En los problemas que involucran cualquier tipo de simetría esférica, sobre todo los problemas propios de la Mecánica Cuántica en donde la cuantización del momento angular es una consecuencia directa del empleo de un sistema de coordenadas esféricas para resolver las ecuaciones diferenciales que describen la parte angular ψ(θ,φ) de una función de onda Ψ, invariablemente se requiere del uso de los polinomios de Legendre que sirven a su vez para definir a las armónicas esféricas Ylm. Hablar acerca de las armónicas esféricas es tanto como hablar de los polinomios de Legendre Hemos visto en las entradas previas todo lo que tiene que ver con las consecuencias físicas del aparato matemático empleado para describir esta fenomenología, haciendo a un lado varios detalles finos que resulta conveniente tener en mente para darle mayor rigor y formalismo a lo que estamos desarrollando. En esta entrada ampliaremos lo que hemos visto en las entradas previas en lo concerniente a los polinomios de Legendre, con el propósito de irle dando mayor familiaridad al lector acerca de los polinomios de Legendre.
Dentro del intervalo -1.≤.x.≤.+1, los primeros siete polinomios de Legendre están dados por las siguientes expresiones:
Las gráficas (por separado) de los primeros nueve polinomios de Legendre tienen el siguiente aspecto:
Las gráficas de los primeros seis polinomios de Legendre, superimpuestas una sobre la otra, se muestran a continuación:
Los polinomios de Legendre son las soluciones a la siguiente ecuación diferencial que surge inevitablemente cuando se resuelve la parte angular de una función de onda al emplear la ecuación de Schrödinger:
Esta misma ecuación puede aparecer en numerosos textos y tratados escrita de la siguiente manera:
La mayor utilidad de los polinomios de Legendre en los estudios de Mecánica Cuántica se obtiene cuando se substituye la variable independiente de los polinomios de Legendre por una función cosenoidal:
x → cos(θ)
obteniéndose de este modo los siguientes polinomios de Legendre redefinidos para manejar la cuestión de funciones angulares:
La razón para llevar a cabo esta substitución es que el intervalo -1.≤.x.≤.+1 válido para la variable independiente del polinomio de Legendre resulta algo restrictivo para aplicaciones prácticas. Sin embargo, esta limitación aparente es solventada haciendo la substitución indicada, con la cual el rango de valores que se le pueden dar a la variable independiente (que es ahora θ) se vuelve infinito. En efecto, gracias al hecho de que el coseno de un ángulo solo puede tomar valores comprendidos entre -1 y +1:
-1.≤.cos(θ).≤.+1
la utilidad de los polinomios de Legendre resulta extendida enormemente, al poder variar a θ desde -180° hasta +180° o bien desde 0° hasta +360° (precisamente el rango que necesitamos para el análisis de muchos fenómenos propios de la Mecánica Cuántica). Al substituir a la variable independiente de los polinomios de Legendre por cos(θ) estamos convirtiendo a cada polinomio de Legendre en una función de una función (hay una rama en las matemáticas que se encarga del estudio formal de este tipo de cosas, conocida como el Análisis Funcional). Al hacer la substitución:
Pl.(x) → Pl.(cos(θ))
resulta conveniente aquí (y un poco más estético) escribir de la siguiente manera a la función de Legendre ya modificada:
Pl.[cos(θ)]
en donde lo que está dentro los paréntesis cuadrados es el argumento del polinomio de Legendre, y lo que está dentro de los paréntesis ordinarios es el argumento del argumento del polinomio de Legendre. Estaremos recurriendo dentro de esta obra a este tipo de simbolización.
