Indice

Prólogo

1. El modelo atómico planetario de Bohr I

2. El modelo atómico planetario de Bohr II

3. La espectroscopía de rayos-X

4. La extraña ecuación de Max Born

5. Vectores y matrices I

6. Vectores y matrices II

7. El análisis de Fourier

8. La regla de multiplicación de Heisenberg

9. Observables compatibles e incompatibles

10. Oscilador armónico simple: solución matricial

11. Matrices y probabilidad

12. El principio de incertidumbre I

13. El principio de incertidumbre II

14. El experimento Stern-Gerlach

15. El spin del electrón

16. Momento angular: tratamiento matricial I

17. Momento angular: tratamiento matricial II

18. Momento angular: tratamiento matricial III

19. La energía rotacional

20. Matrices y sub-matrices

21. Solución matricial del átomo de hidrógeno

22. Funciones matriciales

23. De la mecánica clásica a la mecánica matricial

24. La matriz momentum como generadora de traslación

25. La matriz generadora de rotación

26. Rotaciones de las matrices de Pauli

27. El aspecto estadístico de la Mecánica Matricial

28. Evolución temporal de los sistemas físicos

29. Matrices continuas

30. Ondas de materia

31. La ecuación de Schrödinger

32. Solución matemática de la ecuación de onda

33. Solución numérica de la ecuación de Schrödinger

34. Interpretación probabilista de ψ I

35. Interpretación probabilista de ψ II

36. Interpretación probabilista de ψ III

37. Operadores y esperanzas matemáticas I

38. Operadores y esperanzas matemáticas II

39. Oscilador armónico simple: solución ondulatoria

40. La función delta de Dirac

41. Transmisión y reflexión de partículas I

42. Transmisión y reflexión de partículas II

43. Transmisión y reflexión de partículas III

44. Transmisión y reflexión de partículas IV

45. El potencial delta de Dirac

46. Ondas de simetría circular y esférica

47. La notación bra-ket de Dirac

48. El espacio de Hilbert I

49. El espacio de Hilbert II

50. Operadores Hermitianos

51. Los operadores escalera I

52. Los operadores escalera II

53. El principio de incertidumbre, revisitado

54. El acto de medición

55. Momento angular: análisis ondulatorio I

56. Momento angular: análisis ondulatorio II

57. Momento angular orbital: funciones de onda I

58. Momento angular orbital: funciones de onda II

59. Polinomios de Legendre: aspectos matemáticos

60. La función de onda radial

61. La función de onda del momento angular del spin

62. El principio de exclusión de Pauli

63. El proceso de construcción Aufbau

64. El acoplamiento LS

65. La suma de momentos angulares

66. Las reglas de selección

67. Técnicas de aproximación I

68. Técnicas de aproximación II

69. Técnicas de aproximación III

70. Técnicas de aproximación IV

71. Perturbación y estados degenerados I

72. Perturbación y estados degenerados II

73. Modelos perturbativos para átomos hidrogenoides

74. El efecto Stark I

75. El efecto Stark II

76. Corrección perturbativa relativista

77. La estructura fina del hidrógeno

78. Perturbaciones dependientes del tiempo I

79. Perturbaciones dependientes del tiempo II

80. Perturbaciones dependientes del tiempo III

81. Interacción con un campo electro-magnético I

82. Interacción con un campo electro-magnético II

83. Interacción con un campo electro-magnético III

84. El método de aproximación WKB I

85. El método de aproximación WKB II

86. El método de aproximación WKB III

87. El método de aproximación WKB IV

88. El enlace molecular I

89. El enlace molecular II

90. La hibridación de los orbitales atómicos

91. La teoría de los orbitales moleculares

92. Teoría del campo cristalino

93. Operadores clase T

94. El espacio-posición y el espacio-momentum I

95. El espacio-posición y el espacio-momentum II

96. El espacio-posición y el espacio-momentum III

97. El espacio-posición y el espacio-momentum IV

98. La partícula libre I

99. La partícula libre II

100. La ecuación de movimiento de Heisenberg

101. Mecánicas Matricial y Ondulatoria: equivalencia

102. Evolución temporal de las ondas de materia I

103. Evolución temporal de las ondas de materia II

104. Estados coherentes

105. El operador de traslación

106. El operador de evolución del tiempo

107. Las representaciones de Heisenberg y Schrödinger

108. Operadores de rotación I

109. Operadores de rotación II

110. Los grupos de rotación I

111. Los grupos de rotación II

112. Los grupos de rotación III

113. La simetría como piedra angular

114. Representaciones irreducibles I

115. Representaciones irreducibles II

116. Los coeficientes Clebsch-Gordan I

117. Los coeficientes Clebsch-Gordan II

118. Los coeficientes Clebsch-Gordan III

119. Operadores tensoriales

120. El momento de cuadripolo

121. El teorema Wigner-Eckart I

122. El teorema Wigner-Eckart II

123. Mecánica Estadística Cuántica I

124. Mecánica Estadística Cuántica II

125. Mecánica Estadística Cuántica III

126. Mecánica Estadística Cuántica IV

127. Mecánica Estadística Cuántica V

128. Mecánica Estadística Cuántica VI

129. La matriz densidad I

130. La matriz densidad II

131. El láser

132. El teorema virial

133. Espectroscopías de resonancia magnética I

134. Espectroscopías de resonancia magnética II

135. Espectroscopías de resonancia magnética III

136. Espectroscopías de resonancia magnética IV

137. Esparcimiento clásico de partículas

138. Esparcimiento de las ondas de luz

139. Aspectos matemáticos de las ondas esféricas

140. El método de las ondas parciales

141. La aproximación de Born I

142. La aproximación de Born II

143. El teorema óptico

144. La ecuación Lippmann-Schwinger

145. El teorema adiabático I

146. El teorema adiabático II

147. La Mecánica Cuántica Relativista

Recursos de software

Constantes fundamentales y factores de conversión

Bibliografia

Prólogo

Empezaremos con la pregunta más obvia: ¿por qué otro texto sobre Mecánica Cuántica, habiendo ya tantos libros excelentes en el mercado? La respuesta obvia sería: la gran mayoría de esos libros fueron publicados e impresos en una época en la que no existía Internet. Se trata de libros que sólo pueden obtenerse y consultarse en las bibliotecas y librerías, y ello suponiendo que no sean libros que han dejado de imprimirse desde hace varias décadas. La segunda respuesta obvia sería: dados los costos actuales de impresión de libros técnicos y científicos, en su mayoría se trata de libros de costo elevado que no se encuentran disponibles a la venta en la mayoría de las librerías y tienen que ser pedidos bajo orden especial con tiempos de espera que pueden durar semanas. Una tercera respuesta obvia sería: la mayoría de los textos que tratan sobre Mecánica Cuántica están escritos en un idioma extranjero, en Inglés, en Alemán, e inclusive en Ruso, Alemán o Japonés.

A las anteriores razones para elaborar un texto sobre Mecánica Cuántica podríamos agregar otras, siendo una de ellas la queja frecuente de que muchos textos relegan material importante a ejercicios y problemas puestos al final de cada capítulo para los cuales la gran mayoría de las veces ni siquiera se proporciona respuesta, ya no se diga un procedimiento de solución. Y aunque esto tal vez no represente obstáculo alguno para aquellos que cuenten con un buen maestro y que estén atendiendo clases en una escuela de amplio prestigio, para aquellos autodidactas que no tienen el privilegio de poder asistir a clases a una institución de educación superior tal vez no haya algo más frustrante que el tener que estar batallando con un libro en el que muchos resultados importantes son relegados a ejercicios y problemas para los que no se dá respuesta alguna y por lo tanto no hay forma en la cual el estudiante autodidacta pueda medirse a sí mismo su comprensión del material.

A las anteriores objeciones se puede agregar una más, el hecho de que en el enfoque moderno de la enseñanza de la Mecánica Cuántica hay la tendencia a la adopción de un punto de vista rigurosamente formal, deductivo, en el cual se parten de ciertos postulados y definiciones y se procede a la derivación de fórmulas y teoremas sin entender muchas veces lo que está sucediendo detrás de todo el aparato matemático. En este enfoque riguroso se ha perdido la perspectiva de cómo fué que tras el exitoso desarrollo del modelo planetario del átomo de Bohr se desarrolló la Mecánica Cuántica Matricial. Antes de que la Mecánica Cuántica Ondulatoria de Schrödinger hiciera su aparición, con la Mecánica Matricial de Heisenberg ya se habían logrado avances importantes. Pese a ello, no es raro encontrarse con la sorpresa de que hay estudiantes a nivel de Doctorado en Física que no tienen ni siquiera la más vaga idea de cómo fue que se desarrolló la Mecánica Matricial, acostumbrados como están a pensar desde el punto de vista de la Mecánica Ondulatoria. En este trabajo se intenta rescatar el origen y desarrollo de la Mecánica Cuántica a partir de la Mecánica Matricial, y cómo posteriormente resultó que tanto la Mecánica Ondulatoria como la Mecánica Matricial resultaron ser esencialmente lo mismo pero visto desde perspectivas matemáticas diferentes.

La estructura de esta obra refleja la opinión muy particular del autor de que la Mecánica Cuántica como está siendo enseñada el día de hoy es al revés de como debería de ser enseñada. Por convención casi universal, se empieza casi siempre con la Mecánica Ondulatoria a partir de la ecuación diferencial de Schrödinger, y sólo después se introduce al alumno a la Mecánica Matricial, y ello en muchos casos de modo incompleto que no permite apreciar la equivalencia que hay entre ambos ramas de la Mecánica Cuántica. Históricamente, antes de que hubiera una Mecánica Cuántica Ondulatoria basada en la ecuación de Schrödinger, había ya una Mecánica Cuántica Matricial, y las matemáticas utilizadas en ella para explicar el mundo sub-atómico estaban basadas no en la aplicación de ecuaciones diferenciales sino en la aplicación de matrices. El principio de incertidumbre formulado originalmente por Werner Heisenberg surgió de la aplicación de las matrices al estudio de la Mecánica Cuántica, y la justificación del mismo dentro de la Mecánica Ondulatoria solo vino después. Muchas de las ideas elementales fácilmente entendibles a través de la aplicación de las matrices prescindiendo de los menos intuitivos operadores diferenciales se pueden tranportar posteriormente a la Mecánica Ondulatoria teniendo una visión más clara de lo que está sucediendo. Esta visión fue lo que le permitió a los fundadores de la Mecánica Cuántica poder seguir adelante. Al invertirse el orden de las cosas, resulta fácil terminar enredado en un conjunto de postulados y definiciones aparentemente inconexos cuya agresividad sólo puede ser enfrentada con la esperanza de que conforme se va avanzando se va aclarando el orden de las cosas, lo cual no siempre sucede. Una ventaja indudable de la Mecánica Matricial es que sus fundamentos pueden ser transmitidos sin el prerequisito de que el interesado en estudiarla haya tomado un curso de cálculo infinitesimal. En su mayor parte, con una noción básica de vectores y matrices suplementada con algunas definiciones como las que se proporcionan aquí, la Mecánica Matricial puede ser entendida cuando aún no se tiene idea alguna de lo que son las integrales y las diferenciales. En contraste, la Mecánica Ondulatoria exige como requisito indispensable el manejo no sólo de las herramientas del cálculo infinitesimal sino inclusive del material que se ve en un curso ordinario de ecuaciones diferenciales. Desde el punto de vista pedagógico, tiene mucho sentido empezar primero con la Mecánica Matricial que con la Mecánica Ondulatoria.

