martes, 11 de agosto de 2009

Espectroscopías de resonancia magnética III

Resulta instructivo estudiar desde una perspectiva ligeramente diferente la manera en la cual al llevarse a cabo desdoblamientos en las líneas del espectro de resonancia magnética RMN las intensidades relativas de una línea que es desdoblada en un triplete o en un cuadruplete o en un multiplete están dadas por los coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Veamos nuevamente el caso del 1,1,2-tricloroetano que vimos en la entrada anterior (“Espectroscopías de resonancia II”) cuya fórmula estructural es:


En este compuesto, ambos protones Ha y Hb están acoplados. Considérese primero el caso de los protones Ha. Además de estar “blindados” por los electrones de valencia cercanos, cada uno de los protones Ha también están influenciados por el campo magnético pequeño que genera el protón adyacente Hb (recuérdese que cada protón que está girando sobre su propio eje, siendo una carga eléctrica, actúa como un pequeño imán). En poco más de la mitad de las moléculas de la muestra, el momento magnético del protón Hb estará alineado con el campo magnético B0, mientras que en la mitad restante de las moléculas de la muestra el momento magnético estará en oposición a B0. El campo magnético efectivo Bef “sentido” por Ha será ligeramente menor si el protón Hb está alineado en contra de B0, o ligeramente mayor si está alineado con B0. Puesto de otra manera, la mitad de las moléculas Ha estarán blindadas por Hb (lo que provocará que la señal RMN sea desplazada ligeramente campo arriba) mientras que la otra mitad estarán desblindadas (lo que provocará que la señal RMN sea desplazada ligeramente campo abajo). Lo que normalmente sería un pico de resonancia Ha sencillo es en efecto desdoblado en dos sub-picos (un doblete), uno ligeramente campo arriba y el otro ligeramente campo abajo de la señal original.


Considérese ahora el caso de los protones Hb. El entorno magnético experimentado por los Hb está influenciado por los campos de los protones Ha vecinos, los cuales llamaremos Ha1 y Ha2. Ahora hay cuatro posibilidades aquí, cada una de las cuales es igualmente probable. Primero, los campos magnéticos de ambos Ha1 y Ha2 podrían estar alineados con el campo magnético B0, lo cual desblindaría al protón Hb, desplazando su señal RMN ligeramente campo abajo. Segundo, los campos magnéticos de ambos Ha1 y Ha2 podrían estar alineados opuestos al campo magnético B0, lo cual blindaría al protón Hb, desplazando su señal RMN ligeramente campo arriba. Y tercero y cuarto, Ha1 podría estar alineado con B0 y Ha2 oponiéndose, o bien Ha1 podría estar oponiéndose a B0 con Ha2 alineándose. En cada uno de los últimos dos casos, el efecto del blindaje producido por un protón Ha cancelaría el efecto de desblindaje del otro, y el desplazamiento químico δ de Hb permanecería inalterado. Así que, al final de cuentas, la señal para Hb es un triplete, con el pico intermedio dos veces más grande que los otros dos picos externos porque hay dos maneras en las cuales Ha1 y Ha2 se cancelan mutuamente. Esto se puede ilustrar mejor mediante la siguiente figura:


En el caso de la formación de un cuadruplete, las combinaciones posibles de spins anexadas a cada uno de los picos de resonancia muestran claramente el origen de la relación de intensidades codificada en los coeficientes binomiales del triángulo de Pascal:


Lo anterior puede ser generalizado y formalizado matemáticamente para demostrar cómo a partir de las combinaciones posibles de spins nucleares se van obteniendo los coeficientes binomiales del triángulo de Pascal, aunque esto aquí no se considerará necesario porque de lo que se trata es de comprender cómo entra el triángulo de Pascal en el escenario cuando hay desdoblamientos.

Cuando se cuenta con un espectrómetro NMR de alta resolución (y algunos de los mejores que hay no son comerciales sino construídos por instituciones académicas de prestigio con donaciones generosas ya sea públicas o privadas en virtud de la enorme ventaja competitiva que puede ofrecer uno de estos aparatos en cuestiones de investigación y desarrollo), con un análisis cuidadoso es posible ir entresacando los picos de resonancia que corresponden a efectos de acoplamiento. A modo de ejemplo, las siguientes dos figuras nos muestran dos partes distintas de un mismo espectrograma RMN pero enfocando rangos distintos del desplazamiento químico δ (el primer rango va desde 7.35 ppm hasta 7.60 ppm, graduado de izquierda a derecha, el segundo rango va desde 7.16 ppm hasta 7.32 ppm), para un compuesto en el que están identificados desdoblamientos producidos por tres constantes de acoplamiento: JAB, JAB’ y JBC:




En la figura superior, tenemos a la izquierda el desdoblamiento producido sobre la línea de un protón A por un protón cercano B a través de la constante de acoplamiento JAB, resultando en un doblete. En la parte intermedia de la misma figura superior, se tiene el efecto de dos desdoblamientos que delatan el efecto de los acoplamientos JAB’ y JBC. Y en la parte derecha se tiene el efecto de un desdoblamiento atribuíble al protón C a través de la constante de acoplamiento JBC. Por otro lado, en la figura inferior, se tiene el efecto de dos desdoblamientos causados por los acoplamientos JAB’ y JBC, mientras que en la figura intermedia se tiene otro desdoblamiento producido la constante de acoplamiento JAB. Como puede verse, conforme se van recabando los resultados intermedios, se requiere de algo de práctica para poder ir contemplando el panorama final que nos conduce al premio codiciado, la determinación de la fórmula estructural del compuesto que está siendo analizado.

A menos de que las constantes de acoplamiento spin-spin J sean pequeñas comparadas con los desplazamientos químicos δ (el caso especial que fue estudiado en la primera entrada), los espectros de sistemas que contienen varios núcleos son complejos, ya que los desplazamientos químicos son proporcionales al campo magnético B0 mientras que los desdoblamientos spin-spin son independientes de B0. Una técnica para simplificar el espectro RMN obtenido es usar espectrómetros con radiofrecuencias de operación más altas, pero esto tiene un límite y se vuelve necesario recurrir a otros trucos. Otra técnica que ayuda en la identificación de una interacción spin-spin consiste en provocar cambios en el acoplamiento mediante el uso no de uno sino dos campos de radiofrecuencia superpuestos sobre la muestra, con el objetivo de producir un desacoplamiento.

La constante de acoplamiento 3J entre dos protones (H) cualesquiera de fragmentos alifáticos tipo H-C-C-H depende directamente del ángulo diedro φ que se muestra a continuación en proyecciones de Newman:




En este caso la constante de acoplamiento 3J puede predecirse teóricamente mediante la ecuación de Karplus que fue sugerida inicialmente por Martin Karplus:


en donde A, B y C son constantes empíricas que tienen que ser obtenidas en el laboratorio. Es frecuente encontrar esta ecuación escrita de otras maneras, por ejemplo:


La ecuación de Karplus es una herramienta sumamente útil para dilucidar las estructuras tridimensionales de muchos compuestos orgánicos y para distinguir, por ejemplo, entre los protones ecuatoriales y los protones axiales en muchos productos naturales, como lo muestra el siguiente ejemplo para el caso de la α-D-Glucosa y la β-D-Glucosa:




Una gráfica típica de la ecuación de Karplus mostrando la dependencia de la constante de acoplamiento J con respecto al ángulo diedro es la siguiente:




La espectroscopía por resonancia magnética nuclear RMN comúnmente conocida como espectroscopía RMN 1H llevada a cabo mediante el análisis de los picos de resonancia que los spins de los núcleos de los protones (H) producen en los compuestos orgánicos así como en los desdoblamientos que se producen dependiendo de la colocación de los protones en una molécula tiene algunas limitaciones que en ocasiones se pueden circunventar con un poco de ingenio. Desafortunadamente, cuando porciones significativas de una molécula carecen de enlaces C-H, no se espera que la espectroscopía 1H produzca resultados útiles. Ejemplos de este tipo lo son los compuestos policlorinados tales como el clordano, compuestos policarboniles el ácido crocónico, y compuestos que incorporan enlaces triples, como puede apreciarse en las fórmulas estructurales de este tipo de compuestos en las cuales los átomos de carbono 12C (el cual carece de spin nuclear y por lo tanto no produce picos de resonancia) han sido resaltados de color naranja:


Aún cuando haya numerosos grupos C-H presentes en una molécula, una interpretación sin ambigüedades de un espectrograma 1H no siempre será posible. Las siguientes figuras nos muestran tres pares de isómeros (identificados como A y B) que exhiben espectros similares de protones (H). Aunque una inspección cuidadosa de los desplazamientos químicos δ debe permitir que el primer par de isómeros destacados dentro de la caja azul puedan ser diferenciados el uno del otro, en los casos del segundo y el tercer par de isómeros destacados dentro de la caja roja y la caja verde esto no parece ser posible mediante espectroscopía 1H únicamente:


Estas dificultades podrían resolverse si los átomos de carbono pudieran ser “escaneados” con la espectroscopía de resonancia magnética nuclear RMN del mismo modo en que lo hacemos utilizando como punto de referencia a los átomos de hidrógeno. Sin embargo, esto no parece posible en virtud de que el isótopo más abundante del carbono (12C) carece de spin nuclear. Afortunadamente, 1.1% del carbono elemental que se encuentra en la Naturaleza es el isótopo 13C, cuyo spin es I.=.1/2, lo cual en principio debe permitir hacer posible la conducción de un experimento de espectroscopía RMN utilizando como medio proveedor de información a dicho isótopo. Este tipo de espectroscopía RMN es un hecho factual, y es conocida la espectroscopía RMN 13C o simplemente como espectroscopía RMN de carbono. Debe enfatizarse que si el isótopo 13C fuera más abundante en la Naturaleza que el isótopo 12C (lo cual afortunadamente para el analista de espectrogramas RMN no ocurre), la espectroscopía de protones (H) sería mucho más complicada en virtud del acoplamiento producido por el enlace directo que habría entre todos los núcleos 13C y todos los núcleos 1H. Como puede suponerse, se tuvieron que vencer muchos obstáculos para poder convertir a la espectroscopía RMN de carbono en una realidad, siendo el primero el hecho de que por la escasez del isótopo 13C en una muestra de material se requieren mayores concentraciones de la muestra para poder obtener resultados inteligibles. A esto se suma el hecho de que el núcleo 13C es unas 50 veces menos sensitivo que un protón 1H en un experimento RMN. Y a esto se le suma el hecho de que los átomos de hidrógeno enlazados a un átomo de 13C desdoblan su señal en un rango de frecuencias que va desde unos 130 Hertz hasta unos 270 Hertz, complicando aún más el espectrograma. La técnica más importante que ha conducido al uso rutinario de la espectroscopía 13C es la utilización de pulsos de señal de radiofrecuencia en lugar de una sola radiofrecuencia continua variándose el campo magnético, junto con la otra técnica ya mencionada arriba conocida como el desacoplamiento de spins de los protones (H). Los resultados obtenidos mediante secuencias repetidas de pulsos son acumulados para proporcionar una mejor señal de respuesta en los picos de absorción. Cuando se obtiene de esta manera, el espectrograma 13C de un compuesto muestra una señal clara y distinguible para cada átomo de carbono estructuralmente distinto que haya en una molécula del compuesto (esto supone que los acoplamientos entre los protones 1H han sido removidos mediante la técnica del desacoplamiento de spins). Con fines comparativos, a continuación tenemos un espectrograma RMN 1H del alcanfor disuelto en el popular solvente cloroformo deuterado CDCl3 (el cual por tener un átomo de carbono 12C, un átomo de deuterio D, y tres átomos de cloro Cl, que no interfieren con los resultados que se esperan en una espectroscopía 1H, es un solvente casi ideal) empleando una señal de radiofrecuencia continua de 90 Megahertz:


Y a continuación tenemos el espectrograma RMN 13C del alcanfor disuelto en el mismo tipo de solvente cloroformo deuterado CDCl3 (obsérvese cómo la anchura del espectrograma se incrementa ampliamente):



Las ventajas de la espectroscopía RMN 13C sobre la espectroscopía RMN 1H son obvias. La dispersión de los desplazamientos químicos δ del 13C es casi veinte veces mayor que aquella para los protones (H), y esto junto con la ausencia de desdoblamientos en los picos de resonancia aumenta las probabilidades de que cada átomo de carbono estructuralmente diferente producirá una señal separada. Las únicas señales claramente identificables en los espectros de protones son aquellas de los grupos metílicos. Los protones restantes tienen picos de resonancia situados a una distancia de entre 1.0 y 2.8 p.p.m de la referencia de calibración TMS, traslapándose de forma problemática a causa de el desdoblamiento spin-spin. A diferencia de lo que ocurre con la espectroscopía RMN 1H, la fuerza relativa de las señales RMN del carbono usualmente no son proporcionales al número de átomos que genera cada pico de resonancia. A causa de esto, el número de señales discretas (picos de resonancia) y sus desplazamientos químicos son los datos más importantes que suministra un espectrograma RMN 13C.

Esta técnica utilizada para lograr la obtención de resultados RMN en donde no parece ser posible lograrlo es mejor conocida como la substitución isotópica, y el 13C no es el único elemento isotópico que se emplea para ello. En el mismo caso de la espectroscopía RMN 1H, sin necesidad de adentrarnos a la espectroscopía RMN 13C que tiene sus propias idiosincrasias y problemas técnicos, se suele procurar el reemplazo de uno o más protones (1H) con un átomo de deuterio (2D), el cual a diferencia del 13C puede tomar tres valores de spin (-1, 0 y +1). Esto significa que si en cierto punto de una fórmula estructural en donde había un átomo de hidrógeno se logra substituír a dicho átomo de hidrógeno con un átomo de deuterio, el deuterio 2D aumentará el número de desdoblamientos que en el espectrograma RMN. La siguiente fórmula estructural nos muestra un compuesto orgánico en donde todos los átomos de hidrógeno son protones 1H:


En este compuesto tenemos dos metilos (CH3). Y la siguiente fórmula estructural nos muestra al mismo compuesto pero con uno de sus átomos de hidrógeno 1H reemplazado por un átomo de deuterio 2D:


Ambos compuestos mostrarán comportamientos químicos muy similares. Sin embargo, en el espectro RMN 1H, la diferencia entre ambos espectrogramas delatará de inmediato un aumento en el número de desdoblamientos, contribuyendo con ello a la identificación de la fórmula estructural del compuesto.