El cambio de argumento en los polinomios de Legendre implica que, además del comportamiento pseudo-oscilatorio que los polinomios de Legendre manifiestan ya de por sí dentro del intervalo -1.≤.x≤.+1, se suma el comportamiento oscilatorio real de la función coseno, En la Mecánica Cuántica en donde aparecen los números cuánticos l y m asociados al momento angular de una partícula, lo que se viene utilizando con mayor frecuencia son las funciones asociadas de Legendre del primer género, conocidas también como polinomios asociados de Legendre de orden m, simbolizados indistintamente ya sea como Pl.m o como Plm, en donde el super-índice indica el orden del polinomio y de ninguna manera representa una exponenciación, algunos de los cuales son los siguientes:
empleándose también aquí la misma substitución del argumento por el de una función cosenoidal en función del ángulo θ, siendo esta subsitución la que nos produce gráficas ricas e interesantes en función de θ, precisamente las mismas gráficas para las armónicas esféricas Ylm que ya hemos visto previamente en una entrada anterior pero llevadas a cabo empleando coordenadas polares (r,θ). Para fines comparativos, a continuación se mostrarán las gráficas lineares (en las coordenadas Cartesianas usuales) de los polinomios de Legendre:
así como las gráficas polares de los mismos polinomios (en este caso, las gráficas en color rojo corresponden al polinomio de Legendre escrito arriba en color rojo, mientras que las gráficas en color azul corresponden al polinomo de Legendre escrito arriba en color azul; obsérvese con precaución que en las gráficas Cartesianas lineares el ángulo θ está especificado en radianes, mientras que en las gráficas polares el ángulo θ está especificado en grados):
Los polinomios asociados de Legendre Pl.m son las soluciones a una ecuación diferencial un poco más elaborada que la ecuación diferencial de Legendre dada arriba, la cual es:
Resulta evidente que esta es una ecuación diferencial más general que la ecuación diferencial dada previamente y la cual a su vez es un caso especial para m.=.0, como resulta igualmente obvio que los polinomios de Legendre tales como P0, P1, P2 y P3.en realidad también son polinomios asociados de Legendre cuya simbolización correcta debería ser P00, P10, P20 y P30. El super-índice 0 casi nunca se les anexa argumentando que tal cosa “se sobreentiende”, aunque desafortunadamente son muy pocos los textos que hacen la aclaración pertinente. Exceptuando los casos en los cuales hacerlo sería contraproducente, omitiremos aquí también el poner un cero como super-índice a los polinomios de Legendre de orden cero, aunque el lector debe quedar advertido de este recoveco en la notación.
Podemos obtener las funciones asociadas de Legendre Pl.m de los polinomios de Legendre Pl mediante la siguiente relación:
Los polinomios de Legendre Pl.forman un conjunto ortogonal completo de funciones con respecto a la variable x. Podemos escribir por lo tanto para cuaquier función arbitraria f(x):
Si multiplicamos esta relación por Pl’(x) y llevamos a cabo la integración, entonces usando la relación de ortonormalidad para polinomios de Legendre:
obtenemos el siguiente resultado:
Al ser posible obtener de esta manera todos los coeficientes de la expansión para cualquier función matemática f(x) “bien comportada”, queda demostrado formalmente que los polinomios de Legendre constituyen un conjunto ortogonal completo de funciones.
El valor inapreciable que tienen los polinomios de Legendre dentro de la Mecánica Cuántica es que, por ser un conjunto ortogonal completo de funciones con respecto a la variable independiente, estos permiten representar cualquier función f(x) como una expansión infinita en series de polinomios de Legendre:
Puesto que los polinomios de Legendre Pl nos son conocidos, el problema consiste en determinar los coeficientes Al. Esto, desde luego, en realidad no es más que una expansión en series de Fourier, excepto que el conjunto de funciones ortogonales usado es el conjunto de polinomios de Legendre en lugar de ser funciones trigonométricas.
El hecho de que una función matemática pueda ser representada como la suma infinita de un conjunto de funciones ortogonales multiplicadas cada una de ellas por una constante, ya sean funciones trigonométricas, polinomios de Legendre, etc., nos arroja a un dilema filosófico serio sobre cuál de todos estos conjuntos de funciones ortogonales pueda ser el “predilecto” de la Naturaleza. Tratando de establecer una comparación algo forzada, podríamos imaginar a una función de onda Ψ como una melodía musical. La melodía puede ser reproducida usando los acordes emanados de un piano. Pero la misma melodía puede ser reproducida usando los acordes emanados de un violín. Y también puede ser reproducida usando los acordes emanados de un arpa. Cada instrumento musical mencionado es distinto en su construcción a los demás, cada uno de ellos tiene su propio “timbre”. Y sin embargo, podríamos reconocer a la melodía musical como la misma aunque fuera interpretada en cualquiera de estos instrumentos, e inclusive la seguiríamos identificando como la misma melodía aunque en su interpretación se utilizara una combinación simultánea de algunos de los instrumentos musicales, habiendo varias combinaciones posibles. ¿Cuál es el “instrumento matemático” preferido por la Naturaleza? En realidad, resulta imposible el tratar de dar una respuesta, porque no hay elementos que nos permitan poder darle una respuesta, y la pregunta deja de ser tema propio de la ciencia para pasar a ser tema propio de la filosofía. En lo que a nosotros respecta, no perderemos el tiempo divagando sobre cosas que no puedan ser corroboradas experimentalmente en algún laboratorio.
