martes, 11 de agosto de 2009

Ondas de materia

Un experimento relativamente sencillo que podemos llevar a cabo hoy en día con un apuntador de rayo láser, tomando en cuenta el bajo precio y la amplia disponibilidad de los mismos, es el experimento para verificar la interferencia de la luz consigo misma al pasar un rayo de luz monocromática -de un solo color- a través de dos rendijas verticales separadas a poca distancia la una de la otra (el experimento no funciona bien con la luz solar porque ésta consta de una amplia gama de ondas luminosas de distintas frecuencias, y el efecto se manifiesta de manera más visible con luz monocromática de una sola frecuencia). Las dos rendijas verticales pueden ser simuladas empleando tres repuestos de grafito para lápiceros juntándolos entre los dedos de una mano:




Si dejamos pasar el haz luminoso entre una “doble rendija” formada por los grafitos haciéndola llegar hasta la pared, maniobrando como sea necesario podremos apreciar eventualmente la formación de las “bandas” de difracción características del fenómeno:




Supóngase ahora que preparamos una lámina de material opaco que interponemos entre la fuente del haz de luz monocromática y la pantalla, con una ranura delgada (o un pequeño agujero) hecha a lo largo de la lámina. Entonces las únicas partículas del haz que llegarán a la pantalla serán las que pasen sin obstrucción alguna a través de dicha ranura (o agujero). Lo que veremos sobre el pantalla será el reverso de la proyección de una sombra, con una línea (o punto) de máxima intensidad, decreciendo a distancias cada vez mayores de la zona de máxima intensidad:


Si cambiamos la posición de la ranura (o del agujero) moviendo la lámina hacia otra parte (por ejemplo, hacia abajo) la zona de iluminación se desplazará tal y como lo esperaríamos:


Ahora vamos a llevar a cabo el mismo experimento perforando sobre la lámina dos ranuras (o dos agujeros) muy cercanas la una a la otra. Pero en esta ocasión, en vez de utilizar un haz de luz, haremos uso de un haz de partículas de materia. En una situación práctica, lo más conveniente es recurrir a electrones, haciendo el experimento en una forma parecida a lo que ocurre en los viejos televisores y monitores de computadora construídos con tubos de rayos catódicos (excepto que en los tubos de rayos catódicos no se interpone obstáculo alguno entre la fuente de electrones situada en el cuello del tubo y la pantalla en donde está situada la capa fosforescente). Y repetimos, se trata de partículas de materia, las cuales aunque sean partículas sub-atómicas esperamos que se comporten como pequeñísimas pelotitas de billar. Al llevar a cabo el experimento, esto es lo que esperaríamos obtener:


Sin embargo, esto no es lo que obtenemos. Para sorpresa nuestra, lo que obtenemos es una serie de franjas como las que se obtienen en un experimento de difracción:


Evidentemente, algo muy raro está sucediendo aquí, porque lo que estamos utilizando no son rayos de luz monocromática sino partículas de materia que anteriormente creíamos que eran materia sólida, indivisible.

Momentáneamente, podríamos obtener alguna tranquilidad temporal suponiendo que los electrones que siempre creíamos que eran partículas sólidas en realidad son “ondas” de algo que está vibrando, al igual que como ocurre con la luz para la cual Thomas Young estableció definitivamente el carácter ondulatorio de la misma al comparar el efecto que obtenemos en un tanque lleno de agua al hacer pasar un movimiento oscilante del agua a través de dos ranuras:




con el efecto que obtenemos al hacer pasar un haz de luz a través de dos rendijas creándose así un patrón de interferencias sobre una pantalla:




A continuación tenemos dos fotografías de un experimento real haciendo pasar a través dos ranuras primero un haz luminoso monocromático (de luz verde) y después un haz de luz blanca (la cual no consta de un espectro continuo de frecuencias):




Hasta aquí, todo parece en orden, hasta que introducimos una variante en nuestro experimento con electrones, haciendo que pase un solo electrón a la vez (digamos, un electrón cada cinco segundos), lo cual se puede llevar a cabo regulando algunos parámetros del experimento. Puesto que al pasar un solo electrón a la vez (presuntamente por una de las dos rendijas) no hay otro electrón con el que pueda interferir, lógicamente supondríamos y esperaríamos que el patrón de interferencias en la pantalla desapareciera, obteniendo las dos bandas que esperaríamos obtener clásicamente. Pero esto no es lo que sucede. Conforme se van acumulando puntitos sobre una pantalla fotográfica que va guardando una “memoria” de lo que ha estado llegando a la pantalla, empieza a surgir invariablemente el patrón de difracción.

¿Cómo es posible, si solo pasa un electrón a la vez, que vaya apareciendo nuevemente el patrón de interferencias sobre la pantalla? ¿Acaso el electrón será capaz de pasar a través de dos rendijas a la vez, interfiriendo consigo mismo de alguna manera? Esta posibilidad queda descartada, porque conforme se van acumulando los puntos de uno en uno sobre la pantalla cada vez que pasa un electrón aparece un solo punto de impacto, no dos. En verdad algo muy raro está sucediendo aquí.

