martes, 11 de agosto de 2009

Operadores tensoriales

Antes de dar un inicio formal al tema de esta entrada, a manera de repaso se considerará el siguiente:

PROBLEMA: Dado un operador mecánico-cuántico Q = (Q1,Q2,Q3) cuyas tres componentes Q1, Q2 y Q3 en un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas son matrices, explíquese el significado de la siguiente relación:


Demuéstrese asimismo a partir de esta relación que los elementos matriciales de cada componente Cartesiano matricial Qk :


se transforman como vectores bajo la operación matricial indicada.

Considerando el típico espacio Euclideano tridimensional, de la relación proporcionada se obtienen las siguientes tres relaciones:


Reflexionando sobre la naturaleza de estas relaciones, puede considerarse a los operadores (matrices) Qk como operadores a los cuales no se les ha aplicado rotación alguna en el espacio tridimensional Euclideano, mientras que los operadores (matrices) UQkU-1 son operadores que han sido sometidos a una rotación. Bajo esta luz, la ecuación:


puede ser considerada como una ecuación que conecta a los operadores no rotados con los operadores después de que han sido sometidos a una rotación.  El lado derecho de la ecuación nos dice que los operadores después de una rotación son simplemente combinaciones lineales de los operadores originales antes de ser aplicada la rotación indicada. Aplicando un bra de Dirac por el lado izquierdo y un ket de Dirac por el lado derecho a las relaciones:


se obtiene:


Poniendo atención en esto último, resulta evidente que esta es la misma relación de transformación que la relación de transformación para un vector ordinario:


Se concluye entonces que cada uno de los elementos matriciales:


se transforman al igual que las componentes de un vector.

Ahora bien, existen cantidades interrelacionadas en la física tales como la aceleración a de un cuerpo y la fuerza F que se le aplica a dicho cuerpo, lo cual de acuerdo a la segunda ley de Newton y bajo un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas, trae como consecuencia que la aceleración que experimenta una partícula tendrá tres componentes independientes de aceleración ocasionadas por las componentes respectivas de la fuerza que le es aplicada a la partícula:


De este modo, la aceleración ay de la partícula a lo largo del eje-y depende única y exclusivamente de la componente Fy de la  fuerza F, y no depende en lo absoluto de las componentes de la fuerza Fx y Fz.

Sin embargo, no es inusual encontrar situaciones en las cuales haya un traslape inevitable de efectos que debe ser tomado en consideración. Considérese el caso de un átomo esféricamente simétrico que es sumergido en un campo eléctrico E. Cuando esto ocurre, se induce en el átomo un momento de dipolo eléctrico μ que apunta en la misma dirección en la cual apunta el campo eléctrico E que está induciendo dicho momento de dipolo:

μ = αE

Aquí α es una constante de proporcionalidad conocida como la polarizabilidad eléctrica. En esta relación se supone que se está aplicando al caso de un átomo esféricamente simétrico. Pero en el caso de una molécula que consta de dos o más átomos, la simetría esférica se esfuma, y cada componente (μxyz) del momento de dipolo inducido μ puede depender no de una sino de todas las componentes (Ex,Ey,Ez) del campo eléctrico E, algo descrito por un conjunto de ecuaciones como el siguiente:


Como puede verse, α ha dejado de ser una simple constante numérica, porque ahora se requiere todo un conjunto diverso de varias constantes numéricas para poder interrelacionar los efectos. Este sistema de ecuaciones, expresado en forma matricial, tiene el siguiente aspecto:


La matriz α, resaltada de color azul, la cual nos describe la polarizabilidad de una molécula cualesquiera, es ahora algo que llamamos un tensor, una palabra derivada de la palabra francesa tenseur por su aplicación por vez primera en el estudio de la elasticidad al describirse las deformaciones de un cuerpo elástico bajo la acción de varias fuerzas laterales tensionando las caras del cuerpo. Aunque se requieren de nueve componentes para especificar completamente al tensor de polarizabilidad α, en realidad solo seis de dichas componentes son independientes, ya que se puede argumentar que αxy.=.αyx, αxz.=.αzx y αyz.=.αzy.

