El momento de cuadripolo

En la entrada titulada “El método de aproximación WKB II”, al aplicar dicho método de aproximación al estudio del decaimiento de los núcleos radioactivos se supuso como medida de simplificación que el núcleo atómico tiene una forma esférica perfecta. Pero, ¿qué tan justificada está dicha suposición de esfericidad perfecta? ¿Tenemos alguna medida experimental con cierta justificación teórica que nos permita poner a prueba la validez de dicha suposición?

Por difícil que ello parezca, resulta que sí hay una medida de la esfericidad que le podemos asignar al núcleo atómico. Su determinación experimental está basada en lo que llamamos el momento de cuadripolo eléctrico. Ya desde 1935 Hermann Schüler y Theodor Schmidt basados en sus observaciones de la estructura hiperfina de los espectros atómicos (ocasionada por perturbaciones inducidas en los espectros por el momento magnético del núcleo) habían sugerido que ciertos núcleos pudieran no tener formas esféricas.

Antes de entrar en ciertas complejidades aclararemos algunos conceptos y definiciones que se pueden formular para los cuales la noción de una esfericidad casi perfecta del núcleo atómico resulta útil, como en el siguiente caso:

PROBLEMA: Calcúlese la energía potencial eléctrica causada por los protones en un núcleo si se supone que la carga eléctrica está uniforme y esféricamente distribuída.

Sea ρ la densidad de carga eléctrica por unidad de volumen. Considérese una capa esférica delgada de carga de grosor infinitesimal dr situada en el interior del núcleo atómico:

cuyo centro coincide con el centro geométrico del núcleo, y cuya carga infinitesimal dq está dada por:

A esto se le debe agregar lo que está contenido dentro de una esfera con la misma densidad de carga y que tiene una carga total:

De la electrostática sabemos que la energía potencial eléctrica U de una carga q₁ en presencia de otra carga q₂ es:

Antes de seguir adelante, y para dejar las cosas en claro, tenemos que preguntarnos: ¿A qué nos referimos exactamente cuando hablamos de una energía potencial eléctrica, máxime que se trata de una energía estática y no de una energía de movimiento que no tiene nada que ver con la energía relativista mc² de una masa en reposo? Si tenemos dos cargas eléctricas del mismo signo q₁ y q₂ en proximidad cercana la una a la otra, ambas cargas se repelerán de acuerdo a la ley de Coulomb. Pero por otro lado, si las cargas están alejadas a una gran distancia la una de la otra, para acercarlas hasta que estén situadas a una distancia r la una de la otra tenemos que proporcionar una cierta energía para vencer la fuerza de repulsión. Esta es precisamente la energía potencial eléctrica. Como lo que más importa en muchos problemas de física son las diferencias de energía y no los valores absolutos, por convención se le asigna a la energía potencial en el infinito un valor igual a cero. De este modo, la energía potencial eléctrica entre dos cargas de signos iguales es la energía que tenemos que invertir para traer una de las cargas desde el infinito hasta situarla a una distancia r de la otra carga. No importa cuál de las dos cargas es la que tiene que ser traida desde el infinito para situarla cerca de la otra, la energía invertida será la misma.

Ahora bien, la energía potencial eléctrica dU de una capa esférica delgada es:

Podemos considerar esta energía como la energía que tenemos que invertir para traer elementos infinitesimales de carga eléctrica desde el infinito y formar con ellos una capa esférica delgada de carga. La energía potencial total de la esfera se obtiene integrando dU desde r.=.0 hasta r.=.R (el radio final exterior de la esfera):

Puesto que:

se tiene entonces:

Podemos interpretar este resultado como la energía que tenemos que invertir para traer elementos infinitesimales de carga desde el infinito con la finalidad de poder ensamblar una esfera de radio R con carga eléctrica Ze. En algunos textos a esta energía de naturaleza puramente electrostática se le llama autoenergía (self-energy). Aquí la llamaremos energía de Coulomb U_c para resaltar su naturaleza electrostática.

En ausencia de información más precisa y detallada, suponemos que las cargas que conforman un núcleo no son en realidad continuas, sino que están agrupadas en cantidades discretas (los protones). Se ha convenido en tomar para Z.=.1 la energía de Coulomb U_c como igual a cero, pero no obtante la expresión anterior da una respuesta finita. Obviamente, se vuelve necesario corregir la expresión, y para corregirla debe substituirse en ella a Z² por Z(Z-1). Para valores grandes de Z, esto es una corrección mínima, no así para valores pequeños de Z. La expresión correcta para la energía de Coulomb es:

PROBLEMA: Calcúlese la energía de Coulomb para el germanio ₃₂Ge⁷³, suponiendo que el radio promedio R₀ del núcleo atómico está dado por:

Utilizando el resultado obtenido en el problema anterior, se tiene:

Habíamos adelantado arriba que hay una medida de la esfericidad que le podemos asignar al núcleo atómico, basada en algo que llamamos el momento de cuadripolo eléctrico. Nuestro primer impulso puede ser el tratar de imaginar al núcleo atómico como una nube borrosa de carga eléctrica positiva (como acostumbramos imaginar a las nubes electrónicas de probabilidad en la Mecánica Cuántica) que sea “borrosamente” esférica. Sin embargo, un momento de reflexión nos revela que tal suposición sería inapropiada, en virtud de que dado que casi toda la masa se concentra en el núcleo (la masa de los electrones circundantes puede considerarse despreciable en comparación) y dado de que el núcleo posee dimensiones mucho muy reducidas en comparación con el tamaño total del átomo (lo cual se traduce en una densidad extraordinariamente elevada, de alrededor de 4×10¹⁷ kilogramos por metro cúbico), podemos suponer que no hay nada de “borroso” en la superficie del núcleo, y que por el contrario éste tiene una superficie más o menos bien definida. Sin embargo, la superficie del núcleo atómico posiblemente sea algo difusa, y una relación ampliamente usada para describir esta superficie difusa es la siguiente:

en donde R es el radio medio en el cual la densidad (interior) del núcleo ρ₀ cae del valor sumamente elevado que tiene (y que se supone constante) hasta cero, y a es un parámetro de difusión que tiene que ser estimado experimentalmente:

Supongamos para fines de discusión que el núcleo atómico tiene una forma esférica perfecta. Siendo esféricamente perfecto, la aplicación de un campo eléctrico exterior no llevará a cabo ninguna reorientación de la esfera, ya que no hay dirección preferida para tal cosa. Sin embargo, supóngase ahora que la carga eléctrica nuclear no es esféricamente perfecta. Si no lo es, la forma más simétrica que podamos imaginar después de la esfera tiene que ser la de un elipsoide. Pero si alineamos al elipsoide con respecto a su eje principal de simetría, encontramos pronto que puede ser un elipsoide achatado en los polos (la palabra apropiada es oblatado) o alargado en dirección de los polos (la palabra apropiada es prolatado). Una carga asimétrica en cualquiera de estas dos formas definitivamente tendrá una interacción con un campo eléctrico que le sea aplicado desde el exterior, ya que tenderá a alinear su eje de simetría con las líneas de fuerza del campo eléctrico exterior que está siendo aplicado, el cual identificaremos como el eje-z. En tal caso, la carga eléctrica nuclear tiene lo que llamamos un momento de cuadripolo que simbolizaremos aquí como Q. Obviamente, en el caso de una esfera perfecta el momento de cuadripolo eléctrico debe ser igual a cero. Pero se encuentra que el momento de cuadripolo Q puede tomar un valor positivo o un valor negativo. La forma oblatada corresponde a un momento de cuadripolo negativo, mientras que la forma prolatada corresponde a un momento de cuadripolo positivo. Las siguientes figuras ilustran mejor el punto que se está destacando aquí:

Naturalmente, si queremos definir para una distribución continua de carga eléctrica un momento eléctrico, lo primero que se nos puede venir a la mente es el momento de dipolo eléctrico, basado para el caso de dos cargas puntuales discretas q₁ y q₂ en el producto de dichas cargas por la distancia r que las separa, siendo el siguiente paso lógico el extender dicha definición a una distribución continua de carga. Sin embargo, como se demostrará más abajo, el momento de dipolo eléctrico no nos sirve para tal cosa, y nos vemos forzados a ir al siguiente nivel superior, el del cuadripolo eléctrico.