Repasemos nuevamente el experimento. Clásicamente, si consideramos a las partículas (para nuestro ejemplo seguiremos utilizando electrones) como pequeñas esferitas sólidas, esperamos que se forme un patrón de dos bandas como el siguiente:




Sin embargo, si llevamos a cabo el experimento ajustando la emisión de electrones de modo tal que salga sólo un electrón disparado a la vez, encontraremos que lo que se produce en la pantalla es un patrón de interferencias como el que produciría un haz luminoso:




Si las partículas son emitidas desde el mismo punto de origen una a la vez, se va formando poco a poco el patrón de interferencias siguiendo una secuencia de tiempos como la siguiente:




Suponemos que una partícula considerada como un corpúsculo sólo puede pasar a través de una de las dos rendijas, y efectivamente al ir impactando cada partícula en la pantalla en donde está puestas la placa fotográfica se van acumulando varios puntos de impacto individualmente, uno tras otro. Sin embargo, eventualmente hace su aparición un patrón de difracción al acumularse una gran cantidad de impactos. Esto nos lleva a suponer que al atravesar la partícula una de las dos ranuras la onda de probabilidad de la partícula pasa simultáneamente a través de las dos ranuras afectando el punto sobre el cual aterrizará la partícula en la placa fotográfica. Está disponible en Internet a través de YouTube el siguiente video en el cual podemos ver cómo en un experimento real al ser lanzado un electrón a la vez hacia una rejilla de doble ranura, los arribos del electrón hacia la pantalla fotográfica van formando un patrón de interferencia:

http://www.youtube.com/watch?v=_oWRI-LwyC4

Este experimento, llevado a cabo con un electrón a la vez, fue realizado por vez primera en 1974 por un grupo de investigadores de la Universidad de Milán dirigido por Pier Giorgio Merli, y fue repetido en una forma mucho más refinada y sofisticada en 1989 con la ayuda de la microelectrónica contemporánea en la empresa japonesa Hitachi por Akira Tonomura y otros investigadores obteniéndose los mismos resultados.

El experimento que se acaba de describir se puede llevar a cabo hoy en día sin mayores problemas con los vastos recursos tecnológicos a nuestra disposición. Pero un experimento de esta índole, con partículas de materia, no era una cosa tan fácil de llevar a cabo a principios del siglo XX. Y antes de que se llevara a cabo el primer experimento que mostró esta faceta de los electrones como ondas de materia en lugar de partículas sólidas, el resultado del experimento ya había sido previsto en cierta forma en 1924 en su tesis doctoral por un brillante físico francés, Louis de Broglie, inspirado en algo que ya se había observado en experimentos anteriores de los que él estaba al tanto: la dualidad onda-partícula de la luz, capaz de comportarse en algunos experimentos como una onda electromagnética (lo cual posibilitó la creación de la electrodinámica teórica de Maxwell) y capaz de comportarse en otros experimentos como si estuviese conformada por un enjambre de partículas discretas. Curiosamente, no se sabía entonces de experimento alguno, ni se había concebido o propuesto experimento alguno, en el cual la luz mostrase ambas facetas de onda y corpúsculo. Cualquier experimento que mostrase a la luz como una onda destruía sus propiedades como partícula, y viceversa. Esto sigue siendo cierto hasta nuestros días.

La dualidad onda-partícula de la radiación electromagnética, las dos caras distintas de un mismo rostro, fue un hecho desde que por un lado a las radiaciones electromagnéticas se les asignaron características de partículas para poder explicar ciertas observaciones experimentales tales como el efecto fotoeléctrico, y la dispersión Compton, mientras que por el otro las radiaciones electromagnéticas eran capaces de comportarse como una onda en experimentos de interferencia y difracción. Puesto de otra manera, la luz y las radiaciones electromagnéticas en general se pueden comportar en ciertas situaciones como una onda continua mientras que en otras situaciones se pueden comportar como si estuviesen formadas por enjambres de partículas discretas. Todo depende de la naturaleza del experimento que se esté llevando a cabo.

Es indispensable hacer una distinción clara entre ondas y partículas, por ser éstos los únicos dos modos que hay de transmisión de energía. Clásicamente, una partícula es algo que ocupa una posición en el espacio, tiene momentum, masa, energía cinética y puede tener carga eléctrica, mientras que una onda clásica tiene características tales como longitud de onda, frecuencia, velocidad, amplitud de la perturbación, intensidad, energía y momentum. La diferencia más sobresaliente entre una onda y una partícula es que la partícula puede ser localizada mientras que la onda se esparce y ocupa una posición relativamente amplia en el espacio.