Generalmente es reconocido el hecho de que el papel publicado en julio de 1925 por Werner Heisenberg es el que dió fin a la “Teoría Cuántica Vieja”, y que con la exposición de su Mecánica Matricial se dió entrada a la Mecánica Cuántica tal como se conoce y se practica en la actualidad. Desafortunadamente este trabajo, el cual inició la revolución teórica de la Mecánica Cuántica, es considerado como material de difícil lectura debido en parte a que Heisenberg, adhiriéndose a las convenciones de formalidad y rigorismo, le proporcionó a los lectores muy pocas pistas sobre cómo fue que llegó a los resultados consignados en su trabajo. Llenar estos huecos no es fácil, aunque con un poco de imaginación podemos intuír cuál fue la línea de pensamiento seguida por Heisenberg para describir los fenómenos del mundo sub-microscópico usando matrices. Curiosamente, cuando Heisenberg dedujo su famosa “fórmula de sumación de términos cuadráticos”, no se había dado cuenta de que se trataba en realidad de la regla para la multiplicación de matrices. Afortunadamente, pronto entraron otros académicos de prestigio en acción, los cuales reconocieron que la nueva ciencia era en esencia una ciencia basada en el uso de las matrices. Independientemente, Erwin Schrödinger inspirado en las ideas de Louis de Broglie desarrolló otro tipo de Mecánica Cuántica basada no en el uso de matrices sino en el uso de operadores diferenciales. Las similitudes no tardaron en aflorar, como tampoco pasó mucho tiempo antes de que se lograra la unificación operacional de ambas ideas en una sola.

Desafortunadamente, muchos textos contemporáneos en el tema de la Mecánica Cuántica no hacen una distinción clara entre lo que es la Mecánica Matricial de Heisenberg y lo que es la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger, y en cambio hacen un excelente trabajo en revolver ambos conceptos desde el inicio de modo tal que el lector muchas veces no está seguro sobre las diferencias entre los procedimientos y las filosofías de ambas escuelas de pensamiento. Con la finalidad de evitar las confusiones que de tales mescolanzas injustificadas devienen, se ha trazado una línea divisoria clara entre ambas ramas de la Mecánica Cuántica, poniendo pie firme en la Mecánica Matricial y desarrollando esta escuela de pensamiento como si la Mecánica Ondulatoria no existiese. Eventualmente, al llegar al tema “Ondas de materia”, se hace un parteaguas y se deja atrás a la Mecánica Matricial para estudiar la Mecánica Cuántica desde la perspectiva ondulatoria. Esto permite una ir distinguiendo las semejanzas y las diferencias, hasta que eventualmente se llega al punto de lo que podríamos llamar la “gran unificación” de ambas filosofías demostrando la equivalencia matemática que hay entre ambas sin revolver sus conceptos fundamentales.

Cualquiera que quiera asimilar los conceptos de la Mecánica Cuántica en la forma convencional en la cual se enseña hoy en día, prescindiendo casi por completo de lo que es la Mecánica Matricial, puede lograrlo aquí con la lectura de las primeras entradas tituladas “El modelo atómico planetario de Bohr” y “La espectroscopía de rayos-X”, saltando después directamente a la sección titulada “Ondas de materia”. Pero en caso de hacer tal cosa, el lector tal vez no tendrá ni siquiera una idea remota de cómo se integra la Mecánica Matricial de Heisenberg a la Mecánica Ondulatoria en la cual se basa la enseñanza contemporánea de la Mecánica Cuántica, como tampoco le será posible concebir que se puedan llevar a cabo análisis mecánico-cuánticos prescindiendo por completo del uso de conceptos tales como las funciones de onda. Y lo que es peor, eventualmente tendrá entre manos un revoltijo de ambas técnicas sin poder distinguir claramente las diferencias técnicas que las separan, penetrando en un mar de confusiones que muchos terminan arrastrando inclusive hacia sus estudios de post-grado. Aquí se ha optado por establecer una diferencia clara entre ambas técnicas, eventualmente demostrando la equivalencia que hay entre ellas cuando sus diferencias conceptuales se han vuelto evidentes. Se sigue, de hecho, la misma ruta cronológica en la cual fue creciendo históricamente la Mecánica Cuántica moderna, desde el nacimiento de la Mecánica Matricial hasta el desarrollo posterior de la Mecánica Ondulatoria.

Una ventaja indudable del estudio así sea somero de la Mecánica Cuántica es que proporciona una respuesta a los estudiantes del Álgebra Lineal que al ser confrontados con material aparentemente abstracto como las matrices Hermitianas, los valores propios eigen, los espacios vectoriales, la ecuación característica de una matriz, la normalización de vectores, etc, no tardan en formularse la pregunta: ¿y para qué puede servir todo esto? ¿Qué utilidad práctica puede tener? Todo este material aparentemente inaplicable en nuestra vida cotidiana es precisamente lo que nos hizo posible explicar exitosamente toda una amplia variedad de fenómenos físicos que no tienen nada de abstracto. De hecho, fue precisamente el desarrollo de la Mecánica Cuántica lo que posibilitó el desarrollo y el enorme interés actual en el Álgebra Lineal. De no ser por la Mecánica Cuántica, el interés en esta materia seria más académico que práctico.

Esta obra adopta el mismo espíritu de elaboración que el utilizado en una obra anterior, La Teoría de la Relatividad. No se ha puesto un solo problema o ejercicio para el que no se esté dando respuesta alguna, ni se han escatimado pasos que permitan seguir el desarrollo de un tema con un cien por ciento de comprensión. En donde lo he considerado conveniente, he metido problemas de ejercicios de práctica que el lector puede intentar resolver por sí mismo antes de irse un poco más abajo del mismo para ver su solución. En ningún caso he incluído problema o ejercicio para el que yo no dé solución alguna, porque es mi objetivo no dejar con dudas a los lectores. Y esto aplica a toda la obra, marcando un distanciamiento con otros autores que proponen una cantidad a veces abundante de problemas al final de cada capítulo sin dar respuesta alguna a los mismos. Tomemos por ejemplo el problema 13-6 postulado en el libro “Introduction to Quantum Mechanics” de Robert H. Dicke y James P. Wittke al final del capítulo 13 que dice así:

13-6. Se llevan a cabo mediciones compatibles sobre un átomo de un solo electrón, produciendo los resultados de que l = 3, j = 7/2 y m_j = 1/2. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que una medición posterior de S_x produzca 1/2? (b) Si un conjunto posterior de mediciones produce l = 1, m_l = 0 y m_s = 1/2, ¿cuál es la probabilidad de que una medición posterior producirá j = 3/2?

Para este problema, los autores no sólo no proporcionan un método abreviado de solución, ¡ni siquiera proporcionan las respuestas numéricas que habrían cabido fácilmente en medio renglón! Entonces, ¿qué caso tiene utilizar el conjunto particular de valores proporcionado por los autores, si no hay ni siquiera una respuesta numérica contra la cual se puedan comparar los resultados? Suponiendo que una respuesta sea proporcionada, y si los autores hicieron bien su trabajo y la respuesta dada por ellos es la correcta, entonces obtener una respuesta igual a la proporcionada por los autores puede servir como estímulo y como confirmación de que el material del texto ha sido entendido correctamente. Y si la respuesta obtenida es diferente a la respuesta dada por los autores, esta retroalimentación también puede servir como estimulo y como aliciente para buscar el error o la equivocación que se pudo haber cometido. Pero cuando no se proporciona ningún tipo de respuesta, no hay tales estímulos ni alicientes, y antes bien la experiencia puede resultar frustrante en especial para los autodidactas que están estudiando un libro por cuenta propia. Hay contadas excepciones a ésta lamentable falta de apoyo de carácter didáctico, siendo una de ellas el libro Problemas y Ejercicios de Mecánica Cuántica del Profesor Luis de la Peña elaborado en Castellano con la ayuda de la Profesora Mirna Villavicencio, disponible en Internet, en el cual se proporcionan todas las respuestas junto con procedimientos de solución a todos los problemas propuestos por el mismo Luis de la Peña en su libro Introducción a la Mecánica Cuántica.

Sobre esto último habrá quienes argumenten que para ello están las instituciones de educación superior, para aclarar y despejar dudas. Sin embargo, ello supone que todos los maestros en todas las instituciones de educación superior son capaces de resolver correctamente y sin pérdida de tiempo todos los problemas del libro que está siendo utilizado como texto para un curso de Mecánica Cuántica. Mi experiencia personal me ha mostrado y confirmado en demasiadas ocasiones que esto no siempre es el caso, y no es inusual la situación en la cual sobre algún problema en particular un maestro tenga tantas dudas como el alumno.