PROBLEMA: Una de las moléculas multi-isotópicas más sencillas que se conocen es la que está formada por un átomo de hidrógeno 1H y un átomo de deuterio 2D formando la molécula HD. Descríbase el tipo de espectro RMN que podemos esperar de una molécula de este tipo.

Utilizando como punto de referencia común para nuestros cálculos un campo magnético de 1 Tesla, recurriendo a la tabla dada en la primera entrada que resume las propiedades magnéticas de varios núcleos calcularemos primero la frecuencia de precesión que le corresponde al 1H:


A continuación calcularemos la frecuencia de precesión que le corresponde al 2D:


Con esto y el triángulo de Pascal estamos en mejores condiciones de poder hacer una predicción del espectro RMN de la molécula HD. El pico de resonancia del protón (1H) será desdoblado en tres líneas por el deuterón (por tener éste último tres valores distintos de spin), lo cual ocurrirá a una frecuencia de 42.6 Megahertz cuando se aplica un campo magnético de 1 Tesla, mientras que el pico de resonancia del deuterón 2D será desdoblado en dos líneas por el protón, lo cual ocurrirá a una frecuencia de 6.5 Megahertz bajo la aplicación del mismo campo magnético de 1 Tesla.

Ahora bien, si “picos de resonancia” fuera la única información que pudiéramos obtener mediante la espectroscopía de resonancia magnética, esto por sí solo convertiría a este tipo de espectroscopía en un recurso superior a todas las demás herramientas analíticas que tiene a su alcance el químico contemporáneo. Sin embargo, hay todavía más material de información que podemos extraer de los compuestos moleculares con la ayuda de la resonancia magnética, mediante la medición de algo que se conoce como los tiempos de relajamiento.

Hasta este punto, no le hemos puesto mucha atención a los tiempos; las únicas variables experimentales de las que hemos estado hablando han sido el campo magnético aplicado a la muestra que puede ser fijo (la mayoría de las veces) o variable dependiendo del aparato, y la señal de radiofrecuencia continua que se le aplica a la muestra la cual también puede ser fija o variable, midiéndose los desplazamientos químicos δ o las frecuencias que van apareciendo en el espectrograma de resonancia magnética en relación a un patrón de calibración que suele ser el tetrametilsilano (TMS) al cual se le asigna arbitrariamente un valor de cero. Hemos supuesto que la señal de radiofrecuencia es una señal electromagnética continua oscilando todo el tiempo a la misma frecuencia. Sin embargo, suponiendo que ya tenemos al especímen bajo análisis colocado entre los polos del electroimán con el campo magnético encendido, entonces si encendemos la señal de radiofrecuencia podemos anticipar que las reorientaciones en los spins de los núcleos a consecuencia del impacto del pulso electromagnético aplicado (un potencial escalón) no ocurrirán instantáneamente. Y del mismo modo, al apagar y remover con ello la señal de radiofrecuencia manteniendo encendido el electroimán, los reacomodos en los núcleos que deba de haber tampoco ocurrirán instantáneamente. En ambos casos hay un tiempo de relajación requerido para que se pueda alcanzar nuevamente una situación de equilibrio en los spins de los núcleos del material bajo prueba. El término relajación describe varios procesos mediante los cuales la magnetización nuclear preparada en una situación alejada del equilibrio volverá a una distribución de equilibrio, o en pocas palabras, la relajación nos describe qué tan rápido los spins nucleares “olvidarán” la dirección en la cual estaban orientados.