Fue en el año 1924, justo cuando la Mecánica Matricial apenas se estaba desarrollando, que Louis de Broglie de manera independiente propuso que si la radiación electromagnética podía comportarse unas veces como onda y otras como partícula, entonces existía la posibilidad para objetos materiales tales como los electrones de poder comportarse también como ondas bajo ciertas condiciones. Pero Louis de Broglie fue más lejos que simplemente enunciar esto como una posibilidad. Obtuvo por vez primera una relación sencilla que permite asignarle a cada partícula material una longitud de onda que depende de la masa de la partícula y de la velocidad a la cual se está moviendo la partícula.

Previamente, antes de Louis de Broglie, Albert Einstein ya había demostrado que el fenómeno conocido como efecto fotoeléctrico se podía explicar suponiendo que el haz luminoso incidiendo sobre una superficie metálica en vez de ser tratado como una onda electromagnética continua fuese tratado como formado por un enjambre de paquetes corpusculares discretos (fotones) para los cuales la energía E de cada fotón estaba relacionado con la frecuencia del haz luminoso mediante la relación:

E = hf

siendo h la constante de Planck.

Por otro lado, basándose en su Teoría Especial de la Relatividad, Einstein había descubierto también que la energía y la masa son cantidades interconvertibles, una teoría que posteriormente fue confirmada por químicos y físicos nucleares, de acuerdo a su famosa relación:

E = mc²

Y apoyándose en sus mismos estudios teóricos, Einstein había logrado demostrar también que a un fotón luminoso de energía E se le podía asociar una “masa” equivalente igual a E/c². En base a esto, el momentum p del fotón (una propiedad corpuscular) igual al producto de su “masa” por su velocidad debería estar relacionado a la longitud de onda λ del mismo fotón (una propiedad ondulatoria) de la siguiente manera:


De ser cierto, esto significa que el momentum de un fotón y su longitud de onda son inversamente proporcionales a través de la constante de Planck. A menor longitud de onda tanto mayor será el momentum del fotón.

Fue Louis de Broglie quien llevó lo anterior un paso hacia adelante al postular que la relación podía ser válida no sólo para fotones luminosos sino también para partículas de materia, conceptualizándolas como ondas de materia, lo cual lo llevó a postular su ya famosa relación que encierra simbólicamente la dualidad onda-partícula:


PROBLEMA: Obtener la longitud de onda para un perdigón de 0.01 Kg que viaja a una velocidad de 10 metros/seg.

λ = h/mv

λ = (6.63·10-34 joule·seg)/(0.01 Kg·10 metros/seg)

λ = 6.63·10-23 Angstrom

Para poder observar las características de una onda de materia de este tipo, es necesario realizar experimentos de interferencia o difracción en los cuales se utilicen ranuras cuyo ancho sea comparable con la longitud de onda. En este caso, la longitud de onda (6.63·10-23 Angstrom) es muchísimo menor que la más pequeña ranura que pueda ser obtenida por medio alguno conocido.

El que el comportamiento de la materia a nivel sub-microscópico pueda ser descrito matemáticamente considerándola como algo de naturaleza ondulatoria tiene consecuencias importantes para lo que ocurre cuando cualquier partícula sea confinada dentro de un espacio cerrado (de longitud finita), en virtud de que entre los extremos de un espacio acotado sólo puede haber múltiplos enteros de medias longitudes de una onda estacionaria. Esto lo podemos ver en un experimento llevado a cabo con una cuerda atada en un extremo a la cual se le mueve de un lado a otro con la finalidad de producir ondas estacionarias a lo largo de la misma. Las únicas ondas estacionarias que se producen son aquellas que son múltiplos enteros de medias longitudes de onda:




Las cuerdas vibrantes que no sean múltiplos de medias longitudes de onda no son posibles en una configuración estable en virtud de que en los extremos en donde está anclada una cuerda vibrante necesariamente tienen que estar situados dos de sus nodos, de no ser así los “términos anómalos” se cancelan entre sí rápidamente dejando en su lugar ondas estacionarias que sí son múltiplos enteros de media longitud de onda (λ/2):




De este modo, en la primera cuerda vibrante de arriba tenemos media longitud de onda (λ/2), mientras que en la segunda cuerda vibrante tenemos dos medias longitudes de onda (2λ/2 = λ) que equivalen juntas a una onda completa, y en la tercera cuerda vibrante tenemos tres medias longitudes de onda (3λ/2) hasta llegar a la cuarta cuerda vibrante en donde tenemos dos ondas completas.

Un caso importante de una partícula sub-atómica confinada a moverse en un espacio de longitud finita es el de un electrón que, por lo pronto, inspirados en el modelo atómico planetario de Bohr, supondremos que está situado a cierta distancia del núcleo de un átomo de hidrógeno en alguna de las capas de energía disponsibles en el átomo de hidrógeno para alojar al electrón. Podemos imaginar que este electrón ondulatorio esta “oscilando” en cada una de las capas de energía en forma análoga a como lo hace una cuerda vibrante:




Otra forma de visualizar al electrón como una “onda de materia” consiste en trazar un cierto número entero de longitudes de onda en una pieza de papel uniendo los extremos de la onda arrollando el papel como si fuese un cilindro (para la figura mostrada a continuación se han utilizado ocho longitudes de onda):