Por otro lado, pese a que se pudiera argumentar que los autodidactas que necesitan ayuda son aquellos que no están inscritos formalmente en alguna institución de educación superior, este argumento se desmorona ante el hecho de que la gran mayoría de textos (y así lo presumen sus autores) contiene más material y más problemas que los que pueden ser cubiertos en un período ordinario de clases (anual, semestral, etc.), de modo tal que ni siquiera en circunstancias ideales será posible cubrir los procedimientos de solución para todos los problemas propuestos en cualquier libro de texto típico, y de hecho ni siquiera será posible cubrir el material principal “por falta de tiempo”. No creo que haya ni siquiera en las escuelas de enseñanza media algún maestro de álgebra o de trigonometría que haya cubierto en el salón de clases todos los treinta o cuarenta capítulos de los que consta el libro que seleccionó para impartir su materia, a menos de que el libro haya sido diseñado específicamente para poder ser cubierto en su totalidad en un período ordinario de clases (lo cual nunca ocurre). Y peor aún, aunque en un libro intermedio de 40 capítulos se hayan alcanzado a cubrir únicamente 35 capítulos, suele ocurrir con demasiada frecuencia que en cursos posteriores (más avanzados) los maestros dán por cubiertos “previamente” esos cinco capítulos que no se alcanzaron a cubrir en el ciclo educativo anterior “por falta de tiempo”, lo cual no es tomado como justificante de la ignorancia parcial aunque verdaderamente lo sea. Esto le deja al alumno la tarea de tener que seguir estudiando por cuenta propia aquello que no se pudo ver en el salón de clases, lo cual significa que en realidad todos los estudiantes son autodidactas, lo quieran o no. Si agravando la situación está el hecho de que muchos libros están incompletos (en el caso del libro de Robert H. Dicke y James P. Wittke, los autores no proporcionan procedimiento alguno de solución a ninguno de los problemas en ninguno de los capítulos de su libro), el aprendizaje se puede convertir en una experiencia frustrante e inclusive desagradable. En principio, al terminar un curso un estudiante debería saber cómo resolver la totalidad de los problemas propuestos al final de cada capítulo por el autor o los autores del libro que haya sido seleccionado para impartir la materia; esto calificaría incondicionalmente al alumno para pasar al siguiente nivel. A como están las cosas, es dudoso que inclusive el maestro típico del estudiante típico sepa resolver o haya resuelto todos los problemas del libro que está utilizando para impartir su curso, con lo cual el estudiante pesimista se puede preguntar a sí mismo en alguna ocasión: ¿cómo se espera que yo conozca y domine bien la materia, si ni siquiera el que me la impartió lo ha logrado? Y si bien en muchos cursos de química, física y matemáticas se considera no sólo aceptable sino incluso inevitable el que no se alcanzarán a cubrir los materiales en su totalidad, ¿desearía alguien ponerse en manos de un médico que tampoco alcanzó a cubrir en su totalidad sus libros de texto? ¿Quién quiere tomar el riesgo de atenderse del mal que lo aqueja con un médico que de los 50 capítulos de cierta materia que debería de haber cubierto sólo alcanzó a cubrir 49, con la posibilidad de que los conocimientos que requiere el médico para el diagnóstico y tratamiento correcto del paciente se encontraban precisamente en ese capítulo que ya no alcanzó a ver “por falta de tiempo”? Afortunadamente, con el advenimiento de Internet, a nivel internacional se está produciendo ya una purga de todas estas deficiencias, y tal vez no está lejano el momento en el que nuevas generaciones se pregunten cómo nos fue posible vivir con este tipo de situaciones por tanto tiempo al igual que nosotros nos preguntamos hoy cómo le fue posible a nuestros antecesores el poder vivir en los tiempos antes de los cuales fuese inventado el papel sanitario (un invento relativamente reciente, concebido por Arthur Scott a principios del siglo XX) o sin el teléfono celular o sin los antibióticos, ya no se diga el Internet.

El estilo de la obra es informal, como debe serlo cuando su propósito es eminentemente educativo. Dejaremos la elegancia y el rigorismo para la publicación de trabajos científicos en jornales en los que se lleva a cabo la revisión de pares. Se ha hecho un esfuerzo por recurrir a todo el arsenal disponible de elementos didácticos y pedagógicos para poder mantener centrada la atención del lector sobre el tema que se está discutiendo, incluyendo numerosas figuras y diagramas así como el uso de colores en donde tal cosa sea conveniente para resaltar la importancia de algo en específico; y del mismo modo me he permitido agregar pasos extra en la derivación de resultados que frecuentemente son omitidos en los textos impresos. El objetivo de todo esto es que que los materiales puedan ser comprendidos de una manera intuitiva. Aunque en una cadena de razonamientos hay muchas explicaciones y muchos pasos que son más que obvios para el maestro o para el especialista, pasos que son omitidos en la publicación de trabajos científicos, muchas veces hay cosas que no son tan obvias para los que están iniciando por vez primera el estudio de una rama nueva del conocimiento, y es aquí en donde cualquier explicación adicional o comentarios extra pueden ser de gran ayuda para ayudarle al lector a comprender mejor una idea sin dejarle dudas sobre la misma, y de esto es de lo que trata a fin de cuentas todo el esfuerzo que se ha estado llevando a cabo en esta obra. La obligación del maestro no es dar explicaciones elegantes, su obligación es dar explicaciones entendibles, su obligación es enseñar, y en la medida en que el maestro pueda lograr esto habrá cumplido (o fracasado) en su misión fundamental que consiste en la transmisión de conocimientos. Las explicaciones elegantes, concisas, abstractas, rigurosas (y de preferencia poco entendibles) se pueden dejar para la publicación de trabajos científicos para cuya lectura se supone que los lectores están familiarizados e inclusive son expertos en el tema. Una vez entendidos los materiales, el lector podrá hacer compactaciones a su gusto en la notación volviendo la terminología tan abstracta que tal que tal vez sólo él sabrá a ciencia cierta de lo que está hablando. Desafortunadamente, muchos textos mal llamados “introductorios” de Mecánica Cuántica están elaborados de esta manera, suponiendo que los lectores ya son unos avezados conocedores en la materia y que sólo están leyendo los materiales para formalizar su entendimiento, o bien siempre tendrán a la mano un experto en la materia que les podrá disipar todas sus dudas lo cual lamentablemente no es la regla sino la excepción.

Este texto intenta adoptar una introducción amigable a la Mecánica Cuántica, en lugar del procedimiento axiomático formal y riguroso al que se ha acostumbrado a someter a varias generaciones de estudiantes. Un formalismo cargado de notaciones nuevas es aceptable cuando las ideas básicas han sido plenamente desarrolladas y la evolución de las mismas ha sido plenamente comprendida, pero está totalmente fuera de lugar cuando los materiales están siendo transmitidos a alguien por vez primera. Ni siquiera los “padres” fundadores de la Mecánica Cuántica moderna como Max Planck, Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Erwin Schrödinger, Wolfgang Pauli, Eugene Wigner y otros empezaron cómodamente a partir de un conjunto básico de postulados derivándolo todo, porque si ése hubiera sido el caso entonces habría bastado un sólo hombre, un buen matemático, para obtenerlo todo a partir de un conjunto de postulados básicos. Detrás de la sofisticación matemática que vemos hoy en día se encierra el hecho de que en sus inicios los constructores de la Mecánica Cuántica recurrieron mucho a su intuición guiándose en todo momento por los resultados experimentales que se estaban obteniendo en los laboratorios alrededor del mundo, e inclusive tuvieron numerosos fracasos y decepciones antes de que el “gran panorama” se fuera ensamblando poco a poco a partir de las piezas del rompecabezas y que esta rama científica tomara la forma que tiene actualmente. El mismo Max Planck reconoció en su momento que llegó a su famosa fórmula:

para la explicación de la radiación térmica del cuerpo negro como un acto final de desesperación antes del cual había agotado ya prácticamente todas las posibilidades clásicas para la explicación del fenómeno, cuando dijo en 1901: “... todo el proceso fue un acto de desesperación ya que tenía que encontrarse una interpretación teórica a cualquier precio, sin importar lo elevada que pudiera ser...”. El precio que se tuvo que pagar fué el tener que aceptar que la Naturaleza, a nivel sub-atómico, se mueve en “brincos” en lugar de hacerlo en la forma suave y continua a la que estaban acostumbrados los físicos clásicos. Vale la pena reproducir aquí sus propias palabras en su discurso pronunciado el 2 de junio de 1920 con motivo del Premio Nóbel que muy merecidamente le fué otorgado:

Durante muchos años, [mi meta] fue resolver el problema de la distribución de energía en el espectro normal del calor irradiado. Después de que Gustav Kirchhoff hubiese demostrado que el estado de la radiación de calor que tiene lugar en una cavidad delimitada por cualquier material emisor y absorbente a una temperatura uniforme es totalmente independiente de la naturaleza del material, se demostró una función universal que era dependiente sólo de la temperatura y la longitud de onda, pero de ningún modo de las propiedades del material. El descubrimiento de esta destacable función prometía una visión más profunda de la conexión entre la energía y la temperatura que es, de hecho, el problema principal en la termodinámica y por tanto en toda la física molecular. ...

En esa época mantuve lo que hoy serían consideradas ingenuamente inocentes y asumibles esperanzas, de que las leyes de la electrodinámica clásica nos permitirían, si se abordaran de una forma suficientemente general evitando hipótesis especiales, comprender la parte más significativa del proceso que esperaríamos, y por tanto lograr la meta deseada. ...

[Varios métodos diferentes] mostraron más y más claramente que un importante elemento de conexión o término, esencial para llegar a la base del problema, tenía que estar perdido. ...

Estuve ocupado... desde el día en que yo [establecí una nueva fórmula para la radiación], con la tarea de encontrar una interpretación física real de la fórmula, y este problema me llevó automáticamente a considerar la conexión entre la entropía y la probabilidad, es decir, el tren de ideas de Boltzmann; posteriormente tras varias semanas del más duro trabajo de mi vida, la luz penetró la oscuridad, y una nueva perspectiva inconcebible se abrió ante mi. ...

Debido a que [una constante en la ley de la radiación] representa el producto de la energía y el tiempo ... la describí como el cuanto elemental de acción. ... Mientras que fuera mirado como infinitamente pequeño ... todo estaba correcto; pero en el caso general, sin embargo, un hueco se abría en un lugar o en otro, que se convertía en más importante cuanto más débiles y rápidas se considerasen las vibraciones. Todos esos esfuerzos en salvar las distancias se derrumbaron pronto dejando poco lugar a dudas. O bien el cuanto de acción era una cantidad funcional, con lo que toda la deducción de la ley de la radiación era esencialmente una ilusión que representaba sólo un papel vacío sobre fórmulas sin significado, o bien la derivación de la ley de la radiación debía jugar un papel fundamental en la física, y aquí había algo completamente nuevo, nunca oído con anterioridad, que parecía requerir que revisáramos básicamente todo nuestro pensamiento físico, construido como lo estaba, a partir del tiempo del establecimiento del cálculo infinitesimal porLeibniz y Newton, sobre la aceptación de la continuidad de todas las conexiones causativas. La experimentación decidió que era la segunda alternativa.

Estas palabras nos vienen del gran maestro que desde los inicios del siglo XX le fijó a los científicos de su tiempo la ruta a seguir para poder explicar lo que ocurre en el mundo sub-atómico, y ciertamente no son las palabras de alguien que sentado cómodamente en un diván haya ido deduciendo axiomáticamente una tras otra las leyes de la naturaleza del átomo a partir de un conjunto de postulados que le hayan sido proporcionados por alguien más sabio que él o por algún extraterrestre. Los postulados existen, claro está. El problema es dar con ellos, y en el camino para dar con ellos se van adoptando nuevas ideas y actitudes filosóficas cruciales para el entendimiento total de lo que está ocurriendo, actitudes e ideas que se pueden perder una vez que los postulados están ya identificados reduciendo la labor posterior a una mera aplicación de las leyes de la lógica. Si lo que buscamos es un tratado formal de la Mecánica Cuántica con el rigorismo propio de los profesionales haciendo a un lado las ideas intuitivas que estuvieron detrás del desarrollo de la misma, entonces podemos recurrir a la lectura de un libro como el Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik del formidable matemático húngaro Johann von Neumann, pero lo más seguro es que un principiante tendrá dificultades al no tener ni siquiera la más remota idea de cómo las fundamentaciones matemáticas de la Mecánica Cuántica se fueron dando, sobre todo si el principiante es un autodidacta que no cuenta con un buen maestro a la mano para aclararle todas sus dudas.

