, haciendo otro cambio de variables para llevar a cabo la integración, vemos que:
De este modo, el valor esperado del cuadrado del momentum p2 también sestá cuantificado, siendo su valor:
Es importante ejercer precaución en la forma en la cual hacemos actuar a los operadores sobre las funciones de onda y los resultados que esperamos obtener de tales operaciones. Supóngase por ejemplo que queremos aplicar el operador mecánico-cuántico del momentum p:
a una función de onda especificada en el espacio-posición. Para fines ilustrativos, usaremos la función de onda ψ1(x) para el estado basal de una partícula encerrada dentro de una caja, y aplicaremos el operador citado a dicha función de onda. ¿Nos producirá esto una eigenecuación del operador del momentum? Veamos:
La última expresión la podemos poner en la siguiente forma equivalente:
En el lado derecho de la igualdad, el factor destacado en color magenta no es una constante, y puesto que el operador del momentum al ser aplicado a la función de onda ψ1 no es una constante (múltiplo) de ψ1, se concluye que ψ1 no es una eigenfunción del momentum.
Como un segundo ejemplo de lo que podemos tener cuando trabajamos en el espacio-momentum, recurriremos a otro problema que ya hemos visto anteriormente. Obtendremos la función de onda φ(p) en el espacio-momentum que corresponde al estado basal del átomo de hidrógeno. Verifícaremos que la función de onda obtenida está normalizada. Asimismo, utilízaremos dicha función de onda para obtener el valor esperado (la esperanza matemática) del cuadrado del momentum. Y por último, obtendremos también mediante la relación:
el valor esperado de la energía cinética para el estado basal del átomo de hidrógeno.
Para lo que estamos tratando de hacer aquí, lo más apropiado es recurrir al uso de coordenadas esféricas en virtud de la simetría esférica del problema al tratarse de un problema que involucra un potencial que produce una fuerza central que parte del núcleo atómico. Resultará conveniente fijar también el eje polar para que coincida con la dirección del vector tridimensional del momentum p.
Sabemos de antemano que la función de onda ψ(r) para el estado fundamental del átomo de hidrógeno en el espacio-posición es:
Al efectuar el cambio de coordenadas del espacio-posición al espacio-momentum, lo único que cambia es la coordenada de la posición r que ahora será la variable del momentum p, entanto que las coordenadas angulares seguirán siendo las mismas. En efecto, todo lo que hacemos es substituir un vector tridimensional por otro, de acuerdo a la siguiente prescripción:
(r,θ,φ) ⇒ (p,θ,φ)
Si en el espacio-posición tridimensional, en coordenadas esféricas, el elemento infinitesimal de volumen está dado por:
r2sen(θ)drdθdφ
entonces el elemento infinitesimal de volumen en el espacio-posición estará dado por la relación:
p2sen(θ)drdθdφ
En base a lo que ya hemos visto en las entradas previas, el cambio de la función de onda del espacio-posición al espacio-momentum será entonces (la integral es una integral triple):
habiéndose destacado en color azul el elemento infinitesimal de volumen.
Al haber hecho coincidir el eje polar de las coordenadas esféricas (usualmente el eje-z) con la dirección del vector momentum (tridimensional) p, tenemos entonces que:
Puesto que, para la coordenada esférica φ:
entonces después de llevar a cabo esta integración se tiene lo siguiente:
La integración sobre la coordenada esférica θ procede de la siguiente manera:
con lo cual queda pendiente únicamente la integración sobre la coordenada radial:
Esta integración la podemos llevar a cabo recurriendo a la fórmula de Euler, con lo cual:
Por lo tanto:
Finalmente, simplificando un poco más:
Si la función de onda φ(p) que acabamos de obtener en el espacio-momentum está normalizada, entonces lo siguiente se debe cumplir (precaución: el símbolo d3p no representa la derivada de un vector tridimensional, representa el elemento infinitesimal de volumen en el espacio-momentum):
Si agrupamos (con fines pedagógicos) la parte del elemento infinitesimal de volumen que corresponde al ángulo sólido dΩ incorporando a los elementos infinitesimales que corresponden a los ángulos polar y azimutal θ y φ, entonces lo anterior lo podemos escribir en una forma un poco más explícita mostrando los límites de integración:
que en su forma aún más explícita viene siendo:
Llevando a cabo las primeras dos integraciones, se tiene:
Para poder llevar a cabo la integral que queda pendiente, recurrimos a las tablas de integrales en las cuales encontramos lo siguiente:
Por lo tanto:
con lo cual, finalmente:
con lo cual se confirma de este modo que la función de onda φ(p) en el espacio-momentum está normalizada.
