martes, 11 de agosto de 2009

Los coeficientes Clebsch-Gordan II

Cada uno de los números:


forman parte de una matriz cuadrada, una matriz de dimensión:


conocida como la matriz Clebsch-Gordan.

La matriz Clebsch-Gordan es una estructura de sub-bloques matriciales puestos a lo largo de la diagonal principal. Los sub-bloques matriciales son también a su vez matrices cuadradas desconectadas. La estructura de una matriz Clebsch-Gordan es la siguiente:


en donde (1×1) es una submatriz cuadrada de orden 1, (2×2) es una submatriz cuadrada de orden 2, (3×3) es una submatriz cuadrada de orden 3, y así sucesivamente. El orden de las submatrices cuadradas (diagonalizadas) al principio va aumentando en pasos unitarios hasta que se alcanza el máximo valor posible para cierto valor de m (lo cual ocurre para m.=.0 en el caso j1.=. j2), tras lo cual empieza a decrecer nuevamente en pasos unitarios. La última submatriz (1×1) que va puesta como elemento en la esquina inferior derecha de la matriz Clebsch-Gordan es aquella para la cual m.=.- j1- j2 y .j.=. j1+ j2). Puesto que la matriz Clebsch-Gordan es unitaria, cada una de las submatrices puestas a lo largo de su diagonal principal también tienen que ser unitarias. Cada matriz Clebsch-Gordan se construye para cierto par de valores fijos de j1 y j2. Los renglones de una matriz Clebsch-Gordan están caracterizados por los pares (m1,m2) mientras que las columnas están caracterizadas por los valores de m (numéricamente decreciente de izquierda a derecha) obedeciendo en todo momento la condición m.=.m1+m2. Más aún, sólo se permiten valores de .j para los cuales:


Esta es la ocasión apropiada para repasar una definición que se había dado previamente en la entrada “Representaciones irreducibles II” sin haber entrado allí en mayores detalles, lo cual viene siendo la definición formal de lo que son las series Clebsch-Gordan:


En esta expresión, lo que se tiene en el lado izquierdo de la igualdad es el producto de dos representaciones irreducibles, mientras que lo que se tiene en el lado derecho de la igualdad es en realidad simplemente una suma de términos (aunque no lo parezca por lo elaborado de la notación). En cada uno de los términos de la sumatoria aparece un factor multiplicativo del elemento matricial D(.j)mm', factor multiplicativo numérico que viene siendo en realidad igual al producto de dos coeficientes Clebsh-Gordan, el coeficiente C (en color rojo) y el coeficiente C (en color magenta). Aunque la notación parezca algo rebuscada, no hay que perder de vista que detrás de todo esto subyacen conceptos sencillos que tienen que ver simple y sencillamente con la adición mecánico-cuántica del momento angular. Detrás de la notación, lo que se tiene en esencia es la descomposición de un producto (de dos representaciones matriciales) en una suma que al final de cuentas no es más que una combinación lineal de representaciones matriciales del mismo tipo. Es en este punto cuando empieza a tomar mayor sentido la interpretación que se le dá a los coeficientes Clebsch-Gordan al considerarlos como el intermediario que sirve para conectar la descomposición del producto directo de dos representaciones matriciales del grupo de rotación en una suma directa de representaciones irreducibles, lo cual se representa mediante la notación propia de la Teoría de Grupos de la siguiente manera:


La notación al lado derecho de la igualdad, con un signo “+” puesto dentro de un círculo, sugiere que la “suma” en realidad debe considerarse como un proceso constructivo de adición mediante el cual se van agregando sub-bloques matriciales para ir formando una matriz extendida, una matriz extendida precisamente como la matriz Clebsch-Gordan.

