martes, 11 de agosto de 2009

Interpretación probabilista de ψ II

Si a diferencia de lo que ocurría en la mecánica clásica (que sigue siendo válida para objetos macroscópicos) en el mundo sub-microscópico ya no es posible hablar sobre la localización de la posición exacta de una partícula sino de tan sólo de una probabilidad de que dicha partícula pueda estar en cierta región del espacio, lo “borroso” de la partícula debe ser aplicable no sólo a una partícula confinada a un recipiente cerrado sino también a la misma partícula cuando se está moviendo de un lado a otro. Al hablar acerca del flujo de una partícula estamos hablando entonces realmente acerca de un flujo de probabilidad. Puesto que es el cuadrado de la amplitud de la función de onda ψ lo que nos dá la probabilidad de encontrar a la partícula en cierta región del espacio, la probabilidad de encontrar a la partícula dentro de esa región encerrada por una superficie A está dada por:


en donde dr = dx·dy·dz representa un elemento infinitesimal de volumen (¡no es el diferencial de un vector!). Para poder hablar acerca de un flujo de probabilidad, tenemos que saber cómo varía con respecto al tiempo la probabilidad de encontrar a la partícula dentro de dicha región. Tomando la derivada con respecto al tiempo de la igualdad de arriba tenemos lo siguiente:


Metiendo la derivación con respecto al tiempo dentro del signo de la integral y aplicando la regla de la derivada del producto de dos funciones obtenemos:


La ecuación de Schrödinger para una región del espacio en la cual el potencial puede considerarse constante e igualado a cero es la siguiente:


Tomando el conjugado complejo de la ecuación de Schrödinger tenemos:


Despejando en ambos casos para la derivada con respecto al tiempo (obsérvese que los números imaginarios i pasan como recíprocos 1/i, convirtiéndose en i/i² = -i):


Substituyendo esto en nuestra expresión para el flujo de probabilidad:


Simplificando un poco sacando las constantes fuera de la integral:


La integral que tenemos es una integral de volumen, llevándose a cabo sobre el volumen de la región de interés. Esta integral puede ser convertida en una integral de superficie mediante una identidad que nos viene del análisis vectorial (conocida a veces como el teorema de Green) que nos permite hacer la siguiente substitución para poder llevar a cabo la conversión:


La superficie en cuestión es la misma que la que encierra al volumen del que estamos hablando. Con esta identidad tenemos entonces:


Lo que tenemos a la derecha de la igualdad es el producto escalar (o producto punto) de dos “vectores”. Esto nos sugiere hacer la siguiente definición tentativa del concepto de un flujo de probabilidad (también conocido como corriente de densidad de probabilidad) de la siguiente manera (obsérvese que el flujo de probabilidad es una cantidad vectorial):


De este modo, con esta definición obtenemos la siguiente relación:


Esto último tiene una interpretación muy sencilla: la razón del cambio de la probabilidad de encontrar a una partícula dentro de una superficie A será igual al negativo del flujo total de probabilidad que está atravesando la superficie A que acota un volumen V. A este flujo de probabilidad contribuye cada elemento infinitesimal de flujo de probabilidad que pasa a través de cada elemento infinitesimal del área de que consta dicha superficie:




Si nos limitamos a trabajar en una sola dimensión (en lugar de tres dimensiones como lo hicimos arriba), al flujo de probabilidad S considerado no solo como una función de la posición sino también como una función del tiempo se le puede escribir de la siguiente manera (en esta definición se ha invertido el signo, aunque en los cálculos finales esto carece de relevancia):


Una aplicación de esta fórmula posiblemente aclare un poco más las cosas. Considérese un haz de partículas libres que pueda ser considerado como una onda de materia plana senoidal viajando en una sola dirección, expresable mediante la siguiente función de onda:


Entonces el flujo de probabilidad será:


De acuerdo al resultado obtenido, en este caso el flujo de probabilidad tiene lugar en el sentido positivo del eje-x.

La interpretación probabilista de la función de onda dada por Max Born es de aplicación general y es completamente válida en cualquier sistema de coordenadas, trátese de coordenadas rectangulares Cartesianas, coordenadas esféricas, en fin, cualquier tipo de coordenadas. Tómese a modo de ejemplo un sistema de coordenadas cilíndricas (ρ,φ,z).


Con la transformación apropiada de coordenadas, podemos expresar una función de onda Ψ(x,y,z) en coordenadas cilíndricas Ψ(ρ,φ,z). De acuerdo con el criterio de Born, la densidad de probabilidad de la función de onda está dada por el producto de la función de onda Ψ y el conjugado complejo de la misma Ψ* en cualquier sistema de coordenadas, estando en absoluta libertad de poder escoger el sistema de coordenadas que más nos convenga para la resolución de un problema. Es muy posible (aunque ello no está garantizado de antemano) que dada una función de onda Ψ(ρ,φ,z) en coordenadas cilíndricas la podamos escribir mediante la técnica matemática de separación de variables como el producto de una función de onda radial R(ρ) con una función de onda Φ(φ) y con una función de onda Z(z). Siendo así, podemos expresar la densidad de probabilidad de la función de onda (por unidad de volumen) de la siguiente manera:


Si lo que queremos es encontrar la probabilidad de encontrar una partícula con tal función de onda en cierta región del espacio cuando nuestro sistema de medición está basado en coordenadas cilíndricas, un volumen cilíndrico como el siguiente:


en tal caso tenemos que multiplicar la densidad de probabilidad de la función de onda por tal volumen expresado en coordenadas cilíndricas. Puesto que un elemento infinitesimal de línea expresado en coordenadas cilíndricas está dado por:


en donde los símbolos destacados en color azul representan vectores unitarios de base (ortogonales, a ángulos rectos entre sí) que fijan la dirección a cada componente en el sistema de coordenadas cilíndricas, entonces el elemento infinitesimal de volumen en coordenadas cilíndricas será:


