A primera vista, si aplicamos nuestras experiencias cotidianas al mundo sub-microscópico, parecería que también podemos efectuar mediciones de varios parámetros físicos sin limitación teórica alguna. Pero ya hemos visto que el mundo sub-microscópico opera con reglas muy diferentes a las reglas que estamos acostumbrados a ver en el mundo macroscópico que nos es más familiar. Esto no quiere decir que no haya parámetros físicos que no podamos medir con un grado ilimitado de precisión en el mundo sub-microscópico. También en el mundo sub-microscópico hay parámetros físicos que podemos cuantificar sin límite teórico alguno a la precisón que queramos obtener de las mediciones. También en el mundo sub-microscópico hay observables compatibles. Pero no todas las cantidades pueden ser medidas simultáneamente con un grado ilimitado de precisión. Hay ciertas cantidades que, si intentamos medirlas simultáneamente con un grado ilimitado de precisión, eventualmente nos toparemos con una barrera infranqueable. Las podemos medir, sí, pero no con un grado ilimitado de precisión. Existen límites teóricos insalvables que no dependen ya ni siquiera de lo sofisticado que sea nuestra instrumentación. Estas son las observables incompatibles. Y mucho de esta limitación teórica tiene que ver con el hecho de que, a nivel atómico y sub-atómico, las cantidades físicas que queremos medir no son cantidades aisladas sino que forman parte de los valores propios (eigen) de alguna matriz que representa dichas cantidades. Si no se requiriese del uso de matrices para el estudio matemático de los fenómenos físicos que ocurren en el mundo sub-microscópico, no habría observables incompatibles. Pero esto no es el caso, y nos tenemos que enfrentar con la realidad.
Pensando en matrices, tomaremos la definición del conmutador que nos relaciona dos matrices A y B de la siguiente manera:
[A,B] = AB - BA
Las matrices A y B pueden ser matrices tales que cada una de ellas posea un conjunto de valores propios eigen obtenible de cada una de ellas, los cuales representan cantidades físicas susceptibles de ser medidas. Supondremos que cada uno de estos valores eigen puede ser medido en el laboratorio con un grado ilimitado de precisión. Y si ambas representan un conjunto de valores propios, por ejemplo {a1, a2, a3} y {b1, b2, b3} entonces dichas matrices pueden ser diagonalizadas. En tal caso, ya diagonalizadas, no nos queda duda alguna de que las matrices A y B serán matrices conmutativas como podemos comprobarlo fácilmente con una matriz 3x3:
En este caso, al ser conmutativas las matrices A y B, o sea AB = BA, tenemos un conmutador cuyo valor es igual a cero, o mejor dicho, a la matriz cero (una matriz que consta únicamente de ceros en todas sus entradas):
[A,B] = 0
Es obvio que tanto la matriz A como la matriz B pueden tener valores definitivos conjuntamente, y los valores físicos que representan pueden ser medidos con un grado ilimitado de precisión. Esta es la definición de observables compatibles. Decimos que dos observables son compatibles cuando las matrices que las representan conmutan.
Si todo lo que midiésemos en el mundo sub-atómico estuviese representado por matrices conmutativas, entonces podríamos llevar a cabo mediciones simultáneas de todo con un grado ilimitado de precisión.
Sin embargo, hay casos en los cuales las matrices A y B no son conmutativas. Aquí es precisamente en donde entra la ecuación de Born:
En esta ecuación matricial, la matriz Q representa la posición de lo que estamos ubicando (por ejemplo, a lo largo de una coordenada como el eje de las abcisas o eje-x), mientras que la matriz P representa la cantidad de movimiento o el momentum de lo que estamos observando. La ecuación de Born nos dice claramente que las matrices Q y P no son conmutativas. Y así como esta ecuación de Born hay otras ecuaciones matriciales que representan otras variables físicas las cuales tienen la misma forma. La ecuación de Born, en esencia, es una ecuación de carácter universal.