Si un electrón situado en una de las capas externas del átomo (externas al núcleo atómico, esto es) se comporta como una onda de materia, entonces sólo puede haber múltiplos enteros de su longitud de onda en su órbita circular (aquí estamos hablando ya de múltiplos enteros de un λ correspondiente a una onda completa, no de medias longitudes de onda λ/2):




Si suponemos que el electrón está situado a cierta distancia r del núcleo del átomo, entonces la longitud de la circunferencia de la órbita en torno al núcleo es C = 2πr. Pero ya se dijo que esta trayectoria acepta únicamente múltiplos enteros de λ. Entonces:

2πr = nλ

Pero la longitud de onda del electrón como partícula está dada por la relación de Louis de Broglie λ = h/p, con lo cual:

2πr = nh/p

pr = nh/2π

Siendo el momentum p igual al producto de la masa por la velocidad, tenemos entonces:

mvr = nħ

Pero mvr es el momento angular L del electrón. Entonces:


Esto explica, desde el punto de vista de la interpretación ondulatoria de la materia, la cuantización del momento angular de un electrón girando en torno al núcleo del átomo.

PROBLEMA: De acuerdo con el modelo atómico planetario de Bohr, la energía del electrón en el estado fundamental del átomo de hidrógeno es de 13.6 eV. Calcúlese la longitud de onda De Broglie que debe tener el electrón en dicho estado, y obténgase asimismo la razón de esta longitud de onda al radio de la órbita de Bohr para el estado fundamental.

La energía cinética E del electrón en función de su momentum lineal p es igual a p²/2m. Combinando esto con la fórmula de De Broglie, tenemos entonces (el último paso tiene como propósito facilitar los cálculos numéricos facilitando la inserción de constantes conocidas):


Para un electrón su masa en reposo mc² es igual a 0.511 MeV = 0.511·106 eV. Usando esto con el valor usual para hc = 24001 eV·Angstroms tenemos entonces que la longitud de onda De Broglie para el electrón en el estado basal del átomo de hidrógeno es:

λ = 3.326 Å

El radio de la primera órbita de Bohr es a0 = 0.529 Å. Entonces la razón de la longitud de onda De Broglie para el electrón al radio de la primera órbita de Bohr es igual a:

λ/a0 = (3.326 Å)/(0.529 Å) = 6.28

λ/a0 ≈ 2π

Este es un resultado que muy posiblemente podríamos haber anticipado, el cual nos confirma la solidez del modelo ondulatorio para ondas de materia.

No hubo de transcurrir mucho tiempo para que la hipótesis de Louis de Broglie de que los átomos y los electrones bajo ciertas condiciones pueden comportarse como ondas de materia en lugar de comportarse como partículas clásicas sólidas fuese verificada experimentalmente. El descubrimiento llegó casi por accidente tres años después, en 1927, tras un oportuno golpe de suerte dado en los Bell Telephone Laboratories, cuando dos investigadores, Clinton Davisson y Lester Germer, confirmaron algo inusual: la difracción de los electrones. Después de haber limpiado su blanco receptor de electrones removiendo la capa de óxido que se había formado sobre el metal después de una ruptura accidental de la bomba de vacío, quedaron muy sorprendidos al darse cuenta de que la intensidad de los electrones esparcidos por la superficie metálica mostraba máximos y mínimos dependiendo del ángulo de esparcimiento. Esto se debió a que después de la limpieza la superficie del metal se había cristalizado, lo cual permitió que los electrones reflejados pudieran mostrar patrones de difracción al comportarse como ondas. Tras este resultado preliminar obtenido en 1926, y atendiendo una sugerencia que les fue hecha por Walter Elsasser señalando que, en conformidad con lo que había propuesto De Broglie, se debía investigar la naturaleza ondulatoria de la materia mediante experimentos de difracción sobre sólidos cristalinos al igual que como se estaba haciendo con fotones de rayos-X en la espectroscopía de rayos-X. Atendiendo la sugerencia, prepararon un cristal de níquel para investigar la posible difracción de los electrones reflejados por la superficie de cristal. El arreglo experimental que utilizaron fue el siguiente:


Los datos experimentales obtenidos para electrones con una energía de 54 eV (acelerados bajo un potencial de 54 volts) mostraron una intensidad máxima en el detector a un ángulo de esparcimiento de 50°. Considerando al esparcimiento de los electrones como un esparcimiento proveniente de un conjunto de planos de Bragg (véase la entrada previa “La espectroscopía de rayos-X”), para el máximo debía cumplirse la condición de la ley de Bragg:

nλ = 2d sen(θ)

De este modo, la longitud de onda λ para los electrones difractados obtenida experimentalmente resultó ser igual a 1.65 Angstroms, lo cual comparó favorablemente con el resultado predicho teóricamente por la relación de De Broglie de 1.67 Angstroms. Este experimento célebre que confirmó por vez primera la dualidad onda-partícula, la existencia de las ondas de materia, es conocido hoy como el experimento Davisson-Germer. Las siguientes figuras nos muestran los resultados tal y como fueron obtenidos en aquél entonces por Davisson y Germer:




PROBLEMA: (1) Obténgase una expresión que nos proporcione la longitud de onda de De Broglie de un electrón de baja energía (no-relativista) que ha sido acelerado bajo una diferencia de potencial eléctrico V. (2) Simplifíquese la expresión lo más que se pueda dejándola lista para cálculos numéricos en función del voltaje aplicado. (3) Usando dicha fórmula, obténgase el valor de la longitud de onda de los electrones predicha teóricamente por De Broglie para el experimento Davisson-Germer.

