martes, 11 de agosto de 2009

El operador de evolución del tiempo

Si podemos llevar a cabo un desplazamiento espacial de una función de onda Ψ(x) de la manera en que lo hemos hecho en la entrada anterior, debemos poder efectuar también un desplazamiento temporal (en el tiempo) de una función de onda Ψ(r,t) con la ayuda de un operador de desplazamiento temporal apropiado. Aquí es importante tener en cuenta que en la Mecánica Cuántica el tiempo es simplemente un parámetro y no un operador. El tiempo no es una observable en el sentido en que hemos estado manejando a las observables físicas que pueden ser simbolizadas como operadores matriciales o diferenciales, de modo tal que no se puede hablar de un operador temporal de la misma manera que lo hacemos acerca del operador posición. Esta es la razón por la cual el tiempo t es una cantidad que conmuta con prácticamente todo en las relaciones fundamentales  de la Mecánica Cuántica. Esta es la razón por la cual el tiempo es una variable continua que se comporta de la misma manera tanto en las representaciones efectuadas en el espacio-posición como las representaciones efectuadas en el espacio-momentum (véanse las entradas tituladas “El espacio-posición y el espacio-momentum”) Si bien es cierto que en el desarrollo histórico de la Mecánica Ondulatoria tanto Louis de Broglie como Erwin Schrödinger se guiaron por una especie de analogía covariante (este es un término propio de la Teoría de la Relatividad) entre la energía y el tiempo, por un lado, y la posición espacial y el momentum por el otro, al tener a la Mecánica Cuántica ahora en su forma terminada no se dá ya un tratamiento simétrico al espacio y al tiempo poniéndolos al mismo nivel. Aunque la Teoría del Campo Cuántico Relativista trata como iguales a las coordenadas espacial y temporal, lo hace a expensas de bajar a la variable posición de su pedestal como observable física capaz de ser representada como un operador mecánico-cuántico y reduciéndola también a la calidad de simple parámetro. El tiempo hasta ahora sigue siendo un parámetro bajo cualquier condición.

En el análisis que será llevado a cabo a continuación, se supondrá como cierto, elevado incluso a la categoría de postulado, algo que debe parecer obvio a primera vista: la homogeneidad del tiempo. Suponemos que el tiempo es homogéneo, lo cual significa que tiene la misma estructura en todos sus puntos. Esto es sinónimo con la suposición de que la solución a cierto problema físico que es representativo de un sistema aislado no depende del hecho de que el experimento se lleve a cabo a cierta hora del día (obviamente, no estamos hablando aquí de observaciones astronómicas), de tal modo que las líneas de los espectros de emisión y absorción de una muestra de hidrógeno analizada en un laboratorio serán las mismas a cualquier hora del día siempre y cuando el experimento se lleve a cabo en el mismo lugar y bajo las mismas condiciones. El concepto de la homogeneidad del tiempo es tan esencial como el concepto de la homogeneidad del espacio. Formalmente, el principio de la homogeneidad del tiempo es expresado matemáticamente por el hecho de que la función clásica conocida como el Lagrangiano no depende explícitamente del tiempo. Sin embargo, y al igual que como ocurre con la homogeneidad del espacio, cualquiera que haya tomado conocimiento de los fundamentos de la Teoría Especial de la Relatividad ya sabe que el tiempo medido no es una cosa absoluta, ya que depende de los marcos de referencia en los cuales se encuentren ubicados distintos observadores que se están moviendo el uno con respecto al otro. Los efectos relativistas propios de la Teoría Especial de la Relatividad, para distintos marcos de referencia moviéndose a velocidad constante el uno con respecto al otro, son tomados en cuenta en el desarrollo de la Teoría del Campo Cuántico en donde se incorporan los efectos de la Teoría Especial de la Relatividad dentro de las ecuaciones cuánticas. Cabe señalar que la primera explicación teórica satisfactoria del origen del spin del electrón, la cual llegó con el bono adicional de la predicción de la antimateria, ocurrió cuando el físico inglés Paul Adrien Maurice Dirac incorporó la Teoría Especial de la Relatividad a la Mecánica Cuántica. Pero hay otro problema más pesado al tomar en cuenta a la Teoría General de la Relatividad y sus efectos en la curvatura del espacio-tiempo en la proximidad de campos gravitacionales de simetría esférica. Bajo esta perspectiva, dos observadores distintos, aún y cuando estén en estado de reposo absoluto el uno con respecto al otro, miden tiempos diferentes si ambos están situados a diferentes distancias del centro de gravedad. En principio (aunque el efecto no sea detectable excepto con la ayuda de relojes atómicos de gran precisón) los relojes de dos personas (sin importar que los relojes sean mecánicos o digitales funcionando en base a circuitos electrónicos sin parte mecánica alguna) que están en un edificio en pisos distintos avanzan de modo diferente, con uno de los relojes mostrando un retraso acumulativo del tiempo medido con respecto al reloj del otro observador que está en otro piso. Afortunadamente, estos efectos gravitacionales en los fenómenos del mundo sub-microscópico solo adquieren relevancia bajo la acción de campos gravitacionales intensos como los que hay en la cercanía de los agujeros negros o los que hay en estrellas con una gran cantidad de masa, y se puede seguir trabajando en el planeta Tierra con lo que ya se tiene mientras se busca la manera de llevar a cabo la unión de la Teoría General de la Relatividad con la Mecánica Cuántica para lograr la tan anhelada Teoría del Campo Unificado.