Al considerar ciertos problemas que tienen que ver con el momento angular, resulta útil definir una clase de operadores que tienen ciertas relaciones de conmutación en común. Empezaremos designando a este grupo de operadores como “operadores de clase T”, los cuales tienen los siguientes conmutadores con cualquier operador de momento angular tal como el operador J:

[Jx , Tx] = 0

[Jx , Ty] = Tz

[Jx , Tz] = - Ty

Estos operadores clase T, definidos por su relación con los operadores del momento angular, son conocidos hoy en día como operadores tensoriales (lo cual explica la selección del símbolo “T” que se ha hecho aquí para representarlos). Considerando la representación vectorial en coordenadas rectangulares Cartesianas del operador del momento angular J que esté bajo consideración:

J = (Jx , Jy , Jz)

podemos ir un poco más lejos, definiendo la siguiente relación:

[J , T1·T2] = 0

Aunque no haya sido obvio al principio, para que esta última relación sea cierta se requiere que el operador del momento angular J conmute con la cantidad T1·T2, lo cual solo puede ser cierto si esta última cantidad es una constante numérica, esto es, un operador escalar; o más precisamente y con mayor generalidad, un operador tensorial de orden cero. Como un caso especial de esta cantidad, podemos hacer T1.=.T2
para escribir:

[J , T2] = 0

El vector radial r, el vector momentum P, e inclusive el mismo vector momento angular J, así como sus productos vectoriales cruz, caen dentro de esta categoría de operadores clase T. De hecho, cualquier cantidad vectorial que se transforme bajo una rotación apropiada de las coordenadas como lo hace el vector radial r cae dentro de esta categoría.

El uso de la palabra “tensorial” para describir estos “operadores de clase T” no es accidental, ya que están relacionados con las propiedades de esos objetos matemáticos llamados tensores que resultan indispensables en temas importantes tales como la Teoría de la Relatividad en donde se describen las propiedades de espacios relativistas de cuatro dimensiones tales como sus curvaturas cuatri-dimensionales así como las especificaciones para poder dar el brinco de un cierto sistema de coordenadas a otro dentro de esos espacios relativistas cuatri-dimensionales. En el Análisis Tensorial, suponiendo que se cuenta con dos sistemas de coordenadas tales como (el primero es el ya conocido sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas, mientras que el segundo es el sistema de coordenadas cilíndricas):

(x1 , x2 , x3) = (x, y, z)

(x 1 , x 2 , x 3) = (ρ, φ, z)

se define formalmente un tensor de orden uno como una cantidad:  

T = (T1 , T2 , T3 , T4 , ... )

cuyas N componentes se transforman de un sistema de coordenadas al otro acuerdo con la siguiente regla:



Esto lo podemos definir de una manera un poco más compacta como sigue:


Si recurrimos a la convención de sumación de Einstein, la cual recomienda que siempre que haya dos índices repetidos en una sumatoria se prescinda del símbolo Σ de sumación entendiéndose que hay una sumación implícita sobre los índices repetidos, lo anterior lo podemos representar de la manera más compacta posible:


En realidad, y de acuerdo a esta definición que se ha dado, un tensor de orden uno es un vector. Si las nuevas componentes definen al tensor de orden uno como A, y si lo único que estamos llevando a cabo es una rotación de las coordenadas o un cambio de un sistema de coordenadas a otro sistema de coordenadas para describir al mismo vector (tensor) cuya longitud permanece intacta, entonces la longitud del vector o tensor de orden uno permanece invariante ante el cambio de coordenadas del mismo modo que la magnitud de una cantidad escalar (un simple número como la temperatura o la longitud de onda) también permanece invariante bajo un cambio en el sistema de coordenadas que lo ubica. Este es quizá el concepto más importante que subyace detrás de la idea y el uso de los tensores, la invariancia.

PROBLEMA: Un tensor T de orden uno (un vector) tiene las siguientes componentes en coordenadas rectangulares Cartesianas:


Encuéntrense las componentes del tensor en coordenadas esféricas.

