martes, 11 de agosto de 2009

Técnicas de aproximación III

Habiendo visto previamente el tema del método de variación utilizado para obtener estimaciones aproximadas de la energía del estado basal de un sistema cuya función de onda nos es desconocida, pasaremos a continuación a tratar sobre otra técnica utilizada para obtener también soluciones aproximadas, el método de las perturbaciones, del cual hay dos variantes, la teoría de la perturbación independiente del tiempo en la cual suponemos que el operador Hamiltoniano de la energía no varía con el tiempo, y la teoría de la perturbación dependiente del tiempo en la cual sí hay una variación del operador Hamiltoniano de energía con respecto al tiempo. Siendo la primera teoría más manejable y menos compleja que la segunda, empezaremos nuestro tratamiento sobre el método de las perturbaciones suponiendo que el operador Hamiltoniano de energía permanece constante con respecto a la variable del tiempo.

Considérese el caso en el cual el operador Hamiltoniano puede ser escrito de la siguiente manera:

H = H0 + H1

siendo H0 el término no-perturbado y siendo H1 el término que representa la perturbación, siendo además H0 grande en comparación con H1, esto es, siendo la energía asociada con H0 grande en comparación con la energía asociada con H1. Haremos dos suposiciones adicionales. La primera será que el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, y la segunda que el término no-perturbado H0 conduce a una eigen-ecuación soluble:

H0uk = Ekuk

siendo las uk eigen-funciones que corresponden a los eigenvalores Ek del Hamiltoniano H0.

Ahora bien, siempre podemos escribir a:

H = H0 + H1

como un caso especial del Hamiltoniano:

H = H0 + λH1

en donde λ es un parámetro arbitrario que posteriormente puede ser tomado como igual a la unidad para obtener la solución deseada al problema de los eigenvalores del Hamiltoniano original. Supondremos ahora que es posible llevar a cabo una expansión de las eigenfunciones y las eigenenergías de este Hamiltoniano total:

ψ = ψ0 + λψ1 + λ²ψ2 + λ3ψ3 + λ4ψ4 + ...

E = E0 + λE1 + λ²E2 + λ3E3 + λ4E4 + ...

Para el caso en el cual λ→0, la eigen-ecuación para la energía se convierte en:

H0ψ0 = E0ψ0

y la ecuación previa H0uk = Ekuk nos muestra que es necesario hacer las siguientes identificaciones:

ψ0 = uk

E0 = Ek

Se recalca que uk es una de las eigen-funciones del sistema no-perturbado, siendo Ek la eigen-energía correspondiente.

Aplicando el operador H = H0 + H1 a la función de onda ψ como ha sido definida arriba como una serie infinita, se tiene:

(H0 + H1) (ψ0 + λψ1 + λ²ψ2 + λ3ψ3 + λ4ψ4 + ...)________
= (E0 + λE1 + λ²E2 + λ3E3 +...)(ψ0 + λψ1 + λ²ψ2 + λ3ψ3 + ...)

que podemos escribir de la manera siguiente:

H0ψ0 + λ(H1ψ0 + H0ψ1) + λ²(H0ψ2 + H1ψ1) + ...
= E0ψ0 + λ(E1ψ0 + E0ψ1) + λ²(E2ψ0 + E1ψ1 + E0ψ2) + ...

Siendo λ un parámetro independiente, podemos igualar los coeficientes de las potencias semejantes en λ, lo cual nos dá el siguiente conjunto de ecuaciones:

H0ψ0 = E0ψk0

H1ψ0 + H0ψ1 = E1ψ0 + E0ψ1

H0ψ2 + H1ψ1 = E2ψ0 + E1ψ1 + E0ψ2

y así sucesivamente.

Si expandimos ψ1 en términos de las funciones no-perturbadas ψk:

 
y si usamos las condiciones ψ0 = uk y E0 = Ek, obtendremos de la segunda ecuación del conjunto múltiple anterior de ecuaciones lo siguiente:


que podemos escribir como:


Multiplicando por la izquierda por uj* y llevando a cabo la integración sobre todo el espacio, se tiene (en notación bra-ket de Dirac):


Simplificando:


 Para el caso en el cual j = k, esto último se convierte en lo siguiente:



De este modo, la perturbación de primer orden a la energía del estado que corresponde al estado de energía no-perturbado está dado por el elemento de una matriz, el elemento (H1)kk. Por otro lado, la penúltima ecuación para el caso j ≠ k dá una expresión para los cj y por lo tanto para la perturbación de primer orden a la eigenfunción correspondiente uk:


Sin embargo, el valor de ck no es determinado mediante el procedimiento que acabamos de ver. Para ello, puesto que se supone de inicio que la función de onda ψ está normalizada, podemos escribir entonces:


Tomando el producto interno de los términos del bra y del ket y reagrupando:


Simplificando un poco más:


En virtud de que el parámetro λ es arbitrario y diferente de cero (si fuese cero, el sistema tendría solución exacta), cada término en los paréntesis rectangulares se debe desvanecer. Esto implica que:


De la expansión de ψ1 como una suma infinita lineal en función de los un, esto puede último puede ser escrito de la siguiente manera:


Esto nos lleva a la siguiente conclusión:

Si ck es un número complejo, para que lo anterior sea cierto la parte real de ck se tiene que desvanecer. Esto significa que ck debe ser igual a una cierta cantidad multiplicada por el número imaginario i:

ck = iγ

Entonces, a un primer orden de aproximación, la función de onda puede ser escrita de la siguiente manera:

ψ = ψ0 + λψ1 




Estando interesados en estos momentos únicamente en una normalización a un primer orden, 1+iγλ puede ser reemplazado con el exponencial que lo genera, o sea eiγλ. Con esto, puede verse que el coeficiente ck de la expansión como sumatoria en los un en los que es expandido ψ1 tendrá el efecto de cambiar la fase de la función original no-perturbada uk en relación a la fase de los términos de perturbación. Para preservar la ortogonalidad de las funciones de onda perturbadas, la fase debe ser tomada como igual a cero, o sea que ck = 0.

De este modo, se ha obtenido a un primer orden el efecto del término de perturbación H1 sobre la función de onda y la eigen-energía. Procediendo de modo semejante, podemos obtener también términos de segundo orden usando las soluciones de primer orden y los términos del orden λ² en los desarrollos en series de potencias. Haciendo tal cosa, se encuentra que la función de onda a un segundo orden de perturbación estará dada por la siguiente expresión:


y que asimismo la energía vendrá siendo:


Como siempre, se puede entender mucho mejor esto de lo que hemos estado hablando con algunos ejemplos necesarios para aclarar lo que se está tratando en los cálculos de los términos de perturbación.

PROBLEMA: Utilizando la técnica de las perturbaciones, obténgase la energía del estado basal (fundamental) para un oscilador anarmónico cuyo Hamiltoniano es el siguiente:


En este caso, el Hamiltoniano no perturbado consiste de los dos términos típicos del oscilador armónico simple, y una perturbación que supondremos pequeña dada por:


Para el estado basal del oscilador armónico simple cuya función de onda es:


la corrección de primer orden para la energía será:

E1 = <ψ0 | H1ψ0>

Evaluando dicha corrección:





Con esta corrección de energía, podemos escribir la energía del estado basal del oscilador anarmónico de la siguiente manera:


PROBLEMA: Supóngase que se tiene una partícula encerrada en una caja unidimensional (una partícula en un pozo de potencial con paredes infinitamente altas) dentro de la cual la energía potencial no es igual a cero sino que está dada por la relación V(x) = C(x/a). Usando la teoría de las perturbaciones, obténgase la aproximación de primer orden para la energía de este sistema.

Un bosquejo gráfico para este problema vendría siendo el siguiente:




Nuestro punto de partida será el conocimiento que ya tenemos para una partícula encerrada en una caja unidimensional dentro de la cual el potencial V(x) es igual a cero. Para esta situación no perturbada, el Hamiltoniano es:


La solución para este problema no-perturbado viene siendo:


siendo K la constante de normalización tal que K*K = 2/a. Y los niveles de energía para el sistema no-perturbado vienen siendo:


El Hamiltoniano del sistema perturbado, tomando en cuenta únicamente la aproximación de primer orden, será:


siendo H1 = C(x/a). Tenemos entonces lo siguiente:


Con esto, los niveles de energía para el sistema perturbado vienen siendo:


PROBLEMA: Supóngase que se tiene una partícula encerrada en una caja unidimensional (una partícula en un pozo de potencial con paredes infinitamente altas) dentro de la cual la energía potencial no es igual a cero sino que está dada por la siguiente relación en donde la constante k es un número entero fijo:



Usando la teoría de las perturbaciones, obténgase la aproximación de primer orden para la energía de este sistema
.

El sistema no-perturbado es esencialmente el mismo que vimos en el problema anterior para el cual:

__


En este caso el término de perturbación viene siendo H1 = V0sen(kπx/a). Tenemos entonces lo siguiente:


Para llevar a cabo esta integral, podemos recurrir a la siguiente identidad trigonométrica:


De este modo, la integral original se convierte en dos integrales:


Si el entero k es par, la primera integral será cero, y si el entero k es impar esta primera integral será igual a V0/kπ. Podemos recurrir a tablas de integrales para la evaluación de la segunda integral. Sin embargo es necesario considerar tres casos diferentes. El primer caso ocurre cuando k es impar. Para esta situación 2n ≠ k y podemos recurrir a la siguiente integral tomada de las tablas:


En esta situación, obtenemos la siguiente corrección de primer orden para el sistema no-perturbado:


En el segundo caso, k es par, pero n ≠ k/2, aplicándose entonces la integral del primer caso resultando en una corrección de cero.

Y en el tercer caso, k es par y n = k/2. Entonces la corrección de primer orden será igual a cero como podemos apreciarlo a continuación:


De este modo, las energías perturbadas serán:

Cuando k es impar:


Cuando k es par:


Existe una explicación física sencilla para los resultados obtenidos. Cuando k es par habrá un número entero de longitudes de onda de la función perturbante en la caja, y de este modo la función de onda tendrá un valor promedio de cero dentro de la caja, no presentándose en una perturbación de primer orden.

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