El valor esperado (la esperanza matemática) del cuadrado del momentum p2 es calculado mediante la prescripción que ya hemos visto de antemano:
Nuevamente, para poder evaluar la integral remanente, recurrimos a las tablas de integrales, en las cuales encontramos la siguiente receta:
De este modo, la respuesta que estamos buscando es la siguiente:
La energía cinética, usando la definición dada arriba, y reemplazando la constante a por su valor en el sistema de unidades MKS-SI, viene siendo entonces:
El resultado obtenido es esencialmente la energía que corresponde al estado basal del átomo de hidrógeno, tal y como podríamos haberlo anticipado. Una extensión interesante (aunque laboriosa) de este problema es aquella en la cual obtenemos la incertidumbre Δp en el momentum, multiplicando dicha incertidumbre por la incertidumbre en la posición radial, y comprobando de este modo el principio de incertidumbre de Heisenberg.
Veamos otro ejemplo de conversión de una función de onda en el espacio-posición a la función de onda correspondiente en el espacio-momentum, una función de onda Ψ(x,0) definida de modo tal que su valor sea cero fuera del rango ±na:
Lo primero que se requiere es normalizar esta función de onda multiplicándola por una constante de normalización A que podemos determinar de la manera usual:
La conversión del espacio-posición del espacio-momentum, obteniendo Φ(p,0) a partir de Ψ(x,0), se lleva a cabo con la transformación de Fourier usual:
En este caso, se tiene:
Dentro del rango estrecho ±na en el cual la función de onda Ψ(x,0) no es igual a cero, la densidad de probabilidad es:
Esto significa que, para n y a constantes, la densidad de probabilidad se mantiene esencialmente igual dentro del rango ±na, lo cual implica que la partícula puede ser encontrada dentro de este rango Δx con iguales probabilidades sin que haya un pico pronunciado en donde la probabilidad de encontrar a la partícula sea máxima. La incertidumbre en la posición de la partícula es amplia:
En cambio, para la función de onda Φ(p,0) en el espacio-momentum, la densidad de probabilidad es:
En este caso, la densidad de probabilidad presenta un pico bien pronunciado:
La incertidumbre σp en la medición del momentum por lo tanto no es mucha, lo cual está de acuerdo con el principio de incertidumbre que nos indica que una mayor incertidumbre en la posición se corresponde con una menor incertidumbre en el momentum y viceversa.
Para fines de verificación del cumplimiento del principio de incertidumbre, podemos empezar equiparando a la anchura Δx con la incertidumbre σx:
En lo que toca a la densidad de probabilidad de la función de onda en el espacio-momentum, y suponiendo que podemos darle a n valores enteros positivos, los ceros correspondientes a cada lado del pico máximo están dados por:
La distancia entre cada par correspondiente de ceros en la densidad de probabilidad de la función de onda Φ(p) es por lo tanto:
Al igual que como lo hicimos en el caso del espacio-posición, podemos equiparar esta anchura Δp con la incertidumbre en el momentum σp:
El producto de las incertidumbres σxσp es por lo tanto:
lo cual cumple con el principio de incertidumbre en lo que toca a la desigualdad:
Una evaluación más rigurosa del cumplimiento del principio de incertidumbre requiere evaluar las esperanzas cuadráticas medias con el fin de efectuar los cálculos:
Sin embargo, no es posible ir más lejos en virtud de que:
El fracaso se debe a que para valores grandes de |p| el integrando se vuelve aproximadamente:
y la integral nos explota en nuestras manos. Aunque si bien es cierto que el valor esperado del momentum (no el valor medio cuadrático) es igual a cero, el resultado infinito obtenido trae como consecuencia que σp adquiera un valor infinitamente grande, de forma tal que el principio de incertidumbre no nos revela nada. Esto es una consecuencia directa de la discontinuidad matemática de la función de onda Ψ en el espacio-posición en los puntos extremos. Por lo general, si se quiere usar funciones matemáticas que permitan la evaluación rigurosa del principio de incertidumbre, no se deben aceptar funciones que manifiesten discontinuidades en Ψ como en este ejemplo.