El momento cuadripolar eléctrico se define formalmente de la siguiente manera mediante una integral volumétrica:

en donde ρ(x,y,z) es la función de la densidad de la carga eléctrica, dτ es el elemento infinitesimal de volumen, y:

Esta es una definición puramente clásica, sin que intervengan en ella conceptos relacionados con la Mecánica Cuántica. Obsérvese que en el caso en el que z.=.r (una esfera perfecta), la definición del momento de cuadripolo eléctrico se reduce a Q.=.0, como es de esperarse.

Con la finalidad de simplificar las cosas, al empezar los primeros análisis se supone que la densidad de la carga eléctrica ρ en el núcleo atómico es constante y uniforme, lo cual nos permite sacar a ρ fuera de la integral dejándonos con la siguiente definición para Q:

En general, para un elipsoide cualquiera cuyos semiejes mayores son a, b y c:

la ecuación general de dicho elipsoide está dada por:

En los casos tanto del elipsoide prolato como del elipsoide oblato, dos de los semiejes son iguales:

siendo por lo tanto la ecuación general en ambos casos:

No resulta difícil visualizar cómo una esfera de carga eléctrica uniforme puede ser deformada hacia un elipsoide si se le colocan cuatro cargas eléctricas en pares (dos cargas de signo positivo y dos cargas de signo negativo, de modo tal que la carga total adicional sea igual a cero) en las posiciones adecuadas:

Una visualización un poco más ilustrativa quizá sea la siguiente:

Para poder entender mejor lo que significa físicamente la integral triple:

resulta conveniente ver lo que significa la siguiente integral triple:

Esta, desde luego, es una simple integral volumétrica, la cual en base a los límites de integración nos proporciona el volumen del cuerpo encerrado por la superficie acotada entre los límites de integración. En el caso que nos ocupa, se trata de un elipsoide. Suponiendo que el cálculo se llevará a cabo sobre el sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas, los límites inferior y superior de la integración para el eje-z se obtienen de la ecuación general del elipsoide:

o sea:

Puesto que el volumen del elipsoide debajo del plano XY que parte al elipsoide en dos mitades iguales (un plano pasando por el origen del sistema de coordenadas) es el mismo que el volumen del elipsoide arriba de ese plano XY, podemos simplificar un poco las cosas seleccionando como límite inferior a z₁.=.0, multiplicando por 2 el volumen que se obtenga para la mitad del elipsoide (la que está arriba del plano XY). De este modo, se tiene la siguiente integral triple a evaluar (obsérvese que, a diferencia de otras integraciones que se han llevado a cabo en esta obra, en donde el orden en el cual se llevan a cabo las integraciones es indistinto, aquí se están haciendo los preparativos para llevar a cabo las integraciones en un orden específico):

Faltan por fijar los límites x₁ y x₂ así como los límites y₁ y y₂. Los segundos se obtienen observando que, en el plano XY en donde z.=.0:

De este modo, la integral triple a evaluar viene quedando del modo siguiente:

Quedan por fijar los límites de integración x₁ y x₂. En el plano XY en donde z.=.0, si hacemos y.=.0 entonces:

En realidad, estos límites de integración son triviales y los podríamos haber anticipado, aunque de cualquier modo resulta útil seguir la metodología prescrita por las matemáticas para una solución ordenada de un problema. De este modo, la determinación del volumen del elipsoide encima del plano XY (o sea, la mitad del volumen total) se lleva a cabo en coordenadas Cartesianas rectangulares mediante la especificación de los límites de integración:

Podemos llevar a cabo la integración siguiendo el orden indicado por los paréntesis, empezando por la integración sobre los infinitésimos dz que resulta ser trivial, seguida de la integración sobre los infinitésimos dy que resulta ser no tan trivial:

De este modo, la integral triple efectuada en su totalidad nos viene dando el siguiente resultado:

El volumen obtenido es el volumen de medio elipsoide, habido el hecho de que se obtuvo integrando sobre el plano XY situado en z.=.0 y que corta al elipsoide en dos mitades iguales. El volumen total del elipsoide se obtiene multiplicando el resultado anterior por 2:

Hay, desde luego, algunos trucos matemáticos para obtener el volumen del elipsoide de una manera más sencilla. Uno de ellos consiste en hacer un “cambio de escalas”, tomando la ecuación general del elipsoide:

y cambiar la escala de cada eje por longitud del semieje (en efecto, estirando o comprimiendo al elipsoide en cada eje convirtiéndolo en una esfera) mediante el siguiente cambio de variables:

con lo cual la ecuación general del elipsoide se convierte en la ecuación general de una esfera de radio igual a la unidad:

De este modo, el volumen del elipsoide será (las partes del desarrollo destacadas en color azul son aquellas en las cuales se efectúa el cambio de variables):

En donde en la penúltima línea se ha usado el hecho de que sabemos de antemano que el volumen de una esfera de radio unitario es igual a (4/3)πr³ o bien (4/3)π(1)³ .

En el caso del cuadripolo eléctrico, siendo los dos semiejes a y b iguales, entonces el volumen del elipsoide debe ser:

Hemos visto lo que nos dá la siguiente integral:

cuando los límites de integración corresponden a los de un elipsoide. Es simplemente el volumen del elipsoide. ¿Qué significado intuitivo podremos darle entonces a la siguiente relación?:

Si los límites de integración siguen siendo los mismos (los que corresponden a un elipsoide), entonces, recurriendo al concepto intuitivo de lo que es una integración, esto es, la suma de un número infinitamente grande (suficientemente grande para considerarlo casi infinito) de elementos infinitesimales de volumen, en lugar de simplemente ir sumando (integrando a la gran suma) cada elemento infinitesimal de volumen primero tenemos que multiplicar uno por uno cada elemento infinitesimal de volumen dV por el valor que tenga de acuerdo a la relación:

en el punto específico en donde se encuentre el elemento infinitesimal de volumen. Así, en el punto z.=.0.5 y r.=.0, el elemento infinitesimal de volumen será multiplicado por 0.5 antes de ser sumado a los demás elementos infinitesimales de volumen. De este modo, cada elemento infinitesimal de volumen se va convirtiendo en un elemento infinitesimal de cuadripolo eléctrico, y la suma (integral) de estos elementos infinitesimales de cuadripolo eléctrico producirá el momento total de cuadripolo eléctrico del elipsoide. Naturalmente, si la densidad de carga eléctrica ρ no es constante sino que varía de acuerdo a la especificación de cada punto en cuestión, o sea ρ(x,y,z), entonces además de multiplicar cada elemento infinitesimal de volumen dV por 3z².-.r² tenemos que multiplicarlo por ρ(x,y,z), lo cual ciertamente complicaría las cosas. Esta discusión nos hace entender mejor el significado físico de la triple integral que tiene que ser evaluada en el cálculo del momento de cuadripolo, pero desde el punto de vista estrictamente matemático no nos simplifica en nada las cosas. Si la simple integral volumétrica del elipsoide no se antoja como un asunto muy fácil, la integral del momento de cuadripolo se anticipa ya como algo más elaborado y complejo que puede resultar laborioso, inclusive haciendo el cambio de coordenadas rectangulares Cartesianas a coordenadas esféricas. Esto debe resultar motivación suficiente para buscar una manera de simplificar las cosas.