Antes de seguir adelante, veamos desde el punto de vista notacional de los grupos ortogonales de rotación un ejemplo de las series Clebsch-Gordan, el caso para el cual los momentos angulares de dos partículas (por ejemplo, un protón y un neutrón) a ser sumados son de 1/2 (obviamente, se trata de momentos angulares intrínsecos de spin), o sea .j1.=.1/2 y .j2.=.1/2. Con esto, se tiene entonces:


De acuerdo al concepto central que hay detrás de las series Clebsch-Gordan, el producto:


debe ser igual a una combinación lineal de los elementos matriciales D(1)1,1 y D(0)1,1. Sin embargo, D(0)1,1 no existe, ya que si .j.=.0 entonces m debe ser necesariamente igual a cero, con el cual el único elemento en D(0) es el elemento inexistente D(0)0,0. Por lo tanto, el único término en la expansión es (obsérvese que en este caso los dos coeficientes Clebsh-Gordan, tomados de una tabla, son iguales):


Por lo tanto:


Esto tiene una consecuencia sumamente útil. Podemos calcular D(1/2)1/2,1/2 a partir de D(1)1,1 ya que, en efecto:


Puesto que la matriz de rotación D(1/2) está formada por el siguiente arreglo de elementos:


esto implica que si conocemos previamente a D(1)1,1 entonces ya tenemos evaluado el primer elemento de la matriz D(1/2):


¿Hay alguna manera en la cual podamos comprobar si el resultado obtenido es correcto? La respuesta es afirmativa, y para ello todo lo que tenemos que hacer es expresar el operador matricial de rotación no en función de las matrices ortogonales de rotación que son elementos del grupo O(3), sino en función de los ángulos de Euler (α,β,γ). Recordemos primero cómo se habían obtenido en la entrada titulada “Operadores de rotación II” los elementos de la matriz de rotación D(1) para el momento angular orbital l.=.1 en función de los ángulos de Euler, algunos de los cuales son:


Prescindiendo de los factores de fase, los cuales no son de consecuencia alguna en las mediciones físicas, la matriz reducida d.(1) para D(1) con todos sus elementos mostrados explícitamente es la siguiente:


Por otro lado, ya vimos en la entrada titulada “Los grupos de rotación II” que para un sistema cuyo momento angular de spin es s.=.1/2, la matriz de rotación del sistema  D(1/2) del sistema también en función de los ángulos de Euler es:


Tomando entonces:


y elevando al cuadrado, se tiene:


Así como calculamos D(1/2)1/2,1/2 a partir de D(1)1,1 , podemos calcular los demás elementos de la matriz D(1/2) para tenerla especificada en forma completa:


Ahora bien, yendo a la estructura de la matriz Clebsch-Gordan, el bloque matricial (1×1) que es la primera submatriz que va puesta en la diagonal principal de la matriz Clebsch-Gordan (en el extremo superior izquierdo) consta de un solo elemento que puede ser cualquier número cuyo módulo sea igual a la unidad, independientemente de los valores de los momentos angulares j1 y j2 a ser sumados. Por convención, siempre se le asigna un valor positivo igual a +1 (en lo que es conocido como la convención Condon-Shortley introducida en el famoso libro Theory of Atomic Spectra de Edward Uhler Condon y George H. Shortley). Formalmente, el origen de esta convención tiene que ver con el hecho de que en la solución de la parte angular de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno y en el desarrollo posterior de los operadores escalera, eventualmente aparece un factor de fase exponencial mostrado de color rojo en la siguiente expresión:


Habido el hecho de que no hay significado físico alguno que se le pueda asignar a la fase de una función de onda (y menos tratándose de ondas de materia en las cuales al momento de determinar las probabilidades bajo el criterio de Born los factores de fase de las funciones de onda terminan cancelándose), puesto que el valor calculado de una observable física no puede depender de una convención de fase Condon y Shortley propusieron desde un principio que se tomase φ.=.0 con el objeto de no estar arrastrando innecesariamente el factor de fase en los cálculos.

Continuando con el bloque matricial (2×2) que es la segunda submatriz, para dos momentos angulares j1 y j2, consta de los siguientes elementos:


En lo que toca a la tercera submatriz de la matriz Clebsch-Gordan, esta puede ser también un bloque matricial (2×2), o puede ser un bloque matricial (3×3), todo depende de las magnitudes de los momentos angulares a ser sumados. Si la siguiente submatriz es un bloque matricial (3×3), entonces para dos momentos angulares j1 y j2 la primera columna de la matriz Clebsch-Gordan, así como la segunda columna y la tercera columna, constarán de los siguientes elementos:




El siguiente bloque matricial (4×4), cuando lo haya, que vendría siendo la cuarta submatriz, para dos momentos angulares j1 y j2 será algo más elaborado. En realidad, en la práctica no se recurre a fórmulas explícitas como las que se acaban de dar, se prefiere recurrir a evaluaciones numéricas directas empleando procedimientos recursivos, además de que existen tablas de coeficientes Clebsch-Gordan disponibles en Internet.