Antes de entrar en mayores detalles en el estudio de los polinomios de Legendre, un resultado importante que sirve a su vez para obtener otras conclusiones igualmente importantes lo es la fórmula de Rodrigues, descubierta por el matemático francés Benjamín Olinde Rodrigues, que en su forma más conocida se puede enunciar de la siguiente manera:
Como puede verse, esta fórmula nos dá una manera sencilla y compacta de poder obtener los polinomios de Legendre Pl(x) para cualquier valor entero positivo de l. Por esto mismo, también nos proporciona la herramienta para poder obtener de una manera más rápida otros resultados que serían más laboriosos y más tardados de obtener, como el que veremos a continuación.
PROBLEMA.- Demuéstrese que:
Explícitamente, para:
se tiene:
Obsérvese que en ambos casos el resultado de la integración es igual a cero, pero por diferentes motivos. P1 es una función impar, esto es:
P1 (x) = - P1 (-x)
y por lo tanto la integral se desvanece cuando es evaluada entre límites colocados simétricamente en relación al origen. Por otro lado, P2 es una función par:
P2 (x) = P2 (-x)
y la integral cuando es tomada entre límites simétricos generalmente no se desvanece. En este caso particular, la integral se desvanece porque sucede que la integral indefinida es igual a cero en cada uno de los límites dados.
De la tabla para los polinomios de Legendre dada arriba, se comprueba que las funciones Pl.(x) son exclusivamente funciones pares o impares del argumento x dependiendo de que el orden l sea par o impar, respectivamente. Por lo tanto, podemos emplear de inmediato el argumento de simetría para dar por demostrado que:
para todos los órdenes impares de l.
Para extender el teorema a órdenes pares (y de hecho, para cualquier orden exceptuando cero), podemos recurrir a la fórmula de Rodrígues que se dió arriba, con la cual se tiene:
Para poder llevar a cabo esta integración, es necesario recurrir a una integración por partes, haciendo:
y haciendo también:
Puesto que v contiene un factor (x2.-.1) después de la diferenciación, el término uv se desvanece en los límites. El integrando vdu también se desvanece. Por lo tanto, el valor de la integral original es igual a cero.
Obsérvese que el integrando puede ser considerado como conteniendo el factor P0.=.1. Hemos demostrado por lo tanto que todos los polinomios de Legendre Pl son ortogonales a P0 para l.≥.1. Para l.=.0 la integral es elemental y tiene el valor de 2, consistente con la relación de ortogonalidad dada arriba.
Una técnica matemática para poder obtener resultados importantes lo es el método de los mínimos cuadrados. El lector puede obtener más detalles sobre las múltiples aplicaciones de esta técnica consultando la obra “El ajuste de datos a fórmulas” de este mismo autor disponible en Internet a través de Blogger. Con la ayuda de esta técnica se puede confirmar que las expansiones de funciones mediante series infinitas usando un conjunto de funciones ortogonales de base son expansiones con las cuales se minimiza el error cometido en el modelaje de una función. Considérese por ejemplo la representación de una función f(t) mediante una serie finita de Fourier en la cual se retiene solo una cantidad finita de los primeros términos truncándose los términos restantes:
siendo Sk(t) la suma de los primeros (2k+1) términos de una serie de Fourier que representa a f(t) en el intervalo:
- T/2 ≤ t ≤ T/2
Si f(t) se aproxima por Sk(t), es decir:
siendo εk(t) la diferencia o error entre f(t) y su aproximación:
entonces el error cuadrático medio Ek está definido por:
Si substituímos en esto último las expresiones anteriores para la serie finita de Fourier, se tiene:
Considérese a Ek como una función de a0 , an y bn. Entonces para que el error cuadrático medio Ek sea un mínimo, sus derivadas parciales con respecto a a0 , an y bn deben ser iguales a cero, es decir:
Intercambiando el orden de la diferenciación y la integración, se tiene:
Si se usan las propiedades de ortogonalidad de las funciones seno y coseno, las integrales de arriba se reducen a:
Estas son precisamente las condiciones para evaluar las constantes a0 , an y bn de una serie finita de Fourier. Y puesto que podemos incluír cualquier cantidad de términos adicionales sin limitación alguna en la evaluación de la serie, el resultado para la serie finita puede tomarse igualmente válido para la expansión de Fourier usando una cantidad infinita de términos.