Tal vez en un principio la Mecánica Cuántica pueda parecerle a algunos una rama científica demasiado abstracta con pocas aplicaciones. Sin embargo, a ella le debemos muchas de las maravillas tecnológicas que disfrutamos hoy en día, trátese de los semiconductores que hacen posible las computadoras personales en casa y los teléfonos celulares, trátese de los rayos láser que sirven para todo desde la corrección de los defectos de la vista hasta las investigaciones astronómicas, trátese de la microscopía electrónica, trátese de sus aplicaciones a la química y a la nanotecnología, en fin, las posibilidades son virtualmente ilimitadas. Existen indudablemente ramas del conocimiento humano tales como la Teoría de los Números (rama de las matemáticas puras que estudia las propiedades de los números, en particular los enteros) en las que se manejan temas de interés como la demostración del “Ultimo Teorema de Fermat” (lograda por Andrew Wiles en 1993) cuyo objetivo desde el principio no son las aplicaciones prácticas que puedan tener sino la búsqueda del conocimiento por el conocimiento mismo, y de hecho así comenzó la misma Mecánica Cuántica. Sin embargo, gran parte del interés actual por esta disciplina radica precisamente en las aplicaciones prácticas que puedan tener los resultados que de ella se obtengan, y ello abarca a las mismas herramientas matemáticas usadas para darle sustento teórico. Aquí parafrasearemos a Richard Askey, autor del libro Orthogonal polynomials and special functions, cuando dijo algo que asustaría a los matemáticos puros que persiguen el estudio de dicha disciplina sin tener aplicación alguna en mente: “Uno estudia las funciones especiales no por lo que son en sí, sino por las aplicaciones que puedan tener”. La teoría detrás de la Mecánica Cuántica es interesante en sí, pero hoy en día esperamos y ambicionamos extraerle jugo a las ideas y posibilidades que podamos obtener de ella, y hasta ahora no nos ha fallado.

Tradicionalmente, en los cursos básicos que corresponden a la enseñanza media y enseñanza media superior, hay una tendencia de ver a las matemáticas como una herramienta de la física. Sin embargo, al llegar a cierto punto en esta obra (específicamente, la entrada “Los grupos de rotación III”), el lector descubrirá inevitablemente que las matemáticas no sólo son una herramienta de la física, sino inclusive supeditan a la física (en este caso, la Mecánica Cuántica) por completo a las matemáticas. En pocas palabras, las matemáticas dictan lo que es posible y lo que no es posible. Lo que no es posible de acuerdo a las matemáticas no es posible en la física. Sin matemáticas, no hay física, así de simple y llano. Esto no significa en modo alguno que los descubrimientos en las ciencias naturales se puedan llevar a cabo en su totalidad procediendo axiomáticamente en un pizarrón con ciertos postulados. Los experimentos permiten filtrar aquellos postulados matemáticos que sirven de base estructural a los fenómenos físicos de los demás postulados que no parecen ser aplicables a fenómeno físico alguno (no hay, por ejemplo, un proceso natural que sea capaz de generar una secuencia de números primos). Seguiremos dependiendo de experimentos de laboratorio a mediano y largo plazo.

Otra cosa que descubrirá (o confirmará) el lector que ya tiene algunas nociones sobre los temas tratados es lo que en ocasiones parece ser un abismo profundo entre los departamentos de matemáticas y los departamentos de física incluso en universidades de prestigio. El ejemplo más claro de ello tal vez lo sea la Teoría de Grupos, de importancia toral para la física hoy en día. No es inusual encontrar textos típicos sobre el tema de la Teoría de Grupos que sólo hablan (inclusive alcanzando niveles elevados de sofisticación) acerca de los grupos discretos, dejando fuera por completo el tema de los grupos continuos, como si esto último no fuera de igual importancia. Sin embargo, con la excepción del estudio de los grupos cristalográficos, el científico de hoy en día requiere familiarizarse con la teoría de los grupos continuos desarrollada inicialmente por Sophus Lie, que resulta ser justo de lo que no tratan muchos textos y cursos inclusive a nivel de postgrado. El remedio usual en muchas instituciones de enseñanzas superior ha sido tratar el tema matemático de los grupos continuos dentro de los mismos cursos de física en los que se requieren tales bases, al excluír muchos departamentos de matemáticas y muchos libros de texto el tema de los grupos continuos. Aunque en esta obra resultaría demasiado ambicioso repetir lo que se puede encontrar en muchos textos, ello no ha sido impedimento para que las herramientas matemáticas indispensables para el desarrollo de la Mecánica Cuántica se vayan introduciendo conforme se vayan requiriendo, pensando precisamente en la posibilidad de que los temas matemáticos tratados posiblemente no están accesibles al lector en los libros que tenga a su disposición.

Aunque la notación matemática requerida en ocasiones nos pueda parecer intimidante, no hay aquí intención alguna de adoptar una actitud pedante dando por conocidas cosas y temas que posiblemente nunca fueron tratados en cursos más elementales en donde debieron de haber sido tratados. Si en la discusión de algún tema se han dejado puntos obscuros que deberían de ser aclarados, o si hay pasos intermedios faltantes que resultan ser necesarios para la comprensión de algo, el autor pide mil disculpas de antemano, y solicita la ayuda de sus lectores para aplicar las revisiones y correctivos que se requieran.

Para la solución de los problemas numéricos, se ha utilizado en forma aleatoria tanto el sistema de unidades Metro-Kilogramo-Segundo MKS-SI (Système International) como el sistema de unidades centímetro-gramo-segundo (cgs-Gaussiano), porque se considera importante el estar familiarizado en la actualidad con ambos sistemas de unidades al haber mucha literatura técnica y científica que utiliza tanto uno como el otro. Desafortunadamente, cuando se dá preferencia a un sistema de unidades sobre otro en las escuelas, se está promoviendo una forma disfrazada de analfabetismo que puede ser fuente de confusiones y equivocaciones tarde o temprano.

Desafortunadamente, un concepto ampliamente extendido acerca de la física cuántica es el concepto erróneo de que la física de las partículas sub-microscópicas es una materia sumamente especializada que requiere cada vez con mayor frecuencia de experimentos extraordinariamente costosos como es el caso del Gran Colisionador de Hadrones para el cual se tuvieron que juntar los recursos monetarios combinados de varios países europeos y cuyos resultados no se espera que tengan una aplicación inmediata en la vida cotidiana. Sin embargo, este concepto está fuera de la realidad. Además de las vastas aplicaciones que ha encontrado la Mecánica Cuántica en el desarrollo de semiconductores y lásers que han hecho posible mil maravillas, hay otras ciencias que no pueden prescindir ya de las herramientas que proporciona la Mecánica Cuántica, destacando entre ellas la química. Todo lo que tiene que ver con el enlace químico está basado en las teorías de los orbitales atómicos y moleculares fundamentados sobre las nubes de probabilidad que se manejan en la Mecánica Cuántica. En este sentido, los químicos resultaron ser más listos que los físicos al apropiarse de una buena parte de la Mecánica Cuántica para desarrollar su área dejándole a los físicos las migajas a las que ahora están confinados en buena medida. De este modo, la teoría del campo cristalino, la cual debió de haber sido desarrollada en su totalidad por físicos, fue quedando en manos de químicos. al igual que otras áreas como la física de los semiconductores que fue quedando en manos de los ingenieros electrónicos. De cualquier modo, los avances científicos y tecnológicos, vengan de donde vengan, apoyan el argumento de que la Mecánica Cuántica es mucho mucho más omnipresente de lo que mucha gente supone. De este modo, la añeja aserción atribuida al destacado físico-químico Svante Arrhenius de que “un químico que no es físico no es nada”, hoy muy bien pudiera leerse como “un químico que no sabe nada de Mecánica Cuántica no sabe nada”.

Como el lector pronto lo descubrirá, esta obra tiene una clara intención de cerrar una brecha frecuentemente encontrada en las instituciones de enseñanza superior en donde muchos estudiantes se quejan de que le entienden muy poco o posiblemente nada al maestro de la materia pese a que éste es un especialista reconocido en su materia con una vasta cantidad de conocimientos que supuestamente deberían de garantizarle al alumno la mejor enseñanza posible. Y en esto último es precisamente en donde radica el problema. Podemos equiparar el aprendizaje de una nueva rama científica al aprendizaje de un idioma extranjero. Al principio hasta las frases más sencillas de la lengua extranjera se dificultan. Sin embargo, conforme se avanza en el aprendizaje del nuevo idioma y sus símbolos, conforme se va adquiriendo fluidez, se van olvidando poco a poco las áreas en donde se tuvo la mayor dificultad. Es así como el especialista con una vasta cantidad de conocimientos, al que todo se le hace ya fácil a base de la repetición constante de los mismos materiales en su cátedra como maestro así como la lectura constante en las publicaciones científicas especializadas de temas relacionados con su materia, incapaz de recordar por más que quiera qué fue aquello en lo que tuvo dificultad, le puede parecer incomprensible que cosas que hoy se le hacen muy sencillas puedan ser material que cause gran confusión en los neofitos. Al francés o al canadiense nativo que sabe hablar el chino a la perfección después de muchos años de práctica y estudio le puede parecer tedioso el tener que batallar con alumnos que ni siquiera saben o pueden darle los buenos días en chino, sin captar bien el hecho de que él y sus alumnos están hablando en idiomas totalmente diferentes. Lamentablemente, esto implica que el saber mucho no es garantía en lo absoluto de que se podrá ser un buen profesor, y por el contrario esto puede actuar como un obstáculo en la misión. Esta es la razón del por qué en esta obra se muestran pasos de razonamiento, e inclusive pasos de álgebra, que son frecuentemente omitidos en muchos libros de texto.

El enfoque moderno de la Mecánica Cuántica hace uso extenso de la notación bra-ket introducida por el físico británico Paul Adrien Maurice Dirac. Sin embargo, aún hay mucha literatura, trabajos y textos que prescinden por completo de la notación bra-ket, enfatizando con ello el enfoque tradicional que se le daba a la Mecánica Cuántica antes de la introducción de dicha notación. Puesto que es deseable e importante que los estudiosos de la Mecánica Cuántica estén familiarizados con ambos tipos de notaciones, en esta obra se han entremezclado ambos simbolismos con la finalidad de obtener un dominio sobre ambos “lenguajes”.

Aunque una lectura somera de los primeros materiales puede causar la impresión de que la Mecánica Cuántica trata únicamente  acerca de los mismos cuatro problemas (el oscilador armónico simple, la partícula encerrada en una caja unidimensional, el átomo de hidrógeno y la partícula libre) vistos de muchas maneras diferentes, esta es una apreciación errónea. Si bien es cierto que parece dársele una insistencia exagerada a estos cuatro temas al grado de parecer machaconería, ello se debe a que se trata de tópicos que se prestan a un análisis simplificado que muchas veces produce soluciones exactas, analíticas. Por regla general, la Mecánica Cuántica en el mundo real requiere de aproximaciones matemáticas que inclusive para las supercomputadoras modernas puede representar un trabajo pesado. Si al peso matemático teórico le sumamos una comprensión pobre de los fundamentos físicos, tenemos la receta que le ha dado injustificadamente a la Mecánica Cuántica una mala fama como una materia cuya comprensión está al alcance sólo de unos cuantos seres privilegiados.