(1) De la expresión clásica que relaciona a la energía E de una partícula material con su momentum, podemos escribir lo siguiente:


Por otro lado, una diferencia de potencial eléctrico V se define como el cociente del trabajo W hecho sobre una carga eléctrica entre la magnitud de la carga:


o bien, despejando para W:


Por el principio de la conservación de la energía, el trabajo W hecho sobre una carga eléctrica es igual a la energía que adquiere la partícula. Entonces, poniendo q = e para el caso específico del electrón, podemos escribir lo anterior de la siguiente manera:


De este modo, el momentum de una partícula material que ha sido acelerada por un potencial eléctrico V será:


Utilizando esto último en la relación de De Broglie, tenemos la expresión que nos dá la longitud de onda de De Broglie de un electrón que ha sido acelerado bajo una diferencia de potencial eléctrico V:


(2) Para “preparar” para cálculos numéricos la fórmula que acabamos de obtener, meteremos en ella a la velocidad de la luz con lo cual podremos utilizar constantes físicas ampliamente conocidas:


Las constantes físicas a las que estamos haciendo mención son hc y el valor de la masa en reposo mc² del electrón, utilizando q = e = 1 como la carga del electrón (en virtud de que estamos usando unidades de energía en electrón-volts). La masa en reposo del electrón dada en términos de su energía equivalente en millones de electrón-volts (MeV) está dada el Apéndice de esta obra:

mec² = 0.511 MeV

También del Apéndice de esta obra utilizaremos el siguiente valor para hc:

hc = 2.41·103 eV·Angstrom

y, naturalmente:

q = e = 1

Usando estos valores numéricos, la expresión de De Broglie se reduce a lo siguiente en Angstroms:


(3) En el caso del experimento Davisson-Germer, de entre los distintos voltajes probados el voltaje V para el cual se encontró un máximo resultó ser V = 54 volts (véase las gráficas Davisson-Germer reproducidas arriba). Esto nos dá la siguiente longitud de onda:

λ = 12.26/√54

λ = 1.67 Å

La extraordinaria cercanía del valor teórico predicho por De Broglie al valor experimental de 1.65 Angstroms obtenido por Davisson y Germer, aún tomando en cuenta los márgenes posibles del error experimental, resultó ser una prueba contundente para demostrar más allá de toda duda posible la realidad de una dualidad onda-partícula en los cuerpos del mundo sub-microscópico.

La conceptualización de las partículas discretas de materia en el mundo sub-microscópico comportándose no como partículas sólidas sino como ondas de materia se puede extender a otros casos tales como el de la partícula en una caja, en donde tenemos a una partícula rebotando entre dos paredes sólidas:




En este caso, el movimiento unidimensional de la partícula está restringido a un segmento recto de longitud L.

PROBLEMA: Considerando a una partícula restringida a un movimiento unidimensional y confinada a rebotar entre dos paredes sólidas, determinar los valores de energía que pueda tener dicha partícula.

Para una partícula encerrada dentro de una caja rebotando a lo largo de un segmento de recta de longitud L, la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de las paredes de la caja debe ser cero. En esta situación, sólo son posibles aquellas longitudes de onda para las cuales un número entero de medias longitudes de onda se acomode exactamente entre el segmento de recta L, es decir:

L = nλ/2

en donde n es el número entero denominado número cuántico cuyos valores son:

n = 1, 2, 3, 4, 5, ...

De la relación de De Broglie λ = h/p podemos ver que el momentum de la partícula sólo puede tener valores discretos dados por:

p = h/λ = nh/2L

En virtud de que dentro de la región no actúan fuerzas sobre la partícula al estarse moviendo libremente, su energía potencial es constante y se puede tomar como cero. Entonces la energía de la partícula sólo puede ser energía cinética y de este modo tener los valores discretos dados por:

E = mv²/2

E = p²/2m

E = (nh/2L)²/2m

De este modo, la energía sólo podrá tener los valores discretos dados por la fórmula:


Lo más relevante en esta fórmula es que una partícula confinada entre de dos paredes sólidas no podrá tener una energía igual a cero. En general, para un sistema ligado (conocido en inglés como bound state), la energía solamente puede tener valores discretos, sin que admita el valor cero.