Ahora veremos la forma en la cual podemos utilizar el método de los mínimos cuadrados para justificar las expansiones llevadas a cabo usando polinomios de Legendre.
PROBLEMA: Demuéstrese que si una función f(x) es continua en el intervalo -1.≤.x.≤.+1, entonces el polinomio F(x) de grado n que es la mejor aproximación por mínimos cuadrados a f(x) está dado por:
en donde los coeficientes Al están dados por:
Por la mejor aproximación por mínimos cuadrados, se quiere decir que la integral:
es un mínimo.
Desde el punto de vista del álgebra elemental, cualquier polinomio de grado n:
puede ser reagrupado como una suma de polinomios de Legendre:
Hay una transformación única entre los (n+1) coeficientes ai y los (n+1) coeficientes Al. El caso trivial es aquél en el cual An.=.an y An-1.=.an-1, pero de allí hacia abajo la verificación de las relaciones se vuelve tediosa. El método convencional de mínimos cuadrados para hacer una aproximación a una función f(x) consiste en resolver las n+1 ecuaciones algebraicas simultáneas (con 0.≤.i.≤.n):
para las n+1 ai’s. Una operación equivalente consiste en resolver las n+1 ecuaciones:
Esta última integral puede ser expandida de la siguiente manera:
En virtud de la ortogonalidad de los polinomios de Legendre, la última integral se desvanece. Usando la relación de ortonormalidad dada previamente para los polinomios de Legendre, la penúltima integral resulta ser 2/(2l+1). Por lo tanto, fijando la derivada con respecto a Al igual a cero, obtenemos la n+1 ecuaciones independientes:
Esto último se puede simplificar y reducir a lo siguiente:
De este modo, aunque la aproximación por mínimos cuadrados de la función f(x) por las dos sumatorias Fn(x) (del mismo grado n) dadas al principio implica que ambas sumatorias son idénticas numéricamente, el cálculo de los coeficientes en la sumatoria:
no involucra la solución de ecuaciones simultáneas, porque las Pl.’s son ortogonales mientras que los xi’s no lo son. Más aún, si uno desea mejorar la aproximación extendiendo las series a un orden n mayor, todos los n+1 coeficientes en la sumatoria:
tienen que ser recalculados mientras que en la otra sumatoria solo se requiere de los coeficientes adicionales.
El par de ecuaciones:
muestra cómo una función arbitraria “bien comportada” puede ser expresada en la forma de una serie infinita de polinomios de Legendre. Cuando la serie es truncada a un orden finito n, la serie es la “mejor” aproximación (bajo el criterio de los mínimos cuadrados) que se pueda lograr mediante una serie de potencias de grado n. Esto, desde luego, está restringido a funciones que estén definidas dentro del intervalo -1.≤.x.≤.+1.
PROBLEMA: Demuéstrese que si f(x).=.xn, en donde n es un entero positivo, entonces los coeficientes Al de una expansión de la función en polinomios de Legendre está dada por:
y Al.=.0 de la otra manera.
