La segunda ley de Newton, F = ma, siendo a la aceleración, nos permite meter al tiempo en el asunto de la siguiente manera:
La solución de esta ecuación diferencial de segundo orden es relativamente sencilla:
siendo ω = √k/m la frecuencia angular del movimiento oscilatorio del sistema. Este resultado nos proporciona la posición del objeto de acuerdo al tiempo transcurrido. Nos dá la evolución temporal del sistema.
El problema que enfrentamos en la Mecánica Matricial si queremos obtener algo similar, algo que nos proporcione la evolución de un sistema físico con respecto al tiempo, es que no manejamos variables clásicas, sino matrices. En particular, ¿cómo habremos de manejar algo como lo siguiente?:
Para poder hacer frente a esto, para poder obtener información mediante la Mecánica Matricial acerca de la evolución temporal de un sistema físico sub-microscópico, debemos tener presente que una matriz representativa de algún parámetro físico encierra dentro de sí misma los valores permisibles que puede tener dicho parámetro a través de los valores propios de la matriz. Toda la información acerca de un sistema físico está contenida en las matrices del sistema, o más propiamente, en los valores característicos eigen de las matrices del sistema.
En lo que hemos estado manejando hasta este punto, no hay nada obvio que nos permita considerar la variable del tiempo en un sistema. El tiempo no aparece en forma explícita en la ecuación de Born. Tampoco aparece en forma explícita en las relaciones de conmutación para el momento angular.
Hay, sin embargo, una manera en la cual podemos meter a la variable del tiempo dentro del panorama. Tómese un operador de rotación que corresponda a un momento angular del spin, digamos Sz:
Para un sistema físico en el cual el ángulo φ no es una constante por estar en rotación continua a una velocidad angular ω, podemos tomar la definición clásica de la velocidad angular instantánea:
Si la velocidad angular permanece constante, podemos prescindir de los diferenciales en la definición utilizando simplemente:
Despejando para φ, tenemos al ángulo de rotación en función del tiempo:
Esto nos permite escribir al operador de rotación como un operador matricial variable, en función del tiempo:
De este modo, podemos aplicar este operador de rotación a una matriz A que representa un parámetro físico para obtener una matriz rotada A(t) cierto tiempo después:
siendo A(0) la matriz evaluada para un tiempo t = 0 (o mejor dicho, cuyos componentes son evaluados para un tiempo t = 0). Aplicaremos esta operación de rotación a la matriz Sx que representa los valores que puede tomar el spin sobre el eje-x:
Esta última operación la podemos llevar a cabo de dos maneras: (1) expandiendo las funciones matriciales exponenciales en series de Taylor y llevando a cabo varias multiplicaciones para obtener una cantidad suficiente de términos que nos permitan deducir el resultado general, y (2) recurriendo a la relación de Baker-Hausdorff que ya vimos previamente:
Revirtiendo a la variable φ para abreviar el desarrollo y llevando a cabo la evaluación, tenemos entonces:
Para simplificar esto, recurrimos a las relaciones de conmutación Born para el spin:
[Sz, Sx] = iħSy
[Sz, [Sz, Sx]] = [Sz, iħSy] = ħ²Sx
[Sz , [Sz, [Sz, Sx]]] = [Sz, ħ²Sx] = iħ3Sy
[Sz, [Sz, Sx]] = [Sz, iħSy] = ħ²Sx
[Sz , [Sz, [Sz, Sx]]] = [Sz, ħ²Sx] = iħ3Sy
Tenemos entonces:
No es necesario desarrollar muchos términos para darse cuenta de que el factor entre paréntesis que corresponde a Sx es el desarrollo en series de Taylor para cos(φ), del mismo modo que el factor entre paréntesis que corresponde a Sy es el desarrollo en series de Taylor para sen(φ). Por lo tanto:
Aquí podemos apreciar el verdadero efecto de un operador de rotación produciendo una rotación. Para una rotación nula, para la cual se tiene un ángulo φ = 0, la cantidad matricial:
Sxcos(φ) - Sysen(φ)
se reduce simplemente a Sx, permaneciendo la matriz Sx intacta. Sin embargo, para cualquier otro ángulo φ diferente de cero, la matriz rotada tendrá componentes formados a partir de componentes de la matriz Sx y a partir de la matriz Sy. Y para un ángulo φ = π/2, la cantidad matricial pasa a ser una matriz Sy pura. Este es el efecto de una rotación alrededor el eje-z producido sobre la matriz que representa al momento angular de spin Sx por el operador de rotación utilizado para giros alrededor del eje-z.