Si graficamos la densidad de probabilidad de una función onda móvil Ψ(r,t), estando acostumbrados a ver a la función de onda desplazarse de izquierda a derecha (conforme el tiempo se va incrementando), resulta lógico esperar que un tiempo τ después dicha función de onda se encuentre situada τ unidades de tiempo hacia la derecha de la gráfica, y que dicha función de onda en tal punto sea Ψ(r,t-τ), esto en virtud de que puede comprobarse de manera sencilla que la gráfica de una función como la siguiente parábola:


será desplazada en 3 unidades hacia la derecha cuando se hace la siguiente substitución:


en tanto que la misma parábola será desplazada en 3 unidades hacia la izquierda cuando se hace la siguiente substitución:


Visualmente, en el primer caso, esto equivale a lo siguiente:




Si vamos a construír un operador que al actuar sobre una función de onda Ψ(r,t0) sea capaz de describir dinámicamente el comportamiento posterior Ψ(r,t) del sistema, ¿qué forma podrá tener el tipo de operador del que estamos hablando? Sobre esto, no debe sorprender el hecho de que mucho de lo que se ha desarrollado arriba para un operador de traslación aplique por igual a un operador de desplazamiento temporal, el cual nos permita describir el desarrollo dinámico de observables físicas o de kets de estado (funciones de onda). Las propiedades que fueron dadas previamente en la entrada anterior para el operador de traslación deben ser cumplidas también por un operador de evolución del tiempo. Al igual que como lo hemos visto previamente con otros operadores mecánico-cuánticos como el operador Hamiltoniano de energía H, el operador de evolución del tiempo es algo que siempre actúa sobre lo que está a su derecha. Esto implica que si hacemos un compuesto de varios operadores de traslación, el primer operador que actúa sobre la funcion de onda Ψ es el que está más a la derecha de los operadores, tras lo cual el siguiente operador en actuar sobre la función de onda trasladada es el operador que estaba a la izquierda del primer operador, y así sucesivamente:


Aunque tratándose de operadores de evolución temporal, el orden en el cual sean aplicados sobre una función de onda Ψ no tiene mayor trascendencia, esto ya no será válido cuando entremos de lleno al tema de los operadores de rotación en donde la no-conmutatividad es la regla del juego. Con la finalidad de evitar confusiones a medida que la notación vaya creciendo en complejidad, se mantendrá vigente todo el tiempo la prescripción de que los operadores sucesivos múltiples se deben ir escribiendo de derecha a izquierda siguiendo el orden en el cual irán actuando uno tras otro sobre la función de onda.

Habiendo definido al operador de evolución del tiempo, el siguiente paso consiste en fijar las “reglas del juego”. Tenemos que dejar en claro de antemano cuáles son las propiedades que debe cumplir el operador de evolución del tiempo, propiedades que en caso de no cumplirse servirán para desechar los operadores de traslación que sean considerados como posibles candidatos.

La primera propiedad que debe cumplir el operador de evolución del tiempo, la más esencial, la más básica, es que cuando el desplazamiento temporal τ se aproxima a cero el efecto sobre la función de onda en la cual actúa debe ser tal que la función de onda siga siendo la misma. En efecto, estamos requiriendo que para una evolución temporal que aún no ha ocurrido al no haber transcurrido tiempo alguno el operador de evolución del tiempo se debe convertir en un operador identidad:


En este caso, el operador identidad lo podemos tomar simplemente como el número 1.

La segunda propiedad del operador de evolución del tiempo, también esencial y básica, es que debe ser posible aplicar dos o más operadores de evolución del tiempo en sucesión (uno tras otro) sobre una función  de onda Ψ(t), y el efecto resultante debe ser obtenible mediante la aplicación de una sola operación de evolución del tiempo:


En otras palabras, esto significa que el operador de evolución del tiempo debe poder ser aplicado en forma repetida sobre una misma función de onda, y esta acción múltiple debe poder ser combinada en una sola acción (el efecto de un desplazamiento temporal de 2 segundos, seguido del efecto de un desplazamiento temporal de 5 segundos, debe ser igual al efecto de un solo desplazamiento temporal de 7 segundos).