Para resolver este problema, queremos usar la relación:
para evaluar:
Como se hizo hincapié del hecho en el primer problema, los Pl.’s son funciones impares cuando l es impar, y son funciones pares cuando l es par. Una regla similar es válida para xn. Claramente la integral desde -1 hasta +1 se desvanece cuando el integrando es una función impar, o sea en los casos:
n impar, l par ⇒ n - l impar
n par, l impar ⇒ n - l impar
Cuando el integrando es una función par, tenemos que hacer uso de alguna propiedad específica de los polinomios de Legendre que no sea la simetría de los mismos. Recurriendo a la fórmula de Rodrigues, podemos escribir lo siguiente para la relación de los Al:
Para poder llevar a cabo esta integración, es necesario recurrir a una integración por partes, haciendo:
y haciendo también:
El término uv se desvanece en ambos límites porque v contiene un factor no-diferenciado de (x2.-.1). La integral remanente de vdu es:
Este proceso es continuado un total de l veces. Si n es menor que l, la integral se desvanece en algún punto porque u ha sido reducido a una constante. Para l mayor o igual a n, el resultado tras l integraciones es igual a:
Consultando las tablas de integrales, encontramos que este tipo de integral puede ser evaluada mediante la función Gamma de la siguiente manera:
Puesto que estamos suponiendo que n y l se presentan en las combinaciones par-par o impar-impar, los argumentos de ambas funciones Gamma en el numerador y el denominador son de medio orden integral. Recurriendo nuevamente a las tablas, se tiene que:
El resultado final para las Al es ahora:
Simplificando:
Obsérvese con detenimiento que hemos utilizado aquí en la primera línea tanto en el numerador como en el denominador la notación de doble factorial definida de la siguiente manera:
n!! = n(n - 2)(n - 4)(n - 6) ··· (4)(2)
para n impar. En su forma final, el numerador es tomado como la unidad para l.=.0.
Usando el resultado obtenido, podemos obtener lo siguiente:
PROBLEMA: Obténgase la relación de ortogonalidad para los polinomios de Legendre empezando con la siguiente ecuación:
que claramente es válida en virtud de la forma familiar de la ecuación de Legendre que se encuentra en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias:
Llévese a cabo la integración del primer término con una integración por partes. Escríbase entonces una ecuación comparable con l y l’ intercambiadas y réstense ambas ecuaciones para demostrar la ortogonalidad. Para l.=.l’ encuéntrese la constante de normalización usando la fórmula de Rodrigues y llevando a cabo una integración l-veces por partes. Hágase uso del hecho de que:
La integral final:
puede ser evaluada de las tablas en términos de la función Gamma.
Para poder llevar a cabo la integración requerida, es necesario recurrir a una integración por partes, haciendo:
y haciendo también:
Claramente, el término uv se desvanece en los límites de -1 y +1. De este modo, la integral queda del siguiente modo:
Restando la misma ecuación con l y l’ intercambiados y simplificando un poco, obtenemos:
Claramente, si l.=.l’ entonces Pl y Pl’ son ortogonales.
Usando la fórmula de Rodrigues, podemos escribir:
De nueva cuenta, para poder llevar a cabo la integración, es necesario recurrir a una integración por partes, haciendo:
y haciendo también:
El término uv se desvanece en ambos límites porque contiene un factor de (x2.-.1) después de que se ha llevado a cabo la diferenciación. En la integral del término vdu que sobrevive, el orden de una derivada ha sido incrementado mientras que el orden de la otra derivada ha sido disminuído. Por lo tanto, después de llevar a cabo l integraciones por partes, se tiene:
De este modo, la potencia más alta de x en la expansión de (x2.-.1)l es x2l. Por lo tanto, la 2l-ava derivada es simplemente igual a la constante (2l)!
Falta por evaluar:
De las tablas de integrales, se tiene:
en donde Γ(1/2).=.√π y:
Recolectando todos los coeficientes, se tiene:
Con la ayuda del delta de Kronecker, tanto la condición de ortogonalidad como la normalización de los polinomios de Legendre se pueden expresar en una sola ecuación como:
que es la relación clásica encontrada usualmente en muchos textos.
La relación de ortogonalidad para los polinomios de legendre “básicos” Pl .puede ser extendida hacia los polinomios asociados de Legendre Pl.m de orden m siempre y cuando los dos polinomios sean del mismo orden m, la cual resulta ser:
Obviamente, para m.=.0 esta relación de ortogonalidad se reduce a la misma relación de ortogonalidad que acabamos de obtener en la solución del problema anterior, pudiéndose considerar por lo tanto como un caso especial de la misma.
Otra relación importante dentro de la Mecánica Cuántica es la siguiente que nos permite obtener las armónicas esféricas Yl.m a partir de los polinomios asociados de Legendre Pl.m:
PROBLEMA: Obténgase la armónica esférica Yl.l usando la relación anterior.