Podemos visualizar algunos de los niveles de energía de la onda de materia confinada unidimensionalmente junto con los múltiplos de las longitudes relacionados con dichos niveles de energía mediante el siguiente diagrama:




PROBLEMA: Supóngase que tenemos a un electrón confinado a rebotar unidimensionalmente en un segmento de recta de longitud L = 5 Angstroms, algo que corresponde a dimensiones atómicas. Calcular la energía mínima en la cual podemos encontrar al electrón.

Nuevamente, como lo hicimos en uno de los problemas de arriba, tomaremos la masa en reposo del electrón dada en términos de su energía equivalente en millones de electrón-volts (MeV) en el Apéndice de esta obra:

mec² = 0.511 MeV

Y nuevamente también, tomaremos del Apéndice de esta obra el siguiente valor para hc:

hc = 2.41·103 eV·Angstrom

Modificando ligeramente la fórmula que nos dá los niveles energéticos de una partícula encerrada en una caja moviéndose en una sola dimensión, tenemos entonces lo siguiente:

En = n²(h²/8mL²) = n²(h²c²/8mc²L²) = n² (hc)²/8mec²L²

La energía mínima que podrá tener el electrón estará dada para n = 1 en la fórmula que hemos obtenido, con lo cual los cálculos numéricos nos conducen a lo siguiente:

E1 = 1²(2.41·103 eV·Å)/[8(0.511 MeV)(5 Å)²]

E1 = 1.5 eV

PROBLEMA: Supóngase que tenemos una partícula macroscópica de 0.1 miligramo de masa confinada unidimensionalmente en un segmento de recta de longitud L = 0.1 milímetros. Calcular la energía mínima que puede tener la partícula.

Trabajaremos inicialmente en el sistema de unidades MKS. Dentro de este sistema de unidades, podemos usar el siguiente valor para la constante de Planck tomado del Apéndice de esta obra:

h = 6.626·10-34 joule·segundo

Con esto tenemos la siguiente evaluación numérica que ocurre para la energía mínima en el caso n = 1:

E1 = (1)²(h²/8mL²)

E1 = (1)²(6.626·10-34 joule·seg)²/[8(0.1·10-3 Kg)((0.1·10-3 m)²]

E1 = 3.43·10-37 eV

Esta energía tan pequeña en electrón-volts está más allá de nuestras posibilidades de medición. El resultado obtenido tiene que ver directamente con la pequeñez de la constante de Planck. No observamos un comportamiento ondulatorio de la materia para cuerpos macroscópicos precisamente por la pequeñez h.

En un escenario más realista, el comportamiento de la partícula estaría confinado no a un sólo eje-coordenado entre dos paredes sólidas, sino a un plano descrito por dos ejes coordenados. Lo que es válido para un eje debe ser igualmente válido para el otro eje, ya que el otro eje tampoco admite otros valores de longitud de onda que no sean múltiplos de la media longitud de onda fundamental. De este modo, podemos visualizar un escenario de oscilación un poco más elaborado como el siguiente:




Obsérvese que en la gráfica de arriba se ha representado con la letra griega Psi (Ψ) a la amplitud de la onda que está oscilando en el plano bi-dimensional, de modo tal que Ψ = Ψ(x,y).

A continuación tenemos un ejemplo animado de un modo posible de oscilación en un plano descrito por dos ejes coordenados:




Hay otros modos posibles de oscilación, como el que se muestra en el siguiente gráfico animado:




Y en un escenario todavía más realista, tenemos a la partícula confinada realmente dentro de una caja sellada con un techo y un piso sólidos, encerrada entre seis paredes . De este modo, el esquema básico se expande a un esquema tridimensional:




En la figura de arriba, se ha asignado el número cuántico n1 que está relacionado con los niveles de energía que corresponden a un movimiento unidimensional llevado a cabo a lo largo del eje-x. Pero hay otros dos ejes, cada uno de los cuales requiere su propio número cuántico que simbolizaremos como n2 y n3. Esto significa que requerimos tres números cuánticos para poder describir a una partícula dentro de una caja sellada en sus seis paredes.

Del mismo modo en el que podemos describir una onda de materia encerrada en una caja rectangular en tres dimensiones, podemos darnos cuenta de que el modelo adoptado arriba para un electrón confinado a moverse (o mejor dicho, confinado a ser localizado) en una órbita circular en torno al núcleo atómico es demasiado optimista. En ese caso, lo que tenemos es a una partícula sub-atómica que en realidad está atrapada en un potencial de simetría esférico, y si bien es cierto que podemos explicar los diferentes niveles de energía observados en las líneas espectrales del hidrógeno básicas con dicho modelo (serie de Lyman, serie de Balmer, serie de Paschen, etc.), necesitamos recurrir al modelo tri-dimensional para poder obtener la información necesaria para poder explicar las líneas espectrales que aparecen cuando sometemos al átomo a un campo magnético rompiendo con ello la degeneración en los niveles de energía con la cual se ocultan esas líneas que inevitablemente hacen su presencia al ser aplicado un campo magnético. Sabemos de antemano que para analizar un problema ondulatorio con simetría esférica las coordenadas ideales serán justo las coordenadas esféricas (r,θ,φ) en lugar de las coordenadas rectangulares Cartesianas (x,y,z) que hemos venido empleando. Pero para este panorama necesitamos una ecuación de onda que, expresada en coordenadas esféricas, nos pueda dar las soluciones para los valores discretos de energía que podemos esperar obtener en una situación así.