Tomemos nuevamente la triple integral:

Esta integral es matemáticamente equivalente a lo siguiente:

Cada una de las tres integrales especificada en la última línea se debe llevar a cabo sobre el interior de un elipsoide cuyos semiejes son a, a y c, lo cual a su vez se logra especificando correctamente los límites de cada una de las integrales. Podemos hacer tal cosa invirtiendo algo de tiempo en ello. Pero hay otra alternativa más expedita. Si nos fijamos en cada una de las tres integrales que aparecen en la última línea del desarrollo de arriba, estas se parecen mucho a un concepto manejado por quienes estudian ingeniería mecánica, el momento de inercia. En efecto, repasando dicha definición que aparece en muchos textos de mecánica clásica, encontramos que la definición del momento de inercia para un cuerpo sólido con respecto a un eje que atraviesa al sólido y en torno al cual se efectuará una rotación, se tiene que tal definición está dada de la siguiente manera (la integral es una triple integral):

De este modo, los momentos de inercia I_xx, I_yy e I_zz de un cuerpo sólido de masa m con respecto a cada uno de los tres ejes coordenados Cartesianos vienen siendo:

La similitud entre estas integrales y las integrales a evaluar para el caso del momento de cuadripolo radica en el hecho de que si la densidad de carga eléctrica ρ es constante y uniforme, esto nos permite especificar el elemento infinitesimal de carga eléctrica de la siguiente manera:

Esto significa que, si tomamos las integrales:

y metemos nuevamente la densidad de carga eléctrica ρ en cada una de ellas, tenemos entonces las tres expresiones:

que a su vez son lo mismo que:

Así, la primera expresión es el “momento” de la carga eléctrica elipsoidal con respecto al eje-x, la segunda es el “momento” de la carga eléctrica elipsoidal con respecto al eje-y, y la tercera es el “momento” de la carga eléctrica elipsoidal con respecto al eje-z. Precisamente esta es la razón por la cual a la cantidad Q se le conoce popularmente como momento de cuadripolo eléctrico, aunque una acepación más correcta para Q tal vez sería fuerza del cuadripolo eléctrico.

De este modo, aunque los conceptos físicos manejados para el momento de inercia de un cuerpo rígido por un lado y para el momento de cuadripolo eléctrico por el otro son completamente distintos, al menos en lo que a las integrales respecta y hablando desde un punto de vista puramente matemático abstracto (general) las integrales son las mismas y por lo tanto deben tener las mismas soluciones. No se hace necesario reinventar la rueda, todo lo que tenemos que hacer es consultar alguno de muchos textos buenos de mecánica en donde podemos encontrar que los momentos de inercia de un elipsoide sólido de semiejes a, b y c con respecto a los ejes coordenados Cartesianos dados en las figuras de arriba son:

en donde la masa m es la masa total del elipsoide. Para el problema que nos ocupa, el cambio notacional que tenemos que hacer consiste en reemplazar a m por la carga eléctrica total del núcleo atómico elipsoidal,  la cual debe ser igual a la carga eléctrica e de un protón multiplicada por el número atómico Z del elemento en cuestión (que viene siendo lo mismo que el número total de protones que hay en el núcleo). De este modo, obtenemos para el momento de cuadripolo eléctrico la siguiente relación:

Viendo las figuras de arriba, resulta claro que si los dos semiejes a son mayores que el semieje c entonces el elipsoide será un elipsoide oblato, mientras que si los dos semiejes a son menores el semieje c entonces el elipsoide será un elipsoide prolato. Entonces, de acuerdo a la ecuación obtenida, para un elipsoide oblato el momento de cuadripolo será positivo mientras que para un elipsoide prolato será negativo. Sin embargo, y como se hizo hincapié al principio, se ha vuelto costumbre asignarle a los elipsoides prolatos un momento de cuadripolo positivo y a los elipsoides oblatos un momento de cuadripolo negativo. Esto se corrige fácilmente invirtiendo los términos dentro del paréntesis para que los signos correspondan con las convenciones aceptadas. El momento de cuadripolo Q viene quedando entonces como:

Finalmente, es costumbre definir el momento de cuadripolo de modo tal que, dimensionalmente, tenga las unidades de área. Para ello, se toma la definición formal del mismo y se le divide entre la carga eléctrica de un protón, con lo cual queda especificado en unidades de área:

De este modo, la expresión final de la relación que estamos derivando para el momento de cuadripolo viene quedando como:

Obsérvese que en esta relación para el caso en el que c.=.a (una esfera perfecta), la definición del momento de cuadripolo eléctrico de nueva cuenta se reduce a Q.=.0, como era de esperarse.

PROBLEMA: Siendo el volumen de un elipsoide:

lo cual nos permite considerar al radio nuclear promedio como:

con:

demuéstrese que el momento cuadripolar eléctrico está dado por la siguiente expresión:

Puesto que, por hipótesis:

entonces, para δR₀.«.R₀ (lo cual supone que la desviación de la esfericidad perfecta no es grande) se tiene que (recurriendo a la expansión binomial para aproximar el denominador):

Por lo tanto:

Entonces, usando la relación obtenida arriba para el momento de cuadripolo Q:

PROBLEMA: El momento cuadripolar eléctrico del gadolinio ₆₄Ga¹⁵⁵ fermi. Suponiendo que el radio promedio se puede tomar como R₀ dado por la expresión:

encuéntrese la desviación de la esfericidad perfecta para el núcleo atómico del gadolinio.

Usando la relación dada, el radio promedio para el gadolinio es:

Recurriendo al resultado obtenido en el problema anterior, se tiene entonces que:

El resultado obtenido demuestra que para el ₆₄Ga¹⁵⁵ el núcleo es casi esférico, con una desviación de esfericidad de apenas un 2.99% del radio promedio.

Hay otras maneras de definir la desviación con respecto a una esfericidad perfecta. Una de ellas consiste en definir un parámetro de eccentricidad η de la siguiente manera:

La siguiente tabla de datos recopilados experimentalmente para valores del momento de cuadripolo Q de varios elementos así como algunos isótopos de los mismos, tomada del segundo reporte preliminar “Nuclear Electric Quadrupole Moments and Quadruple Couplings in Molecules” elaborado por Bernard Taub Feld y publicado en los Estados Unidos por el National Research Council en mayo de 1949 bajo la serie Nuclear Science Series utiliza precisamente tal definición de eccentricidad:

Como puede inferirse de la tabla, hay momentos de cuadripolo positivos y negativos. Obsérvese que, por lo general, las desviaciones respecto a una esfericidad perfecta son pequeñas, considerando los valores pequeños del parámetro de eccentricidad η dados arriba. El momento de cuadripolo más grande corresponde al lutecio  Lu¹⁷⁶ (el cual es un radioisótopo muy estable con un período de semidesintegración de 3,78×10¹⁰ años) cuya eccentricidad es de η.=.0.2 únicamente.