Con el propósito de desmitificar la injusta imagen popular que tiene la Mecánica Cuántica como una ciencia filosófica abtrusa desconectada en cierta forma de la realidad, ocultando sus secretos detrás de un lenguaje abstracto e incomprensible, se han incluído en esta obra temas tales como la teoría de los orbitales moleculares, el láser, la teoría del campo cristalino y las espectroscopías de resonancia magnética, temas que usualmente son dejados fuera en la gran mayoriá de los cursos introductorios de Mecánica Cuántica pero que demuestran de modo palpable que esta ciencia va directamente al fondo del asunto con aplicaciones sumamente prácticas en la vida cotidiana, a grado tal que una ignorancia de la materia puede ser considerada ya en estos tiempos como una forma de analfabetismo.

Aunque en varias entradas de este trabajo hay material especializado que requiere para su comprensión de conocimientos matemáticos que en algunos casos sólo están disponibles a nivel universitario, ello no debe ser motivo para que el lector se intimide y no eche por lo menos un vistazo al resto de un tema tratado para darse una idea de lo que se está discutiendo. Se ha hecho un esfuerzo para poner en cada parte algo para todos, de modo tal que si algo no parece muy claro es muy posible que de cualquier manera si se continúa en la lectura de otros capítulos seguramente habrá algo que se encontrará accesible. Se puede dejar el material más pesado para una lectura posterior o para ser aclarado con la ayuda de un estudiante o de un maestro familiarizado con el tema.

Para estar al tanto de los avances más recientes en torno a esta área importante del conocimiento humano, es recomendable consultar con relativa frecuencia no sólo las bibliotecas locales (las cuales con la excepción de las bibliotecas de las grandes ciudades en su mayoría no contienen todos los libros que el lector desearía consultar) sino también los sitios de Internet que están volviendo rápidamente obsoletas a las bibliotecas locales y a la lectura impresa. La lectura de esta obra puede ser combinada con un enlace tal como el de la American Physical Society en http://physics.aps.org.

Como corresponde a una obra de esta extensión, se ha suministrado al final de la misma una Bibliografía que incluye textos que van desde los más elementales hasta los que suelen considerarse más avanzados. También dentro de la Bibliografía, y reflejando el impacto que está teniendo la enciclopedia universal virtual Wikipedia como vasto repositorio de información suministrando una cantidad creciente de conocimientos en todas las áreas del saber humano, accesibles gratuitamente y en forma instantánea a todas horas del día, se han incluído hipervínculos que conducen a los lectores pueden encontrar otras referencias de apoyo a los materiales condensados en esta obra, dándoles rostro y biografías a los pioneros que a principios del siglo XX llevaron a cabo los descubrimientos que sentaron las bases de la Mecánica Cuántica. La Wikipedia tiene otra ventaja adicional que la pone por encima de otros enlaces que se pudieran facilitar: persistencia. ¿En cuantas ocasiones el lector no se llegó a encontrar con la desagradable sorpresa de que después de encontrar un enlace interesante regresó tiempo después solo para descubrir que dicho enlace ya no existía y que posiblemente hasta el sitio en el que se encontraba alojado el enlace tampoco existe, habiendo sido borrada toda la información junto con todas las imágenes? Esta es la principal razón por la cual me he abstenido en esta obra de citar enlaces cuya duración a largo plazo no esté garantizada. Muchos autores e inclusive muchas instituciones educativas aún no han tomado nota sobre las desagradables consecuencias en cascada que puede tener la eliminación o inclusive la mera modificación de enlaces en los cuales han puesto en disponibilidad mundial algo considerado de interés para compartir con el resto del mundo. Un ejemplo de ello es el siguiente enlace que conducía hacia una tabla periódica de los elementos puesta en-línea por la Universidad Autónoma de Madrid, tan bien elaborada que inclusive en Estados Unidos varios educadores lo estaban citando dentro de sus bibliografías (y algunos aún lo citan, como el Doctor James B. Calvert de la Universidad de Denver):

Enlace

Ya para el 2010 este enlace era un enlace muerto, sin que hubiese sido restituído a su condición original. Cuando este tipo de cosas ocurren, todos los autores que han citado una página que ya no existe se quedan con este enlace colgado en el aire, acumulándose a los otros enlaces que han estado citando y que tambien están terminando como enlaces muertos. Aunque se supondría que es obligación de todo autor el estar verificando periódicamente (¿diariamente?) si los enlaces que cita en alguna de sus obras todavía siguen vigentes, conforme la obra acumulada del autor va creciendo esta tarea de revisión continua se convierte en una tarea prácticamente imposible de llevar a cabo, en detrimento de los lectores a quienes está dirigido el material que se está elaborando. La dura realidad es que muchos autores que citan numerosos enlaces cuya permanencia en-línea no está garantizada a perpetuidad simple y sencillamente carecen del tiempo requerido para estar checando diariamente los enlaces que citan con la finalidad de ver si aún están vigentes, y si no lo están actualizarlos o removerlos por completo. Esta es una buena razón por la cual las bibliotecas públicas que aún acostumbran coleccionar material impreso no pasen de moda, al tener los libros una presencia física sólida y tangible que no puede ser eliminada con una simple secuencia de teclados frente a un monitor de computadora.

Para aquellos estudiantes de grados pre-universitarios, desde los estudiantes de las escuelas primarias hasta los estudiantes de bachillerato pasando por los de las escuelas secundarias que no cuentan aún con los conocimientos necesarios de álgebra, trigonometría y cálculo infinitesimal para poder entender en su totalidad lo que aquí se expone (de cualquier manera, habrá una buena cantidad de material que sí podrán entender gracias a los apoyos visuales que han sido incluídos), esta obra les podrá ayudar para hacerles mucho más aceptable los trabajos y sufrimientos que tengan que enfrentar para poder aprender esas materias, porque una de las cosas que muchos estudiantes enfrentan cuando son expuestos por vez primera a ramas de las matemáticas como el álgebra y la trigonometría es la pregunta típica: ¿y para qué me va a servir todo esto? En esta obra encontrarán la respuesta a esta pregunta, porque es precisamente para cosas como la Mecánica Cuántica (que a su vez es la base de la Física y la Química contemporáneas) que se requiere el conocimiento de tales materias enseñadas en los grados escolares pre-universitarios. La microelectrónica que ha hecho posible muchas de las maravillas del mundo moderno, especialmente las computadoras e Internet, así como los rayos láser que han hecho posible los discos compactos CD y DVD, funciona a niveles sub-microscópicos regidos por las leyes naturales que aquí se estudian. Y el campo científico relativamente nuevo conocido como la nanotecnología apenas está empezando a despegar. En estos momentos, las posibilidades son virtualmente ilimitadas. Los países que van a la vanguardia en el desarrollo de las nuevas tecnologías que están llevando a la especie humana hacia su siguiente grado de evolución son países que han dedicado una inversión económica extraordinaria para la enseñanza y el desarrollo así como la aplicación práctica de todo lo que tenga que ver con la Mecánica Cuántica. Los países que no lo han hecho o que no lo han hecho con la importancia y premura requeridas son países que se están quedando rezagados condenándose a sí mismos a un estancamiento económico, o lo que es peor, a una mera subsistencia basada en la simple explotación y exportación de las materias primas con las que cuenten, si es que cuentan con materias primas que puedan explotar y exportar.

En virtud de que esta obra presiona los recursos tipográficos de los navegadores (browsers) de Internet hasta su máxima capacidad (como resultará obvio por la variedad de simbología matemática que se utiliza aquí), hay la posibilidad de que en la reproducción de texto aquellos errores que parecen ser errores tipográficos en realidad no lo sean en virtud del posible fallo del navegador para poder interpretar correctamente el código fuente HTML de la página Blogger que está siendo consultada. Un ejemplo de esto podría ser la reproducción dentro del texto principal de una expresión como la siguiente:

En la forma en la que se acaba de dar esta fórmula, como un archivo de imagen PNG, no hay posibilidad alguna de que la imagen pueda ser truncada poniendo parte de la expresión en una línea y el resto de la expresión en la línea siguiente de texto. La mayoría de los navegadores siempre se adaptará para reproducir un archivo de imagen sin subdividirlo. Inclusive, si la fórmula se dá por separado en texto como texto ordinario centrado y si la fórmula no es muy larga (ocupando dos o más líneas) en una manera como se muestra a continuación:

3x - 4z^-7 + 25

la fórmula también será reproducida fielmente en la mayoría de los navegadores. El problema se suscita cuando se mete alguna expresión como ésta siendo parte del texto ordinario, algo como esto que se está poniendo aquí a continuación: 8x - 6y. Si la expresión algebraica no cabe en una línea, lo más probable es que el primer término de la fórmula (8x) sea puesto al final de una línea, posiblemente junto con el signo negativo (-) si es que hay espacio para ello al final de la línea, y que el otro término (6y) sea puesto al principio de la siguiente línea de texto, posiblemente junto con el signo negativo, habido el hecho de que los espacios en blanco entre los caracteres son utilizados como guía para subdividir y separar porciones de texto consideradas como diferentes “palabras”. Aunque se lleve a cabo una truncación así, una fórmula como ésta sigue siendo entendible. Sin embargo, en el caso de una fórmula como la que se dió arriba en texto centrado, aunque todos los caracteres tipográficos del segundo término están juntos (el número 4 con su signo negativo, la variable z y el exponente 7 con su signo negativo), si el signo menos que antecede al exponente 7 es interpretado no como un signo menos aritmético sino como un guión tipográfico, entonces dependiendo del monitor y de la resolución de la imagen (lo cual es usado por la computadora para subdividir el texto) es muy probable que si el término:

4z^-7

se encuentra cerca del final de una línea de texto, al final de la línea se pondrá 4z y al inicio de la siguiente línea se pondrá el exponente negativo 7 pero en tipografía de super-índice, lo cual vuelve confusa la lectura correcta de la expresión. Una forma en la cual se podría evitar esto sería la inclusión de alguna función que le indique al navegador que no es posible subdividir este tipo de caracteres matemáticos. Desafortunadamente, al momento de elaborar esta obra, no había recurso alguno para obligar a la mayoría de los navegadores a hacer esto (esta es una de las razones por las cuales se ha hecho uso extensivo de imágenes PNG para la reproducción de fórmulas). Al momento de estar esta obra en su etapa avanzada (2012), Blogger todavía no había incorporado la capacidad para elaborar páginas capaces de reproducir fórmulas echando mano de recursos como MathML o como MahtJax. Afortunadamente, para casos como estos, el usuario siempre puede ampliar o reducir horizontalmente el tamaño de la página, con lo cual los caracteres de texto que están al final de una línea pueden ser forzados a pasar a formar parte de la siguiente línea (o viceversa). Y en el caso de navegadores como el Mozilla Firefox, la función de “Vista” (View) permite ampliar o reducir el tamaño de texto (con la función “Zoom”), lo cual puede reacomodar el texto matemático de modo tal que sea legible (si algún lector encuentra otro remedio para esta deficiencia inherente en los navegadores que les impide distinguir lo que es texto ordinario de lo que es texto matemático, agradecería mucho que me lo hicieran saber). Desafortunadamente, la interpretación correcta de la tipografía depende no sólo del navegador que está siendo utilizado, también puede depender de la versión del navegador que está siendo utilizado e incluso del sistema operativo que está corriendo en la computadora. Para la elaboración de este trabajo se utilizó el navegador Mozilla Firefox en su versión 3.6.17, bajo un sistema operativo Windows XP Service Pack 3. Si hay tipografía de carácter dudoso en la reproducción de estos materiales, sobre todo en lo que respecta a la simbología matemática, vale la pena instalar otro tipo de navegador en la máquina (por ejemplo, Chrome de Google) en su versión más reciente. Si los problemas persisten, el autor agradecería un correo electrónico de sus lectores informándole sobre la naturaleza de los errores tipográficos que se vayan encontrando, así como el título de la entrada en donde son encontrados (resulta casi imposible estar buscando en toda la obra algún error que puede estar ubicado en cualquiera de las decenas de entradas que la forman.)