Usando la notación tensorial alterna de super-índices para denotar en forma generalizada las coordenadas, se pueden escribir las siguientes equivalencias:


La transformación de coordenadas rectangulares Cartesianas a coordenadas esféricas, en ambos tipos de notación (notación convencional y notación tensorial de super-índices) está dado por las relaciones:


Usando la definición fundamental del tensor de orden uno que se ha dado arriba, y empleando primero la notacion tensorial de super-indices para después regresar a la notación convencional, encontramos que la primera componente T1 del tensor T estará dada en coordenadas esféricas por (¡es importante no confundir los super-indices tensoriales usados para distinguir componentes coordenados con exponentes que de otra manera indican una verdadera exponenciación numérica!):


Procediendo de la misma manera, podemos obtener la segunda componente T2 del tensor T en coordenadas esféricas:


Y por último, obtenemos la tercera componente T3 del tensor T en coordenadas esféricas:


Definidos lo que son un tensor de orden uno (un vector) y un tensor de orden cero (un escalar), el siguiente paso natural consiste en definir un tensor de orden dos como todo aquello cuyas N2 componentes Tqs se transformen de un sistema de referencia a otro de la siguiente manera:


Esta definición dada para un tensor de orden dos puede ser generalizada de modo natural para definir un tensor de orden tres, o un tensor de orden cuatro, o un tensor de cualquier orden.

Un caso muy especial, que es el que realmente nos interesa en el estudio de la Mecánica Cuántica, es aquél en el cual, generalizando la operación de rotación aplicada a un vector V cuya longitud permanece rígida mediante el uso de una transformación R.=.(Rij) cuyas componentes (acomodadas en una matriz) especifican una matriz ortogonal:


se define un tensor T de la siguiente manera recurriendo también a matrices ortogonales:


Esto puede tomarse como la definición general de un tensor Cartesiano.

En el caso de un tensor de orden dos, decimos que dicho tensor es un tensor simétrico cuando el intercambio de dos de sus índices en la expresión que define al tensor no sólo nos produce la misma expresión (los mismos componentes) sino que además se mantiene el mismo signo intacto:


En cambio, cuando hay una inversión de signo al llevarse a cambio el intercambio de los dos índices en la expresión que define al tensor, se dice que se tiene un tensor antisimétrico o hemisimétrico:


Esta definición puede ser generalizada para tensores de orden superior. Por ejemplo, en el caso del siguiente tensor de orden cinco para el cual:


se puede decir que este tensor T es simétrico en el segundo y el quinto índices, y es antisimétrico en el primero y el tercer índices.

Los tensores Cartesianos, tal y como están definidos, no son lo mejor en cuestiones tensoriales que puede utilizarse dentro de la Mecánica Cuántica. En relación a esto, un ejemplo sencillo frecuentemente citado recurre a la definición de una díada o diádica, descrito por algunos educadores como un artificio burdo para tratar de extender el Análisis Vectorial ordinario para cubrir el tema de los tensores de orden dos. La díada consiste en adjuntar los tres componentes de dos vectores tridimensionales A.=.(Ai) y B.=.(Bj), tomando el producto Cartesiano de los mismos para especificar por multiplicación directa los nueve elementos de un tensor T.=.(Tij) de segundo orden:


Un tensor Cartesiano como éste frecuentemente presenta el problema de que es reducible, pudiendo ser descompuesto en objetos que se transforman de distinta manera bajo operaciones de rotación. Si tomamos la díada y llevamos a cabo las siguientes operaciones:


lo que obtenemos al lado derecho del signo de la igualdad son tres componentes independientes (resaltados con colores distintos). El primer término (en color negro), A·B, es un producto punto (escalar) de los dos vectores, o sea, un número, un tensor de orden cero, el cual obviamente permanecerá invariante bajo operaciones de rotación. El segundo término (en color azul) es en realidad un producto vectorial cruz de los dos vectores, A×B, o sea un tensor de orden uno, con tres componentes independientes (al ser un vector tridimensional). Y el tercer término (en color magenta) es un tensor simétrico libre de traza (en su representación matricial), o sea un tensor de orden dos, con cinco componentes independientes (normalmente son seis componentes independientes, pero al carecer de traza el número de componentes independientes se reduce a cinco). El numero de componentes independientes que se tienen después de las operaciones efectuadas arriba es el mismo que el número de componentes independientes que se tenían en un inicio:

3×3 = 1 + 3 + 5

Si estudiamos esto último con detenimiento, descubriremos que los números que aparecen del lado derecho de la igualdad tienen las mismas multiplicidades de los objetos identificados mediante su momento angular con l.=.0, l.=.1 y l.=.2, respectivamente:


Esto nos sugiere que la díada ha sido descompuesta en tensores que pueden transformarse como las armónicas esféricas Ylm (las cuales fueron introducidas en las entradas tituladas “Momento angular orbital: funciones de onda”). Lo que se ha mostrado arriba es el ejemplo más sencillo que pueda haber de la reducción de un tensor Cartesiano a tensores esféricos irreducibles. Esto último es un hecho, porque todos los tensores esféricos son irreducibles, tal y como lo son las armónicas esféricas con las cuales se corresponden.

Si aquello con lo que estamos trabajando son tensores de orden uno (vectores), entonces la notación que manifiesta sus componentes tanto en representación Cartesiana como en representación esférica es la siguiente:


Se puede demostrar que la relación entre los componentes de un tensor Cartesiano de orden uno y un tensor esférico de orden uno son:


Esto mismo es expresado a veces en notación más convencional como la siguiente:


De esto último, podemos obtener fácilmente las relaciones de transformación inversas:


Una operación muy utilizada en el Análisis Vectorial es aquella que involucra el producto punto entre dos vectores Cartesianos A y B, definida de la siguiente manera:


Vale la pena comparar esta definición con la definición del producto punto entre dos vectores esféricos U y V:


Antes de entrar en mayores detalles, anotaremos aquí un ejemplo de un tensor esférico de orden k. Empezaremos tomando la armónica esférica Ylm(θ,φ). La armónica esférica puede ser especificada no en función de los ángulos θ y φ sino en función del vector unitario n, o sea como Ylm(n), en donde el vector n es la orientación que está a su vez fijada por los ángulos θ y φ en coordenadas esféricas. Si reemplazamos al vector unitario n con un vector V el resultado será que tendremos un tensor esférico de orden k (en lugar de l) con un número cuántico magnético q (en lugar del número cuántico m). Esto establece la siguiente correspondencia entre el tensor esférico y la armónica esférica:


Para el caso específico en el cual k.=.1, tómese la armónica esférica para la cual l.=.1, y aplíquense los siguiente reemplazos:


Entonces, para la armónica esférica:


el tensor esférico correspondiente será:


Del mismo modo, para la armónica esférica (el factor puesto en color rojo no lleva peso alguno en esto y puede ser borrado):


el tensor esférico correspondiente será:


Y en lo que respecta a la armónica esférica:


el tensor esférico correspondiente será:


PROBLEMA: Dadas las siguientes expresiones dentro de un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas:


escríbanse dichas expresiones como componentes de un tensor esférico irreducible de orden 2.

Tomando a las armónicas esféricas Y2m (con m.=.0, m.=.±1 y m.=.±2) como los componentes de un tensor esférico irreducible de orden 2, entonces empezando con la relación:


que en realidad son dos relaciones en una sola se obtiene desarrollando el exponente en el lado derecho:


Tenemos, pues, dos relaciones, una para cada signo:


Despejando, se tiene:


Restando la segunda relación de la primera, obtenemos el primer resultado deseado:


Sumando (en vez de restar) las dos relaciones, con lo cual se cancelan los términos imaginarios, se obtiene el otro resultado deseado:


Para obtener el tercer resultado que nos falta, recurriremos a la siguiente relación que agregaremos a la lista de relaciones dadas arriba, ignorando el factor de fase (destacado en color rojo) por tratarse de un parámetro que es inconsecuente en las mediciones físicas:


De nueva cuenta, se tienen dos relaciones en una sola, las cuales son:


Despejando en ambas, se tiene:


De este modo, la tercera relación que nos faltaba viene siendo:


Hay, pues, dos tipos de tensores, los tensores Cartesianos, y los tensores esféricos. Y si bien los tensores Cartesianos son deseables en ramas del conocimiento tales como la Ingeniería Mecánica o la Ingeniería Eléctrica, resulta más ventajoso trabajar en la Mecánica Cuántica con los tensores esféricos precisamente porque los tensores Tq(k) son irreducibles al igual que lo son sus contrapartes las armónicas esféricas Ylm.