La siguiente gráfica ilustra los momentos de cuadripolo para varios elementos, destacándose en la misma con números rojos los lugares en donde ocurren los llamados números mágicos que en el caso del núcleo atómico corresponden a momentos de cuadripolo cercanos a cero, indicando un “empacamiento” casi perfecto de los nucleones resultando en una esfericidad casi perfecta:

Intentaremos dar ahora una justificación a la definición puesta arriba para el momento de cuadripolo Q en el caso de una distribución elipsoidal continua de carga eléctrica. Con este propósito, supondremos en base a las concepciones visuales que nos hemos formado que el campo eléctrico es cilíndricamente simétrico con respecto a una dirección-z, como lo sugieren las siguientes figuras para un elipsoide prolato y un elipsoide oblato:

Si el campo eléctrico es cilíndricamente simétrico, entonces podemos escribir para la componente-z del campo eléctrico lo siguiente (en este postulado hacemos al campo eléctrico igual a cero en el origen, lo cual destacamos con el subíndice de 0):

El campo eléctrico es producido por las cargas a cierta distancia, y se intuye que la divergencia del campo eléctrico total se debe desvanecer. Puesto que los semiejes a y b en el elipsoide son iguales, las componentes del campo eléctrico en el eje-x y en el eje-y deben ser iguales, y por lo tanto se debe tener lo siguiente:

para poder tener una divergencia igual a cero para el campo eléctrico en su totalidad así como una simetría cilíndrica. Comprobar que con las componentes del campo eléctrico especificadas de este modo la divergencia del campo eléctrico es igual a cero es un asunto relativamente fácil:

El potencial eléctrico total Φ (una cantidad escalar) asociado con el campo eléctrico es igual a la suma (escalar) de los potenciales eléctricos producidos Φ_x, Φ_y y Φ_z por cada una de las componentes del campo eléctrico:

De acuerdo a una de las definiciones más fundamentales de la electrostática clásica, el campo eléctrico a lo largo de cada eje coordenado está relacionado con el potencial eléctrico Φ sobre dicho eje coordenado de la siguiente manera:

En base a esto, obtenemos los potenciales eléctricos Φ_x, Φ_y y Φ_z pde la siguiente manera:

Entonces el potencial eléctrico total Φ asociado con el campo eléctrico debe ser:

Nuevamente, apelando al hecho de que de acuerdo a la electrostática clásica la energía E de una distribución continua de carga ρ(x,y,z) en este campo eléctrico está dada por (podemos visualizar esta “auto-energía” como la energía requerida para traer elementos infinitesimales de carga desde el infinito juntándolos en un solo lugar para formar la distribución continua de carga, en este caso de forma elipsoidal, o bien como la energía que sería liberada si los elementos infinitesimales de carga se pudieran desprender por la repulsión eléctrica entre ellos separándose hasta quedar a distancias muy grandes entre sí):

se tiene entonces que la energía de la distribución de carga está dada por:

La energía E de la distribución continua de carga y el momento de cuadripolo Q están relacionados a través de la constante K que es el gradiente del campo eléctrico en la posición del núcleo,

El lector observador se habrá dado cuenta de que en las discusiones dadas arriba se usaron argumentaciones puramente clásicas, no se recurrió para nada a la Mecánica Cuántica, y tal vez se pregunte con toda razón: ¿en donde entra pues la Mecánica Cuántica? De inicio, y puesto que el momento de cuadripolo es una observable física, una cantidad que puede ser medida experimentalmente en el laboratorio, podemos sospechar y postular que, al igual que a todas las demás observables físicas que hemos estado manejando, a la observable física momento de cuadripolo Q le corresponde un operador momento de cuadripolo Q. Enfocarlo todo desde la perspectiva de la Mecánica Cuántica nos pone de inmediato en una ruta “dorada” para obtener con mayor facilidad resultados cuya derivación es menos comprensible por medios clásicos. Empecemos por la obtención del concepto del momento de cuadripolo. Para un núcleo esférico, y usando el lenguaje probabilista de la Mecánica Cuántica, los valores esperados (las esperanzas matemáticas) de los cuadrados de la distancia del centro a la superficie a lo largo de las direcciones x, y y z deben ser iguales el uno al otro:

Como consecuencia, el valor esperado de r².=.x²+y²+z² debe ser:

Podemos definir así de una manera sencilla al operador momento de cuadripolo Q como vara de medición de la desviación de la esfericidad perfecta de la distribución eléctrica de la carga, en función de la diferencia entre 3z² y r²:

Como consecuencia, se tiene que para un núcleo esférico el valor esperado del momento de cuadripolo es:

Así, si un núcleo se abulta más en su dirección ecuatorial achatándose en las regiones polares, el valor esperado de z² es menor que el valor esperado promedio de los cuadrados de las distancias a lo largo de los otros dos semiejes, y el momento de cuadripolo será negativo.

Por la forma en la que está definido, el momento de cuadripolo resulta ser un tensor esférico de segundo orden, resultando ser portador de dos unidades de momento angular (con l.=.2). Esto permite expresar al operador momento de cuadripolo de la siguiente manera en el lenguaje de las armónicas esféricas:

La mejor forma de resaltar la naturaleza del momento de cuadripolo como un tensor esférico de segundo orden es escribiéndolo empleando la notación utilizada en la entrada titulada “Operadores tensoriales”, o sea como Q^(J)_m, y escribiendo explícitamente sus componentes para algún valor de J, digamos, J.=.2:

En este punto nos vemos obligados a hacer un alto para meditar en el hecho de que todo lo que hemos estado considerando arriba supone que la carga eléctrica del núcleo atómico (suministrada por los protones, sin contribución alguna de los neutrones por carecer de carga eléctrica) es una carga estática. Si esto fuera así, lo único que podríamos observar en el núcleo atómico sería su momento de cuadripolo eléctrico Q. Sin embargo, experimentalmente se encuentra que el núcleo atómico además de poseer un momento de cuadripolo posee también un momento magnético, el cual de acuerdo a la electrodinámica clásica simple y sencillamente no puede ser producido por una carga eléctrica estática, se requiere que sea producido por una carga eléctrica en movimiento. Esto nos arroja a una situación nueva, ya que en vez de la imagen que se tenía del núcleo atómico como una mezcla homogénea y estática de protones y neutrones diluídos dentro de una esfera o un elipsoide, se debe tener dentro del núcleo atómico el equivalente de cargas eléctricas en movimiento. Pero aún más sorprendente es el hecho de que el comportamiento (como es manifestado por el momento magnético del núcleo) parece seguir reglas de cuantización similares a las reglas de cuantización que se aplican a los electrones exteriores orbitales; esto es, el momento magnético del núcleo atómico debe poseer el equivalente de un momento angular orbital. Esto significa si le aplicamos al átomo un campo magnético exterior entonces el núcleo del átomo puede tender a “alinearse” con el campo magnético exterior, pero sin hacerlo de una manera continua sino en pasos discretos, tal y como ocurre con los electrones que orbitan en torno al núcleo. La “alineación” en todo caso debe ser entre el campo magnético exterior y un vector propio del núcleo atómico, su vector de momento angular que podemos simbolizar como I o como J. El momento de cuadripolo eléctrico Q es una cantidad escalar que no posee dirección ni sentido. En cambio el momento angular del núcleo atómico es una cantidad que sí posee dirección y sentido, es una cantidad vectorial. Los momentos eléctricos de un núcleo están determinados por la distribución de la carga eléctrica dentro del núcleo, mientras que los momentos magnéticos están determinados por la distribución de lo que podemos considerar como corrientes eléctricas dentro del núcleo. Puesto que estamos hablando de dos conceptos diferentes aplicados al mismo núcleo, obviamente ambos conceptos deben estar ligados de varias maneras, no pueden estar “divorciados”.