Puesto que en cierta tipografía matemática la reproducción fidedigna como texto ordinario no es factible, como ocurre en el caso de las sumatorias Σ en las cuales se acostumbra poner debajo de las mismas el índice a partir del cual se empieza a llevar a cabo la sumación (por ejemplo, i.=.1), al incluír sumatorias como parte del texto ordinario el índice inferior de la sumación se cambia aquí para ponerlo como un sub-índice después de la sumatoria:

De este modo, Σ._m.μ_pmk debe ser entendido como una sumatoria que se lleva a cabo en μ sobre el índice m.

La otra dificultad que puede enfrentar el lector tiene que ver más con los conocimientos que haya adquirido que con la cuestión de la tipografía, aunque no por ello se debe dejar intimidar. A manera de ejemplo, aunque el significado de las derivadas parciales como ∂g/∂z se ve en cursos posteriores a los cursos introductorios de cálculo infinitesimal, en muchos casos el lector puede tratar de darle lectura a una derivada parcial como si fuese una derivada ordinaria, lo cual es válido cuando se trata de funciones como f (x) que dependen de una sola variable:

Es solo cuando una función depende de dos o más variables, como en el caso de la función g(x,y,z), cuando la derivada parcial adquiere relevancia, (de hecho el concepto de la derivada parcial es una extensión del concepto de la derivada ordinaria, llevado de una variable independiente a dos o más variables independientes en lo que se conoce como cálculo multivariables), teniéndose entonces que:

En una situación así el lector que no esté familiarizado con el tema puede consultar alguna de muchas de las fuentes disponibles en Internet para aclarar las dudas que haya al respecto. De cualquier modo, en esta obra se trata de dar explicación a toda aquella tipografía matemática que no resulte familiar.

De vez en cuando surge la pregunta acerca de la posible disponibilidad de esta obra en el formato de almacenamiento PDF (Portable Document File), un sistema multi-plataforma que mantiene la misma presentación visual en varios sistemas operativos (Windows, Unix, Linux, Mac) y que facilita la impresión de los documentos, desarrollado por la empresa Adobe Systems. Hay tres razones por las cuales esta obra no está disponible en este formato. La primera es que algunos de los archivos gráficos en esta obra son archivos gráficos animados, lo cual no se puede traspasar a un documento impreso, e inclusive las versiones de PDF que pueda haber para las computadoras caseras no están equipadas para la reproducción de este tipo de archivos. Otra dificultad es que hay muchas máquinas en uso con sistemas operativos que hoy se considerarían primitivos (Windows 95, Windows 98) y en las cuales la reproducción de imágenes con los colores correctos en archivos PDF podría dejar mucho que desear, e inclusive tal vez lo único que se logre es la impresión o la visualización del documento en blanco y negro, restándole la ventaja didáctica a la cromaticidad de muchas figuras incluídas en esta obra. Y la tercera dificultad es que Blogger no permite la reproducción de documentos en formato PDF, los documentos tienen que ser reproducidos como páginas HTML elaboradas para la Web.

En esta obra, salvo algunas excepciones aisladas, se han evitado al máximo las referencias a documentos técnicos y científicos en Internet que han sido puestos en sitios tales como SpringerLink en virtud de que estos sitios no sólo no hacen accesibles los documentos que archivan de manera gratuita, sino que por cada documento que consta de unas diez o quince páginas hacen un cobro entre 30 y 40 dólares por documento, lo cual significa que para consultar apenas unos diez documentos en un sitio como estos el lector tiene que estar preparado para erogar unos 300 ó 400 dólares, lo cual va totalmente en contra del espíritu de Internet de que la información pueda fluír libremente alrededor del mundo al menor costo posible de un lado a otro. Tal vez los autores que colocan sus trabajos en estos sitios de acceso caro no se dan cuenta de que ellos mismos se están limitando severamente el universo de sus posibles lectores, sobre todo en países en los que no se cuenta con las amplias cantidades de dinero que se requieren para poder accesar los documentos que ellos elaboran. El cobro exagerado para poder descargar y leer un documento que consta de tan sólo diez o quince páginas no está justificado a menos de que se trate de un documento realmente extraordinario, excepcional, como los papeles originales de Erwin Schrodinger, Albert Einstein y Max Born, y esos papeles se pueden obtener gratuitamente de varios sitios de Internet, puestos a disposición del público internauta general mundial por instituciones académicas de prestigio que laboran sin fines de lucro, a diferencia de los sitios que cobran entre 30 y 40 dólares por descargar de ellos algo que consta de unas cuantas páginas.

Parafraseando a Jimmy Wales, el fundador de Wikipedia, este trabajo es una pequeña contribución al ambicioso objetivo de un mundo en el que todas las personas y cualquier persona tengan libre acceso a la suma total de los conocimientos de la humanidad.

Al igual que en la obra La Teoría de la Relatividad, agradezco a Roger Cortesi la disponibilidad de su editor de ecuaciones en la tipografía LaTeX, lo cual me ha permitido avanzar con mucha mayor rapidez de lo que de otra manera me hubiera sido posible. Expreso asimismo mi agradecimiento a la empresa gickr.com por la generosa disponibilidad de su constructor online de graficos animados que permitió la construcción de varias de las animaciones que aparecen en esta obra permitiéndole aumentar su valor didáctico.

Se puede esperar, en una obra de esta extensión, que inevitablemente harán su aparición equivocaciones, errores tipográficos y errores de tipo numérico que el autor habrá pasado por alto, no atribuíbles al navegador sino a un fallo real en la elaboración de los materiales. El autor agradece de antemano todos los señalamientos que se le hagan al respecto, lo cual ayudará a mejorar los materiales para quienes tengan necesidad o interés de consultarlos en un futuro.

El modelo atómico planetario de Bohr I

Ya desde los tiempos de la Antigua Grecia, Demócrito de Abdera, más por razones de índole filosófica que de índole científica, había postulado la posibilidad de que la materia no era infinitamente continua, esto es, no podía continuarse subdividiendo hasta el infinito, y que eventualmente llegaríamos hasta cierto punto en el cual no nos sería posible continuar sub-dividiendo la materia con un cuchillo por filoso que fuera. A las partículas incapaces de ser subdivididas más allá de cierto límite mediante simples cortes seccionales las llamó átomos, que en griego significa “no susceptible de corte” (a = no, negación, tomos = corte).

Los experimentos de Lord Ernest Rutherford apoyados con argumentos elementales de balística demostraron en forma concluyente que la materia no es tan absolutamente sólida como se creía, y de hecho que la materia en su mayor parte es fantasmal, con un núcleo en el que se podía considerar que se albergaba toda la carga eléctrica positiva (+) del átomo, y partículas mucho más pequeñas orbitando en torno al núcleo en una forma muy parecida a como lo hacen los planetas en torno al Sol, partículas de carga negativa (-) a la cual se deben los fenómenos de naturaleza eléctrica, los electrones. La carga positiva situada en el centro del átomo explicaba la estabilidad de la materia en el espacio mientras que los electrones orbitando libremente en torno al átomo explicaban la disponibilidad de los mismos para ser removidos de un átomo a otro haciendo posible la corriente eléctrica. Fue así como se llegó al modelo planetario de Rutherford:

El modelo planetario de Rutherford no especificaba ni las velocidades de los electrones en torno al núcleo ni las distancias a las cuales se pudieran encontrar los electrones del núcleo atómico. Se trataba simplemente de un concepto, de una idea. Esta idea sería tomada posteriormente por un físico danés, Niels Böhr, para explicar los fenómenos relacionados con las líneas espectrales de los elementos de lo cual hablaremos a continuación.

Casi todos estamos familiarizados de alguna manera con el efecto de los prismas de vidrio con los cuales se logra descomponer a la luz blanca en sus constituyentes esenciales:

Cuando después de una lluvia intensa vemos un arco iris, dicho arco iris es producido por las gotitas de lluvia en la lejanía que actuando como prismas pequeños nos mandan a la luz solar descompuesta en su espectro de colores.

Si hacemos pasar la luz del Sol o la luz de un foco eléctrico a través de un prisma, o mejor aún, a través de un espectroscopio, veremos un espectro continuo como el siguiente:

Sin embargo, si entre la fuente luminosa y nosotros interponemos un gas frío, encontraremos unas líneas ausentes, típicas de un espectro de absorción:

Y si lo que hacemos es meter un gas dentro de en un recipiente calentándolo a una temperatura elevada, o mejor aún, sometiéndolo a descargas eléctricas de alta energía, obtendremos un espectro de emisión como el siguiente:

En 1885 un maestro suizo, Johann Balmer, encontró que las líneas en el espectro del hidrógeno podían ser representadas mediante la siguiente fórmula:

en donde:

b = 3645.6·10^-8 centímetro = 3645.6 Angstroms = 3645.6 Å

m = 3, 4, 5, ...

y tras esto procedió a sugerir que esto pudiera tratarse de un caso especial de la expresión:

en donde tanto m como n son enteros.