Si las matrices Q y P no son conmutativas, entonces las cantidades físicas que ambas representan son cantidades que no pueden ser medidas al mismo tiempo con un grado ilimitado de precisión. Podemos medir la posición de una partícula atómica o sub-atómica con un grado ilimitado de precisión, no hay obstáculo teórico alguno en ello. Y podemos medir también la cantidad de movimiento de una partícula una partícula atómica o sub-atómica con un grado ilimitado de precisión, tampoco hay obstáculo teórico alguno en ello. Lo que no podemos hacer es medir ambas cantidades para la misma partícula con un grado ilimitado de precisión, porque es aquí en donde nos topamos con la ecuación matricial de Born. Se trata de observables incompatibles. Decimos que dos observables son incompatibles cuando las matrices que las representan no conmutan, o lo que es lo mismo:
[A,B] ≠ 0
¿Y qué es lo que nos fija la precisión con la cual podemos medir simultáneamente dos observables incompatibles? Pues lo que está del lado derecho de la ecuación de Born, que involucra esencialmente a la constante física ħ = h/2π, la cual tiene un valor muy pequeño, y es afortunado que tenga un valor muy pequeño porque de este modo la barrera teórica con la cual podemos llevar a cabo mediciones simultáneas sólo se manifiestas en fenómenos propios del mundo sub-microscópico. Si esta constante física fuese mucho mayor, capaz de alterar también lo que ocurre en nuestro mundo macroscópico, sin lugar a dudas estaríamos en serios problemas.
Para que dos matrices A y B representen observables compatibles, si no son matrices que están diagonalizadas debe ser posible diagonalizarlas simultáneamente. ¿Y qué significa el hecho de que dos matrices puedan ser diagonalizadas simultáneamente? Significa que ambas pueden ser diagonalizadas efectuando sobre las mismas operaciones semejantes. En caso de que no sea posible diagonalizar dos matrices simultáneamente, las matrices representarán observables incompatibles. En general y exceptuando los casos triviales, el producto de dos matrices no es conmutativo aunque una de ellas sea diagonal si la otra matriz no lo es.
PROBLEMA: Dadas dos matrices A y B de orden 3x3, demuéstrese que si una de las matrices es una matriz diagonal y la otra no lo es, entonces en general las matrices no son conmutativas.
Tómese la matriz A como la matriz diagonalizada y la matriz B como la matriz no diagonalizada. Entonces el producto de ambas matrices en el orden AB será:
La matriz resultante no puede ser factorizada en el producto de dos matrices tales que dicho producto sea igual a BA. Entonces el producto de dos matrices no es conmutativo aunque una de ellas sea diagonal si la otra no lo es.
Es importante tener en cuenta de que la relación de Born, tal y como está dada, se aplica a mediciones llevadas a cabo a lo largo de una coordenada. Sin embargo, en un espacio bi-dimensional o tri-dimensional como en el sistema de coordenadas Cartesianas, tenemos variables independientes la una de la otra que nos permiten ampliar nuestro universo de posibilidades, generando toda una gama de observables compatibles e incompatibles. Tómese por ejemplo el caso de una partícula que se está moviendo en el sistema de coordenadas Cartesianas. La ubicación de la partícula a lo largo de una coordenada es independiente de la ubicación de la misma partícula a lo largo de otra coordenada. Esto significa que, en principio, podemos medir la posición de una partícula en un plano x-y con un grado ilimitado de precisión en ambas coordenadas, no hay obstáculo teórico alguno en ello, ocurriendo lo mismo en el caso del plano x-z y en el caso del plano y-z, lo cual podemos enunciar formalmente con las siguientes relaciones matriciales con la ayuda del conmutador:
[Qx, Qy] = 0
[Qx, Qz] = 0
[Qy, Qz] = 0
[Qx, Qz] = 0
[Qy, Qz] = 0
Esto mismo lo podemos escribir de modo más compacto y elegante mediante la notación usada para coordenadas generalizadas en la que (x, y, z) = (x1, x2, x3) con lo cual tenemos:
[Qi, Qj] = 0
Lo mismo ocurre con el momentum de la partícula al ser considerado en sus componentes Cartesianas, ya que el movimiento que ocurre a lo largo del eje-x es totalmente independiente del movimiento que ocurre a lo largo del eje-y así como a lo largo del eje-z:
[Pi, Pj] = 0
El problema de incompatibilidad surge cuando intentamos llevar a cabo mediciones simultáneas especificadas a lo largo de una misma coordenada. Es aquí cuando la ecuación de Born empieza a adquirir mayor claridad al permitirnos enunciar las siguientes relaciones:
[Qx, Px] = iħI
[Qy, Py] = iħI
[Qz, Pz] = iħI
[Qy, Py] = iħI
[Qz, Pz] = iħI
El principio de incertidumbre, descubierto por vez primera por Werner Heisenberg, nos enuncia precisamente la situación que acabamos de describir, aunque Heisenberg fue un poco más lejos, ya que derivó una fórmula que nos fija claramente el tope de precisión que podemos esperar obtener en cualquier medición experimental de valores conjuntos cuando se trate de observables incompatibles.