La tercera propiedad que se debe de cumplir en todo momento al usar operadores de evolución del tiempo es que los operadores de evolución temporal deben ser conmutativos. En efecto, si se aplica primero un desplazamiento temporal τ1 de 3 segundos, seguido de otro desplazamiento temporal τ2 de 4 segundos, el efecto que se obtenga sobre la función de onda Ψ(t) debe ser el mismo que si se aplica primero un desplazamiento τ2 de 4 segundos seguido de otro desplazamiento τ1 de 3 segundos:


Los operadores de evolución del tiempo deben cumplir necesariamente con la propiedad asociativa:



Así como debe de haber un operador identidad que simplemente deja las cosas como están, también debe de haber un operador de evolución del tiempo inverso (¡no estamos hablando aquí de ninguna máquina del tiempo ni mucho menos!) que puede invertir el efecto de un operador de evolución del tiempo. A continuación se muestra del lado izquierdo de la igualdad la representación simbólica del operador de evolución del tiempo inverso utilizando el exponente -1 que se acostumbra utilizar (sin que ello implique ni remotamente hablando una operación aritmética de inversión como ocurre cuando se trabaja con números), mostrándose del lado derecho de la igualdad que esta operación de inversión de la evolución del tiempo se debe poder llevar a cabo con un operador de evolución del tiempo en el cual se le ha invertido el signo a la magnitud del desplazamiento:


Las propiedades dadas arriba son las que debe cumplir el operador de evolución del tiempo que estamos buscando. A tales propiedades debemos agregar otra que veremos más abajo.

Sin duda alguna, la característica principal que distinguirá al operador de evolución del tiempo que tratamos de construír es que el producto sucesivo de dos operadores de evolución del tiempo (uno de ellos aplicando un desplazamiento temporal τ1 y el otro aplicando un desplazamiento temporal τ2 a la función de onda ó ket) deberá ser combinado de modo tal que la traslación equivalente única se lleve a cabo sobre una distancia τ12. En pocas palabras, se requiere equipar notacionalmente un producto operacional con una suma, ya que como puede verse:


si ignoramos a la función de onda y nos enfocamos directamente sobre el aspecto operacional, es obvio que:


La única función matemática que cumple este requerimiento, la única función matemática capaz de llevar esto a cabo es la función exponencial:


Esto nos sugiere que el operador de evolución del tiempo que estamos buscando debe tener un aspecto como el siguiente:


Queda, desde luego, la posibilidad de que a este operador de evolución del tiempo vaya anexado como multiplicador un factor de fase eφ similar al ángulo de fase φ que usualmente aparece como un apéndice en la solución general de las ecuaciones de onda. Sin embargo, este factor de fase se toma como irrelevante, ya que no hay significado físico alguno que se le pueda adscribir a la fase de una función de onda (el valor calculado de una observable no puede depender de un valor particular de la fase). Es por ello que usualmente se toma eφ como igual a la unidad:


El “esqueleto” del operador de evolución del tiempo que estamos construyendo parece irse acercando a su forma ideal con las propiedades que le exigimos que tenga. Sin embargo, falta tomar en cuenta un detalle importante: la conservación de la probabilidad. Es razonable esperar que si un ket general de estado |ξ> está normalizado a la unidad:



el ket de estado después de haberle sido aplicado el operador de evolución del tiempo seguirá normalizado a la unidad.

Para ser más específicos, tómese un ket de estado especificado en un tiempo inicial t0. Entonces, si el ket está normalizado, se tiene:




La conservación de la probabilidad requiere que esta relación siga siendo válida cierto tiempo t después:



Si la evolución temporal del ket se obtiene mediante la acción de un operador de evolución del tiempo, entonces se puede escribir:


entonces la expresión que le es dual es la siguiente:



Entonces, “evolucionando en el tiempo”, se tiene:


Para que esto sea cierto, la conservación de la probabilidad requiere que:


En palabras, se requiere que el operador de evolución del tiempo sea unitario, y esto requiere que el conjugado complejo del operador de evolución del tiempo sea también el operador inverso del operador de evolución del tiempo. Esta característica muy especial de unitaridad es lo que motiva a representar al inverso del operador de evolución del tiempo con un símbolo alterno en el cual se le agrega una daga como super-índice en lugar del exponente -1:


Y llegamos así a la propiedad que nos faltaba de agregar a la lista de las propiedades que debe satisfacer el operador de evolución del tiempo: se requiere que el operador de evolución del tiempo multiplicado por su conjugado complejo (que es su inverso) produzca un operador identidad.

Suponiendo que en un tiempo inicial t0 un ket general de estado (función de onda) puede ser expandido como una suma (de superposición) lineal en términos de los eigenkets de alguna observable física:


entonces, al ir evolucionando el ket general de estado, los coeficientes de cada uno de los eigenkets deben ir variando en form acorde:


Por regla general, no esperamos que el módulo de cada coeficiente de expansión individual permanezca invariable conforme el sistema va evolucionando dinámicamente, esto es:


Un ejemplo de esto lo es un sistema cuyo momento angular de spin es igual a 1/2 y al cual se le aplica un campo magnético constante y uniforme B. Supóngase que antes de la aplicación del campo magnético el spin está apuntando en la dirección positiva del eje-x. Esto requiere que el sistema se encuentre en un eigenestado de Sx con un eigenvalor igual a +ħ/2. Al transcurrir el tiempo, y como consecuencia de la aplicación del campo magnético, el spin entra en un movimiento de precesión en torno al plano x-y. Esto significa que la probabilidad de observar a Sx con un valor igual a +ħ/2 ya no es igual a la unidad para un tiempo mayor que t0, ya que existe una probabilidad finita de observar un valor igual a -ħ/2. Sin embargo, la suma de las probabilidades de Sx+ y de Sx- seguirá siendo igual a la unidad en todo momento. Esto impone la condición de que para los coeficientes de expansión en cualquier tiempo t:


Mucho de lo que hemos estado viendo empieza a parecerse demasiado a las propiedades que se le exigieron al operador de traslación, lo cual sugiere que la expresión final para el operador de evolución del tiempo debe tener una forma muy parecida a la forma exhibida por el operador de traslación. Si suponemos que el operador mecánico-cuántico de evolución del tiempo debe incorporar, en su forma final, a la constante reducida de Planck ħ, y debe incorporar también (naturalmente) a la variable del tiempo t, esto nos conduce a considerar por la vía de las comparaciones al operador de evolución del tiempo con una estructura matemática similar a la forma del operador de traslación:


El problema entonces consiste en determinar la naturaleza de la cantidad A que debe aparecer dentro del exponente del número e. El exponente al cual debe ser elevado el número e debe ser una cantidad sin dimensiones, ya que la operación eX en donde X puede representar gramos, segundos, metros o cualquier otra combinación de dimensiones, no está definida matemáticamente. La clave para determinar la naturaleza de A está en determinar qué es lo que genera los desplazamientos temporales en la Mecánica Ondulatoria. Ya vimos arriba que el generador de desplazamientos espaciales es el operador del momentum. Si queremos hacer “trampa”, podemos dirigirnos a la mecánica clasica para encontrar la respuesta. Y en los tratados clásicos se demuestra que el generador de los desplazamientos temporales es el operador de energía Hamiltoniano. De cualquier modo, aún sin tener conocimiento de esto, por simple análisis dimensional en cualquier sistema de unidades podemos conjeturar lo que debe ser A. Para ello, sólo debemos recordar que la constante reducida de Planck ħ que mide la cantidad del momento angular está expresada, en unidades del sistema cgs-Gaussiano, como gramo·cm2/segundo.

PROBLEMA: Demuéstrese que la cantidad:


en donde H es un Hamiltoniano de energía, t es el tiempo y ħ la constante reducida de Planck, carece de dimensiones.

Recordando que el operador Hamiltoniano de energía, además de contener un término de energía potencial V(x), puede contener un término de energía cinética del tipo mv2/2, cuyas unidades son gramo·cm2/segundo2 independientemente de las magnitudes de las cantidades, por evaluación dimensional directa podemos ver que:


Entonces la fracción Ht/ħ es adimensional.

De este modo, tentativamente, podemos conjeturar como operador de evolución temporal al siguiente operador (para evitar confusiones con el operador de traslación que ha sido definido arriba, se utilizará otro símbolo):


Entendiblemente, un mero análisis dimensional como el que se ha llevado a cabo no es suficiente para justificar rigurosamente una proposición de esta naturaleza. Podemos hacer mejor que esto, y para ello consideraremos la acción de un operador de evolución del tiempo sobre una función de onda Ψ(r,t) de modo tal que nos devuelva la función de onda Ψ’ después de que esta ha evolucionado dinámicamente en un tiempo τ, o sea:


Podemos llevar a cabo una expansión matemática del operador de evolución del tiempo en series de Taylor, definida convencionalmente en muchos textos como:


En este caso, la expansión nos lleva a lo siguiente:


Esto hasta aquí nos indica que podemos representar al operador de evolución del tiempo como un operador exponencial de la siguiente manera:


Al estar manejando operadores de evolución del tiempo para la descripción del comportamiento dinámico de un sistema físico, se vuelve obligatorio recurrir a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, de la cual podemos enunciar que el operador de energía Ê nos dá lo siguiente:


Esto nos permite escribir el operador que estamos desarrollando de la siguiente manera:


Pero el operador de energía Ê en realidad no es más que otro nombre con el cual identificamos al operador de energía Hamiltoniano H. De este modo, el operador de evolución del tiempo puede escribirse del modo siguiente de una manera un poco más universal:


Esto es esencialmente lo mismo que lo que habíamos obtenido previamente por mero análisis dimensional, excepto por el signo del exponente. ¿Y cuál es el signo que deberemos utilizar en el exponente? En el caso de una función de onda Ψ que en un diagrama temporal es desplazada hacia la derecha (esto es, con el paquete de onda moviéndose de izquierda a derecha), el signo correcto a utilizar es el signo positivo, por la forma matemáticamente correcta en la cual lo hemos derivado. Hay, desde luego, una explicación alterna que se le podría dar a la fórmula exponencial en el caso de que el exponente sea negativo (con -τ en lugar de +τ), la cual consiste en mantener fija en una misma posición a la función de onda y mover el origen de las coordenadas hacia la izquierda justo en τ unidades:



Obviamente, es muy importante no confundir las dos posibilidades. Pero el punto central aquí es que depende de nosotros el dar una interpretación correcta a los resultados matemáticos de manera que concuerden con las descripciones físicas del sistema que estemos llevando a cabo. Esto ya no depende de las matemáticas por sí solas, depende de nosotros mismos.