En el año en el que Louis de Broglie formuló su hipótesis sobre ondas de materia, 1924, se cumplían casi dos décadas del año en el que la Teoría Especial de la Relatividad había sido presentada al mundo por Einstein en 1905, y la famosa relación λ = h/p que le ganó a Louis de Broglie el Premio Nóbel de Física está de hecho formulada tomando en cuenta el efecto relativista del aumento de la masa inercial de un cuerpo con respecto a su masa propia, efecto que se vuelve cada vez más notorio a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Es así como en realidad tenemos las siguientes dos ecuaciones que estipulan el comportamiento de las ondas de materia de Louis de Broglie:



Para velocidades relativamente bajas en comparación con la velocidad de la luz, el cociente v/c es numéricamente pequeño, mucho menor que la unidad, de modo tal que en la primera ecuación la corrección relativista es cercana a la unidad y dicha ecuación toma la forma más conocida, la cual resulta ser suficiente para los casos que se estudian con dicha ecuación. La segunda ecuación es una reformulación para la frecuencia asociada a la onda de materia inspirada en la relación ya conocida entonces para la energía del fotón, excepto que se incorpora a la masa inercial junto con la corrección relativista γ = 1/√1 - v²/c², introduciéndose de este modo una distinción importante porque un fotón se mueve a la velocidad de la luz y no posee masa en reposo alguna (la “masa” que asociamos a la energía del fotón mediante la fórmula relativista E = mc² es la que tendría si se pudiese llevar a cabo la conversión de energía a masa, más ello no implica que el fotón al estarse moviendo a la velocidad de la luz tenga masa alguna), y cualquier cuerpo que pudiera moverse a la velocidad de la luz adquiriría una masa inercial infinita como consecuencia de la corrección relativista, lo cual es imposible y con lo cual se descarta la posibilidad de que las ondas de materia se puedan mover a la velocidad de la luz.

En el caso de los fotones comportándose como ondas de luz, al formularse la pregunta sobre qué exactamente es lo que está “oscilando, la respuesta lógica es que es el campo electromagnético formado por un campo electrico y un campo magnético ambos oscilantes a la misma frecuencia (este concepto está formalizado con el vector de Poynting S = ExH). Pero en el caso de las ondas de materia, no tardó en surgir la duda sobre qué es exactamente lo que está “oscilando”, tratando de asignársele alguna unidad de medición a esa amplitud simbolizada arriba como Ψ. Puesto que en el marco de la física clásica para que pueda existir una onda es necesario que exista un medio que está oscilando (como en el caso de las ondas sonoras para las cuales el medio de conducción de dichas ondas es el aire sin el cual no puede haber ondas acústicas las cuales no se dán en el vacío), se suponía que para las ondas de materia también debería de haber algún “medio de conducción”. Grande ha de haber sido la sorpresa de Louis de Broglie y muchos otros científicos de su época al percatarse de que la “onda de materia” propuesta por él era en realidad era una onda estadística que podía manifestarse en experimentos de interferencia y difracción aún haciendo pasar una sola partícula a la vez en una doble rendija como lo hemos visto arriba. De este modo, más que estar hablando de “ondas de materia”, en realidad de lo que estamos hablando es de ondas de probabilidad. Y es en este punto en el cual la Mecánica Cuántica entró en el callejón sin salida en el cual se encuentra ahora, porque no sólo nadie sabe o tiene la menor idea de qué es lo que pueda estar “oscilando” sino que incluso Niels Bohr formalizó este límite a nuestro conocimiento a través de la famosa interpretación de Copenhague a la Mecánica Cuántica, según la cual no debemos intentar de ver ni comprender más allá de lo que nos digan las mismas matemáticas acerca de Ψ. Sobre esta base, la onda Ψ, el fundamento esencial de la Mecánica Ondulatoria, pasa a ser un mero artificio matemático útil para resolver problemas, pero hasta allí llega la cosa. Según la interpretación de Copenhague, toda la información la constituyen los resultados de los experimentos. Se puede observar un átomo y ver a uno de sus electrones en el estado de energía A, y después volver a observar el mismo átomo para ver al mismo electrón ahora en el estado de energía B. Se supone que el electrón saltó de A a B, quizás a causa de la observación, esto no lo sabemos ni lo podemos saber porque la interacción de nosotros con lo que estamos observando es impredecible. De hecho, no se puede asegurar siquiera de que se trate del mismo electrón y no se puede hacer ninguna hipótesis de lo que ocurría cuando no se observaba. Lo que se puede deducir de los experimentos, o de las ecuaciones de la Mecánica Cuántica, es la probabilidad de que si al observar el sistema se obtiene el resultado A, otra observación posterior tal vez proporcione el resultado B. Nada se puede afirmar de lo que pasa cuando no se observa el sistema ni de cómo pasa el sistema del estado A al B.