Sin embargo, podemos medir simultáneamente con una precisión ilimitada (teóricamente) si llevamos a cabo la medición de cada parámetro físico en diferentes coordenadas, lo cual podemos enunciar con mayor formalidad de la siguiente manera:
[Qx, Py] = 0
[Qx, Pz] = 0
[Qy, Px] = 0
[Qy, Pz] = 0
[Qz, Px] = 0
[Qz, Py] = 0
[Qx, Pz] = 0
[Qy, Px] = 0
[Qy, Pz] = 0
[Qz, Px] = 0
[Qz, Py] = 0
Con la ayuda del delta Kronecker, definido como:
δij = 1___para i = j
δij = 0___para i ≠ j
δij = 0___para i ≠ j
podemos representar las nueve relaciones dadas arriba de una sola manera más compacta con la ayuda de coordenadas generalizadas:
[Qi, Pj] = δijiħI
Tenemos ya algo de simbología matemática para expresar lo que podemos medir simultáneamente con un grado ilimitado de precisión; pero todavía no tenemos un panorama claro de cómo podríamos llegar a tan dura barrera a nuestra capacidad para poder obtener información experimental en el laboratorio. Podemos tener una idea de cómo puede surgir esta lamentable situación si nos ponemos a planear en una forma en la cual podamos medir simultáneamente la posición y el momentum de una partícula a lo largo de una coordenada. Una forma de hacerlo sería lanzando una partícula hacia una pantalla fosforescente. Al impactar la partícula sobre la pantalla tendríamos totalmente definida la posición del impacto, y por la intensidad de la mancha producida podríamos tratar de calcular el momentum de la partícula. Sin embargo, aquí tenemos un problema: al hacer que la partícula impacte sobre una pantalla fosforescente, la trayectoria de la partícula queda alterada al impactar contra la pantalla. La intensidad del brillo de la mancha luminosa en la pantalla nos puede decir con toda precisión el momentum que tenía la partícula antes de impactarse contra la pantalla, pero no nos dice absolutamente nada sobre el momentum que tiene después de haberse producido el impacto. Indudablemente, hemos ganado información sobre la posición de la partícula, pero hemos perdido información sobre su momentum a causa de la medición que llevamos a cabo, porque al llevar a cabo el experimento hemos alterado el estado de la partícula. Y en lo que respecta a la trayectoria de la partícula antes de impactar en la pantalla así como su momentum, no tenemos ni siquiera la más remota idea de los valores simultáneos que pueda tener, a menos de que acerquemos más la pantalla, en cuyo caso sólo logramos trasladar la incertidumbre de las mediciones hacia otro lugar, más no eliminarla. Con el solo hecho de llevar a cabo una medición de un parámetro físico a escala atómica o sub-atómica alteramos las condiciones de la medición a grado tal que no podemos estar seguros de qué era lo que la partícula traía consigo y qué fue lo que nosotros alteramos. Todo lo que tenemos es un combinado final de cosas inciertas. El acto de observación altera el estado de lo observado en forma tal que no podemos saber realmente cuál era el estado de lo observado con una precisión ilimitada después de que se ha llevado a cabo el acto de medición.
Podemos tratar de variar el experimento enviando un fotón luminoso de alta energía hacia una partícula que suponemos está en reposo absoluto para saber en dónde está la partícula. La energía del fotón que le estamos lanzando a la partícula es conocida, la sabemos por la relación E = hf. Y al rebotar el fotón luminoso, por la dirección del rebote podemos ubicar la posición de la partícula. El problema ahora es que al lanzarle un fotón a la partícula la hemos sacado de su estado de reposo, y ahora no podemos saber si realmente estaba en reposo, o si estaba en movimiento propio, o si fuímos nosotros los que la pusimos en movimiento. Hemos ganado información sobre su posición, pero hemos perdido información sobre su momentum. Podemos tratar de mejorar las condiciones del experimento recurriendo a un microscopio extremadamente potente, el cual por su potencia sería el microscopio idealizado de Heisenberg. Pero esto no nos va a mejorar las cosas, lo único que hará será revelarnos de modo mucho mayor la forma en la cual estamos afectando lo que estamos midiendo al grado de perder información esencial sobre lo que estamos midiendo.