De este modo, la probabilidad de encontrar a una partícula con una función de onda Ψ(ρ,φ,z) dentro de cierto volumen infinitesimal del espacio bajo consideración viene siendo:


en donde se ha destacado con color magenta el elemento infinitesimal de volumen dentro del cual queremos obtener la probabilidad de poder encontrar a la partícula. En cualquier caso, bajo cualquier sistema de coordenadas, la probabilidad de encontrar a una partícula dentro de cierto volumen se obtiene multiplicando la densidad de probabilidad por el elemento de volumen bajo consideración:


en cuyo caso la densidad de probabilidad tiene que ser una densidad de probabilidad por unidad de volumen (en problemas unidimensionales, se usará una densidad de probabilidad por unidad de longitud, y en problemas en dos dimensiones se usará una densidad de probabilidad por unidad de área).

PROBLEMA: En la mecánica clásica lo que importa son las diferencias de energía ΔE y no tanto el valor absoluto que se le pueda dar a cierto valor de energía. De este modo el nivel de referencia que se le dá a la energía potencial dentro de la mecánica clásica es arbitrario. ¿Cuáles son los efectos sobre la función de onda y sobre la energía de añadirle un potencial constante a la ecuación de Schrödinger?

Para conocer el efecto de añadirle un potencial constante V0 a la función potencial V = V(x) que aparece en la ecuación de Schrödinger, podemos empezar con la versión unidimensional de la misma:


y agregarle un potencial constante a dicha ecuación:


Despejando para ∂Ψ/∂t de esta ecuación tenemos entonces:


Tomando el conjugado complejo de esta última ecuación obtenemos la siguiente:


Si substituímos estas dos relaciones en la expresión para dP/dt:


obtenemos entonces:


Simplificando esto último llegamos a lo siguiente:


Obviamente, los últimos cuatro términos se cancelan entre sí por pares, quedándonos únicamente:


Pero usando nuevamente la ecuación de Schrödinger para pasar los términos que involucran a las segundas derivadas de la función de onda Ψ con respecto a la coordenada-x poniéndolo todo en función de términos que involucran a la primera derivada de Ψ con respecto al tiempo, obtenemos nuevamente el punto de partida original que tendríamos si no se le hubiese añadido potencial constante alguno a la ecuación de Schrödinger. Se concluye por lo tanto que agregarle a la ecuación de onda de Schrödinger un potencial constante V0 no produce efecto observable alguno en las variables dinámicas, al menos no algo que podamos detectar experimentalmente en el laboratorio, y por lo tanto no se producirá efecto alguno en la esperanza matemática de la energía que calculemos para un sistema basada en su función de onda. Sin embargo, la ecuación de onda en sí recogerá un factor de fase exp(iV0t/ħ) como consecuencia de agregarle el potencial constante V0 a la ecuación de Schrödinger. Para demostrarlo, supóngase una solución a la ecuación de onda con la forma:


de lo cual obtenemos lo siguiente tomando derivadas de Ψ con respecto a la coordenada-x y con respecto al tiempo:


Substituyendo estas expresiones en la ecuación de onda tenemos entonces:


El factor exp(iV0t/ħ) es común a todo los términos, con lo cual podemos simplemente borrarlo para llegar así a lo siguiente:


Invirtiendo los pasos que utilizamos para llegar a esto último tenemos la demostración formal de que agregarle un potencial V0 a la ecuación de onda de Schrödinger equivale a tanto como añadirle a la ecuación de onda un factor de fase e con φ = V0t/ħ, sin consecuencias medibles en el laboratorio porque el valor calculado para una observable física (a través de su esperanza matemática) no puede depender en la convención de la fase.

PROBLEMA: Tomando la divergencia para el vector flujo de probabilidad S demostrar que:


Tomando la divergencia vectorial de S tenemos lo siguiente:


Podemos simplificar esto usando la siguiente identidad vectorial en donde φ es una función escalar y f es una función vectorial:


Tenemos entonces:


El segundo y el cuarto término se cancelan dejándonos:


Usando la ecuación de Schrödinger en su forma usual y en su forma conjugada compleja la expresión se nos reduce a:

Si en el resultado que acabamos de obtener reemplazamos el producto ψ*ψ por lo que realmente representa, la probabilidad P, obtenemos lo siguiente:


Esto último es mejor conocido dentro de la Mecánica Cuántica como la ecuación de continuidad, en similitud con su contraparte clásica que se escribe de igual manera.

PROBLEMA: Considérese la siguiente ecuación para una onda plana:

 

en donde p es el vector momentum y r es el vector posición (no confundir el número imaginario i con el vector unitario de base i usado para el eje-x en las coordenadas Cartesianas):

p = (px, py, pz) = ipx + jpy + kpz

r = (x,y,z) = ix + jy + kz

Una ecuación de este tipo no puede ser normalizada, de modo tal que el cuadrado de la amplitud de la función de onda sólo puede representar la probabilidad de poder encontrar a la partícula en cierto punto en el espacio. La densidad de probabilidad en este caso es independiente de la posición. Una forma de visualizar la función de onda proporcionada es como un enjambre móvil de partículas con una densidad promedio de una partícula por centímetro cúbico. En este caso, las partículas se están moviendo con un momentum p y tienen una velocidad v = p/m. Con esta velocidad y con una densidad promedio de una partícula por centímetro cúbico, v partículas por segundo estarán pasando a través de una área superficial de un centímetro cuadrado perpendicular a la dirección de movimiento de las partículas:




Esto constituye el flujo de probabilidad de la onda. Obténgase el flujo de probabilidad para este caso
.