Usando la relación proporcionada (en recuadro rosa) y haciendo m.=.l, se tiene:
Tomando la relación dada arriba que nos permite obtener los polinomios asociadas de Legendre Pl.m de los polinomios de Legendre Pl.:
y haciendo m.=.l en ella, combinándola además con la fórmula de Rodrigues:
se tiene entonces para Pl.l que:
Ahora bien:
en donde todos los demás términos de la expansión binomial involucran potencias de x menores que 2l, las cuales se van convirtiendo en cero al ser diferenciadas 2l veces. Por lo tanto:
De este modo:
con lo cual:
Finalmente, simplificando un poco más:
Además de las relaciones dadas para los polinomios de Legendre Pl., hay otras relaciones conocidas como las relaciones recursivas, de las cuales algunas de ellas son las siguientes:
PROBLEMA: Demuéstrese que las funciones:
son soluciones de la ecuación de Legendre para l.=.0 y l.=.1. ¿Qué desventaja tienen estas soluciones?
Para la primera relación se tiene:
Substituyendo esto directamente en la ecuación diferencial de Legendre, se tiene:
y por lo tanto se confirma que es una solución. En cuanto a la segunda relación, se tiene:
Substituyendo esto directamente en la ecuación diferencial de Legendre, se tiene:
y por lo tanto se confirma que también es una solución. Estas funciones son conocidas como funciones de Legendre del segundo género, y tienen la desventaja de que son irregulares en x.=.±1 en donde estallan.
Usando la primera de las relaciones recursivas dadas arriba, escrita de la siguiente manera:
podemos obtener la siguiente función de Legendre del segundo género:
El coeficiente del logartimo muestra un aspecto familiar. Si usamos la misma ecuación recursiva para evaluar la siguiente función de Legendre del segundo género, encontramos que:
y nuevamente el coeficiente del logaritmo muestra un aspecto familiar. Continuando con el mismo procedimiento, podemos demostrar en forma plausible la siguiente relación general:
Ahora bien, podemos combinar ciertos productos de pares de armónicas esféricas Yl.m sumando dichos productos para obtener polinomios de Legendre Pl.. El teorema de adición de armónicas esféricas permite expresar cualquier polinomio de Legendre Pl como una suma de productos de armónicas esféricas, razón por la cual se le conoce como un teorema de adición. Si usamos la siguiente definición basada en el coseno de un ángulo γ:
entonces, utilizando una rayita horizontal puesta encima de una armónica esférica Yl.m (además de utilizar el color rojo) para indicar que se debe tomar el conjugado complejo de la armónica esférica Yl.m, el enunciado matemático de dicho teorema puede ser escrito de la siguiente manera (en cada término, si tomamos el conjugado complejo de la segunda armónica esférica en lugar de la primera el resultado que se obtiene es el mismo):
poniendo a m como sub-índice, o bien de la siguiente manera poniendo a m como super-índice (ambas formas representan lo mismo):
PROBLEMA: Verifíquese el teorema de adición de armónicas esféricas para el caso en el cual el número cuántico l.=.1.
Cuando l.=.1, los valores que puede tomar m son -1, 0 y 1.
Para m.=.-1, se tiene:
Para m.=.0, se tiene:
Por último, para m.=.1, se tiene:
La evaluación de la sumatoria procede entonces de la siguiente manera:
Por lo tanto:
y el teorema de adición de armónicas esféricas queda verificado para l.=.1.
La verificación del teorema de adición de armónicas esféricas se puede llevar a cabo del mismo modo para otros valores del número cuántico l. Por ejemplo, para l.=.2:
Existe una notación alterna para la simbolización del teorema de adición de armónicas esféricas que se encuentra en algunos textos contemporáneos de Mecánica Cuántica. Para ello, definiremos dos vectores k y r que tienen la misma longitud y el mismo punto de origen en un sistema de coordenadas esféricas. Si definimos ambos vectores como vectores unitarios (de longitud igual a la unidad) poniendo para ello un “sombrero” encima de cada uno de dichos vectores, entonces por la definición usual que se le dá al producto punto de dos vectores (como el producto de la magnitud de cada vector multiplicado todo por el coseno del ángulo γ que hay entre dichos vectores) por un lado se tiene lo siguiente:
Sobre un sistema de coordenadas esféricas, uno de los vectores unitarios puede estar ubicado mediante las coordenadas (θ1,φ1) mientras que el otro vector unitario puede estar ubicado mediante las coordenadas (θ2,φ2), en una forma muy parecida a la de los siguientes dos vectores (los dos puntos en la superficie de la esfera separados por un ángulo común γ, además de estar especificados por los ángulos polares θ1 y θ1 que se muestran en la figura, también están separados por los ángulos azimutales φ1 y φ2, aunque estos últimos no se muestran para no complicar más la figura):
El ángulo γ que hay entre los dos vectores unitarios es precisamente el mismo ángulo γ del que hemos estado hablando en la relación trigonométrica utilizada en el teorema de adición de armónicas esféricas, y el cual adquiere ahora una mayor claridad y perspectiva.