A estas alturas, lo único que se nos podría ocurrir sería tratar de concebir otro experimento con el cual podamos ubicar la posición y el estado de movimiento de una partícula atómica o sub-atómica sin alterar ni la posición o su estado de movimiento, sin tocarla en lo absoluto. Pero esto se antoja difícil, por no decir imposible, porque para todo lo que medimos necesariamente tenemos que interactuar de alguna manera con lo que estamos midiendo, y toda medición se lleva a cabo mediante algún intercambio de energía, así sea mínimo. Esto es análogo a la situación en la cual tenemos a un estudiante que sabemos que es un estudiante brillante, el más brillante de su clase, por la clase de preguntas inteligentes que hace en el salón de clases, y por las observaciones astutas que hace corrigiendo en varias ocasiones al maestro, pero el cual a la hora de aplicarle un examen se pone tan nervioso que no se acuerda de nada ni puede coordinar sus ideas tan bien como las coordina cuando no está bajo presión, con el resultante de que ese estudiante termina sacando una calificación demasiado baja que nosotros sabemos que no lo representa en modo alguno. El sólo hecho de haber medido al estudiante ha alterado las condiciones de modo tal que los resultados obtenidos no reflejan lo que realmente está ocurriendo. Tenemos que ir confrontando la dura realidad de que, para ciertas cosas, vivimos en un Universo plagado de incertidumbre, sobre todo a escala sub-microscópica en donde operan otras reglas.
PROBLEMA: Dadas las siguientes dos matrices que representan cantidades físicas:
determínese si estas matrices representan observables compatibles, que puedan ser medidas simultáneamente. Si los valores propios eigen de la cantidad física representada por la matriz A son 1, 2 y 4, ¿cuáles serán los valores propios de la matriz B?
Lo primero que se puede ver en ambas matrices es que son Hermitianas; ya que si tomamos el conjugado complejo de los elementos en cada una de ellas de la transpuesta de la matriz original obtenemos la misma matriz. Y siendo Hermitianas, tenemos garantizado que los valores propios eigen de las matrices serán valores reales.
Llevando a cabo la multiplicación de ambas matrices tanto en el orden AB como en el orden BA obtenemos el mismo resultado:
Puesto que AB = BA, se concluye que las matrices representan observables compatibles, cantidades que pueden ser medidas simultáneamente.
Inspeccionando ambas matrices, podemos ver que podemos obtener mediante una combinación de ambas una matriz diagonal sin componentes imaginarios:
o en notación matricial más compacta:
2A + B = 9I
De esta igualdad matricial podemos obtener la expresión algebraica que nos relaciona los autovalores de cada matriz:
2a + b = 9
b = 9 - 2a
b = 9 - 2a
Si los valores propios de la matriz A son a = 1, 2 y 4, entonces los valores propios de la matriz B que pueden ser medidos simultáneamente con los valores propios de la matriz A son:
b = 9 - 2(1) = 9 - 2 = 7
b = 9 - 2(2) = 9 - 4 = 5
b = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1
b = 9 - 2(2) = 9 - 4 = 5
b = 9 - 2(4) = 9 - 8 = 1
Estos valores propios eigen que hemos obtenido aquí para la matriz B ya los habíamos obtenido previamente de una manera más formal junto con los valores propios de la matriz A a partir de la ecuación característica para cada una de dichas matrices, en la entrada “Vectores y matrices II”.
PROBLEMA: Dadas las siguientes dos matrices que representan cantidades físicas:
determínese si estas matrices representan observables compatibles, que puedan ser medidas simultáneamente. Si los valores propios eigen de la cantidad física representada por la matriz A son -4, -3, 3 y 4, ¿cuáles serán los valores propios de la matriz B?
Llevando a cabo la multiplicación de ambas matrices tanto en el orden AB como en el orden BA obtenemos el mismo resultado:
Tenemos entonces AB = BA. Puesto que las matrices conmutan, representan observables compatibles, cantidades que pueden ser medidas simultáneamente. Por lo tanto, la matriz AB representa una cantidad real para cada par combinado de valores de la matriz A y de la matriz B.