El gradiente para la función de onda dada ψ es:


Tomando cada una de las derivadas parciales sobre el exponencial y simplificando un poco:


Esto lo podemos simplificar aún más escribiéndolo como:


Simplificando un poco más:


Tomaremos a continuación el conjugado complejo de ambos lados de esto último, lo cual requiere reemplazar i por -i:


Esto nos resulta en lo siguiente:


Con lo que hemos obtenido podemos calcular ya la corriente de densidad de probabilidad:


Puesto que el exponencial de cero es igual a la unidad, tenemos finalmente el siguiente resultado:


Esto último está en concordancia con el resultado clásico para la razón a la cual un flujo de partículas atraviesa un centímetro cuadrado de área superficial por unidad de tiempo bajo estas condiciones.

PROBLEMA: Demuéstrese que el flujo de probabilidad se puede escribir de la siguiente manera:


en donde “Im” representa la parte imaginaria de la función de onda.

Una función de onda siempre puede ser representada como una función compleja separada en una parte real (Re) y una parte imaginaria (Im):


Tomando el conjugado complejo:


Del mismo modo:


Con esto obtenemos:

Del mismo modo se tiene lo siguiente:

Removiendo los paréntesis y llevando a cabo los productos:


Comparando estos resultados y combinándolo todo tenemos entonces que:


puede ser escrito como:


Por último, y trabajando en una sola dimensión, supóngase que se tienen dos funciones de onda φ y ψ normalizadas:


¿Qué interpretación podríamos darle entonces a algo como lo siguiente?


Podemos visualizar el traslape de ambas funciones de onda de la siguiente manera:


Como parece sugerirlo la figura de arriba, el traslape de las dos funciones de onda, representada por el área blanca que ambas funciones de onda tienen en común, representa la probabilidad conjunta de ambas funciones de onda. Esto es una consecuencia directa de las leyes de la probabilidad. Obviamente, a menos de que ambas funciones de onda φ y ψ sean iguales, esto es, φ.=.ψ, esta probabilidad conjunta será inferior a la unidad. La probabilidad representada por el traslape dependerá de qué tanto estén traslapadas ambas funciones de onda. Esta probabilidad conjunta tiene una importancia tan crucial dentro de la Mecánica Cuántica, que es frecuente emplear una notación para simbolizar el traslape (este tipo de notación lo estudiaremos más a fondo en la entrada “La notación bra-ket de Dirac”):


Muchos fenómenos físicos que ocurren a niveles sub-microscópicos dependen precisamente de que haya este traslape. Supóngase, por ejemplo, que se tienen dos partículas atrapadas en cajas separadas, siendo ambas cajas de las mismas dimensiones (con una distancia L de pared a pared), habiendo una partícula en cada caja que llamaremos A y B respectivamente. Si ponemos las dos cajas en proximidad cercana, una a un lado de otra, cabe preguntarnos: ¿qué probabilidad hay de que una partícula “salte” de una caja a otra? Si las paredes de ambas cajas son impenetrables (lo cual equivale a considerar cada partícula como situada en un pozo de potencial cuyas paredes son infinitamente altas), entonces aunque los espacios huecos de ambas cajas estén separados el uno del otro por unos cuantos milímetros la probabilidad de que una partícula se pase de una caja a otra es cero. Tal “brinco” no puede ser efectuado porque las paredes de ambas cajas son impenetrables, lo cual a su vez implica que las funciones de onda ψA y ψB de cada partícula no tienen ningún “traslape” en común:


Si queremos que haya una probabilidad así sea mínima de que una partícula pueda saltar del interior de una caja al interior de la otra es necesario que la pared que separa ambos interiores deje de ser impenetrable, es necesario que la barrera de potencial que separa ambas cajas deje de ser una barrera de altura infinita para ser una barrera de altura finita:



De este modo, inclusive aún si la energía de una partícula es inferior a la altura de la barrera finita de potencial que separa ambas cavidades, una partícula puede efectuar un tunelaje de una cavidad a otra (atravesando la barrera de potencial de altura finita), por el simple hecho de que ambas cavidades están interconectadas, lo cual implica que hay un traslape entre las funciones de onda que corresponden a una partícula ubicada en cada cavidad.

Aún tratándose de una sola partícula atrapada dentro de una caja, esto es, una partícula solitaria atrapada entre dos paredes de potencial infinitamente altas, para que haya una probabilidad de que una partícula pueda “saltar” de un nivel energético inferior a un nivel energético superior al suministrar una energía externa (por ejemplo, mediante un fotón luminoso), para que tal salto pueda ocurrir, es indispensable que entre el eigenestado que corresponde a cierta función de onda (por ejemplo, la función de onda ψ2 que corresponde al estado n.=.2) y el eigenestado hacia el cual queremos excitar a la partícula (por ejemplo, el estado que corresponde la función de onda ψ15 que a su vez corresponde al estado n.=.15), es indispensable que haya un traslape entre ambas funciones de onda (en este caso, un traslape entre ψ2 y ψ15) para que tal salto pueda tener lugar. Del mismo modo, para que una partícula pueda caer desde un nivel energético superior hacia un nivel energético inferior (emitiendo un fotón de energía luminosa) es también necesario que haya un traslape entre ambas eigenfunciones de onda. Esto implica que el fenómeno de las radiaciones originadas por fenomenología sub-atómica depende directamente del traslape de funciones de onda. Y la Mecánica Ondulatoria nos permite calcular en forma cuantitativa la probabilidad en cada caso. Estas probabilidades se reflejan a su vez en las intensidades relativas de las líneas espectrales obtenidas en los espectrogramas, se trata de cosas que podemos medir directamente en el laboratorio. De este modo, la interpretación probabilista de la función de onda es lo que le da aplicabilidad a la Mecánica Cuántica, es lo que nos permite sacar los conceptos del pizarrón hacia el mundo real.