Una manera de confirmar que los tensores esféricos se comportan de la misma manera bajo rotaciones que los tensores Cartesianos es considerar un tensor esférico de orden 1, o sea, un vector esférico. En el material previo que vimos en las entradas correspondientes a los grupos de rotación, se demostró que la matriz reducida de rotación d(.j) en función de los ángulos de Euler para un momento angular .j igual a 1, o sea d(1) (la cual prescinde de los factores de fase que son inconsecuentes en las mediciones físicas) suponiendo una rotación en torno al eje-y consta de los siguientes elementos:


Podemos simplificar esto un poco de la siguiente manera:


A continuación, tomaremos un tensor esférico de orden 1, o sea un vector esférico Vq(1):


Después de serle aplicada una rotación a este vector esférico en un ángulo β en torno al eje-y, el nuevo vector esférico Vq(1)’: estará especificado por un conjunto distinto de componentes:


La evaluación de las componentes del vector esférico que ha sido sometido a una operación de rotación con la matriz de rotación d(1) queda especificada de la siguiente manera (pre-multiplicando el vector esférico inicial por la matriz de rotación):


De una manera más explícita:


Injertando aquí las componentes Cartesianas (Vx,Vy,Vz) en substitución de cada una de las componentes (V+1(1),V0(1),V-1(1)) del vector esférico y desarrollando, llegamos al siguiente resultado que podríamos llamar (1):


En el entorno de rotaciones llevadas a cabo estrictamente en un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas, sabemos ya que una rotación en torno al eje-y en una magnitud angular igual a β produce el siguiente conjunto de componentes:


Por lo tanto, en función de las equivalencias que hay entre los vectores Cartesianos ordinarios y los vectores esféricos, llegamos al siguiente resultado que podemos llamar (2):


Esto nos confirma que los resultados que esperamos obtener de una transformación de un tensor esférico Vq(1) bajo una operación de rotación es lo mismo que lo que podemos esperar obtener de las propiedades de una transformación del vector Cartesiano V cuando se lleva a cabo la rotación en torno al eje-y. Y puesto que la designación de los ejes de rotación es arbitraria, esta conclusión se puede tomar como válida cuando la rotación se lleva a cabo en torno al eje-x o en torno al eje-z.

Veamos nuevamente el problema puesto al principio de esta entrada, en el cual se le dió una interpretación a la expresión:


Aquí U puede representar cualquier operador, el que sea, y al cual le impondremos como única condición que sea un operador unitario. Supóngase que U es una matriz, específicamente un operador de rotación D(R). Entonces la expresión queda escrita de la siguiente manera (obsérvese que en lugar del operador inverso D-1 estamos usando la definición más general del transconjugado D, con la mira puesta en el hecho de que estaremos trabajando con matrices):


Si redefinimos al operador Qk como un operador tensorial  Tq(k), entonces inspirados en esta última relación podemos tratar de darle a un operador tensorial esférico la siguiente definición formal:


Esta es, de hecho, la definición formal de un tensor esférico de orden k. Una definición completamente equivalente basada en lo anterior es la siguiente (obsérvese el intercambio del transconjugado D en el lado izquierdo de la igualdad con D, obsérvese también en el lado derecho el intercambio en el orden de los sub-índices del elemento matricial así como en la toma del conjugado complejo de dicho elemento resaltada con el asterisco y el color rojo):