Experimentalmente se ha encontrado, y teóricamente se ha confirmado, que lo que pudiéramos llamar el momento angular orbital (¡dentro del núcleo atómico!) debe ser un múltiplo integral de ħ.

Además del momento angular que pueda ser contribuído por cada carga en movimiento dentro del núcleo, experimentalmente se ha confirmado que el neutrón y el protón poseen cada uno un momento angular intrínseco de magnitud ħ/2, tal y como ocurre en el caso del electrón, manifestado en las propiedades magnéticas. Puede parecer sorprendente al principio que una partícula que carece por completo de carga eléctrica como el neutrón sea capaz de producir un momento magnético al estar en rotación. Sin embargo, la ausencia de carga eléctrica significa únicamente que la integral (volumétrica) de la densidad de carga es igual a cero. Una esfera (por ejemplo) cuya superficie esté negativamente cargada y en cuyo interior esté concentrada una carga igual pero positiva, parecería carecer de carga, pero sin embargo producirá un momento magnético al ser puesta en rotación de acuerdo a la electrodinámica clásica.  Este momento angular intrínseco del protón o del neutrón es a lo que comúnmente nos referimos como su “spin”. Las propiedades mecánico-cuánticas de un momento angular de magnitud ħ/2 son tales que su orientación puede ser descrita por solo dos estados, en los cuales es “paralelo” o “antiparalelo” a cualquier dirección. La componente del spin a lo largo de cierta dirección, digamos, el eje-z, puede ser +ħ/2 ó -ħ/2.

Puesto que los núcleos atómicos están hechos de neutrones y protones, cada núcleo atómico posee un momento angular I (que también simbolizamos aquí como J en base a una notación común) que es el efecto combinado del spin intrínseco de los constituyentes y del momento angular orbital que se lleva a cabo dentro del núcleo. El spin intrínseco puede de cualquier nucleón (protón, neutrón) puede sumar o restar ħ/2, dependiendo de su orientación relativa al eje de referencia (paralelo o antiparalelo). Por lo tanto, el momento angular total de un núcleo debe ser un múltiplo integral de ħ para núcleos con un número par A de constituyentes (como se refleja en el número de la masa atómica que a su vez refleja el número total de protones y neutrones de un núcleo) y debe ser un múltiplo impar de ħ/2 para núcleos con un A impar. Este resultado, que ha sido verificado experimentalmente en todas las mediciones llevadas a cabo, es una de las razones para suponer que el núcleo consiste de neutrones y protones, y no de electrones y protones. Se ha encontrado, por ejemplo, que los núcleos H² (el deuterón), Li⁶ y N¹⁴ tienen todos ellos spins iguales a ħ, una observación acorde con nuestras conclusiones, puesto que cada uno de estos núcleos consta de un número par de nucleones (2, 6 y 14, respectivamente). Si estos núcleos estuviesen formados por protones y electrones, el número de constituyentes tendría que ser impar en cada caso para poder dar cuenta de las cargas eléctricas: 2 protones y un electrón en H²; 6 protones y 3 electrones en Li⁶; 14 protones y 7 electrones en N¹⁴. El spin total de cada núcleo sería un múltiplo medio-integral de ħ, en contraposición con los resultados experimentales.

El momento angular total de un núcleo es a lo que nosotros nos referimos cuando hablamos de su “spin”, pese a que el momento angular total incluye tanto los momentos angulares orbitales como los momentos angulares intrínsecos, mientras que el término “spin” usualmente es reservado para los momentos angulares intrínsecos de partículas elementales (tales como el electrón, con un momento angular intrínseco ħ/). Esta terminología desafortunada para los momentos angulares de los núcleos fue introducida en una época en la que la estructura interna de los mismos aún no había sido objeto de atención, y es algo con lo que tenemos que resignarnos a vivir.

El momento angular de un estado excitado de un núcleo puede ser diferente de su momento angular cuando se encuentra en su estado fundamental (basal). La contribución de los momentos angulares orbitales y la orientación relativa de los spins intrínsecos de los nucleones constituyentes difiere, en general, de un estado a otro en un núcleo. Cualesquier efecto cambia el momento angular total en un múltiplo integral de ħ. De este modo, los spins de los estados excitados pueden diferir del spin del estado fundamental en múltiplos integrales de ħ. El término “spin del núcleo”, sin ninguna otra especificación, siempre se refiere al estado de energía más baja del núcleo.

La mayoría de las mediciones de los spins nucleares están basadas en lo que se ha dado en llamar “la cuantización espacial de los momentos angulares”. Cualquier momento angular I puede estar orientado en el espacio con respecto a un cierto eje dado en únicamente (2I+1) direcciones. La componente del momento angular a lo largo del eje de referencia en cualquiera de estos estados tiene la magnitud mħ, en donde el número cuántico magnético m puede ser cualquier miembro de la secuencia:

-I , -I +1 , -I +2 , ... , +I

La mayoría de los efectos observables del spin están basados en el momento magnético que invariablemente está conectado con un momento angular. Las (2I+1) orientaciones de este momento en un campo magnético dan lugar a (2I+1) distintos valores energéticos que pueden ser observados.

Se ha encontrado experimentalmente que todos los núcleos con un número de masa A que sea par carecen de momento angular (I.=.0) con la excepción de los llamados núcleos impar-impar en los cuales el número atómico Z (que representa el número de protones en el núcleo) y el número N (el número de neutrones) ambos son impares. Existen únicamente cuatro núcleos impar-impar estables: H², Li⁶, B¹⁰  y N¹⁴.

Los spins nucleares son relativamente pequeños; el valor más grande que se ha medido es de 9/2, y solo hay un núcleo (Lu¹⁷⁶) con I.≥.7 (el cual resulta ser el elemento que posee el momento de cuadripolo Q más grande de todos en la tabla dada arriba). Estos valores son muy inferiores al valor de A/2 que podría esperarse si todos los spins intrínsecos fueran paralelos. Esto indica que hay una tendencia en los núcleos para que se lleve a cabo una cancelación de sus spins intrínsecos, un efecto que puede ser explicado como consecuencia de la naturaleza de las fuerzas nucleares.