Al haberse llevado a cabo una expansión en series de Taylor para la obtención del operador de evolución del tiempo en su forma exponencial, se ha supuesto implícitamente como requisito que el operador de energía Hamiltoniano H debe ser independiente del tiempo. Esto puede verse de la siguiente manera partiendo de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:


Tomando la derivada con respecto al tiempo en ambos lados y recurriendo nuevamente como medida de simplificación a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, se tiene lo siguiente:


Esto último nos demuestra a través del término destacado en color magenta que la única manera en la cual las derivadas de orden superior con respecto al tiempo pueden ser reemplazadas por potencias mayores del operador Hamiltoniano H es si ∂H/∂t.=.0, lo cual establece la independencia del Hamiltoniano con respecto al tiempo como requisito básico para la derivación, lo cual implica que el operador Hamiltoniano H y el operador de evolución del tiempo son independientes en el sentido de que hay conmutatividad entre ambos, lo cual podemos simbolizar con la ayuda del conmutador:


Esto significa que un estado físico que inicialmente satisfaga la ecuación de Schrödinger seguirá satisfaciendo a la ecuación de Schrödinger cuando haya sido desplazado en el tiempo. En efecto, si simbolizamos como Ψ al estado inicial, y simbolizamos como Ψ’ al estado desplazado temporalmente, vemos que:


Aunque el procedimiento de derivación del operador de evolución del tiempo que hemos llevado a cabo es correcto, para justificar rigurosamente el haber metido al Hamiltoniano H dentro del panorama podemos recurrir a la física clásica, específicamente, a la Mecánica Hamiltoniana basada en las ecuaciones del moviento de Hamilton (así es como los pioneros de la Mecánica Ondulatoria fueron desarrollando los avances en la materia, recurriendo primero a la Mecánica Hamiltoniana asentada en ecuaciones diferenciales de primer orden, y posteriormente a la Dinámica Lagrangiana asentada en ecuaciones diferenciales de segundo orden). Afortunadamente, no es necesario inventar la rueda de nuevo. Lo único que se requiere es tomar como válido el resultado clásico de que el operador Hamiltoniano de energía H es el generador de los desplazamientos temporales, con lo cual se le puede dar plena validez al operador de desplazamiento temporal en su forma exponencial que se ha dado arriba.

Hemos obtenido arriba el operador de evolución del tiempo estableciendo comparaciones con el operador de traslación, lo cual aunque válido no puede ser considerado formalmente como la derivación de una expresión física a partir de primeros principios. Para ello, y al igual que como se hizo con el operador de traslación, se postulará que para desplazamientos infinitesimales los requerimientos que debe ser satisfacer el operador de evolución del tiempo son satisfechos con el siguiente operador:


siempre y cuando la cantidad Ω sea Hermitiana:


Si despreciamos términos infinitesimales de segundo orden, lo primero que se puede verificar de inmediato es que el operador propuesto es unitario:


Del mismo modo, se puede verificar que el operador de evolucion del tiempo propuesto satisface todas las propiedades de conmutatividad, asociatividad, cerradura, reducción a elemento identidad, etc.

Falta por determinar la naturaleza del operador Ω. Revisando más a fondo el operador infinitesimal que se ha propuesto, por simples consideraciones dimensionales se puede apreciar que el operador Ω tiene la dimensión de frecuencia, o tiempo inverso. En la teoría cuántica “vieja”, la frecuencia angular ω está relacionada con la energía mediante la relación E.=.ħω con lo cual:


Habiendo visto anteriormente que la (observable física) energía E está representada operacionalmente en la Mecánica Cuántica por el operador Hamiltoniano de energía H, esto nos lleva a considerar que el operador Ω está relacionado con el operador Hamiltoniano H de la siguiente manera:


Suponiendo esto válido, entonces el operador de evolución del tiempo para desplazamientos infinitesimales se puede escribir como:


Esta expresión es válida para evoluciones temporales infinitesimales. Lo que ahora buscamos es un operador de evolución del tiempo válido para evoluciones temporales finitas (no infinitesimales). Esto se puede lograr mediante una composición (producto) de muchos operadores de evolución temporal infinitesimales, una cantidad infinitamente grande de ellos, recurriendo a la definición del exponencial que ya se vió previamente en la entrada “El operador de traslación”. En esta ocasión, repetiremos el mismo procedimiento, excepto que veremos en mayor detalle lo que está sucediendo desde el punto de vista matemático.

Supóngase que la composición de operadores como el que tenemos arriba se llevará a cabo utilizando intervalos iguales de tiempo t dentro de cada uno de los n factores con los que se formará el producto total, empleando para ello intervalos de tiempo finitos que no son infinitesimales. Entonces el producto de n operadores es igual a:


Obsérvese que dentro de cada multiplicando, se tiene un factor t/n. Conforme n..∞, nuestra primera reacción podría ser el suponer que t/n..0, con lo cual cada multiplicando vendría terminando siendo simplemente igual a la unidad. Sin embargo, hay una interpretación mucho más provechosa que le podemos dar a t/n conforme n..∞, y ésta es que t se va reduciendo a un infinitésimo de tiempo dt. Al hacer n..∞, en el límite cuando se toma el producto de una cantidad infinitamente grande de multiplicandos el producto total se vuelve equivalente a la operación de evaluación exponencial que ya se señaló previamente en la entrada “El operador de traslación”:


Al tomar el límite n..∞ y hablar de infinitesimales, parecería que estamos usando el lenguaje convencional del cálculo diferencial e integral. Sin embargo, lo que se está llevando a cabo no es una integración en el sentido usual de la palabra, ya que el proceso usual de integración simbolizado con una letra S (deformada como ∫ en la literatura matemática) está definido como la suma (de ahí el origen del símbolo integral) de una cantidad infinitamente grande de infinitésimos, que tomada entre ciertos límites converge hacia un resultado finito. Y lo que se tiene aquí no es una suma integral sino un producto de factores tales que si se multiplica una cantidad infinitamente grande de ellos el producto converge también hacia un resultado finito (en este caso, una función exponencial). Se le puede dar rigorismo matemático pleno a estos conceptos, pero ello no cambia el concepto central: se puede tomar un producto formado por una cantidad infinitamente grande de factores que de alguna manera se las arreglan para producir al final un resultado finito que no necesariamente es igual a los resultados triviales de cero o la unidad. Esta es la misma idea que subyace detrás de muchas de las operaciones llevadas a cabo en la Teoría del Campo Cuántico, en donde sumas de términos que producen resultados infinitos pueden ser redefinidas reacomodando los términos en forma tal que se obtendrá no un resultado infinito que carece de significado físico sino un resultado finito, un proceso conocido como renormalización.

En los últimos pasos que se han llevado a cabo arriba, se ha obtenido de manera más formal el operador de evolución del tiempo sin haber tenido que recurrir a comparaciones con el operador de traslación, confirmándose que el operador de evolución del tiempo en su forma exponencial es en efecto una definición precisa.

Ahora bien, por las propiedades del operador de evolución del tiempo, lo siguiente debe ser cierto para el producto de dos de dichos operadores:


Reemplazando al operador de evolución del tiempo que produce un avance temporal en un infinitésimo de tiempo dτ por la expresión equivalente básica que se ha dado más arriba, se tiene:


Removiendo el paréntesis en el lado derecho de la igualdad y despejando hacia la izquierda, vemos que:


Este último resultado se parece mucho a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una función de onda Ψ(x,t). Sin embargo, no es la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo para una función de onda. Es la ecuación de Schrödinger para el operador de evolución del tiempo. Podemos, sin embargo, obtener a partir de la misma a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para una función de onda haciendo que ambos lados de la anterior igualdad actúen sobre un ket general de estado (que viene siendo lo mismo que una función de onda convencional) que representa al sistema físico α(t) en un tiempo t0:


Esto último se puede reescribir como:


Al actuar el operador de evolución del tiempo sobre el ket, puesto que se trata de un ket especificado en un tiempo t0 siendo por lo tanto un ket que no varía con el tiempo, la acción del operador es igual a la acción de un operador identidad, quedando lo siguiente:


Esto último lo podemos reconocer ya como la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo usando la notación más convencional de la Mecánica Ondulatoria:


Suponiendo que el operador Hamiltoniano H de energía sea un operador independiente del tiempo, la solución de la ecuación diferencial de Schrödinger para el operador de evolución del tiempo tiene una solución inmediata, que viene siendo el mismo operador de evolución del tiempo en su forma exponencial que se ha dado arriba. Un ejemplo de un caso en el cual el operador Hamiltoniano H es independiente del tiempo nos lo dá el Hamiltoniano del momento magnético del spin interactuando con un campo magnético B que permanece constante todo el tiempo.

Sin embargo, si resulta que el operador Hamiltoniano H es un operador dependiente del tiempo, o sea H(t), entonces la solución formal viene siendo:


Un ejemplo de un caso en el cual el operador Hamiltoniano H es dependiente del tiempo es aquél en el cual el momento magnético del spin es sometido a un campo magnético B que varía periódicamente, o sea B(t).

Hay un tercer caso más complicado aún en el cual el operador Hamiltoniano H no sólo varía con el tiempo sino que los operadores H tomados en tiempos distintos no conmutan entre sí. Tal sería el caso del momento magnético del spin en el cual la dirección del campo magnético cambia también con el tiempo (véanse las entradas tituladas “Espectroscopías de resonancia magnética”). En un caso así, en un tiempo t1 el campo magnético puede estar apuntando en la dirección-x, mientras que en un tiempo t2 el campo magnético puede estar apuntando en la dirección-y, y así sucesivamente. Puesto que los operadores de spin Sx y Sy no conmutan, los operadores Hamiltonianos H(t1) y H(t2) tampoco lo hacen. En una situación así, la solución formal a la ecuación diferencial del operador de evolución del tiempo conduce a algo conocido como las series de Dyson, nombradas así en memoria del físico y matemático inglés Freeman Dyson que obtuvo la solución a este tipo de problema mediante técnicas de perturbación dependientes del tiempo. El operador de evolución del tiempo, bajo una circunstancia así requiriendo ser evaluado mediante técnicas de aproximación, toma la siguiente forma:


Es frecuente encontrar en la literatura otro tipo de notación muy parecida a la que se ha estado usando en los desarrollos que hemos visto para simbolizar al operador de evolución del tiempo, la cual consiste en definirlo como:


en donde la acción del operador de evolución del tiempo se efectúa sobre una función de onda desde un tiempo inicial t0 hasta un tiempo cualquiera t:


El operador identidad se define naturalmente de la siguiente manera:


La composición sucesiva de dos operadores de evolución del tiempo se puede escribir de la siguiente manera:


Obsérvese que este tipo de notación permite llevar a cabo un ordenamiento de las operaciones, lo cual resulta útil en estudios posteriores en donde el orden de los operadores altera el resultado final.