Supóngase que tenemos una muestra de material a la cual ya se le ha aplicado un campo magnético muy homogéneo pero a la cual aún no se le ha aplicado aún señal de radiofrecuencia alguna. A consecuencia del campo magnético externo aplicado B0, los spins nucleares se alinearán ya sea en forma “paralela” al campo magnético o en forma “antiparalela”. Sin embargo, a causa de la distribución estadística de Boltzmann, en el equilibrio térmico las poblaciones de spins “paralelos” y “antiparalelos” no serán exactamente iguales, habrá más de una que de otra, lo cual tendrá como consecuencia que la magnetización neta Mz que es consecuencia de la suma vectorial de todos los spins nucleares en lugar de ser igual a cero tendrá un valor pequeño a lo largo del eje-z. La siguiente figura nos muestra esta asimetría en las cantidades, en donde podemos contar 9 spins apuntando “hacia arriba” y 7 spins apuntando “hacia abajo” (habiendo muchos más que no se muestran en la figura) produciendo la magnetización neta Mz:




Los vectores de spin mostrados arriba no están fijos sobre la superficie cónica. Están girando rápidamente y al unísono sobre la superficie cónica imaginaria a una frecuencia conocida como la frecuencia de Larmor, que es la frecuencia de precesión de los vectores en torno al eje-z. Siendo distintas las poblaciones de spins que apuntan “hacia arriba” y ”hacia abajo, si dibujamos únicamente el excedente de spins que apuntará en una dirección (que escogeremos arbitrariamente como la dirección “hacia arriba”) podemos imaginar a cada uno de estos vectores que representan a los núcleos en precesión Larmor como vectores distribuídos sobre la superficie cónica mostrada a continuación produciendo en conjunto la magnetización neta Mz en la dirección del campo magnético aplicado B0 (aunque solo se muestran en la figura, con distintos colores, los spins de diez núcleos, orientados al azar en torno a la superficie cónica imaginaria, podemos imaginar una cantidad enorme de spins nucleares, digamos unos 1010 ó unos 1053 ó unos 1020, dependiendo del tamaño de la muestra, dando como resultado de las contribuciones vectoriales un campo magnético prácticamente igual a cero en cualquier dirección a lo largo del plano x-y):




Se sobreentiende que si las poblaciones de vectores de spines nucleares apuntando “hacia arriba” y apuntando “hacia abajo” fueran exactamente iguales, en esta última figura de arriba no habría nada, y la magnetización nuclear Mz sería cero. Para poder describir lo que sucede cuando alteramos la situación de equilibrio que hay entre los vectores “paralelos” y los vectores “antiparalelos” de spin, recurrimos al par de ecuaciones diferenciales conocidas como las ecuaciones de Bloch, así llamadas en honor a quien las propuso por vez primera, Félix Bloch, conocidas también como las ecuaciones del movimiento de magnetización nuclear:


en donde γ es la razón giromagnética definida como:


siendo g el factor-g adimensional que toma un valor igual a 5.585 para el protón (H), y siendo μN el magnetón nuclear. Aunque están gobernadas y descritas por las leyes que rigen en la Mecánica Cuántica, las ecuaciones de Bloch no son microscópicas, ya que no describen el movimiento de spines nucleares individuales. Son macroscópicas aplicándose en forma estadística al comportamiento descriptivo de una gran cantidad de spins nucleares que contribuyen a las magnetizaciones indicadas sobre los tres ejes rectangulares Cartesianos.

La situación de equilibrio que hay entre los vectores “paralelos” y los vectores “antiparalelos” de spin puede ser alterada de dos maneras:

(1) Aumentando súbitamente la intensidad del campo magnético (por ejemplo, doblando la corriente eléctrica con la cual estamos alimentando al electroimán, lo cual doblará el campo magnético entre sus polos).

(2) Aplicando un campo magnético B1 (a través de una señal de radiofrecuencia, recuérdese que la onda electromagnética consta de una componente de campo eléctrico y una componente de campo magnético) a la misma velocidad angular (¡resonancia!) y en la misma dirección del plano perpendicular al eje-z.

Si doblamos súbitamente el campo magnético B0, esperamos lógicamente que aumente la magnetización neta Mz. Pero esto no ocurre de manera instantánea, el cambio se lleva a cabo exponencialmente. Si representamos como n a la cantidad excedente de núcleos en el nivel de baja energía (aquellos disponibles para ser llevados a un nivel de alta energía) y si la cantidad inicial que había de ellos era n0, entonces el recorrido exponencial hacia el nuevo número de equilibrio neq estará determinado por la siguiente relación:


en donde t es el tiempo transcurrido y T1 es el tiempo de relajación, el cual es una constante del sistema. En este caso, nos referimos al tiempo de relajación T1 ya sea como tiempo longitudinal o tiempo de relajación de la retícula de spins. Es el tiempo característico para el intercambio de energía entre el sistema de spins y el entorno térmico (la retícula). En los sólidos, T1 puede ser tan grande como 1000 segundos a causa de la ausencia de mecanismos para el intercambio de energía entre los spins nucleares con el resto del sistema. En los líquidos T1 está típicamente en un rango entre los 0.5 y los 50 segundos. El proceso de relajación es más rápido en los líquidos en virtud de los campos magnéticos fluctuantes causados por los otros imanes nucleares del sistema que están experimentando un movimiento Browniano aleatorio y rápido. El campo magnético local variante en el tiempo en un núcleo tiene componentes de la frecuencia necesaria para dar lugar a transiciones entre los niveles de baja energía y alta energía.

