Hemos visto previamente que la sección transversal diferencial de esparcimiento dσ/dΩ puede ser obtenida por la siguiente relación:
Sin embargo, no se ha resaltado aún el hecho de que f(θ) no necesariamente tiene que ser una función real. También puede ser una función imaginaria o compleja. Esto significa que una forma más correcta de escribir la relación anterior es:
en donde f *(θ) es el conjugado complejo de f(θ). Si f(θ) es un número complejo, entonces ello significa que se puede escribir como tal y que consta de una parte real y una parte imaginaria:
f(θ) = Re{ f(θ)} + i Im{ f(θ)}
Usaremos este tipo de notación para un resultado que obtendremos más abajo, aclarando que en todo momento f(θ) será considerado como algo que puede ser la expresión de una variable compleja y no necesariamente de una variable real.
El teorema óptico fue descubierto antes del advenimiento de la Mecánica Cuántica y en forma independiente por Sellmeier y Lord Rayleigh en 1871 en sus estudios de los fenómenos de la difracción de la luz. Lord Rayleigh fue el primero en reconocer la amplitud frontal del esparcimiento (conocida en la literatura inglesa como forward scattering) en términos del índice de refracción n del medio como:
siendo N el número de dispersores presentes. Posteriormente, y en virtud de la descripción ondulatoria dada a las ondas de materia tan parecida a la descripción matemática de las ondas de luz, era predecible que se obtendría un teorema equivalente para la descripción del esparcimiento de las ondas de materia. Esto llegó en una publicación que apareció en el volumen 144 de la publicación londinense Nature en 1939, en un trabajo cuya autoría es atribuída a Niels Bohr, Rudolf Peierls y George Placzek, motivo por el cual es conocida como la relación Bohr–Peierls–Placzek. Se le mencionaba también simplemente como “un bien conocido teorema de óptica” y no se le vino llamando teorema óptico sino hasta que se le hizo una referencia como tal en un trabajo de Hans Bethe y Frederic de Hoffmann publicado en 1955.
Si llevamos a cabo usando un tratamiento de ondas escalares, el teorema óptico puede ser derivado sin mucha dificultad. Ya hemos visto en las entradas previas que cuando una onda plana incide sobre un objeto, entonces la amplitud de la onda a una distancia suficientemente alejada del objeto que provoca el esparcimiento está dada aproximadamente por:
En coordenadas rectangulares Cartesianas, para valores suficientemente grandes de la distancia radial r, la relación Pitagórica:
puede ser expandida con la ayuda del Teorema del Binomio y simplificada para llegar a la siguiente aproximación:
que es válida para valores suficientemente grandes de z en comparación con las otras dos variables. Puesto que lo que se mide experimentalmente es el cuadrado de la amplitud de la función de onda, que es lo que nos dá la densidad de probabilidad, o sea la probabilidad de encontrar una partícula en cierta región del espacio, queremos usar la relación dada arriba para ψ(r) para evaluar |ψ|2 . Usando la aproximación indicada, se tiene entonces:
Estando definido el cuadrado de la función de onda como el producto de dicha función de onda ψ por el conjugado complejo de la misma ψ*, o sea como ψψ*, la expansión de lo anterior produce:
Para simplificar lo anterior, podemos usar el hecho de que la suma de un número A y su conjugado complejo A* es igual al doble de la parte real del número complejo:
A = p + iq
A* = p - iq
A + A* = 2p = 2Re{A}
Con esto, y despreciando el término 1/z2, lo cual es justificable para distancias radiales suficientemente grandes, se tiene entonces:
Supóngase ahora que llevamos a cabo una integración sobre una pantalla plana (la pantalla en donde son recolectadas las partículas esparcidas) en el plano-xy, a una distancia que sea lo suficientemente pequeña para que puedan ser válidas las aproximaciones usuales para ángulos pequeños, pero lo suficientemente grande para que podamos llevar a cabo la integración desde -∞ hasta +∞ con un margen de error insignificante. En la óptica, esto es tanto como incluir muchas rejillas (líneas de difracción) en el patrón de difracción. Y para simplificar las cosas aún más, supóngase que:
f(θ) = f(0)
Entonces podemos llevar a cabo la integración de la siguiente manera sobre elementos infinitesimales de área da:
en donde A es la superficie sobre la cual se está llevando a cabo la integración. Las dos integrales remanentes son esencialmente integrales Gaussianas que se pueden integrar de inmediato, llevándonos a:
Físicamente, esto representa la probabilidad de que las partículas puedan llegar a la pantalla si ninguna de ellas fuera esparcida, disminuída en una cantidad (4π/k)Im{f(0)}, cantidad que debe ser por lo tanto la sección transversal efectiva de esparcimiento σ:
Este es esencialmente el enunciado del teorema óptico. Esta forma es válida para una onda plana incidente. Posteriormente, una forma más general del teorema fue descubierta por Werner Heisenberg, la cual es la siguiente:
En base a lo que hemos visto previamente en otras entradas acerca del esparcimiento de partículas, el resultado obtenido puede parecer sorprendente, porque nos dá un valor muy específico (diferente de cero) para f(θ) justo en θ.=.0°, justo detrás del objeto dispersor, como si algunas partículas del haz incidente atravesaran directamente a través del objeto dispersor yendo a impactar en la pantalla. Después de todo, ¿no habíamos visto que justo detrás del objeto dispersor se forma una zona de esparcimiento sombra en la cual no esperamos encontrar ninguna partícula? Si bien es cierto que en un esparcimiento clásico de Rutherford la mayor intensidad del haz, el máximo, ocurre aparentemente detrás del objeto esparcidor, en realidad esto supone un objeto esparcidor puntual (algo que no ocurre ni siquiera en el modelo de Rutherford con el cual se pudo estimar por vez primera el radio de los núcleos atómicos) y supone también que justo en θ.=.0° no hay nada porque el objeto dispersor lo suponemos en principio como algo impenetrable, así se trate de un objeto con las dimensiones de un punto (o mejor dicho, con las dimensiones de un núcleo atómico). Sin embargo, y por principio de cuentas, hay que considerar que hasta este punto hemos estado utilizando potenciales repulsivos, pese a que no hay nada que nos impida considerar también potenciales atractivos. De hecho, si disparamos un electrón hacia la cercanía de un protón, entre ambas partículas no hay repulsión eléctrica alguna, por el contrario, ambas partículas se atraen. Si de alguna manera pudiésemos disparar un electrón directamente hacia el centro radial de un protón, aunque la ley de Coulomb implica que dos cargas eléctricas con las dimensiones de un punto cada una de ellas se atraerán en razón directa del producto de sus cargas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que las separa, con lo cual al estar en proximidad cercana la una a la otra la fuerza de atracción empezaría a volverse infinitamente grande, en realidad nadie espera que el protón “devore” al electrón y lo absorba. De hecho, lo más probable es que si la energía del electrón incidente es apropiada, éste terminará por tomar su posición dentro de alguna órbita estable en torno al protón, más probablemente una órbita en el estado basal, formando un átomo de hidrógeno, lo cual dicho sea de paso nos conduce a sospechar de que al estar en proximidad tan cercana un electrón de un protón empieza a entrar en acción otro tipo de fuerza (o de fuerzas) de corto alcance que se sobreponen a la atracción Coulómbica actuando como contrapeso. De cualquier modo, el electrón no atravesará al protón, o por lo menos no esperamos que tal cosa suceda. Pero si lanzamos un haz de electrones hacia un protón, entonces, independientemente de la fuerza de repulsión que actúe entre los electrones viajeros, al acercarse al protón estos serán atraidos y no repelidos por el protón. Y cabe suponer y esperar que algunos de ellos impactarán en una pantalla detectora precisamente en el punto f(0). De este modo, con la ayuda de un potencial atractivo, podemos esperar que f(0) pueda tener un valor diferente de cero, sin esparcimiento sombra al menos en f(0).
A modo de ejemplo de un potencial atractivo, podemos tomar un potencial Yukawa como el que vimos en la entrada “La aproximación de Born II”, y nos basta con un simple cambio de signo tener un potencial Yukawa atractivo en vez de un potencial Yukawa repulsivo. Un potencial así con una fórmula como:
y tiene una gráfica tridimensional como la siguiente (un pozo de potencial en lugar de una barrera de potencial, con una singularidad en r.=.0):
La distribución del esparcimiento de partículas que corresponde a un potencial Yukawa atractivo obviamente será diferente de la distribución que corresponde al potencial Yukawa repulsivo que ya vimos con anterioridad, y ciertamente f(0) podrá ser diferente de cero, sin que haya una región de esparcimiento sombra.