Volviendo a meter el tiempo dentro del panorama, tenemos entonces lo siguiente:
Habiendo metido al factor tiempo dentro del asunto, dejamos de tener una imagen estática y tenemos de pronto una imagen muy dinámica en la cual, para este caso en particular, el spin del electrón no se puede considerar como algo fijo sino de hecho como algo que está en movimiento, específicamente, en un movimiento de rotación que se lleva a cabo en el plano x-y, alrededor del eje-z sobre el cual se especificó al operador de rotación. Dejaremos pendiente por lo pronto el asunto de la velocidad angular de rotación ω, la cual si la suponemos diferente de cero nos ofrece una posibilidad sumamente interesante, ya que si para cierto sistema atómico o molecular dicha velocidad de precesión alrededor del eje con respecto al cual se lleva a cabo la rotación es tal que podamos producirla mediante campos electromagnéticos que puedan ser aplicados al sistema atómico o molecular, entonces podemos anticipar efectos de resonancia (como lo que ocurre cuando sintonizamos cierto canal de radio al irnos acercando a la frecuencia de alguna estación transmisora) en el laboratorio que inclusive tal vez nos permitan identificar al elemento o al compuesto al cual se le está aplicando el campo electromagnético. De hecho, esto es un hecho experimental confirmado, y es lo que conduce al fenómeno estudiado como la resonancia del spin electrónico (ESR, electron spin resonance, de las siglas en inglés).
Si podemos especificar una evolución temporal para una matriz que representa un parámetro físico que como en este caso lo ha sido el spin del electrón, debemos estar en condiciones de poder hacer lo mismo para otras matrices que representan otros parámetros físicos. Podemos anticipar que el operador de evolución temporal que buscamos será también un operador matricial exponencial del tipo eiM/ħ, en forma similar a los operadores usados para llevar a cabo una traslación de un sistema además de la rotación del sistema, y lo que verdaderamente estamos buscando a fin de cuentas es la especificación del generador del operador de evolución temporal, la matriz M.
Consideremos cómo la descripción de un sistema físico cambia de un tiempo a otro. Esto es algo semejante al cambio producido sobre el sistema cuando es trasladado de un lugar a otro o cuando es girado de una orientación hacia otra. Así como hay matrices Kx, Ky y Kz para trasladar al sistema sobre cualquiera de los tres ejes coordenados, y así como hay matrices Jx, Jy y Jz para llevar al sistema hacia cierta orientación, así debe de haber una matriz Ω que pueda ser utilizada para generar cambios en el tiempo. Si permitimos que el tiempo, medido en un sistema apropiado de unidades, cambie en una cantidad infinitesimal t, entonces una matriz A que represente una cantidad física será cambiada a la matriz correspondiente:
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) A (I + itΩ - [t²/2]Ω²)
que representa a la misma cantidad A un tiempo t después. Podemos considerar también a esto como un cambio en la coordenada del tiempo, proporcionando descripciones del mismo sistema de dos observadores diferentes que tienen sus relojes ajustados a tiempos diferentes. Ajustar el reloj a cierta hora es tanto como escoger un punto de referencia para las coordenadas espaciales. Podemos combinar cambios en el tiempo con traslaciones y rotaciones espaciales considerándolos a todos ellos como cambios en las coordenadas espaciales y temporal. El producto de un cambio en el tiempo y de una rotación o traslación espacial es el cambio en las coordenadas espaciales y temporal efectuando primero un cambio y después el otro. Los cambios en el tiempo conmutan con las rotaciones y las traslaciones espaciales porque los cambios en el tiempo cambian únicamente a la coordenada del tiempo mientras que las rotaciones y las traslaciones cambian únicamente a las coordenadas espaciales. Esta es la razón del por qué la matriz Ω conmuta con las matrices Kx, Ky y Kz y con las matrices Jx, Jy y Jz.