Ahora bien, suponiendo que se tienen dos funciones de onda distintas Ψ1 y Ψ2 que sean soluciones a la ecuación de onda de Schrödinger, y suponiendo que ambas funciones de onda son normalizables, nos preguntamos ahora si la densidad de probabilidad de un traslape de dichas funciones de onda podrá variar con el tiempo. Para indagar tal cosa, tomemos primero la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo:


Para mayor generalidad, supondremos la presencia de un potencial V al cual la única restricción que le impondremos es que no sea un potencial dependiente del tiempo, manteniéndose constante en todo momento. Siendo así, entonces la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo correcta debe tener la siguiente forma:


Empleando esto último, tomemos ahora las funciones de onda Ψ1 y Ψ2 de la siguiente manera:


La variación con respecto al tiempo de la densidad de probabilidad de las funciones de onda traslapadas debe ser entonces:


Introduciendo en esto último las expresiones que tenemos arriba para las dos funciones de onda y simplificando, se tiene:


Podemos efectuar una integración por partes sobre cada uno de los dos integrandos. Por lo tanto:


El segundo término y el cuarto término, iguales pero de signos opuestos, se anulan mutuamente. Por otro lado, puesto que cada función de onda, supuesta normalizable, debe irse a cero conforme x se va hacia el infinito positivo y hacia el infinito negativo (de lo contrario no serían normalizables), se concluye entonces que:


En pocas palabras: la densidad de probabilidad del traslape de dos funciones de onda distintas Ψ1 y Ψ2 que sean soluciones a la ecuación de onda de Schrödinger, suponiendo que ambas funciones de onda sean normalizables, permanece invariable con el transcurso del tiempo.

En cierta clase de problemas, estamos interesados en saber cómo cambian las probabilidades de obtener un resultado experimental al cambiar las condiciones que determinan la función de onda. Tómese el caso de una partícula atrapada atrapada en una caja (una partícula atrapada en un pozo de potencial rectangular con paredes infinitamente altas, siendo L la distancia de pared a pared). Las eigenfunciones de onda ψn(x) que determinan los estados discretos posibles de este sistema ligado son:


Las energías discretas para cada una de estas funciones de onda son:


Considérese a continuación la siguiente pregunta: ¿cómo podemos obtener otra energía que no corresponda a ninguna de las energías discretas que se tienen para una partícula atrapada dentro de una caja? La respuesta obvia: basta con mover una de las paredes verticales de la caja, lo cual altera la función de onda original, cambiando con ello los niveles de energía de los estados discretos originales. Supóngase que una vez que se lleva a cabo este procedimiento, se tiene una nueva función de onda dentro de la caja que llamaremos Ψ(x). Suponiendo que esta nueva función de onda Ψ(x) se pueda obtener mediante una combinación linear de las eigenfunciones de onda previas, específicamente como una expansión en series de Fourier, los coeficientes cn que multipliquen a cada una de las eigenfunciones de onda originales ψn(x) de la partícula atrapada dentro del pozo de potencial rectangular se pueden evaluar mediante el “truco de Fourier”:


Y resulta que el cuadrado de cada uno de estos coeficientes representa una probabilidad, la probabilidad de obtener cierta energía para cierta eigenfunción de onda cuando se lleva a cabo una medición sobre el sistema modificado. Si esto es cierto, entonces la suma de los cuadrados de estos coeficientes debe ser igual a 1:


Hablando sin mucha formalidad, cada cn nos dice la “cantidad de ψn contenida en Ψ”. Hablando con más formalidad, lo que cada:


nos proporciona es la probabilidad de que una medición de la energía nos produzca la energía En. No debe haber duda alguna de que cada uno de los cuadrados de los cn debe interpretarse como una probabilidad, y que la suma de las probabilidades es igual a la unidad, como podemos demostrarlo de manera sencilla:


Más aún, resulta igualmente fácil checar que el valor esperado de la energía es:


Un ejemplo posiblemente aclare un poco más esto. Supóngase que se tiene una partícula atrapada en un pozo de potencial rectangular con paredes infinitamente altas y con una distancia de pared a pared igual a L. Supóngase también que la partícula se encuentra en el estado que corresponde a la energía discreta más baja posible, o sea el estado fundamental, lo cual significa que la función de onda Ψ(x) de dicha partícula es el de una media onda senoidal. A continuación, supóngase que una de las paredes se mueve de modo tal que la nueva distancia de pared a pared es igual a 2L, suponiéndose también que la pared es movida con tal rapidez que ello deja a la función de onda original momentáneamente sin cambio alguno. (Si la pared no es movida rápidamente sino lentamente, ocurre otra cosa muy curiosa que será estudiada en mayor detalle en la entrada “El teorema adiabático I”). Las siguientes dos figuras nos muestran la situación antes y después de haberse movido rápidamente una de las paredes verticales:




La nueva función de onda, construída con una media onda senoidal en la primera mitad de la caja seguida de una ausencia total de función de onda alguna en la otra mitad de la caja, considerada in toto ya no puede ser descrita mediante una simple función de onda senoidal, es necesario construirla mediante una expansión en serie de Fourier sumando las nuevas eigen-funciones de onda ψn(x) en combinaciones adecuadas mediante la multiplicación previa de cada ψn(x) por el coeficiente respectivo cn que se requiera para obtener la nueva función de onda.