Es importante tener muy en claro que el momento angular en lo que toca al núcleo atómico es una cosa completamente diferente a lo que tiene que ver con el momento angular (orbital) asignado a los electrones que circundan al núcleo atómico. Y precisamente para hacer resaltar la diferencia, en lugar de utilizarse la letra l (como lo acabamos de hacer arriba) para simbolizar el momento angular del núcleo atómico muchos autores utilizan la letra I. De este modo, para varias relaciones de índole cuántica podemos tener lo que parecen ser dos expresiones muy parecidas pero que en realidad representan cosas totalmente diferentes. Tómese por ejemplo la relación que nos da el ángulo de orientación θ para un electrón orbital circundando el núcleo atómico, comparada con la expresión que se aplica en el caso del núcleo atómico:

¿Son iguales? Desde el punto de vista puramente matemático, ambas relaciones son lo mismo. Sin embargo, desde el punto de vista físico, y dependiendo de la notación que esté siendo empleada por algún autor, una expresión puede ser una referencia a los electrones ubicados en las capas energéticas que rodean al núcleo del átomo como nubes borrosas de carga, mientras que la otra puede ser una referencia a algo propio de un núcleo atómico que inclusive puede encontrarse solo (completamente ionizado) con todos sus electrones arrancados de algún modo. La torre de Babel notacional es complicada por el hecho de que en las discusiones de acerca de los niveles energéticos de los electrones que rodean al átomo el momento angular orbital total l también es simbolizado como j, y lo único que permanece igual es el número cuántico magnético simbolizado como m. Del mismo modo, en el caso del núcleo, y con la finalidad de establecer una distinción, el número cuántico símil se escribe en mayúscula, o sea como J. Hay todo tipo de combinaciones notacionales en la literatura, y no es posible dar una generalización convencional porque no la hay, y lo único que se puede hacer es permanecer alerta en todo momento para no caer en confusiones.

Si la observable física momento de cuadripolo Q es derivable de un operador momento de cuadripolo Q, entonces cabe suponer que ello es el resultado de la evaluación del valor esperado (o expectativa matemática)  del operador Q en referencia a cierta función de onda ψ:

¿Pero de qué tipo de función de onda ψ estamos hablando? Si se le puede ascribir al interior del núcleo un momento angular orbital que designaremos como J, y un número cuántico magnético m que puede tomar los valores:

m, m - 1, m - 2, m - 3, ... , -m

entonces, utilizando un orden parecido al que fue utilizado para simbolizar funciones de onda como las que corresponden a la de la partícula libre o a la del electrón del átomo hidrogenoide, podríamos postular algo como lo siguiente:

en donde α representa la parte radial de la función de onda y los números cuánticos J y m representan la parte angular relacionada con el momento angular del núcleo atómico. Pero esto nos arroja a otra disyuntiva, ya que es posible, en principio, dar varias definiciones diferentes al momento de cuadripolo de acuerdo al valor que se le asigne al número cuántico magnético m:

Por convención, se acepta que el momento de cuadripolo eléctrico de un estado nuclear es aquél para el cual el valor esperado del mismo es el que corresponde al subestado con el máximo valor posible de m, esto es:

Puesto que los números cuánticos relacionados con el momento angular eventualmente terminan relacionados con la parte angular de la función de onda, y por lo tanto terminan relacionados de alguna manera con las armónicas esféricas Y_lm (que en nuestra notación referente al núcleo atómico pueden ser simbolizadas como Y_Jm),  resulta conveniente efectuar un cambio en la definición del momento de cuadripolo Q empezando por prescindir de las coordendas rectangulares Cartesianas (x,y,z), efectuando la transición hacia un sistema de coordenadas esféricas (r,θ,φ). Esto lo podemos lograr haciendo:

con lo cual:

Efectuado este cambio, no resulta difícil ver cómo se obtuvo la expresión dada arriba para el operador momento de cuadripolo expresado en el lenguaje de las armónicas esféricas, ya que siendo:

se deduce de inmediato que:

Si α_J es la parte radial de la función de onda ψ que describe al estado nuclear cuando se encuentra en el estado J, entonces la condición de normalización en coordenadas esféricas para la parte radial debe ser la siguiente:

La evaluación de la esperanza matemática del momento de cuadripolo, expresada en forma explícita en sus partes radial y angular, viene siendo:

La solución a la integral angular efectuada sobre las tres armónicas esféricas puede ser expresada mediante los símbolos 3-j de Wigner (obsérvese que en los símbolos de Wigner la suma de los elementos del renglón inferior debe ser siempre igual a cero, los valores J deben ser siempre positivos o cero, y deben satisfacer la regla del triángulo según la cual la suma de cualquiera de dos elementos debe ser un entero que no debe ser menor que el tercero):

Para J.=.2, los valores numéricos para los símbolos 3-j de Wigner son (hay sitios disponibles en Internet con “calculadoras” que proporcionan ayuda con el cálculo de estos símbolos):

De este modo, el valor numérico de la primera integral angular con m_J.=.2 es:

pudiéndose obtener del mismo modo las otras dos integrales angulares para m_J igual a 1 y 0, respectivamente. En lo que respecta a la parte radial, considerando que las desviaciones respecto a una esfericidad perfecta son pequeñas, podemos tomar para la esperanza matemática:

el cuadrado del radio nuclear promedio de acuerdo a las tablas disponibles, que en el caso del deuterón, por ejemplo, es igual a 0.77 fermi².

Hemos definido el momento de cuadripolo de modo tal que el eje de simetría cilíndrica del cuerpo elipsoidal (el semieje mayor) coincida con el eje-z. Frecuentemente estamos interesados en saber lo que sucede cuando le aplicamos un campo eléctrico externo al núcleo atómico, muy en especial cuando el eje de simetría del cuerpo no coincide con la dirección de las “líneas de fuerza” del campo eléctrico externo. Si queremos definir al momento de cuadripolo en una situación en la cual no haya tal coincidencia, en donde el eje de simetría cilíndrica se encuentre a un ángulo β con respecto al eje-z, entonces si redefinimos al eje principal de simetría del núcleo elipsoidal como z’ (agregándole una comilla) definiendo al ángulo β como el ángulo entre los ejes z y z’, podemos encontrar la expresión que relaciona al momento de cuadripolo en ambas situaciones llevando a cabo una rotación del eje de simetría del cuadripolo en torno al eje-y (en el resultado final podemos obtener la misma conclusión si llevamos a cabo la rotación en torno al eje-x), para lo cual podemos obtener las relaciones requeridas de la matriz de rotación:

Con estas transformaciones, y usando el hecho de que:

se tiene entonces:

en donde lo que se ha destacado en color magenta corresponde esencialmente a lo que se ha definido para el momento de cuadripolo eléctrico “clásico”. Supongamos ahora que el momento de cuadripolo Q representa con respecto a Q₀ el momento de cuadripolo Q(m) del núcleo atómico para un subestado cuántico m. De acuerdo a lo que se obtuvo arriba, el cociente de dos momentos de cuadripolo Q(m₁) y Q(m₂) para dos subestados m₁ y m₂ es:

El mejor alineamiento posible entre J y el eje-z se logra cuando m.=.J. Por lo tanto, Q(m.=.J.) es el momento de cuadripolo más grande que se pueda observar, y es lo que más se acerca a lo que hemos identificado como el momento (clásico) de cuadripolo Q₀. Por lo tanto, el momento de cuadripolo cuando el núcleo atómico se encuentra en el estado m está relacionado con el momento de cuadripolo cuando el núcleo atómico se encuentra en el estado m.=.J. mediante la relación:

Lo que tenemos en el lado izquierdo destacado en color azul puede tomarse como una definición para el momento de cuadripolo cuántico, mientras que lo que tenemos en el lado derecho destacado en color magenta puede tomarse como lo que hemos llamado arriba el momento de cuadripolo clásico, estando ambos conceptos conectados mediante la relación:

Hay en la literatura otras expresiones similares de este tipo que relacionan lo que concebimos como un momento de cuadripolo cuántico que está discretizado y lo que concebimos como un momento de cuadripolo clásico.