Y en lo que respecta al operador inverso, éste será desde luego:


Para poder evaluar el efecto del operador de evolución del tiempo en un ket general inicial, debemos saber primero cómo actúa sobre los kets de base utilizados para llevar a cabo la expansión del ket general. Esto resulta particularmente fácil si los kets de base utilizados son eigenkets de un operador A tales que los eigenkets de A son también eigenkets del operador Hamiltoniano H, lo cual requiere a su vez que el operador A conmute con el operador H:

[A, H] = 0

recibiendo entonces el nombre de eigenkets de energía cuyos eigenvalores son Ea, estando estos últimos especificados por la siguiente eigenecuación de Schrödinger:


Recurriendo a dos operadores identidad (relación de cerradura, véase la entrada “La notación bra-ket de Dirac”), se puede llevar a cabo la siguiente expansión del operador de evolución del tiempo en su forma exponencial (un operador identidad se representará con coloración azul mientras que el otro operador identidad se representará con coloración magenta):


Pero lo que se tiene en la última línea (resaltada en color negro) es, por definición, la esperanza matemática del operador de evolución del tiempo tomada entre los estados a y a’. Suponiendo que los estados a y a’ están ortonormalizados, entonces repasando la eigenecuación dada más arriba se debe tener:


con lo cual la expansión del operador de evolución del tiempo se puede escribir de la siguiente manera:


Escrito de esta manera, el operador de evolución del tiempo nos permite resolver cualquier problema de valor inicial cuando se conoce la expansión del ket en un tiempo inicial t0 en función de los kets de base. A modo de ejemplo, supóngase que la expansión del ket inicial está escrita de la siguiente manera (con la ayuda de un operador identidad, obsérvese que se trata en realidad de una expansión en series de Fourier):


Un tiempo t después, bajo la acción de la aplicación del operador de evolución del tiempo, se tiene:


Este resultado indica que cada coeficiente de expansión ca varía con el tiempo de la siguiente manera:


Sin embargo, el módulo de cada uno de los coeficientes permanece inalterado:


Obsérvese que las fases relativas entre los distintos componentes sí varían con el tiempo en virtud de que las frecuencias de oscilación son diferentes para cada uno de ellos.

Algo que nos interesa estudiar a fondo es el comportamiento de las esperanzas matemáticas (o valores esperados) de las observables físicas al transcurrir el tiempo, puesto que lo que medimos en un laboratorio al final de cuentas es un promedio estadístico que refleja el comportamiento de un conjunto numeroso de partículas. Tómese como punto de partida un ket general de estado especificado en un tiempo inicial t0 y sobre el cual actúa un operador de evolución del tiempo que nos entrega al ket para otro tiempo posterior t:


En el espacio dual, la contraparte de este ket de estado evolutivo viene siendo el siguiente bra:


Tómese ahora una observable física cualquiera representada mediante el operador Q. La esperanza matemática de dicha observable en un tiempo inicial t0 está definida en la forma convencional que ya se ha visto previamente:


Recurriendo al ket y al bra definidos arriba, se tiene entonces:


Los dos factores exponenciales que están resaltados de color rojo se anulan mutuamente al ser simples constantes numéricas pero con signos opuestos en cada exponente, dejándonos simplemente con lo siguiente:


El resultado que hemos obtenido no es poca cosa, ya que nos dice que el valor esperado de cierta observable tomado con respecto a cierto eigenestado de energía no cambia con respecto al tiempo. Esta es la razon del por qué a un eigenestado de energía se le conoce también como un estado estacionario.

Puede suceder, desde luego, que la esperanza matemática sea tomada no con respecto a cierto eigenestado de energía sino con respecto a una superposición de eigenestados de energía distintos. Esto nos lleva en forma directa a lo que se conoce como estados no-estacionarios. Recurriendo a lo que se obtuvo más arriba, supóngase que se tiene como punto de partida el siguiente ket:


El bra correspondiente a este ket, en el espacio dual, pero para un eigenestado de energía distinto, será (obsérvese el uso de la comilla para distinguirlo):


El valor esperado de la observable Q, tomada con respecto a los dos eigenestados de energía, será de acuerdo a la definición formal de la esperanza matemática:


En esta ocasión, aunque los factores exponenciales siguen siendo meras constantes numéricas, ya no se cancelan mutuamente en virtud de que ambos tienen signos iguales, conduciendo al siguiente resultado:


En este caso, el valor esperado de Q consistirá de una suma de términos oscilantes cuyas frecuencias angulares serán:


Lo que se tiene, en efecto, son estados mezclados. Y las frecuencias de oscilación de los términos son la condición de Bohr (aunque ahora los alcances del análisis ya no están limitados al modelo atómico planetario de Bohr).