Cualquiera de las dos definiciones que se están dando aquí para un tensor esférico de orden k generalmente son utilizadas como punto de inicio axiomático para obtener resultados posteriores. Falta por demostrarse la validez de las mismas, como falta también por verse, desde luego, que estas definiciones sean consistentes con lo que se está manejando. En la notación empleada en estas definiciones, para k.=.0 el tensor Tq(0) es un tensor esférico de orden 0, lo cual viene siendo el equivalente de un escalar (una constante numérica) en los tensores Cartesianos ordinarios, habiendo solo un valor posible para q que es cero, razón por la cual cuando hablamos de Tq(0) en realidad estamos hablando simplemente de T0(0). Para k.=.1 el tensor Tq(1) es un tensor esférico de orden 1, lo cual viene siendo el equivalente de un vector en los tensores Cartesianos ordinarios, habiendo tres componentes para q identificadas como -1, 0 y 1; razón por la cual cuando hablamos de Tq(0) estamos hablando de T-1(0), T0(0) y T1(0). Para k.=.2 el tensor Tq(2) es un tensor esférico de orden 2, y habrá cinco valores posibles de q que son -2, -1, 0, 1 y 2; razón por la cual cuando hablamos de Tq(2) estamos hablando de T-2(0), T-1(0), T0(0), T1(0) y T2(0). Del mismo modo, para k.=.3 se tendrá un tensor esférico de orden tres, el cual constará de siete componentes; para k.=.4 se tendrá un tensor esférico de orden cuatro, el cual constará de nueve componentes; y así sucesivamente. En general, un tensor esférico de orden k constará de 2k+1 componentes.

Un teorema esencial en lo que toca a los tensores esféricos es el que nos garantiza la posibilidad de poder construír un tensor esférico irreducible a partir de dos tensores esféricos también irreducibles: Dados dos tensores esféricos irreducibles X y Z de orden k1 y k2 respectivamente:


entonces:


es un tensor esférico irreducible de orden k. Obsérvese en el lado derecho de la igualdad que el coeficiente numérico que va anexado a cada producto de los elementos matriciales de los operadores tensoriales es un coeficiente Clebsch-Gordan. De hecho, estableciendo las correspondencias:


se tiene, tras el cambio de notación, a los mismos coeficientes Clebsch-Gordan usados en el análisis de la suma de los momentos angulares visto en las entradas previas. Lo único que se está haciendo aquí es darle a dichos coeficientes un mayor énfasis matemático que físico. En algunos textos es común encontrar al símbolo del coeficiente Clebsch-Gordan en la relación de arriba expresado en su forma de producto interno bra-ket:


Para demostrar la veracidad del teorema, es necesario demostrar que el producto de dos tensores irreducibles en la forma en la cual se ha dado arriba se comporta en efecto como un tensor bajo una operación de rotación. Empezaremos por pre-multiplicar en ambos lados de la igualdad la relación por el operador matricial de rotación D(R) -obsérvese que es un operador transconjugado- teniendo entonces:


A continuación, post-multiplicaremos esto en ambos lados de la igualdad por el operador matricial de rotación D(R):


El siguiente paso consiste en introducir un operador identidad 1 injertado entre los dos tensores esféricos irreducibles que se tienen del lado derecho:


Puesto que, por hipótesis, la matriz de rotación es una matriz unitaria, se debe cumplir la condición:


Podemos meter esto tal como está en lugar del operador identidad 1 para tener:


Podemos aplicar ahora la definición individual de lo que es un tensor esférico irreducible tanto sobre el tensor X como sobre el tensor Z. Por lo tanto:


Obsérvese que, por conveniencia como paso intermedio, se ha recurrido en esto último a la relación:


sin tomarse el conjugado complejo al tomar a todos los elementos matriciales del operador de rotación como números reales (lo cual no cambiará en nada la conclusión final).

Recurriremos ahora a la serie Clebsch-Gordan citada previamente en las entradas anteriores:


En el caso que nos ocupa, con un ligero cambio en la notación se tiene aquí:


Haciendo uso de la serie Clebsch-Gordan, se tiene entonces:


Haciendo uso de la propiedad de ortogonalidad de los coeficientes Clebsch-Gordan, lo anterior queda simplificado y reducido a lo siguiente:


Aplicando rigurosamente los deltas de Kronecker, lo anterior se reduce entonces a la siguiente expresión:


Reagrupando:


Pero lo que se tiene entre los paréntesis grandes es simplemente el tensor esférico, o sea:


Esto lo podemos escribir finalmente de la siguiente manera:


Con esto hemos logrado lo que queríamos, se ha demostrado que efectivamente el producto de dos tensores esféricos irreducibles se comporta como un tensor.