Puesto que la matriz identidad representa el valor 1, podemos escribir la siguiente expresión algebraica que nos relaciona los autovalores de cada matriz:
ab = 24
Entonces los valores posibles de la cantidad representada por la matriz B serán:
a1b1 = 24__⇒__(- 4) b1 = 24__⇒__b1 = - 6
a2b2 = 24__⇒__(- 3) b2 = 24__⇒__b2 = - 8
a3b3 = 24__⇒__(3) b3 = 24__⇒__b3 = 8
a4b4 = 24__⇒__(4) b4 = 24__⇒__b4 = 6
a2b2 = 24__⇒__(- 3) b2 = 24__⇒__b2 = - 8
a3b3 = 24__⇒__(3) b3 = 24__⇒__b3 = 8
a4b4 = 24__⇒__(4) b4 = 24__⇒__b4 = 6
PROBLEMA: Demostrar que dos matrices Hermitianas A = A† y B = B† pueden ser diagonalizadas simultáneamente por una matriz unitaria (ortonormal) U (para la cual U†U = I) sólo sí AB = BA.
Si la matriz A puede ser diagonalizada, llámese Λ a dicha matriz una vez que ha sido diagonalizada. Del mismo modo, si la matriz B puede ser diagonalizada, llámese D a dicha matriz una vez que ha sido diagonalizada. Suponiendo que ambas matrices A y B puedan ser diagonalizadas simultáneamente por la misma matriz unitaria U, entonces lo siguiente debe ser cierto de acuerdo a la transformación de semejanza que se acostumbra utilizar en el álgebra linear para la diagonalización de matrices:
Λ = U†AU___D = U†BU
De estas relaciones obtenemos lo siguiente:
UΛ = UU†AU___UD = UU†BU
UΛ = (UU†)AU___UD = (UU†)BU
UΛ = IAU___UD = IBU
UΛ = AU___UD = BU
UΛU† = AUU†___UDU† = BUU†
UΛU† = A(UU†)___UDU† = B(UU†)
UΛU† = A___UDU† = B
UΛ = (UU†)AU___UD = (UU†)BU
UΛ = IAU___UD = IBU
UΛ = AU___UD = BU
UΛU† = AUU†___UDU† = BUU†
UΛU† = A(UU†)___UDU† = B(UU†)
UΛU† = A___UDU† = B
Si A = UΛU† y B = UDU†, entonces:
AB = (UΛU†)(UDU†)
AB = UΛ(U†U)DU†
AB = UΛDU†
AB = UΛ(U†U)DU†
AB = UΛDU†
Puesto que las matrices Λ y D son diagonales, ciertamente son conmutativas, con lo cual ΛD = DΛ:
AB = UDΛU†
AB = UD(U†U)ΛU†
AB = (UDU†)(UΛU†)
AB = (B)(A)
AB = BA
AB = UD(U†U)ΛU†
AB = (UDU†)(UΛU†)
AB = (B)(A)
AB = BA
Se concluye que dos matrices A y B pueden ser diagonalizadas simultáneamente por una matriz unitaria (ortonormal) U sólo si son conmutativas, o sea AB = BA.
Las tres relaciones canónicas de conmutación, llamadas también como relaciones fundamentales de conmutación:
[Qi, Qj] = 0
[Pi, Pj] = 0
[Qi, Pj] = δijiħI
[Pi, Pj] = 0
[Qi, Pj] = δijiħI
constituyen la piedra angular de la Mecánica Cuántica, y fueron llamadas por el eminente físico-matemático Paul Adrien Maurice Dirac las “condiciones cuánticas fundamentales”. Históricamente fué Werner Heisenberg quien en 1925 demostró que la regla de combinación para las líneas de transición atómica conocidas en su época podían ser mejor entendidas si con las frecuencias de las líneas de transición se asociaban arreglos ordenados de números obedeciendo ciertas reglas de multiplicación, tras lo cual al poco tiempo Max Born y Pascual Jordan indicaron que las reglas de multiplicación de Heisenberg eran esencialmente las mismas que las del álgebra matricial, dándose de éste modo origen a la Mecánica Matricial.