Al llegar a este punto, el lector seguramente estará interesado en ver una aplicación del operador de evolución del tiempo en alguna situación física. Para esto, veremos un sistema muy sencillo que ilustra el formalismo básico que acaba de ser desarrollado. Considérese el Hamiltoniano H de un sistema de spin 1/2 cuyo momento magnético es /2mec, el cual está sometido a un campo magnético uniforme y estático de magnitud constante B que apunta en la dirección del eje-z. El Hamiltoniano H para un sistema así está dado por la expresión:


Al estar apuntando el campo magnético en la dirección del eje-z, coincidiendo con la dirección de Sz, entonces S·B se puede tomar simplemente como SzB, con lo cual:


Puesto que H y Sz difieren únicamente en una constante multiplicativa, los operadores que representan dichas cantidades obviamente conmutan. Los eigenestados de Sz son también eigenestados de energía, y los eigenvalores correspondientes a dichos estados (de los cuales hay dos, uno apuntando “hacia arriba” con signo positivo, ↑ , y el otro apuntando “hacia abajo” con signo negativo, ↓ ) son:


Resulta ventajoso definir una frecuencia angular ω de modo tal que la diferencia entre los dos eigenestados sea ħω, de tal modo que:


Por lo tanto, podemos reescribir el operador Hamiltoniano H simplemente como ωSz, con lo cual se obtiene el siguiente operador de evolución del tiempo para un sistema con spin 1/2 que está sometido a un campo magnético uniforme y constante B:


Para que un operador de evolución del tiempo pueda ser de utilidad, el requisito primordial que se tiene que cumplir es la conservación de la probabilidad al ir avanzando el tiempo, lo cual depende de la viabilidad del operador Hamiltoniano H que esté siendo considerado para la descripción de un sistema físico. Tómese por ejemplo el siguiente Hamiltoniano:


en donde H11, H12, H21 y H22 son números reales. Recurriendo a argumentos de simetría, podemos dar por hecho que H12 es igual a H21, lo cual permite hacer la siguiente simplificación:


Este es un Hamiltoniano legítimo, válido para la descripción de una gran variedad de sistemas físicos. Sin embargo, si borramos uno de los términos, el Hamiltoniano pierde su validez como en el siguiente caso:


Esta última expresión nos describe un sistema físico en el cual la partícula puede ir del estado 2 al estado 1, pero no puede ir del estado 1 al estado 2. Para fines de análisis posterior, tomaremos los primeros dos términos H11 y H22 como iguales a cero, dejándonos:


Este operador definitivamente no es Hermitiano, ya que si tomamos la transpuesta del conjugado complejo de esta expresión:


puede verse que H..H. Y puesto que el operador Hamiltoniano H no es Hermitiano, el operador de evolución que se obtenga del mismo tampoco será unitario, con lo que puede suponerse ya que no se satisface el criterio de la conservación de la probabilidad. Al tomarse la segunda potencial de H (y usándose la ortonormalidad de los kets de base), se tiene:


y esto trae como consecuencia que todas las demás potencias superiores de H también serán iguales a cero:


Entonces, al evaluarse el operador de evolución del tiempo con este resultado, recurriéndose a la definición de una cantidad infinita de productos que se ha dado arriba, se tiene que en realidad no hay más que un sólo factor a ser tomado en cuenta:


Este resultado es aplicable no sólo a desplazamientos infinitesimales de tiempo sino incluso a desplazamientos temporales finitos. Para investigar todo esto más a fondo, supóngase que se tiene el siguiente ket general de estado inicial formado mediante una combinación lineal de los kets de base que representan al estado 1 y al estado 2:


Entonces la aplicación del operador de evolución del tiempo que se acaba de obtener, para este ket general de estado inicial, produce la siguiente evolución temporal:


Con esto, la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado 1 al haber transcurrido un lapso de tiempo τ debe ser entonces:


Por otro lado, la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado 2 al haber transcurrido un lapso de tiempo τ debe ser entonces:


Vale la pena comparar esto con la expresión para la probabilidad de encontrar al sistema en su estado inicial. El bra que corresponde al ket general de estado inicial es:


Tomando el producto interno del bra general de estado inicial con el ket general de estado inicial, puede verse que la probabilidad estará dada inicialmente en un tiempo t por la relación:


Al haber transcurrido un lapso de tiempo τ, la probabilidad del sistema estará dada por:


Pero por lo que se obtuvo arriba:


Sin necesidad de ir más lejos, puede verse que al escribir el bra que corresponde a este ket y al tomar el producto interno de ambos, la probabilidad no se conservará sino que irá variando con el tiempo. Esta no-conservación de la probabilidad a medida que el tiempo evoluciona se puede simbolizar de la siguiente manera:


con lo cual el sistema físico en cuestión puede considerarse como algo físicamente irrealizable.

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