La interpretación de Copenhague incorpora el principio de incertidumbre de Heisenberg. La interpretación de Copenhague señala el hecho de que el principio de incertidumbre no opera en el mismo sentido hacia atrás y hacia delante en el tiempo. Muy pocos hechos en física tienen en cuenta la forma en que fluye el tiempo, y este es uno de los problemas fundamentales del Universo donde ciertamente hay una distinción entre el pasado y futuro. Las relaciones de incertidumbre indican que no es posible conocer la posición y el momento simultáneamente y consiguientemente tampoco es posible predecir el futuro ya que en palabras de Heisenberg “no podemos conocer, por principio, el presente en todos sus detalles”. Pero es posible de acuerdo con las leyes de la Mecánica Cuántica conocer cual era la posición o el momento de una partícula en un momento del pasado. El futuro es esencialmente impredecible e incierto mientras que el pasado completamente definido. Por lo tanto nos movemos de un pasado definido a un futuro incierto que está fuera del alcance de las capacidades predictivas de la física clásica. A nivel sub-atómico, el Universo mecanístico de Newton queda prácticamente pulverizado, y lo que se puede rescatar sólo se puede rescatar modificando el andamiaje matemático que habíamos estado utilizando.

Como lo iremos viendo más a fondo posteriormente, la interpretación más cercana que se ha podido encontrar para Ψ es la de una onda de probabilidad, pero ésta se basa no en Ψ misma sino en Ψ², y ni siquiera esto es suficiente, porque tenemos que definir una región del espacio en la cual podamos medir dicha probabilidad. Un hecho que dá credibilidad a esta hipótesis es precisamente el experimento que acabamos de ver arriba en el cual tenemos un aparato fijo capaz de enviar una partícula a la vez a través de una rejilla de difracción de dos ranuras hacia una pantalla. La interpretación probabilista dada a las ondas de materia es una interpretación que le debemos a Max Born, y esta interpretación es precisamente la que nos dá la imagen actual del electrón en torno al átomo como una nube de probabilidad, desechando la imagen mecanística del átomo planetario de Bohr como un electrón dándole vueltas al núcleo del átomo.

De este modo, aunque la teoría de Louis de Broglie sobre las ondas de materia predijo correctamente la dualidad onda-partícula para las partículas materiales asignándoles inclusive una longitud de onda λ, de aquí en adelante debemos estar prevenidos de que la naturaleza ondulatoria de la materia es tal que no podemos inquirir a estas alturas sobre qué es exactamente lo que está ondulando, y no podemos ir más allá de lo que podamos medir experimentalmente en el laboratorio. Más aún, en el mundo sub-atómico ya no rige la ley de causa y efecto a causa de la naturaleza probabilista de la materia, y la física clásica pierde totalmente su capacidad de predicción. De lo único de lo que se puede hablar es de probabilidades. Esta dura realidad fue difícil de asimilar para los físicos en los inicios del siglo XX (el mismo Einstein nunca la aceptó). Inclusive Niels Bohr llegó a decir en dos ocasiones: “cualquiera que no esté impactado con la teoría cuántica no la ha entendido” y “aquellos que no quedan disgustados, la primera vez que inician con la mecánica cuántica, seguramente no la entendieron”.

La gran mayoría de los problemas para los cuales la Mecánica Cuántica ha resultado exitosa y extraordinariamente precisa son problemas en los cuales tenemos una partícula que puede tomar uno de varios estados cuánticos y que suele considerársele en movimiento o capaz de moverse en un momento dado como lo es el caso del oscilador harmónico simple, el átomo de hidrógeno en torno al cual está situado el electrón, una partícula confinada en un pozo potencial, etc. Pero si centramos nuestra atención en el núcleo del átomo, tenemos entonces algo que se considera fijo en muchos problemas, estático. Y si hemos de describir al núcleo atómico mediante la Mecánica Cuántica Ondulatoria, es menos claro cómo pueda estar “ondulando” lo que sea en un ente fijo, estático. Podemos, desde luego, asignarle al núcleo atómico una función de onda, pero tenemos otros problemas con los que hay que lidiar, como el asunto de cómo es posible que en elementos diferentes al hidrógeno pueda haber dos o más protones, cargas eléctricas que por tener el mismo signo (positivas) se les supone que se repelen entre sí, confinadas en forma estable en el núcleo sin que el núcleo estalle por la repulsión electrónica mutua, lo cual nos lleva a considerar la hipótesis de una fuerza grande que mantiene unidos a los protones en el núcleo atómico pese a su repulsión eléctrica mutua. El estudio de los modelos requeridos para describir el comportamiento del núcleo atómico corresponde al campo de la física nuclear, y no podemos esperar que las herramientas usuales de la Mecánica Cuántica nos puedan resolver el problema de una manera tan elegante como ocurre con las partículas libres o que pueden ser puestas en libertad de manera relativamente fácil.