A fines del siglo XIX, se habían realizado muchos trabajos experimentales sobre el análisis del espectro discreto de la radiación emitida al producirse descargas eléctricas en los gases. Puesto que de todos los átomos el más liviano y el más sencillo es el del hidrógeno compuesto por un núcleo y un electrón, no resultó ninguna sorpresa en aquél entonces la demostración, mediante medidas espectroscópicas cada vez más exactas, según la cual el hidrógeno presentaba el espectro más simple entre todos los elementos. Se encontró que las diferentes líneas en las regiones visibles y no visibles estaban distribuídas sistemáticamente en varias series. En forma asombrosa se encontró que todas las longitudes de onda del átomo de hidrógeno se obtienen mediante una relación empírica sencilla, conocida como la fórmula de Rydberg:

en la cual R es una constante conocida como la constante de Rydberg (en honor al físico sueco Johannes Rydberg) cuyo valor sobre unidades Angstrom para el átomo de hidrógeno es:

R = 1.0967758·10^-3 /Å

en donde:

___n_a = 1 y n_b = 2, 3, 4, ... dá la serie de Lyman (región ultravioleta)

___n_a = 2 y n_b = 3, 4, 5, ... dá la serie de Balmer (región visible)

___n_a = 3 y n_b = 4, 5, 6, ... dá la serie de Paschen (región infrarroja)

___n_a = 4 y n_b = 5, 6, 7, ... dá la serie de Brackett (región del infrarrojo lejano)

___n_a = 5 y n_b = 6, 7, 8, ... dá la serie de Pfund (región del infrarrojo lejano)

y así sucesivamente, para otras series que se encuentran aún más lejos del infrarrojo.

PROBLEMA: Calcular la longitud de onda más corta y la longitud de onda más larga para la serie de Lyman del hidrógeno.

La longitud de onda en la serie de Lyman se obtiene haciendo n_a = 1 en la fórmula de Rydberg:

1/λ = (1.097·10^-3 /Å) [(1/1²) - (1/n_b²)]

La máxima longitud de onda corresponde a n_b = 2:

1/λ_max = (1.097·10^-3 /Å) [(1/1²) - (1/2²)]

λ_max = 1215 Å

Y la mínima longitud de onda corresponde a n_b = ∞:

1/λ_min = (1.097·10^-3 /Å) [(1/1²) - (1/∞)]

λ_min = 912 Å

Cada elemento tiene su propia serie de líneas espectrales características, lo cual equivale a decir que cada elemento tiene su propia constante de Rydberg. No hay dos elementos con las mismas líneas espectrales, del mismo modo que no hay dos personas distintas que posean exactamente el mismo ADN o las mismas huellas digitales, lo cual permite utilizar a la espectroscopía como método de análisis para la identificación de los elementos que forman parte de una muestra de material. Si tenemos a la mano un “catálogo” con los espectros característicos de cada uno de los elementos, podemos identificar sin mayores problemas los elementos que hay dentro de una muestra de material. A continuación tenemos los espectros de siete muestras distintas de materiales:

De este modo, la constante de Rydberg no es exactamente una constante universal, ya que cada uno de los elementos químicos tiene su propia constante de Rydberg. Para todos los átomos similares al átomo de hidrógeno (átomos con un solo electrón en su última órbita, los átomos hidrogenoides) la constante de Rydberg R puede ser derivada de la constante de Rydberg del “infinito” R_∞ de la siguiente forma:

siendo R la constante de Rydberg para cierto átomo con un solo electrón, y siendo m_e la masa del electrón y M la masa del núcleo atómico.

En 1913, ofreciendo una hipótesis para aclarar el misterio de la fórmula empírica de Rydberg, Niels Bohr desarrolló una teoría física a partir de la cual se podía obtener deducir la fórmula de Rydberg. Al igual que el modelo atómico planetario de Rutherford, el modelo atómico planetario de Bohr se basa en un sistema planetario en donde un electrón liviano cargado negativamente gira alrededor de un núcleo pesado cargado positivamente. Pero a diferencia del modelo atómico planetario de Rutherford, el modelo atómico planetario de Bohr imponía varios niveles discretos de energía en los cuales podíamos encontrar a los electrones en movimiento en torno al núcleo del átomo, y al imponer tales niveles discretos de energía los electrones no podían estar situados a cualquier distancia arbitraria del núcleo, estas “capas esféricas” quedaban situadas a distancias bien definidas del centro geométrico del átomo. A la capa más cercana al núcleo del átomo se le asignó un número cuántico igual a n = 1, y tras esto la capa inmediata externa tendría un número cuántico igual a n = 2, y así sucesivamente:

Una vez definidas las capas energéticas discretas, Bohr postuló la hipótesis de que un fotón de luz con la suficiente energía pudiese hacer “brincar” un electrón de una capa inferior a una capa superior (por ejemplo, de n = 1 a n= 5), absorbiendo el fotón y dejando con ello un “hueco” en el espectro de absorción. Pero no sólo era posible que un electrón pudiese saltar de un nivel energético inferior a uno superior al absorber un fotón. También era posible que saltase de un nivel energético superior a un nivel energético inferior emitiendo un fotón cuya energía debía ser igual a la diferencia entre los niveles energéticos de las capas. Esto podía explicar los espectros de emisión:

El modelo atómico planetario de Bohr fue capaz de explicar e inclusive predecir la existencia de otras líneas espectrales que fueron siendo descubiertas paulatinamente conforme aumentaba la potencia de la resolución de los espectroscopios gracias a técnicas refinadas en la manufactura de los mismos:

Tan sencillo como parece, el modelo atómico planetario de Bohr llegó a un costo difícil de aceptar para quienes estaban acostumbrados a pensar en términos de la física clásica. Para ver el impacto producido por el modelo, considérese el problema clásico de una pelota que es soltada para que vaya rodando sobre un plano inclinado:

Desde la perspectiva de la física clásica, la pelota va perdiendo gradualmente energía potencial (en función de su altura) que se va convirtiendo en energía de movimiento (cinética). A cada infinitésimo de pérdida en energía potencial la pelota gana un infinitésimo de energía cinética, y la transición es suave y continua pudiendo aplicarse para el análisis del sistema las herramientas del cálculo infinitesimal. En cambio, en el modelo de Bohr, tal transición suave y continua no existe, ya que el electrón pasa de un nivel energético a otro a “saltos” como si brincase del peldaño de una escalera a otro sin posibilidad de que se estabilice en un valor intermedio de energía:

En el ejemplo mostrado en la figura, el electrón “brinca” del nivel n = 3 al nivel n = 2 produciendo un fotón de luz roja con una longitud de onda de 656·10^-9 metros y una energía de 1.89 eV (electrón-volts). El por qué la Naturaleza se mueve a “brincos” en el mundo sub-microscópico en lugar de hacerlo en forma suave y continua es un asunto filosófico de fondo que atormentó y consumió al primer descubridor de la cuantización de la energía, Max Planck (en cuyo honor la constante h que rige al mundo sub-microscópico lleva su nombre), y es un asunto que sigue sin resolverse pero que es aceptado con cierta resignación por las generaciones que han crecido acostumbradas al hecho sin tener que pasar por el “shock” por el que tuvieron que pasar los fundadores de la Mecánica Cuántica que tuvieron que digerir la difícil transición en este modo de pensar.

Puesto que el diámetro de un átomo es de aproximadamente 10^-10 metro mientras que la carga eléctrica positiva está concentrada en un núcleo de aproximadamente 10^-14 ó 10^-15 metro de diámetro, el electrón debe estar relativamente alejado del átomo, al menos en promedio. La fuerza de atracción eléctrica que mantiene al electrón en su órbita está dada clásicamente por la ley de Coulomb:

F = kq₁q₂/r²

siendo k = 1/4πε₀ = 9·10⁹ Newton·metro²/coulomb² en el sistema de unidades MKS (ISO) y k= 1 en el sistema de unidades cgs-Gaussiano. Para lograr una estabilidad mecánica, Bohr supuso que esta fuerza de atracción eléctrica entre la carga positiva del núcleo y la carga negativa del electrón era justo lo que se requería para poder proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para mantener al electrón en su órbita circular, ya que sin ella el electrón saldría disparado de su órbita al igual que como ocurriría con la Luna de no ser por eso que Newton bautizó como la “fuerza de la gravedad”.

Por simplicidad, y no teniendo evidencias de lo contrario, Bohr supuso que la órbita del electrón en torno al núcleo era una órbita circular. La energía potencial eléctrica U de un electrón situado a una distancia r de un núcleo de carga Ze (siendo Z el número atómico del elemento que está siendo considerado, con Z = 1 para el hidrógeno) es:

(Nota: La interpretación general que se le dá al número atómico Z en el modelo atómico planetario de Bohr para otros elementos distintos al hidrógeno tiene que ver con los átomos hidrogenoides, átomos que tienen dos o más protones en su núcleo pero un electrón solitario girando en torno al núcleo,; como el helio ionizado He⁺ con dos protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el litio doblemente ionizado Li²⁺ con dos protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el berilio triplemente ionizado Be³⁺ con tres protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el boro B⁴⁺ con cuatro protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, y el carbono C⁵⁺ con cinco protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo. Esto es necesario porque si consideramos dos o más electrones en órbita en torno al núcleo entonces la interacción electrón-electrón por la repulsión entre los electrones dificulta enormemente el análisis matemático del problema).

La energía total E del electrón (que de aquí en adelante consideraremos como la energía total del átomo para el caso del hidrógeno) será igual a la suma de la energía cinética y la energía potencial, o sea:

Para que haya estabilidad mecánica, la fuerza de atracción eléctrica:

debe ser igual a la fuerza centrípeta requerida para mantener al electrón en una órbita circular, siendo ésta igual (clásicamente) a F = mv²/r. Por lo tanto:

De esto podemos obtener una expresión para la energía cinética en función de la distancia r:

De este modo, podemos ver que para órbitas circulares la energía cinética es igual a la mitad de la energía potencial U. Entonces la energía total E será igual a:

Usando la relación:

hf = E₁ - E₂

para la frecuencia de la radiación cuando el electrón salta de la órbita 1 de radio r₁ a la órbita 2 de radio r₂, tenemos entonces:

Para poder obtener la fórmula de Balmer-Ritz f = cf = cR(1/m² - 1/n²), resulta evidente que los radios de las órbitas estables deben ser proporcionales a los cuadrados de números enteros, o sea:

r_n = n²r₀

en donde r₀ es por lo pronto una constante desconocida a ser determinada posteriormente. Esto tiene como consecuencia directa la cuantización de los niveles energéticos del átomo:

Tenemos entonces para la frecuencia de la radiación:

Tomaremos ahora el problema de determinar r₀. La constante r₀ es el radio más pequeño posible, pero puede ser determinado considerando el caso especial para un número cuántico n muy grande. Conforme n se aproxima al infinito, la diferencia energética entre órbitas adyacentes se aproxima a cero y la cuantización debe tener un efecto prácticamente nulo. Bohr razonó que para números cuánticos grandes, la física clásica debe dar los resultados correctos. Este principio es conocido como el principio de correspondencia: para un número cuántico n grande la ecuación cuántica se convierte en la ecuación clásica, los cálculos clásicos y los cálculos cuánticos deben dar el mismo resultado. Escribiendo:

n₁ = n___n₂ = n - 1

tenemos entonces:

para n » 1. Entonces, para números cuánticos grandes, la fórmula de arriba para la frecuencia de la radiación toma la siguiente forma:

La frecuencia de la radiación predicha por la teoría clásica es igual a la frecuencia de revolución del electrón en torno al núcleo atómico, siendo ésta f_rev = v/2πr. De lo anterior tenemos entonces para esto último:

Haciendo la frecuencia de revolución f_rev² igual a la frecuencia de radiación f², obtenemos lo siguiente:

o bien, despejando para r₀:

en donde a₀ = h²/(4π²ke²m) siendo m = m_e la masa del electrón.