Si además de estar aplicando un campo magnético constante y homogéneo B0 aplicamos también una señal de radiofrecuencia cuya frecuencia sea igual a la frecuencia de Larmor con la cual los spines nucleares ejecutan su movimiento de precesión, en virtud de los intercambios de energía esto hará que los spins nucleares alternen entre los estados “apuntando hacia arriba” y “apuntando hacia abajo”, lo cual tendrá un efecto oscilatorio sobre la componente de la magnetización Mz que es paralela al eje-z. Así, el spin combinado del sistema descrito en la figura de arriba puede ser también perturbado aplicando un campo magnético oscilatorio B1 que sea perpendicular a la dirección del campo magnético constante y homogéneo B0 del electroimán. Este campo magnético oscilatorio deriva precisamente de la señal de radiofrecuencia (RF) aplicada a la muestra bajo análisis, la cual de acuerdo a la teoría electromagnética clásica de campos oscilantes constará de un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares y oscilando a la misma frecuencia, siendo siempre posible reorientar el campo magnético oscilante B1 de la señal de radiofrecuencia RF de modo tal que sea perpendicular al campo magnético constante B0 al igual que como se hace con una antena receptora de señales de televisión que tiene que ser girada para lograr la mejor recepción posible de la señal. Puesto que a causa del campo magnético oscilante B1 la distribución de los spins sobre la superficie cónica ya no es uniforme, esto traerá como consecuencia que el campo magnético en el plano x-y deje de tener un valor de cero, produciéndose una magnetización Mxy sobre el plano x-y (la flecha roja en la figura representa esta magnetización sobre el plano x-y producida por la suma vectorial de todos los spines nucleares que se han sincronizado con el campo magnético oscilante B1):




Como se destaca en la figura de arriba, obsérvese que la aplicación de la señal de radiofrecuencia afecta por igual tanto a los spins que están apuntando “hacia arriba” como los spins que están apuntando “hacia abajo”. Podemos considerar a Mxy como un solo vector que está girando sobre el plano x-y, o podemos considerarlo como dos vectores Mx y My que vendrían siendo las componentes de un vector radial Mxy girando sobre el plano x-y. En cualquier caso, el vector de magnetización original M de los spins nucleares que consistía en una sola componente apuntando en la dirección del eje-z siendo por lo tanto igual a Mz ha perdido por completo el valor que tenía en dicha dirección. Como se ha destacado en la figura de arriba, al producirse esta nueva condición de magnetización las componentes de spin se “juntan” formando un paquete estrecho girando a una misma velocidad angular sobre el plano x-y. Tomando prestado un término utilizado previamente en la entrada titulada “El láser”, decimos que los spins nucleares son coherentes, estando en fase y moviéndose al unísono como lo hacen los soldados de un regimiento que participan en un desfile. Sin embargo, esta es una condición temporal que sólo durará mientras se siga aplicando la misma señal de radiofrecuencia RF a la muestra (además del campo magnético constante), ya que en cuanto la señal de radiofrecuencia sea removida la magnitud del vector Mxy empezará a disminuír, y mientras que algunos vectores de spin nuclear se empezarán a mover “hacia arriba” otros se empezarán a mover “hacia abajo” hasta que se restablezca la situación que se tenía originalmente antes de la aplicación de la señal de radiofrecuencia, con una magnetización neta Mz. Mientras esto ocurre, mientras se está llevando a cabo el restablecimiento hacia la situación de equilibrio, decimos que el sistema se está relajando hacia el equilibrio, hablamos de una relajación, y podemos considerar al vector magnetización M como formado de tres componentes:


Pero como las tres componentes van cambiando con el tiempo, una simbolización más correcta sería la siguiente:


Al irse reestableciendo el campo de magnetización neta de los spins nucleares en la dirección del eje-z, el movimiento de precesión en torno al eje-z continúa, y en el camino hacia este reestablecimiento hablamos del tiempo T1 que ya describimos arriba como algo representativo del tiempo longitudinal o tiempo de relajación de la retícula de spins:




Por otro lado, tenemos a la constante de tiempo para describir el decaimiento también exponencial de Mxy después de que se ha removido el campo magnético oscilante (la señal de radiofrecuencia) conocida como el tiempo transversal de relajación T2. Podemos imaginar a los spins que estaban unidos moviéndose en sincronía separándose como si fuesen las líneas de un abanico previamente cerrado que se está abriendo:




Suponiendo que la aplicación del pulso de radiofrecuencia (RF) lleva al vector de magnetización nuclear de su su valor original Mz hasta la posición My, en la siguiente secuencia de figuras tenemos lo que ocurre en la proyección vectorial del vector de magnetización M sobre el plano x-y primero cuando como resultado de la aplicación del pulso de radiofrecuencia la magnetización My tiene (1) un ascenso rápido de un valor igual a cero hasta su valor máximo, tras lo cual en la secuencia (2) a (4) al ser retirada la señal de radiofrecuencia los spines individuales se van saliendo fuera de sincronía a causa del “efecto de abanico”:




La siguiente figura intenta representar el efecto combinado sobre el vector de magnetización M de las relajaciones combinadas en el camino hacia el equilibrio térmico que ocurre tanto en el caso de los spins que apuntan “hacia arriba” como en el caso de los spins que apuntan “hacia abajo”:


Puesto que la energía de los spins nucleares depende únicamente de Mz, un proceso de relajación T2 no involucra intercambio alguno de energía entre los spins y el medio circundante. Esto significa que un proceso de relajación T2 equivale a una pérdida en la coherencia de fase de los spins que están (y continúan) en precesión, una decoherencia, pudiendo ser considerado como un proceso de aleatorización, y pudiendo ser considerado T2 como el tiempo característico para la transferencia de entropía (aleatorización) del medio circundante a los spins. En los líquidos, los campos magnéticos fluctuantes causados por el movimiento Browniano de los pequeños imanes nucleares también dan lugar a una relajación de la magnetización Mxy, de modo tal que en los líquidos T1 y T2 suelen tener valores iguales. En los sólidos, T2 está usualmente en el orden de los microsegundos.

Si como fue considerado arriba, la señal de radiofrecuencia RF que le aplicamos a la muestra bajo estudio tiene su campo magnético a un ángulo de 90 grados con respecto al eje-z que marca la dirección en la cual apunta el campo magnético aplicado B0, las ecuaciones de Bloch para la descripción del movimiento del sistema de spins toman la siguiente forma (aquí suponemos que Mx y My oscilan a la misma frecuencia pero desfasados 90 grados):


La solución de estas ecuaciones diferenciales es lo que nos proporciona los decaimientos exponenciales que corresponden a los tiempos de relajación T1 y T2. Para el caso del tiempo de relajación T1, suponiendo que a causa de la aplicación de la señal de radiofrecuencia el vector de magnetización M.=.My fue bajado (o mejor dicho, girado) hasta ser colocado por completo en el plano x-y:




entonces siendo Mz(0).=.0 la solución de las ecuaciones diferenciales de Bloch para el proceso de relajamiento T1 en el reestablecimiento de Mz hacia su valor (inicial) de equilibrio Mz,eq es:


Del mismo modo, la solución de las ecuaciones diferenciales de Bloch para el proceso de relajación transversal T2 para la componente de la magnetización nuclear M que es perpendicular al campo magnético aplicado B0, en el camino en el cual la magnetización planar va desde su valor Mxy hasta un valor cero, viene siendo:


Esto último nos indica que el vector de magnetización transversal Mxy caerá al 37% de su magnitud original después de que haya transcurrido un tiempo igual a una constante de tiempo T2. Es precisamente durante este proceso que el campo magnético giratorio Mxy emitirá una señal que es recogida por una bobina receptora, la misma señal que es utilizada con fines de análisis de los tiempos de relajamiento (obsérvese que para poder determinar experimentalmente la constante de tiempo T2 que describe el decaimiento exponencial será necesario hacer un ajuste de datos a la fórmula, lo cual en estos tiempos de infomática computacional potente y de bajo costo no presenta ya problema alguno):




Los tiempos de relajación T1 y T2 así como las magnetizaciones transversal MT y longitudinal ML no están tan desligados como una evaluación superficial pudiera sugerir. Esto lo podemos apreciar mejor mediante la siguiente gráfica comparativa:




¿Cómo comparan los tiempos de relajación en las curvas propias para varios materiales comunes? La siguiente gráfica nos muestra un comparativo entre tres materiales, agua, grasa, y sangre:


En resumen, las dos constantes de tiempo más importantes para el analista RMN vienen siendo:

___T1: El tiempo característico para relajación longitudinal

___T2: El tiempo característico para decaimiento transversal

Y en resumen también, los dos procesos de relajación pueden ser visualizados de la siguiente manera:


Una consecuencia del tiempo finito y medible propio de los tiempos de relajación al llevarse a cabo el retorno de un conjunto de spins nucleares a su estado de equilibrio es la emisión de un eco, el cual es emitido por la muestra bajo análisis después de habérsele aplicado a la muestra dos pulsos de radiofrecuencia.