La relación usada para la construcción de un tensor esférico irreducible de orden k a partir de dos tensores esféricos irreducibles de orden k1 y k2 respectivamente se puede entender mejor con un ejemplo específico. A continuación, construiremos un tensor esférico de orden 1 a partir de dos vectores distintos U y V, los cuales a su vez por ser vectores son tensores de orden 1. De este modo, con k.=.1, k1.=.1 y k2.=.1, la relacion general:


toma la forma:


Hay tres posibilidades a calcular:


Empezaremos por la primera posibilidad, llevando a cabo la expansión plena de la doble sumatoria y dándole valores específicos a los coeficientes Clebsch-Gordan de acuerdo a las tablas (aquellos coeficientes Clebsch-Gordan cuyo valor sea igual a cero han sido destacados de color rojo):


Los otros dos tensores son evaluados de modo similar, y no es necesario reproducir los detalles dados en la evaluacion del primer tensor, siendo el resultado de dichas evaluaciones:


Los vectores U y V están dados como tensores esféricos (irreducibles). Podemos llevar a cabo la especificación de los tres tensores T usando componentes Cartesianos rectangulares, esto es, haciendo 


Podemos ir más lejos, construyendo tensores esféricos T de orden 2 a partir de los mismos tensores U y V. En este caso, la relación general toma la forma:


Para esta situación, se pueden construír cinco tensores esféricos irreducibles T, los cuales son:


De nueva cuenta, haciendo efectivas las dobles sumatorias en cada caso, y substituyendo los coeficientes Clebsch-Gordan por sus valores numéricos y simplificando, se obtienen los siguientes resultados:


Al igual que como lo hicimos en el caso de los tensores esféricos de orden 1, podemos expresar también estos resultados en función de los componentes rectangulares Cartesianos de los tensores U y V de orden 1 en lugar de los componentes que corresponden a la notación tensorial esférica, obteniéndose con ello:


Continuando de este modo, podemos construír siete tensores esféricos T de orden 3 a partir de los tensores U y V de orden 1, nueve tensores esféricos T de orden 4, y así sucesivamente.

Existe otra manera más conveniente de definir los tensores esféricos, la cual consiste en tomar la definición formal que se ha dado arriba:


y expresar a los operadores de rotación D(R) usando la misma aproximación infinitesimal utilizada en la obtención de los operadores de rotación en su forma operacional exponencial, esto es, haciendo:


en donde ε es un ángulo muy pequeño, tomado como infinitesimal para fines prácticos. Considerando al operador de rotación como una matriz, podemos extraer un elemento cualquiera de dicha matriz de la siguiente manera usando la simbología bra-ket de Dirac:


Usando la forma infinitesimal del operador de rotación, el lado izquierdo de la definición del tensor esférico toma la siguiente forma en donde se recurre al final al conmutador como paso simplificador:


en donde el término de segundo orden que ya no se muestra explícitamente se considera despreciable. Por otro lado, usando nuevamente la forma infinitesimal del operador de rotación, el lado derecho de la definición del tensor esférico toma la siguiente forma que es simplificada tomando en cuenta la ortonormalidad de los kets de base:


Igualando ambas expresiones (la del lado izquierdo y la del lado derecho), se tiene entonces:


Los primeros términos en cada lado de la igualdad se cancelan mutuamente, dejándonos simplemente con:


Tomando el producto J·n de modo tal que éste sea igual a Jz, la componente-z del vector momento angular, y recurriendo nuevamente a las propiedades de ortonormalidad de los kets, se llega a lasiguiente relación definitoria para operadores tensoriales esféricos:


Recurriendo a los mismos procedimientos excepto con algunas ligeras modificaciones, obtenemos las siguientes dos relaciones (resumidas en una sola) que también nos sirven para dar una definición alterna a los operadores tensoriales esféricos:


Al estudiar un tema como el de los operadores tensoriales, la aparición de los coeficientes Clebsch-Gordan es algo prácticamente inevitable, y eventualmente nos conduce a un teorema fundamental de la Mecánica Cuántica conocido como el teorema Wigner-Eckart.

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