El hecho de que el núcleo del átomo, además de poseer un momento de cuadripolo, posea un momento magnético, trae como consecuencia un efecto importante. Anteriormente habíamos visto que al someter una muestra gaseosa de un elemento cualesquiera a un campo magnético externo, las líneas correspondientes a su espectro de emisión (o de absorción) se desdoblan en lo que hoy es conocido como el efecto Zeeman, y la distancia de separación entre los niveles de desdoblamiento será mayor cuanto mayor sea la intensidad del campo magnético externo que está siendo aplicado. Sin embargo, había un desdoblamiento adicional muy fino (hiperfino) pese a la ausencia total de campo magnético externo, cuyo origen no podía ser explicado, hasta que Pauli postuló primero y Hendrik Casimir lo demostró rigurosamente después en 1936, son precisamente el momento de cuadripolo Q que se origina en el núcleo atómico así como el momento magnético nuclear los que desde el mismo núcleo del átomo inducen sobre los electrones exteriores una interacción que produce el desdoblamiento hiperfino de líneas espectrales. Es precisamente de las investigaciones de la estructura hiperfina atómica y molecular en donde obtenemos nuestros conocimientos de los momentos del cuadripolo eléctrico nuclear.

El hecho de que el núcleo atómico posea un momento angular de spin tiene otra consecuencia importante. Si suponemos que este momento angular de spin es ocasionado por cargas eléctricas en movimiento (corrientes eléctricas) dentro del núcleo atómico, y concebimos al momento angular de spin como un vector (orientado, por conveniencia de análisis, a lo largo del eje-z) que representa al núcleo atómico girando en torno al eje de referencia, entonces la aplicación de un campo magnético exterior uniforme y homogéneo hará que el movimiento de rotación del núcleo atómico en torno a su eje de rotación entre en un movimiento de precesión (al igual que un trompo clásico) en torno al eje que está alineado con las líneas del campo magnético exterior que está siendo aplicado. Si además de aplicar un campo magnético exterior uniforme y constante le aplicamos a la muestra una señal de radiofrecuencia que sea de la misma frecuencia a la que está ocurriendo el movimiento de precesión del “trompo” nuclear, entonces ocurrirá un efecto de resonancia, más apropiadamente descrito como un efecto de resonancia magnética nuclear. Este es el mismo efecto que le ha dado a los químicos una de sus herramientas más poderosas para poder descifrar las estructuras internas de los compuestos que estudian. Y le ha dado a los médicos una de las herramientas de diagnóstico más potentes con que se cuenta para poder explorar el interior del cuerpo humano, sin someter a los pacientes a los efectos de las radiaciones ionizantes propias de los rayos-X cuyos efectos nocivos son cumulativos a largo plazo. El estudio más detallado de estos efectos lo veremos en la serie de entradas tituladas “Espectroscopías de resonancia magnética”.

Se había afirmado arriba que el concepto del momento de dipolo eléctrico, más sencillo y manejable que el concepto del cuadripolo eléctrico, aunque pueda ser definido y obtenido para una distribución continua de carga de forma elipsoidal, termina siendo una cosa irrelevante en todo lo que tenga que ver con  en el núcleo atómico por el simple hecho de que la paridad cuántica interviene en el asunto destruyendo y nulificando cualquier contribución que el dipolo eléctrico pueda proporcionar al comportamiento cuántico del núcleo. Veamos ahora esto un poco más a fondo.

Primero que nada, como ya se asentó arriba, por definición (electrostática clásica) la intensidad del campo eléctrico es igual al gradiente del potencial eléctrico Φ. Suponiendo que el campo eléctrico varía en la dirección del eje-z, entonces el campo eléctrico está dado por la expresión:

El potencial eléctrico Φ se puede obtener por lo tanto del campo eléctrico mediante un sencillo procedimiento de integración:

Llevando a cabo la integración:

siendo Φ(0) la constante (arbitraria) de integración. La energía E de la distribución de carga en este potencial  Φ es:

siendo q la carga eléctrica total y siendo:

el momento de dipolo eléctrico, precisamente el concepto que nos sentiríamos tentados a utilizar en el estudio de las propiedades eléctricas del núcleo atómico. Desafortunadamente, esta sencilla definición clásica no es suficiente para nuestros propósitos, ya que el momento de dipolo eléctrico es necesariamente cero para cualquier sistema mecánico-cuántico en un estado estacionario. Para demostrarlo, necesitamos una versión mecánico-cuántica de la definición clásica del momento de dipolo D_z. Sea:

la función de onda del estado estacionario. Los primeros Z vectores radiales de posición corresponden a las coordenadas de la posición de los protones dentro del núcleo, mientras que los vectores posición restantes son las coordenadas de los neutrones. La probabilidad de encontrar a un nucleón i en el elemento de volumen dV alrededor de la posición r está dada por P_idV en donde:

La integración es una integración múltiple que se debe llevar a cabo sobre las coordenadas de todas las partículas excepto la partícula i, y a la coordenada r_i se le da el valor de r. Si convenimos en hacer esto, la densidad de carga ρ(x,y,z) adquiere una connotación probabilista en el sentido mecánico-cuántico al estar dada por la expresión:

siendo e la carga eléctrica (positiva) de cada protón en el núcleo. La sumatoria se extiende únicamente sobre los protones, en virtud de que los neutrones no contribuyen a la densidad de carga eléctrica en el núcleo. De este modo, el valor mecánico-cuántico del momento de dipolo eléctrico, en este caso el de la componente-z, está dado por:

en donde dτ indica que la integración debe llevarse a cabo sobre todo el espacio de configuración, esto es, sobre todas las coordenadas. Esta vendría siendo la versión mecánico-cuántica del momento de dipolo (compárese con la expresión clásica que tenemos arriba). Pero el problema aquí es que cada uno de los integrandos es el producto de una función impar (z_i) bajo una operación de inversión espacial, y una función par (la densidad de probabilidad de la función de onda) haciendo que todas y cada una de las integrales se desvanezcan. En esto tiene que ver el hecho de que un estado estacionario de un sistema mecánico-cuántico posee una paridad definida bajo una inversión del sistema de coordenadas, la cual puede ser paridad positiva cuando:

o paridad negativa cuando:

En ambos casos, se tiene incondicionalmente:

Así pues, cualquier intento de evaluar un momento de dipolo eléctrico desde el punto de vista mecánico-cuántico resultará en una integral o una suma de integrales que se desvanecerán en virtud de que la función impar z_i que tenemos arriba hará que la integración termine siendo cero. La conclusión es inevitable: Los sistemas mecánico-cuánticos en estados estacionarios no poseen momentos permanentes de dipolo eléctrico. De allí que sea necesario recurrir al momento de cuadripolo eléctrico (el cual con sus términos cuadráticos como 3z² y r² dará integrales que son diferentes de cero) para poder explicar la fenomenología del núcleo atómico. Los pioneros de la Mecánica Cuántica se dieron cuenta de este hecho desde un principio, abandonando cualquier intento por tratar de describir el comportamiento del núcleo atómico usando el concepto del dipolo eléctrico (hay un concepto más elaborado aún que el del cuadripolo, el momento de octopolo, el cual afortunadamente no requerimos para nuestros propósitos). Escribamos al momento de cuadripolo en el estado ψ en su versión mecánico-cuántica de la siguiente manera (compárese con la expresión mecánico-cuántica dada arriba para el momento de dipolo D_z.):