Las siguientes imágenes nos irán mostrando de una en una la secuencia en la obtención de un eco. En la primera figura (A), la flecha vertical roja representa el momento magnético promedio Mz de un grupo de spins nucleares, tales como protones (H). Todos los núcleos están en la dirección del campo magnético y en precesión sobre sus propios ejes individuales. La ilustración está dada en un marco de referencia rotatorio en el cual los spins están estacionarios (en promedio). El punto rojo que va recorriendo la línea de la señal aplicada indica el tiempo transcurrido, y en esta imagen aún no se ha aplicado pulso electromagnético alguno a la muestra bajo análisis aunque ya está bajo el efecto del campo magnético que ha alineado a los spins induciendo una precesión en todos ellos:.


En la segunda figura (B), un pulso electromagnético de corta duración con su componente de campo magnético aplicado a 90 grados con respecto al campo magnético principal B0 ha volteado a la flecha roja en un ángulo de 90 grados hacia el plano horizontal x-y:


En la siguiente figura (C), debido a las inhomogeneidades del campo magnético local (variaciones en el campo magnético en diferentes partes de la muestra que son constantes en el tiempo), conforme el momento magnético neto entra en precesión, algunos spins van perdiendo rapidez debido a un campo magnético local de menor intensidad (y empiezan a retrasarse progresivamente) mientras que otros se aceleran debido a un campo magnético local de mayor intensidad (si el campo magnético fuera perfectamente uniforme, no habría la dispersión que se muestra en los vectores de spin), abriéndose entre sí los vectores como si se tratase de un “abanico”:


En la siguiente figura (D), se le ha aplicado un segundo pulso de señal a la muestra bajo análisis de forma tal que los spins más lentos van por delante y los spins más rápidos ahoran van por detrás, habiendo sido girados en conjunto un ángulo de 180 grados (obsérvese la inversión en las direcciones de todas las flechas rojas que representan a los spins nucleares individuales):


En la siguiente figura (E), progresivamente, los momentos de spin más rápidos alcanzan al momento principal y los spins más lentos que se van retrasando se mueven también hacia su encuentro con el momento principal:


Finalmente, en (F), ha ocurrido un re-enfocamiento total, y esta vez es posible medir un eco T2 en forma precisa con todos los efectos no-deseados para T2 removidos, permitiendo la obtención de la muestra de una señal clara y distinguible. En forma separada, el regreso de la flecha roja hacia la vertical (no mostrado en las figuras) reflejaría la relajación T1:


Los efectos combinados de las dos relajaciones (longitudinal y transversal) sobre el vector campo magnético Mz (sin mostrarse la flecha que simboliza al vector pero mostrándose el recorrido de la punta de la flecha) se muestran esquematizados de la siguiente manera representándose los recorridos hacia el estado de equilibrio de los spins de tres núclos (en rojo, en verde, y en azul):





Una demostración dinámica del proceso que se ha descrito arriba está disponible en la página Wikipedia bajo el rubro “Relaxation NMR”:


Utilizando un espaciamiento variable entre los dos pulsos que se le aplican a la muestra en las figuras de arriba, es posible obtener un fenómeno interesante conocido como el eco Hahn, el cual fue descubierto y dado a conocer en 1950 por Erwin Hahn, y el cual consiste en una caída exponencial en la respuesta obtenida del eco conforme la separación entre ambos pulsos se va aumentando (en el enlace de la enciclopedia virtual Wikipedia bajo el título “Spin echo”, se tienen demostraciones dinámicas del fenómeno), siendo la variante experimental para la generación de ecos Hahn de spin la aplicación sucesiva de tres pulsos a 90 grados con respecto a la vertical del campo magnético principal. Después de la aplicación del primer pulso, el vector de magnetización se “abre” como si fuese un abanico (este es el efecto de abanico señalado arriba) formando algo que puede ser visualizado como una “pizza” en el plano x-y conforme los spins nucleares coherentes se van saliendo fuera de fase, algunos quedando atrás y otros adelantándose. El esparcimiento continúa durante cierto tiempo a, y entonces se aplica un segundo pulso también de 90 grados de forma tal que la pizza está situada en el plano x-y. Después de cierto tiempo b, se aplica un tercer pulso y el eco estimulado es detectado después de que ha transcurrido cierto tiempo de espera después de la aplicación del último pulso.

Aunque se sospechaba que también pudiera ser posible obtener el fenómeno del eco Hahn no por espectroscopías de resonancia magnética sino por medios ópticos, esto no fue confirmado sino hasta 1964 cuando se llevó a cabo por vez primera una observación de un eco de fotones.

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