Si la matriz A conmuta con la matriz Ω, entonces la matriz A representa una cantidad que no cambia con el tiempo ya que (despreciando términos en t3 y t4):
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) A (I + itΩ - [t²/2]Ω²) =
A (I + itΩ - [t²/2]Ω²) (I + itΩ - [t²/2]Ω²) =
A
A (I + itΩ - [t²/2]Ω²) (I + itΩ - [t²/2]Ω²) =
A
Puesto que las matrices Kx, Ky y Kz y las matrices Jx, Jy y Jz conmutan con la matriz Ω, representan cantidades que son constantes en el tiempo, lo cual refleja nuestras experiencias previas en la mecánica clásica Newtoniana, ya que las matrices Kx, Ky y Kz son obtenidas de las matrices correspondientes a los momentums lineales:
Kx = Px/ħ___Ky = Py/ħ___Kz = Pz/ħ
siendo el principio de la conservación de la cantidad de movimiento (momentum) uno de los más venerados inclusive dentro de la Teoría de la Relatividad, mientras que el principio de la conservación de la cantidad de momento angular es otro de los pilares básicos de la física. Visto desde la otra cara de la moneda, puesto que la matriz Ω conmuta con las matrices Kx, Ky y Kz y con las matrices Jx, Jy y Jz, la matriz Ω representa una cantidad invariante que no es cambiada ni por traslaciones ni por rotaciones espaciales. Pero más importante, puesto que la matriz Ω ciertamente es una matriz que conmuta consigo misma, representa también una cantidad que no cambia con el tiempo. Esto nos trae a la mente el principio de la conservación de la energía. La energía de un sistema físico es la misma sin cambio alguno independientemente de los cambios en las coordenadas espaciales y temporal que se utilicen para estudiar el sistema físico. Y esto nos permite asociar a la matriz Ω con la matriz que representa a la energía dentro de la Mecánica Matricial, la matriz H, cuya simbolización proviene de su contraparte en la mecánica clásica, el Hamiltoniano. Apoyándonos en las semejanzas que hemos logrado hasta este punto, postularemos la siguiente definición:
Ω = H/ħ
Considérese un sistema físico que consiste en una partícula aislada que se mueve a velocidad constante. Sea m la masa de la partícula y sea su momentum P a lo largo de los tres ejes coordenados representado mediante las matrices Px, Py y Pz. Entonces las componentes de la velocidad de la partícula a lo largo de cada uno de los tres ejes coordenados estarán dadas por las siguientes matrices:
Vx = Px/m___Vy = Py/m___Vz = Pz/m
Suponiendo que la velocidad de la partícula se mantiene constante, su momentum también se mantendrá constante, no cambiará con el tiempo, y por lo tanto:
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Px (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Px
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Py (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Py
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Pz (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Pz
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Py (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Py
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Pz (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Pz
Dejemos que las coordenadas de la posición en cierto momento estén representadas por las matrices Qx, Qy y Qz. La distancia que una partícula se mueve en un cierto tiempo es igual a la velocidad de la partícula multiplicada por el tiempo. En un intervalo infinitesimal de tiempo t, una coordenada de la posición cambia en un factor t veces la proyección de la velocidad sobre la coordenada a lo largo de la cual está siendo medida la posición. De este modo, la matriz posición Qx cambiará a:
Qx + tVx = Qx + tPx/m
Esto significa que, tomando las tres coordenadas para la posición en consideración:
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qx (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Qx + tPx/m
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qy (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Qy + tPy/m
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qz (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Qz + tPz/m
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qy (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Qy + tPy/m
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qz (I + itΩ - [t²/2]Ω²) = Qz + tPz/m
Estas tres ecuaciones son satisfechas si Ω = H/ħ, recordándose aquí que la matriz H que representa a la energía es una matriz diagonal que por esto mismo es capaz de conmutar con cualquier matriz que le pongan encima, siendo:
H = P²/2m = (Px² + Py² + Pz²)/2m
H = m(Px² + Py² + Pz²)/2
H = m(Px² + Py² + Pz²)/2
Podemos comprobar que lo que hemos obtenido proporciona el cambio correcto en el tiempo t para la matriz posición Qx usando las relaciones de conmutación de Born para evaluar:
[Qx, H]
Esto lo haremos tomando lo siguiente:
QxP² - P²Qx
dándonos:
Qx(Px² + Py² + Pz²) - (Px² + Py² + Pz²)Qx
QxPx² + QxPy² + QxPz² - Px²Qx - Py²Qx - Pz²Qx
QxPx² + QxPy² + QxPz² - Px²Qx - Py²Qx - Pz²Qx
La matriz Qx conmuta con la matriz Py del mismo modo que la matriz Qx conmuta con la matriz Pz, con lo cual podemos reescribir lo anterior como:
QxPx² + Py²Qx + Pz²Qx - Px²Qx - Py²Qx - Pz²Qx
Los términos en rojo se cancelan en pares, de modo tal que nos queda lo siguiente:
QxPx² - Px²Qx
QxPxPx - PxPxQx
QxPxPx - PxPxQx
Esto nos lleva a:
PxQxPx + (iħI)(Px) - PxQxPx - (Px)(-iħI)
que se reduce finalmente a:
2iħPx
Entonces, regresando a lo anterior:
[Qx, H] = [Qx, (Px² + Py² + Pz²)/2m]
[Qx, H] = [Qx, Px² + Py² + Pz²]/2m
[Qx, H] = {Qx(Px² + Py² + Pz²) - (Px² + Py² + Pz²)Qx}/2m
[Qx, H] = {2iħPx}/2m
[Qx, H] = (iħ/m)Px
[Qx, H] = [Qx, Px² + Py² + Pz²]/2m
[Qx, H] = {Qx(Px² + Py² + Pz²) - (Px² + Py² + Pz²)Qx}/2m
[Qx, H] = {2iħPx}/2m
[Qx, H] = (iħ/m)Px
Metiendo la proposición Ω = H/ħ:
[Qx, ħΩ] = (iħ/m)Px
ħ[Qx, Ω] = (iħ/m)Px
[Qx, Ω] = (i/m)Px
ħ[Qx, Ω] = (iħ/m)Px
[Qx, Ω] = (i/m)Px
De este modo, reteniendo únicamente los términos en t y t²:
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qx (I - itΩ - [t²/2]Ω²) =
Qx - it(QxΩ - ΩQx) - (t²/2){(QxΩ - ΩQx)Ω - Ω(QxΩ - ΩQx)}
Qx - it(QxΩ - ΩQx) - (t²/2){(QxΩ - ΩQx)Ω - Ω(QxΩ - ΩQx)}
que con la ayuda del conmutador podemos simplificar a:
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qx (I - itΩ - [t²/2]Ω²) =
Qx - it[Qx, Ω] - (t²/2){[Qx, Ω]Ω - Ω[Qx, Ω]}
Qx - it[Qx, Ω] - (t²/2){[Qx, Ω]Ω - Ω[Qx, Ω]}
y empleando el resultado recién obtenido, tenemos:
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qx (I - itΩ - [t²/2]Ω²) =
Qx - it{(i/m)Px} - (t²/2){(i/m)PxΩ - Ω(i/m)Px}
Qx - it{(i/m)Px} - (t²/2){(i/m)PxΩ - Ω(i/m)Px}
Puesto que, como vimos arriba, la matriz del momentum Px conmuta con la matriz Ω, el término en t² se nulifica, lo cual nos permite obtener finalmente:
(I + itΩ - [t²/2]Ω²) Qx (I - itΩ - [t²/2]Ω²) =
Qx + tPx/m
Qx + tPx/m
Hemos logrado, pues, obtener un desplazamiento en el tiempo, habiendo logrado definir al generador Ω de nuestro operador de desplazamiento temporal derivado del Hamiltoniano del sistema.
En concordancia con lo que hemos visto con anterioridad, el operador matricial exponencial para la evolución temporal de un sistema será:
De este modo, si A es la matriz que representa una cantidad física para un sistema cuyo operador matricial Hamiltoniano es H, entonces la matriz evaluada un cierto tiempo después se obtendrá mediante las operaciones:
siendo A(0) la matriz evaluada en un tiempo t = 0, y siendo A(t) la matriz evaluada un cierto tiempo después.
Vale la pena hacer un resumen de los operadores matriciales exponenciales más importantes con los que contamos para poder llevar a cabo operaciones esenciales dentro de la Mecánica Matricial de Heisenberg:
En todo este tiempo, al hablar de un operador matricial como el generador de un operador, hemos estado tomando prestado un término ampliamente utilizado en la teoría de grupos, el término con el cual se designa a un elemento como el generador de los demás elementos del grupo; porque en el fondo y como lo descubrieron Eugene Wigner, John von Neumann y Julian Schwinger, mucho de lo que hemos estado desarrollando está íntimamente ligado precisamente con la teoría de los grupos matemáticos. El mismo año 1927 en el que Pauli publicó un trabajo describiendo las matrices del spin, Wigner y von Neumann demostraron que las relaciones de conmutación para el momento angular corresponden a las propiedades características de las matrices que representan al grupo de rotaciones, dándoles un significado fundamental independiente de la posición y el momentum. Wigner, que había sido entrenado como ingeniero químico y estaba familiarizado con las simetrías de las estructuras cristalinas, frecuentemente procuraba y obtenía la ayuda de von Neumann que había sido compañero suyo desde los tiempos pre-universitarios de ambos en Hungría, y fue von Neumann el que le proporcionó a Wigner los conocimientos de los trabajos que ya habían sido hechos con anterioridad para la representación de los grupos matemáticos mediante matrices.