Por otro lado, si adoptamos las siguientes notaciones alternas para los vectores unitarios que estamos utilizando en el caso que nos ocupa:
entonces podemos escribir de la siguiente manera el teorema de adición de armónicas esféricas:
PROBLEMA: Demuéstrese el teorema de Unsöld que dice “la suma de todos los orbitales con el mismo número cuántico de momento angular orbital l es igual a una esfera” (por ejemplo, sumando todos los orbitales 7f que en un átomo de hidrógeno comparten todos el mismo número cuántico l, se forma una esfera).
Este teorema, demostrado por vez primera por Albrecht Unsöld, puede ser demostrado rápidamente usando la relación que se acaba de dar, con el simple hecho de hacer iguales los vectores unitarios:
obteniéndose:
Basta con ver el lado izquierdo para darnos cuenta de que lo que se tiene es una esfera de radio unitario, la cual debe resultar de la sumatoria cuando esta se lleva a cabo sumando todos los orbitales con el mismo número cuántico de momento angular orbital l.
En algunas circunstancias resulta deseable reemplazar el exponente imaginario de una armónica esférica asociado con el factor exp(imφ) recurriendo para ello a la fórmula de Euler:
separando la parte real de la parte imaginaria dándoles designaciones ligeramente diferentes, tal y como lo propusieron Philip Morse y Herman Feshbach en su libro Methods of Theoretical Physics de la siguiente manera:
en donde:
y:
aclarándose de antemano que en este esquema Y(0)0,0 no existe. Estas armónicas esféricas son frecuentemente nombradas de acuerdo a los patrones de valores positivos o negativos que tomen sobre la superficie de una esfera, a saber:
Armónicas zonales.- Aquellas para las cuales m.=.0.En un principio, se volvió costumbre graficar estas armónicas esféricas sobre la superficie de una esfera unitaria delimitando las regiones con signos opuestos en lo que se conoce como un mapa de contorno, como lo muestran los siguientes ejemplos en los cuales se tiene una armónica zonal (extremo izquierdo), una armónica teseral (figura central) y una armónica sectorial (extremo derecho):
Armónicas sectoriales.- Aquellas para las cuales m.=.n.
Armónicas teserales.- Aquellas para las cuales m está comprendido entre los valores de cero y n.
Pintando las regiones de signo positivo con un tono de gris y dejando las regiones con signo negativo con un tono blanco (o viceversa) se tiene algo un poco más ilustrativo:
Sin embargo, eventualmente se llegó a la realización de que con la inclusión del factor “color” usando los colores del arco iris para representar sobre la superficie de la esfera no sólo los valores positivos y negativos de cada región sino también los valores intermedios entre -1 y +1 se podía obtener una visualización mucho mejor del verdadero significado de estas armónicas esféricas. Es así como tenemos algo como lo siguiente:
Un ejemplo sobre cómo se interpreta numéricamente la “escala de temperaturas” lo tenemos en los siguientes gráficos en donde se muestra el “termómetro” de valores numéricos en el lado izquierdo y en donde aparece un ejemplo de cada tipo de armónica esférica (la notación usada coincide con la notación que usualmente se le dá a las armónicas esféricas cuando son usadas para hacer coincidir el radio de la esfera con el radio de la Tierra en el estudio de las variaciones del campo gravitacional de la misma, siendo en las coordenadas esféricas geocéntricas r el radio de la esfera (globo terráqueo), φ la latitud y λ la longitud:
Puesto que los valores que pueden tomar las armónicas esféricas definidas de esta manera sobre la superficie de una esfera están limitadas a los valores extremos del intervalo -1.≤.x.≤.+1, con la finalidad de poder darle una mejor visualización e interpretación a la variación de las funciones se utiliza la escala visual de “temperaturas” en la cual el color azul se le asigna el valor más negativo o “frío”, o sea -1, y el color rojo se le asigna el valor más positivo o “caliente”, o sea +1. Inspeccionando las tres gráficas tridimensionales dadas arriba, se puede apreciar que la función zonal exhibe lo que parece ser una división de la esfera en “zonas” parecidas en cierto modo a lo que en cuestión de temperaturas extremas ocurre en la Tierra de polo a polo; la función sectorial por su parte divide la superficie de la esfera en sectores cuyos valores extremos son más manifiestos a lo largo de lo que vendría siendo el “ecuador” de la esfera; mientras que la función teseral subdivide la superficie de la esfera en lo que parece ser una teselación a manera de mosaicos.