Como consecuencia de la separación de las paredes, los niveles de energía discretos de la nueva configuración (con respecto a los niveles discretos de energía posibles en la configuración original) se acercan más el uno al otro (en el caso extremo, cuando las paredes son separadas de modo tal que hay una distancia L infinitamente grande de pared a pared, los niveles de energía discretos están en proximidad tan cercana el uno al otro que en vez de tenerse un espectro discreto de energía se tiene un espectro continuo, en virtud de que la partícula se comporta ya como una partícula libre que puede tomar cualquier valor de energía al no encontrarse en un sistema ligado), y los nuevos niveles de energía son:


Sabiendo de antemano que la función de onda original Ψ(x) del sistema en su estado basal previo al movimiento de la pared vertical era:


entonces considerando el redimensionamiento que se lleva a cabo, cada una las eigenfunciones de onda de la nueva configuración (con la distancia de pared a pared siendo 2L) deben estar descritas por la siguiente relación:


Para obtener cada uno de los coeficientes c(que a su vez darán cada una de las probabilidades relativas que estamos buscando y con ello los valores posibles de energía del nuevo sistema) se debe llevar a cabo una integración que esencialmente involucra el traslape de dos tipos de funciones de onda, esto es,  la función de onda Ψ(x) del nuevo sistema original y las eigenfunciones de onda ψn(x) del sistema modificado. Con esto en mente, los coeficientes probabilistas cn están determinados del modo siguiente:


Obsérvese que la integración a llevarse a cabo ha sido separada en dos integrales, una integral de cero a L, y la otra integral de L a 2L. Pero en la nueva configuración, en virtud de que la pared vertical fue movida rápidamente dejando intacta a la función de onda original (la media onda senoidal) sin esperar al inevitable colapso y reacomodo que sabemos que habrá de darse (con las “puntas” de cada una de las eigen-funciones ψn(x) tocando la pared vertical izquierda en x.=.2L en lugar de llegar solo hasta x.=.L como ocurre inmediatamente después de que la pared vertical derecha ha sido movida), en la segunda mitad derecha de la nueva configuración no hay función de onda ψn(x) alguna, y en esta región la integral de los traslapes de las funciones de onda (anterior y posterior) debe ser igual a cero. Además, ninguna de las eigenfunciones de onda ψn(x) para la partícula atrapada en el pozo de potencial tiene componentes imaginarios o complejos, todas ellas son cantidades reales, y resulta superfluo aplicar una operación de conjugado complejo en donde no hay cantidades imaginarias o complejas. Por lo tanto, la evaluación de los coeficientes probabilistas cse reduce a lo siguiente:


Substituyendo las expresiones para las funciones de onda ψn(x) y Ψ(x), la evaluación de los coeficientes probabilistas cn procede en forma directa (los detalles son más de índole matemática que física):


Llevando a cabo la integración:


Obsérvese que en el resultado obtenido hay una indeterminación cuando n.=.2; en tal caso se tiene (la obtención de este resultado se llevará a cabo más abajo):


Continuando adelante con la evaluación tomando los límites:


En base a los resultados obtenidos, el valor de los coeficientes probabilistas cn depende del hecho de que valor de n sea par o impar.

Para n par:

cn = 0

Para n impar:


Efectuaremos ahora la evaluación para el caso n.=.2 que había quedado pendiente:


Ahora bien, puesto que las probabilidades están dadas por:


entonces las probabilidades de ocurrencia asociadas con cada eigen-energía del nuevo sistema relacionadas con cada una de las eigenfunciones de onda ψn(x) respectivas son:


Con esto en mano, estamos en condiciones de poder dar respuesta a ciertas preguntas. Por ejemplo, si se mide la energía de la partícula inmediatamente después de que la pared vertical ha sido movida rápidamente, ¿cuál será el resultado más probable de la medición? Ello ciertamente no será para n.=.1, porque la probabilidad asociada con la medición de la energía E’1 resulta ser menor que la probabilidad asociada con la medición de la energía E’2. El resultado más probable de la medición de energía que es el que corresponde a la eigenfunción de onda ψ2(x) viene siendo:


Obsérvese que el valor más probable de la energía medida en la nueva configuración (con una distancia de pared a pared igual a 2L), lo cual ocurre con n.=.2, es el mismo que el valor esperado de la energía para el estado basal de la configuración previa (distancia de pared a pared igual a L) con n.=.1, lo cual ya marca una diferencia interesante en lo que a números cuánticos de una configuración a otra se refiere. La probabilidad de obtener este valor de energía es igual a 1/2.

Otra manera (completamente equivalente) de ver lo anterior es postulando el problema de la siguiente manera: si una partícula atrapada dentro de una caja de longitud L se encuentra en el estado basal, y una de las paredes se mueve súbitamente de modo tal que la distancia de pared a pared sea 2L, ¿cuál es la probabilidad de que la partícula retenga su energía original? En el estado basal antes de llevarse a cabo la separación de las paredes, si la partícula se encuentra en el estado fundamental entonces la energía que está dada por la expresión general:


será:


Sin embargo, una vez que una de las paredes es movida rápidamente de modo tal que la distancia de pared a pared es 2L, la nueva función de onda, construída con una media onda senoidal en la primera mitad de la caja seguida de una ausencia total de función de onda alguna en la otra mitad de la caja, es construída mediante una suma Fourier, cada uno de cuyos términos asigna una probabilidad a las nuevas eigenenergías, las cuales son:


o sea:


Entre el conjunto infinito de eigenenergías correspondientes a la nueva configuración, cada una con una cierta probabilidad de ser encontrada, una de ellas (destacada en color azul) es exactamente de igual magnitud a la magnitud de la energía previa en la cual se encontraba la partícula antes de ser movida la pared. De no hallarse tal energía dentro del conjunto de eigenenergías de la nueva configuración, la probabilidad de que la partícula retenga su energía original, lo cual ciertamente requiere que:

E’2 = E1

sería igual a cero. Sin embargo, en virtud de que entre el conjunto infinito de eigenenergías de la nueva configuración hay una energía igual en magnitud a la energía en el estado basal de la configuración anterior, la probabilidad de que la partícula retenga su energía original en base a los cálculos llevados a cabo más arriba es igual a 1/2. Y si la pregunta es: ¿cuál es la probabilidad de que la partícula haya perdido alguna energía?, tal probabilidad será igual a la suma de todas las probabilidades restantes que van asociadas con las otras eigenenergías de la nueva configuración. Afortunadamente, no es necesario efectuar tal sumatoria, ya que en virtud de que la suma de todas las probabilidades debe ser igual a la unidad, entonces la probabilidad de que la partícula retenga su energía original sumada a la probabilidad de que la partícula haya perdido alguna energía debe ser igual a la unidad. Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula haya perdido alguna energía debe ser igual a 1 menos 1/2, o sea 1/2.

Dándole seguimiento a lo anterior, nos podemos formular otra pregunta: ¿cuál es el siguiente valor más probable de la energía en la nueva configuración? Para responder a esto, basta con tener a la mano el cálculo de las primeras cuatro probabilidades obtenidas de acuerdo a las condiciones dadas arriba:


Podemos graficar las probabilidades en función de las energías tanto para la configuración previa como para la configuración nueva. Las gráficas resultan ser las siguientes:




Obsérvese que para la configuración previa (justo antes de que una de las paredes sea movida rápidamente) solo hay una energía y la probabilidad asociada con dicha energía es el 100%, o sea una certidumbre total, en virtud de que se sabe de antemano que antes del desplazamiento de la pared el sistema se encontraba en el estado fundamental. De la gráfica para la configuración nueva, resulta obvio que el siguiente valor más probable de la energía se tendrá con n.=.1 (este es número cuántico corresponde a la nueva configuración y no debe ser confundido con el número cuántico que corresponde a la configuración previa). Tal valor será:


Del mismo modo, no hay que confundir los resultados que se han obtenido con el concepto del valor esperado de la energía en la nueva configuración, entendido esto como un promedio estadístico formado con la suma de todas las eigen-energías posibles (un número infinito de ellas) multiplicada cada una por su probabilidad respectiva de ocurrencia (este tema se discutirá más a fondo en las siguientes entradas tituladas “Operadores y esperanzas matemáticas” ). Se verá posteriormente que para la evaluación del valor esperado de la energía en la nueva configuración se invoca el operador Hamiltoniano de energía del siguiente modo (el operador aparece dentro de los paréntesis):


siendo la función de onda ψ una combinación lineal de las eigenfunciones de onda del sistema en la nueva configuración:


No cuesta mucho trabajo, recurriendo a la ortogonalidad de las eigenfunciones de la nueva configuración, determinar que el valor esperado de la energía (una especie de promedio estadístico de todas las eigenenergías que corresponden a la nueva configuración):


viene siendo:


Obsérvese que el valor esperado de la energía en la nueva configuración tiene exactamente el mismo valor que el que le corresponde a la función de onda Ψ(x) de la configuración previa en el estado basal (siendo por lo tanto también el valor esperado de la energía en la configuración previa), que era con lo que habíamos empezado. El valor esperado de la energía en la nueva configuración no es lo que se medirá en un experimento de laboratorio en el cual se obtendrán franjas de distintas intensidades de acuerdo a las probabilidades asociadas con cada eigen-energía, por tratarse de un promedio estadístico, del mismo modo que la medición de la estatura de una persona cuya edad esté entre cierto rango de edades, escogida al azar entre otras personas ubicadas en el mismo rango de edades, rara vez será igual al promedio estadístico de las estaturas de cientos de miles de personas entre tal rango de edades:


En realidad, esto no es más que una forma disfrazada del principio de la conservación de la energía desde la perspectiva de la Mecánica Cuántica, y hubiera sido muy sorprendente que el valor esperado de la energía de la nueva configuración hubiese sido diferente del valor esperado de la energía de la configuración previa.

El enunciado del ejemplo que se ha presentado especifica de manera muy directa que la pared tiene que ser movida rápidamente. ¿Por qué? Resulta que, si la pared es movida lentamente, cada eigenfunción de onda se va “acomodando” a la nueva distancia de pared a pared, de modo tal que la eigenfunción ψ2(x) asociada con la eigenergía E’2 de la nueva configuración tendrá una descripción muy diferente ya que la onda se extenderá completamente de pared a pared (obsérvese cómo la amplitud de la onda estirada disminuye en la nueva configuración):


Lo mismo ocurrirá con la eigenfunción ψ3(x) asociada con la eigenergía E’3 de la nueva configuración, la cual también se extenderá de pared a pared (obsérvese cómo la amplitud de la onda estirada disminuye en la nueva configuración):


Y así sucesivamente. Esta suposición da lugar a una gran simplificación en los cálculos. Quedan, desde luego, otros asuntos pendientes de resolver. ¿Qué tan “lento” significa “lentamente” para las dimensiones físicas en los fenómenos que estamos considerando, involucrando distancias sub-microscópicas? ¿Estamos hablando de horas, días, semanas, meses quizá? ¿Y qué tan “rápido” significa “rápidamente”? ¿Estamos hablando de milisegundos, microsegunos, o nanosegundos quizá? En rigor de verdad, y esto no debe resultar ya inesperado, solo podemos hablar de probabilidades asociadas con la velocidad con la cual ocurre el cambio que aquí llamaremos una perturbación del sistema. Este concepto es precisamente lo que se utiliza para definir relaciones como la fórmula de Landau-Zener.