Esto nos permite confirmar de inmediato que un núcleo solo puede tener un momento de cuadripolo si su momento angular es igual o mayor que la unidad. En efecto, escríbase lo anterior de la siguiente manera para un solo protón:

en donde F simboliza la cantidad dentro de los paréntesis cuadrados:

Supóngase que ψ es una función de onda con un momento angular m. La cantidad:

tendría un momento angular l.=.2 si fuese considerada como una función de onda convencional. De acuerdo a las reglas de combinación para los momentos angulares, el producto F puede ser particionado en la suma:

en donde cada F_J es una función de onda con momento angular total J. Puesto que dos funciones de onda con momentos angulares totales distintos son necesariamente ortogonales, la integral:

se desvanecerá a menos de que uno de los valores J en la suma dada arriba sea igual a m. Esto es imposible para m.=.0 que vendría siendo el único valor posible J que a su vez termina siendo igual a 2; y siendo J distinto de m se descarta por lo tanto la posibilidad m.=.0. Algo similar ocurre para m.=.1/2 (el valor más bajo de J resulta ser 3/2 en dicho caso). Sin embargo, la condición se puede cumplir para m.=.1 o más. Se concluye entonces que los momentos de cuadripolo son necesariamente iguales a cero en estados cuyo momento angular es cero o 1/2.

Esta es un lugar apropiado para repasar algunas de las propiedades del deuterón. Un deuterón o deuterio es un sistema compuesto de un protón y un neutrón, y como tal representa el núcleo más simple que tiene más de un nucleón. El momento de spin del deuterón tiene un valor S.=.1 (esta es la suma de los spines del protón y del neutrón, de 1/2 cada uno). El deuterón posee un momento angular total J.=.1. Es posible asignarle al núcleo de un átomo un único momento angular cuantizado L. La existencia de un momento de cuadripolo Q de +0.282 fm² en el deuterón implica que la fuerza nuclear no es una fuerza puramente central, y puesto que la interacción protón-neutrón no es central, se encuentra que el deuterón no posee un momento angular definido. En cambio, un deuterón en su estado fundamental tiene un 96% de probabilidad de encontrarse en un estado S (L.=.0) y un 4% de probabilidad de estar en un estado D (L.=.2).

PROBLEMA: Determinar los estados cuánticos de un deuterón si su momento angular total tiene un número cuántico J.=.1.

El momento angular total (J) del deuterón es la suma vectorial del momento angular del sistema ligado protón-neutrón (L) y el spin intrínseco total del sistema protón-neutrón (S). Puesto que ambos, neutrón y protón, tienen un spin intrínseco S.=.1/2, el spin total intrínseco es 0 (único estado) ó 1 (estado triple). Como J.=.L.+.S y S.=.0,.1, los únicos valores posibles para L son 0, 1 y 2. En la notación empleada por los espectroscopistas, los estados posibles del deuterón son ³S₁, ³P₁, ¹P₁ y ³D₁. El estado fundamental (basal) del deuterón es una mezcla de ³S₁ y ³D₁.

La definición dada para el momento de cuadripolo Q en coordenadas rectangulares Cartesianas para una distribución continua de carga tomando como referencia al eje-z haciéndolo coincidir con el eje de simetría del elipsoide:

no es la única definición que se puede postular. Podemos enunciar lo mismo para los otros dos ejes:

De hecho, podemos llevar esto aún más lejos, definiendo momentos de cuadripolo tales como Q_xy y Q_yz. Para ser precisos, podemos definir nueve cantidades de esta manera (en coordenadas rectangulares Cartesianas), que podemos simbolizar de una manera compacta de la siguiente manera (por simplicidad, se representará la triple integral con un solo símbolo integral):

Los nueve elementos Q_ij forman parte de lo que se conoce como un tensor de cuadripolo, simbolizado como Q, los cuales podemos agrupar en un arreglo rectangular como el siguiente:

PROBLEMA: Demostrar que la traza del arreglo rectangular de los elementos del tensor de cuadripolo es igual a cero.

Puesto que:

entonces:

El tensor de cuadripolo que se acaba de definir no debe confundirse con el operador tensor esférico momento de cuadripolo, aunque ambos conceptos pueden ser relacionados.

¿Qué tan justificados estamos en extender hacia el interior del núcleo atómico los mismos conceptos que han resultado tan exitosos para explicar el comportamiento de los electrones situados en torno al núcleo? Considérese que al dar este salto cuántico (literalmente hablando) estamos suponiendo que el mismo núcleo atómico puede encontrarse en un estado energético basal (fundamental) y puede encontrarse también en estados energéticos excitados discretos. Estamos suponiendo también que las conclusiones obtenidas mediante la Mecánica Ondulatoria son aplicables (con modificaciones mínimas a la simbología como en el ejemplo dado arriba) al interior del núcleo atómico. Estamos suponiendo también que el interior del núcleo atómico tiene algo comparable al momento angular con propiedades matemáticas parecidas a lo que hemos visto para los electrones situados en las capas energéticas que circundan al átomo. Esto ya de por sí pueden parecer demasiadas suposiciones. En realidad, la única justificación que tenemos para dar estos “saltos de fé” es la esperanza de que los resultados experimentales puedan ser traídos en concordancia con los modelos teóricos.

Considérese nuevamente la conclusión (experimental) de que el radio del núcleo atómico puede ser descrito (aproximadamente) por una relación como la siguiente:

en donde el factor numérico de 1.4 fermi (que ciertamente no es una constante universal) puede tener otros valores tales como 1.25 fermi dependiendo de la época y de los textos técnicos que sean consultados. La postulación de tal expresión parte del supuesto de que al interior del núcleo atómico la densidad es más o menos constante, lo cual supone que en el interior del núcleo atómico los protones y los neutrones están “disueltos” en alguna especie de “líquido cuántico” (por usar algún termino descriptivo) en el cual han perdido su identidad individual. Esto desde luego puede parecer aventurado, tomando en cuenta que de acuerdo a modelos teóricos más sofisticados los protones y los neutrones no son las partículas más fundamentales de la Naturaleza sino que hay otras partículas aún más fundamentales que ellos, de modo tal que en vez de tener alguna especie de “líquido” de densidad más o menos constante lo que se tiene es algo más complejo en el que las sub-partículas están interactuando de un modo complejo como lo ilustra la siguiente figura:

Si a esto sumamos el hecho de que mucho de lo que se conoce del interior del núcleo proviene de mediciones indirectas (por ejemplo, no es posible medir el momento de cuadripolo directamente, tiene que ser estimado a partir de mediciones espectroscópicas basadas muchas de ellas en la estructura hiperfina de los espectros), la prudencia debe imperar siempre en cualquier interpretación de los resultados que se obtengan en el laboratorio al tratar de ajustar los hechos experimentales a las explicaciones teóricas.