Las siguientes figuras (las cuales se pueden apreciar un poco mejor ampliándolas) ilustran los planos imaginarios que atraviesan la esfera unitaria produciendo una armónica esférica zonal para l.=.6 y m.=.0 (extremo izquierdo), una armónica teseral para l.=.6 y m.=.3 (figura central) y una armónica sectorial (extremo derecho) para l.=.6 y m.=.6:
Si multiplicamos una armónica esférica definida sobre la superficie de una esfera unitaria por una función que varíe con el tiempo como cos(ω,t), obtendremos una armónica esférica animada cuyos valores “oscilan” de positivo a negativo y viceversa sobre la superficie de la esfera. Usando como referencia la misma escala de “temperaturas” definida arriba mediante la cual al valor máximo (positivo) que puede tomar la armónica esférica se le asigna un color rojo y al valor mínimo (negativo) se le asigna un color azul, a continuación se mostrarán unos ejemplos de variaciones en función del tiempo de armonicas esfericas Y(1)mn multiplicadas por cos(ω,t), las cuales al adquirir una dependencia sobre la variable tiempo se pueden apreciar mejor en los siguientes tres gráficos animados elaboradao por Catherine Potel y Michel Bruneau de la Université du Maine en Francia:
armónica esférica zonal Y(1)3,0 (m.=.0):
armónica esférica zonal Y(1)3,0 (m.=.n):
armónica esférica teseral Y(1)3,2:
No hay que perder de vista el hecho de que estos mapas de contorno llevados a cabo sobre la superficie de una esfera son proyecciones de armónicas esféricas que a su vez están definidas en base a los polinomios de Legendre, como lo sugiere la siguiente figura:
Más recientemente, y con la ayuda de software para graficados tridimensionales más sofisticados, ha sido posible graficar sobre la superficie de la esfera unitaria no sólo los valores entre -1 y +1 usando colores para identificar el valor en cada punto, sino que es posible darle también una pequeña elevación (a manera de monte o montaña) sobre la superficie de la esfera a los valores positivos y una pequeña depresión por debajo de la superficie de la esfera a los valores negativos, con un valor de cero (que corresponde a un color entre el amarillo y el ciano) actuando como la superficie de referencia y con la altura o la depresión con respecto a dicha superficie de referencia determinando el valor numérico de cada punto, dando de este modo dos referentes (color y altura relativa) para poder apreciar mejor lo que está ocurriendo. Este tipo de visualizaciones es precisamente lo que puede dar origen a las nuevas ideas que permiten seguir avanzando el campo de la ciencia.
Se vuelve necesario asentar aquí otro teorema importante relacionado con las armónicas esféricas que dice: “Si la función g(θ,φ) es cuadráticamente integrable (en literatura técnica inglesa, square integrable) sobre un ángulo sólido completo Ω (cubriendo todo el espacio angular interno de una esfera) entonces la función g(θ,φ) puede ser escrita como una combinación linear de armónicas esféricas”. Al decir que la función g(θ,φ) debe ser cuadráticamente integrable, se da a entender que la doble integral:
existe y tiene un valor finito. Esta requisito es conocido como una de las condiciones de Dirichlet.
Por último, y sin entrar en mayores detalles, se agregará aquí que las armónicas esféricas derivan su nombre del hecho de que son soluciones a la ecuación de Laplace, estando además especificadas sobre la superficie de una esfera como lo hemos visto arriba.