Si en vez de pensar sub-microscópicamente en una partícula solitaria encerrada en una caja pensamos macroscópicamente en muchas partículas idénticas encerradas en una caja, en un recipiente, podemos imaginar un gas a presión constante en un esquema como el siguiente:




Si el recipiente gaseoso (que supondremos contiene gas helio) está perfectamente aislado (térmicamente) del exterior, entonces no hay entrada ni salida de calor del mismo, y cualquier proceso termodinámico que se lleve a cabo será lo que se conoce como un proceso adiabático; agregar sucesivamente en la parte superior del recipiente placas delgadas de contrapeso equivaldrá a hacer un trabajo sobre el gas comprimiéndolo, lo cual hará que aumente la temperatura del gas al aumentar la energía interna del mismo (el trabajo mecánico efectuado sobre el gas será igual al producto de la presión P por el cambio en el volumen del gas ΔV, o sea PΔV); mientras que remover sucesivamente placas delgadas de contrapeso hará que el gas empuje al pistón efectuando un trabajo hacia el exterior que vendrá al costo de un descenso en la temperatura del gas y por lo tanto en su energía interna. Un proceso de este tipo es llamado adiabáticamente invariante. Adicionalmente, si cada placa de contrapeso es muy delgada, entonces el efecto de quitar una placa se puede revertir volviéndola a poner en su lugar, y en tal caso hablamos de un proceso reversible (lo cual no ocurre cuando se quitan muchas placas rápidamente al mismo tiempo, lo cual dá lugar a una expansión súbita del gas que se precipita casi explosivamente hacia el nuevo espacio vacante en donde no hay átomo alguno del gas, siendo entonces un cambio irreversible porque el cambio en el sentido inverso no se puede producir en la dirección opuesta mediante un pequeño cambio en las condiciones). Así pues, al remover placas de contrapeso, la temperatura del gas desciende a medida que se expansiona el gas, con lo cual baja a su vez la presión ejercida por el gas. Si consideramos un mol de gas ideal, puede demostrarse que su energía interna es (3/2)RT (siendo R la constante universal de la ley del gas ideal), dependiente de la temperatura pero independiente del volumen. Para un cambio muy pequeño, el cambio en la temperatura es dT, y el cambio en la energía interna está dado por:


Por otro lado, por el principio de la conservación de la energía (el signo menos indica que el gas hace un trabajo mecánico hacia el exterior expandiéndose a costa de un descenso en su energía):

disminución en la energía del gas = trabajo mecánico efectuado por el gas


Usando la ley del gas ideal PV = nRT para un mol de gas (fijando n.=.1) e integrando, se tiene:


Mediante la última expresión es posible calcular la temperatura del gas para cada volumen que alcanza el gas a medida que se expande adiabáticamente; y conociendo la temperatura y el volumen, se puede calcular también sin mayores problemas la presión del gas en cada etapa usando la ley del gas ideal. Lo más importante en todo caso es que el análisis termodinámico de lo que ocurre macroscópicamente es facilitado por el hecho de que el gas se expande adiabáticamente mediante un proceso lento, reversible. Los paralelos que se pueden trazar explican entre lo que ocurre a nivel macroscópico y lo que ocurre cuando se trata de una partícula solitaria encerrada en una caja explica el por qué en el análisis mecánico-cuántico de ello se toma prestada terminología de la termodinánica. Volveremos a tomar el tema de lo que ocurre cuando la distancia de pared a pared va aumentando lentamente en la serie de entradas tituladas “El teorema adiabático”.

Un problema del mismo tenor es aquél en el cual se tiene un oscilador armónico simple, y en el cual la “constante del resorte” k cambia súbitamente de valor cuadruplicándose. La frecuencia angular de oscilación está dada por la bien conocida fórmula:


Si la constante del resorte se cuadruplica de valor, entonces la nueva frecuencia natural de oscilación del sistema será:


Así pues, la frecuencia natural de oscilación del sistema se duplica con respecto a su valor original.

Hemos visto ya, desde la perspectiva de la Mecánica Matricial (véase la entrada “Oscilador armónico simple: solución matricial”) que los niveles de energía cuantizados de un oscilador armónico simple son:


Si la constante del resorte cuadruplica súbitamente su valor, duplicándose con ello la frecuencia natural de oscilación del sistema, entonces los niveles de energía de la nueva configuración estarán dados por:


En la configuración inicial, el nivel de energía del estado basal era (haciendo n.=.0):


Nos preguntamos ahora: ¿cuál será la probabilidad de que una medición de la energía de la nueva configuración nos regrese el valor ħω/2 que corresponde al estado fundamental de la configuración anterior? La respuesta es obviamente cero, en virtud de que como puede verse en los valores de energía discretos para la nueva configuración, ninguno de ellos incluye una energía igual a ħω/2, todos ellos son superiores a dicho valor.

No esperando obtener en una medición un valor de energía igual a ħω/2, nos preguntamos ahora cuál será la probabilidad de obtener en una medición de energía sobre la nueva configuración el valor ħω (el cual corresponde al estado fundamental en la nueva configuración). Para poder calcular dicha probabilidad, necesitamos las funciones de onda que corresponden a un oscilador armónico simple. Veremos posteriormente (en la entrada titulada “Oscilador armónico simple: solución ondulatoria”) que la función de onda para el estado basal del oscilador armónico simple está dada por:


Para una configuración en la cual la frecuencia angular ha doblado a 2ω, la función de onda del nuevo estado fundamental deberá ser:


Las probabilidades siguen dadas por:


y en este caso, con n.=.0:


estando dado el coeficiente probabilista cn por la integral del traslape de las funciones de onda:


Sin entrar en mayores detalles de índole matemática, el resultado de la integración resulta ser:


Por lo tanto, la probabilidad de obtener en una medición de energía sobre la nueva configuración el valor ħω es:


Hay, pues, una probabilidad muy buena, casi igual a la certeza.