Poniendo la expresión que hemos obtenido arriba para r₀ en la fórmula para las frecuencias de radiación, obtenemos lo siguiente:

PROBLEMA: Evaluar el radio a₀ de la primera órbita del electrón para el átomo de hidrógeno. Utilícense unidades en el sistema MKS-SI para la resolución de este problema.

Para el átomo de hidrógeno se tiene Z = 1. En el sistema MKS-SI, la constante k que debe ser utilizada es igual a k = 1/4πε₀. Entonces:

Históricamente, a esta longitud a₀ = 0.529 Å, el primer radio de la órbita del modelo atómico planetario de Bohr, se le consideró tan fundamental que se le dió un nombre especial honrando a su descubridor, el Bohr, frecuentemente midiéndose los radios de las demás órbitas en múltiplos del radio de Bohr a₀. La designación aún subsiste, pese al hecho de que en la Mecánica Cuántica moderna se considera que este radio no es observable e inclusive no es posible ascribirle al electrón una distancia fija con respecto al núcleo atómico siendo posible únicamente hablar acerca de la probabilidad de poder encontrar al electrón a cierta distancia del núcleo, más no la certeza.

PROBLEMA: Determínese la energía de un átomo de hidrógeno que se encuentra en su estado fundamental. Utilícense unidades en el sistema MKS-SI para la resolución de este problema.

Escribiendo la fórmula para el nivel energético del átomo de hidrógeno en su estado fundamental de la siguiente manera:

entonces, utilizando las constantes físicas en el sistema MKS-SI:

m_e = 9.109× 10^-31 kilogramo

e= 1.602× 10^-19 coulomb

ε₀ = 8.854× 10^-12 coulomb²/Newton·metro²

h = 6.626× 10^-34 joule·segundo

tenemos el siguiente resultado:

Puesto que 1 electrón-voltio equivale a 1.602× 10^-19 joule, la energía del átomo de hidrógeno (considerada aquí como la energía del electrón en el estado fundamental) será igual a -13.6 eV.

PROBLEMA: (1) Calcúlese la frecuencia de la rotación de un electrón en el estado n = 10. (2) Calcúlese la frecuencia de la luz emitida cuando un electrón desciende del estado n = 10 al estado n = 9. Utilícense unidades en el sistema cgs-Gaussiano para la resolución de este problema.

(1) La energía de un electrón situado en el nivel n = 10, calculada en el sistema de unidades cgs-Gaussiano, será la siguiente:

Suponiendo que toda esta energía es energía cinética de rotación del electrón alrededor del núcleo, entonces podemos calcular con esto su velocidad tangencial orbital:

A continuación, calculamos el radio de la órbita cuando el electrón está en el estado n = 10:

Teniendo la velocidad tangencial orbital y el radio de la órbita, podemos calcular la frecuencia de la rotación del electrón alrededor del núcleo partiendo del hecho de que la velocidad angular ω es igual a la velocidad tangencial entre el radio y la velocidad angular es también igual a 2π veces la frecuencia de rotación:

Por otro lado, la energía del fotón luminoso emitido cuando desciende del nivel n = 10 al nivel n = 9 será:

en donde el signo negativo indica que esta es una energía liberada por el átomo en lugar de ser una energía que se le tenga que suministrar. La frecuencia del fotón luminoso (que en este problema identificaremos con la letra ν para no confundirla con la frecuencia de rotación que acabamos de calcular arriba) se obtiene entonces con la fórmula básica que relaciona a la energía de un fotón con su frecuencia:

Si comparamos la frecuencia de la rotación de un electrón en el estado n = 10 con la frecuencia de la luz emitida cuando un electrón desciende del estado n = 10 al estado contiguo n = 9, podremos ver que ambas cantidades tienen el mismo orden de magnitud, y de hecho ambos resultados numéricos no están tan alejados el uno del otro. Esto, desde luego, es el principio de correspondencia de Bohr en acción. Este sencillo problema nos demuestra que en realidad no es necesario que los números cuánticos sean tan grandes para que se establezca la correspondencia. Naturalmente que para números cuánticos realmente grandes, la correspondencia se convierte en una igualdad. Y aunque la comparación se establece suponiendo que el electrón cae de un estado de energía n+1 a un estado de energía contiguo n, podemos comprobar echando números que para números cuánticos grandes la correspondencia se sostendrá con un grado razonable de aproximación aún cuando los estados energéticos no sean contiguos.

PROBLEMA: Encuéntrese la diferencia entre las longitudes de onda de la línea del hidrógeno correspondiente a la transición n₁ = 3 → n₂ = 2 y la línea del helio simplemente ionizado correspondiente a la transición n₁ = 6 → n₂ = 4. Tómense como valores para las constantes de Rydberg los siguientes:

R_H = 1.09678×10^-3/Å

R_He = 1.09722×10^-3/Å

De la relación fundamental para un elemento con número atómico Z:

tenemos lo siguiente para el átomo de hidrógeno con una transición n₁ = 3 → n₂ = 2:

y tenemos lo siguiente para el átomo de helio con una transición n₁ = 6 → n₂ = 4:

Tomando diferenciales en la primera relación e introduciendo los últimos resultados que vienen siendo lo mismo:

En esto último podemos hacer una buena aproximación reemplazando los infinitesimales por incrementos finitos escribiendo así lo siguiente:

Regresando a la relación previa, vemos que:

Entonces:

Metiendo números:

Haciendo Z = 1 para el caso del hidrógeno y comparando lo que obtenemos con la fórmula Balmer-Ritz, tendremos lo siguiente para la frecuencia de Rydberg:

Puesto que cada capa representa un nivel energético distinto (y al decir esto nos estamos refiriendo al nivel energético de un electrón que esté situado en una capa cualquiera), se acostumbra representar las transiciones de una capa a otra mediante lo que se conoce como diagramas de niveles de energía como el siguiente:

La capa para la cual n = 1 es conocida como el estado fundamental o estado basal.

Una curiosidad en la ecuación de Rydberg de acuerdo a la cual la longitud de onda λ de cada línea observada en el espectro del hidrógeno está determinada por los números cuánticos principales del estado inicial y del estado final es que hay pares {n_i,n_f.} de números cuánticos que generan exactamente el mismo valor de λ. A manera de ejemplo, se tienen los pares {28,32} y {56,224} que resultan de la coincidencia numérica (en la ley de Rydberg):

Se pueden mencionar otros pares de números cuánticos que también producen el mismo valor de λ, como el par {91,119} y {119,221}, y el par {6409,6851} y {11687,15283}, a los cuales podemos agregar los siguientes:

Éstas curiosidades matemáticas han sido investigadas más a fondo por el Profesor Nicholas Wheeler en su trabajo Coincident Spectral Lines for the particle in a box and hydrogen. Afortunadamente, estas líneas espectrales coincidentes solo ocurren esporádicamente, y ello como resultado de un accidente poco común que resulta de las matemáticas. no de la física. De haber sido mucho más numerosas las líneas espectrales coincidentes la deducción intuitiva de la ley de Rydberg tal vez habría sido un asunto un poco más complicado. En el estudio de la Mecánica Cuántica, las líneas espectrales coincidentes no son cosa que deba causar mucha preocupación.

Sin importar el estado que esté ocupando un electrón en un átomo, ya sea que se encuentre en el estado fundamental o que se encuentre en un estado excitado, si proporcionamos suficiente energía al átomo (por ejemplo mediante descargas eléctricas) podemos arrancarle dicho electrón al átomo produciendo el fenómeno conocido como ionización, de modo tal que si el átomo anteriormente estaba en un estado eléctricamente neutro (con la misma cantidad de cargas positivas que negativas) ahora se encontrará en un estado ionizado, manifestando una carga eléctrica neta positiva:

Lo que hemos visto arriba reproduce en esencia la misma línea de pensamiento utilizada por Bohr al estar desarrollando sus ideas. Sin embargo, entre las fórmulas se escondía algo de mucha mayor trascendencia todavía, algo que al ser descubierto sería adoptado por el mismo Bohr como postulado para su modelo atómico.

PROBLEMA: Demostrar que el desarrollo original utilizado por Bohr para la obtención de sus fórmulas implica necesariamente la cuantización del momento angular orbital.

Clásicamente, el momento angular orbital L de una partícula de masa m girando con una velocidad v en torno a otro cuerpo que actúa como núcleo proporcionando la fuerza atractiva que la mantiene en órbita:

está dado por la relación vectorial del producto cruz:

siendo p = mv el momentum lineal de la partícula.

Para el modelo atómico planetario de Bohr, el momento angular de un electrón moviéndose en una órbita circular de radio r_n es:

L = mvr_n

Usando el resultado previo r_n = n²r₀ tenemos entonces:

L = mv(n²r₀) = n²mvr₀

Usando otro de los resultados previos tenemos:

Por otro lado, tenemos también de otro resultado previo lo siguiente:

Por lo tanto:

Pero mvr_n = L. Entonces:

Esto último lo podemos compactar aún más usando una notación simplificada propuesta por Paul Adrien Maurice Dirac, conocida como hbarrada ó h barra que sirve para representar a la constante reducida de Planck h/2π con un solo símbolo, ħ, permitiéndonos escribir la anterior relación como:

Ya desde los tiempos en los que Max Planck había resuelto el problema de la radiación del cuerpo negro descubriendo la famosa constante que lleva su nombre, era obvio que dicha constante tenía las unidades de momento angular. Pero en ese entonces el modelo atómico planetario de Bohr aún no había sido descubierto, y no era muy clara la relación que pudiera tener el momento angular como tal con la cuantización de la energía. Ahora, por vez primera, se tenía un resultado en el cual aparecía la constante de Planck ligada a un número entero positivo n, siendo este resultado la relación más sencilla de todas las relaciones posibles. Esto era la señal más clara de que, a un nivel fundamental, la cuantización del momento angular era algo inclusive más básico que la cuantización de la energía o la cuantización de los radios de las órbitas del electrón en torno al núcleo. La cuantización del momento angular podía utilizarse como punto esencial de partida para la construcción de una nueva ciencia. Bohr no tardó en darse cuenta del hecho, y fue así como en su papel en el cual Bohr anunció su descubrimiento al mundo asentó toda su teoría sobre los siguientes dos postulados:

(1) Los electrones se mueven en órbitas circulares estables, consistentes con la ley clásica de la atracción eléctrica entre dos cargas eléctricas opuestas y las leyes clásicas del movimiento de Newton, estando especificadas dichas órbitas por una cuantización del momento angular:

L = nħ

(2) Cuando un electrón salta de una órbita de energía E₁ a una órbita de energía E₂, se emite un fotón cuya frecuencia de radiación será:

ν = (E₁ - E₂)/h