La interpretación probabilista dada por Max Born a la función de onda es un concepto plenamente válido para sistemas ligados, pero tiene un escollo importante. Considérese la expresión general que representa una función de onda plana que se extiende hacia el infinito en ambas direcciones:


Esta función de onda representa una solución válida a la ecuación de onda de Schrödinger (es posible que el primero en encontrarla haya sido el mismo Erwin Schrödinger al tratar de extender la ecuación fundamental de Louis de Broglie para partículas inmersas no en una zona de potencial constante que puede tomarse como cero sino en zonas en donde hay una variación del potencial). Obviamente, se trata de una solución válida no para sistemas ligados sino para partículas libres. El conjugado complejo de esta función de onda es:


Tratemos de encontrar con esto la constante de normalización A para poder darle a la función de onda una interpretación probabilista. El criterio esencial es, desde luego:


Si llevamos a cabo el procedimiento al pie de la letra, se tiene lo siguiente:


El problema es evidente. Es imposible tratar de normalizar la función de onda que corresponde a una onda plana porque la constante de normalización tendría un valor infinitamente pequeño que no nos serviría de nada. Considerando con la ayuda de la fórmula de Euler que la función de onda plana puede ser tomada como dos funciones de índole senoidal desfasadas en un ángulo de 90 grados, podemos tratar de esquematizar la propagación de las ondas de materia de De Broglie de la siguiente manera (la parte real de la amplitud compleja se muestra de color azul, mientras que la parte imaginaria se muestra de color verde):




En la misma figura, se trata de mostrar (de color amarillo) la probabilidad de encontrar a una partícula a lo largo del eje, y suponemos que esta probabilidad se mantiene constante en virtud de que no hay razón alguna para esperar que haya una probabilidad mayor de encontrar a la partícula libre en cierto punto del eje que en otro. Pero el problema es que si la función de onda se extiende hacia el infinito en ambas direcciones, la “densidad de probabilidad” que se debe mantener constante también se extiende hacia el infinito en ambas direcciones, sin poder ser acotada, y en tal caso es imposible tratar de manejar interpretación probabilista alguna, como igualmente inútil resulta tratar de considerar algo como una “probabilidad de longitud”. Este esquema que resulta tan poco satisfactorio es precisamente lo que nos lleva a considerar otro tipo de posibilidades, como la posibilidad de considerar a las ondas de materia como partículas discretas, como paquetes de onda, en los cuales cada partícula en lugar de ser conceptualizada como algo que se extiende hacia el infinito en ambas direcciones es conceptualizada como una pequeña esferita “borrosa” en la cual la máxima probabilidad de ubicar a la partícula está en el centro de la esferita borrosa, con dicha probabilidad disminuyendo al irnos alejando radialmente del centro de la esferita. En un esquema así, el paquete de onda puede ser idealizado del modo siguiente:




Obsérvese que la densidad de probabilidad para el paquete de onda tiene una zona (en donde el color amarillo es más intenso) en la cual la probabilidad de encontrar a la partícula es máxima, disminuyendo la densidad de probabilidad en ambos sentidos al irnos alejando del centro de la esferita borrosa. La forma en la cual va disminuyendo la densidad de probabilidad para el paquete de onda con respecto al punto de probabilidad máxima puede tener la forma de alguna función matemática G como la siguiente:




Aunque mucho más satisfactorio, el análisis matemático de los paquetes de onda resulta ser más elaborado que el análisis matemático de una función de onda plana, y por esta razón su discusión se dejará para una ocasión posterior (en la serie de entradas tituladas “La partícula libre”).

Aunque es imposible normalizar una función de onda plana para que cumpla con el criterio probabilista de Born, es posible encontrarla expresada del siguiente modo:


Si la onda plana se propaga no a lo largo de un eje que coincida con uno de los tres ejes coordenados sino a lo largo de un eje que puede formar ángulos con los tres ejes coordenados (viajando en un espacio tridimensional), la expresión anterior toma la forma:


Sin embargo, los factores resaltados en color azul en ambos casos no son constantes de “normalización” de acuerdo al criterio probabilista de Born. Se trata de constantes numéricas para mantener compatibilidad en las ecuaciones cuando se lleve a cabo (esto lo veremos posteriormente) el cambio de una función de onda del espacio-posición al espacio-momentum y viceversa.

Cabe recalcar que si en la Mecánica Ondulatoria no resulta nada fácil el tener que lidiar con fenómenos que involucran partículas libres, en la Mecánica Matricial no es posible intentarlo ni siquiera en principio porque para construirla se tomó como base desde el principio lo que eran arreglos numéricos correspondientes a estados discretos, las “tablas de Heisenberg” son tablas que corresponden a estados ligados, no de partículas libres.

¿Significa entonces lo anterior que el concepto de una onda plana es algo infructuoso que no nos llevará a ninguna parte? No necesariamente. Si insistimos en considerar una onda de materia plana como algo que representa a una sola partícula cuya probabilidad de encontrarla se extiende hacia el infinito en ambas direcciones, entonces enfrentamos serios problemas de índole filosófica y otros tantos más de índole matemática. Sin embargo, si interpretamos una onda plana no como una partícula individual sino como un haz continuo y constante formado por una cantidad inagotable de partículas, todas viajando en una misma dirección (la dirección del haz), entonces podemos al torrente de partículas como algo susceptible de ser manejado como si fuese una onda plana (esto se vuelve más justificable si todas las partículas “marchan” al unísono bajo un solo acorde tal y como ocurre en el caso de los fotones que forma parte de un rayo láser).