Para un sistema de dos partículas, la primera de las cuales tiene un momento angular igual a .j1.=.2, y la segunda de las cuales tiene un momento angular igual a .j2.=.1 (prescindiremos de la constante multiplicativa ħ, la cual se sobreentiende), la evaluación numérica directa del bloque matricial (2×2) produce el siguiente resultado:


Como se ha resaltado en esto último, esta es la submatriz que corresponde a m.=.+2. Comparemos ahora esta submatriz con la tabla de coeficientes Clebsch-Gordan para .j1.=.2 y .j2.=.1 cuando m.=.+2:


De la comparación, resulta algo obvio. Los cuatro coeficientes Clebsch-Gordan, destacados sobre un fondo amarillo, son en esencia la matriz Clebsch-Gordan para .j1.=.2 y .j2.=.1 cuando m.=.+2. Cuando en una tabla Clebsch-Gordan los coeficientes están acomodados en una forma ordenada y correcta, el arreglo de los coeficientes representa a la matriz Clebsch-Gordan correspondiente. Esto tiene una validez general.

Se ha afirmado arriba al principio que los bloques que forman parte de una una matriz Clebsch-Gordan son matrices unitarias. Esta es una buena ocasión para poner tal enunciado a prueba.

PROBLEMA: Demuéstrese que, para .j1.=.2 y .j2.=.1, la submatriz (2×2) de la matriz de coeficientes Clebsch-Gordan es una matriz unitaria.

Designando como M a la matriz (2×2) de coeficientes Clebsch-Gordan  para .j1.=.2 y .j2.=.1, la transconjugada de dicha matriz será M. Puesto que la matriz no tiene partes imaginarias y todos sus elementos son números reales, la transconjugada matricial M será igual simplemente a la transpuesta de la matriz MT. Multiplicando a M por M se tiene entonces:


Con el resultado obtenido, se concluye que la matriz (2×2) es una matriz unitaria. Lo mismo se puede decir y comprobar con los demás sub-bloques matriciales que resulten.

En lo que toca al bloque matricial (3×3), la evaluación directa de cada una de las columnas de la matriz que corresponde a este sub-bloque para los valores .j1.=.2 y .j2.=.1 produce los siguientes resultados:




Juntando estos resultados, podemos escribir la submatriz (3×3) que corresponde a la matriz Clebsch-Gordan para el caso en el cual los dos momentos angulares son .j1.=.2 y .j2.=.1:


Esta es la submatriz que corresponde a m.=.+1.

Para .j1.=.2 y .j2.=.1, no hay ya una submatriz (4×4). La siguiente submatriz es un bloque (3×3) que corresponde a m.=.0 y que debe ser evaluada con otras expresiones. Tras esto, hay otra submatriz (3×3) que corresponde a m.=.-1, una submatriz (2×2) que corresponde a m.=.-2,  y finalmente una submatriz (1×1) que corresponde a m.=.-3. De este modo, la matriz Clebsch-Gordan para .j1.=.2 y .j2.=.1 está constituída por un total de siete sub-bloques matriciales, cada una de ellas siendo una representación irreducible, y cada una de ellas correspondiendo a cada uno de los valores enteros que puede tomar el número cuántico magnético m entre +3 y -3 (o sea, +3, +2, +1, 0, -1, -2, y -3). Recordando de la entrada anterior las tres tablas Clebsch-Gordan para los casos m igual a +1, 0 y -1 cuando .j1.=.2 y .j2.=.1:


podemos ver que, por la forma en la cual está construída cada tabla de coeficientes Clebsch-Gordan, de hecho es posible “leer” directamente el sub-bloque matricial con el cual se corresponde cada una de las tablas. Si evaluamos todos los coeficientes Clebsch-Gordan para todas las posibilidades de m el caso en el cual .j1.=.2 y .j2.=.1, y si colocamos las tablas Clebsch-Gordan pegadas orilla a orilla de la siguiente manera (en una forma similar a como se hizo en la entrada anterior con las tablas combinadas para el caso .j1.=.1 y .j2.=.1/2) prescindiendo de los recuadros que corresponden a los símbolos para .j, m, m1 y m2:


entonces, si borramos los números en aras de una mayor simplicidad y juntamos todos los bloques respetando los colores usados arriba para destacar cada tabla Clebsch-Gordan, la estructura completa de la matriz Clebsch-Gordan en el caso en el cual .j1.=.2 y .j2.=.1 emerge de una manera clara y diáfana dando pleno sentido a lo que se había asentado previamente al hablar acerca de las representaciones irreducibles matriciales desde la perspectiva de la Teoría de Grupos usándose la muy peculiar notación de dicha teoría para tales efectos:


Las matrices Clebsch-Gordan completas para el resultado del acoplamiento angular entre (1) dos momentos angulares .j1.=.1/2 y .j2.=.1/2 así como (2) dos momentos angulares .j1.=.1 y .j2.=.1/2 son las siguientes (en esta ocasión, para representar el “producto” que representa el resultado del acoplamiento entre los momentos angulares .j1.y .j2, y siguiendo la notación propia de la Teoría de Grupos que en estos casos es la que se presta a menos confusiones, para denotar el acoplamiento usaremos el símbolo de la “×” puesta dentro de un círculo en lugar del símbolo “×” solo):


Cada bloque de colores es una matriz Clebsch-Gordan para cierto valor de m, y es también una tabla Clebsh-Gordan para ese valor de m. De este modo, el “producto” entre .j1.y .j2 que es en realidad un acoplamiento de momentos angulares es igual a la “suma” de los bloques matriciales de colores que en realidad no es una simple “suma” sino una matriz extendida formada diagonalmente con los bloques matriciales de colores para cada valor de m, lo cual viene a darle pleno sentido a una expresión (en notación de la Teoria de Grupos) como la siguiente:


haciendo A igual a .j1 y B igual a .j2, y tomando a P, Q, R, S, etc. como bloques matriciales que se van poniendo en la diagonal principal de la matriz representada por el lado izquierdo de la igualdad. Para mayor claridad, podemos escribir en nuestro caso algo como lo siguiente:


en donde el primer bloquecito cuadrado de color amarillo representa la primera submatriz, el segundo bloquecito cuadrado de color ciano representa la segunda submatriz, el tercer bloquecito cuadrado de color verde claro representa la tercera submatriz, y el cuarto bloquecito cuadrado de color rosa representa la cuarta submatriz. Es importante darse cuenta de que esta interpretación descansa en el hecho de que a un grupo matemático de objetos se le pueda dar una representación matricial. Siendo cada sub-matriz Clebsch-Gordan unitaria, la matriz Clebsch-Gordan completa formada con la adición constructiva de cada bloque matricial también lo es (esto lo veremos con un poco más de detalle en la siguiente entrada).

En la entrada anterior vimos un ejemplo relativamente sencillo de la adición de dos momentos angulares s1 y s2, considerando ambos momentos angulares como momentos angulares de spin (momento angular intrínseco). Extenderemos ahora el ejemplo de este caso particular hacia el caso más general en el cual los momentos angulares pueden ser un múltiplo de la constante reducida de Planck ħ en un factor que puede ser entero positivo o cualquier múltiplo de 1/2. El operador del momento angular, en su sentido genérico, será simbolizado como J en lugar de la L usada para simbolizar al momento angular orbital y en lugar de la S usada para simbolizar al momento angular de spin.

Operacionalmente hablando, dos momentos angulares J1 y J2 pueden ser combinados para producir un momento angular total resultante J:


Ya se sabe que la suma de los operadores del momento angular total deben obedecer las mismas relaciones de conmutación que los operadores individuales para el momento angular de cada partícula. Sean:


dos funciones de onda para dos partículas 1 y 2, tomadas de un conjunto ortonormal de funciones de los operadores J12, J22, J1z y J2z, respectivamente. Haciendo a la constante reducida de Planck ħ igual a 1 para mayor simplicidad en el desarrollo, se tienen entonces las siguientes eigenecuaciones del momento angular para cada una de las partículas:


Se tienen también las siguiente eigenecuaciones para las proyecciones del momento angular de cada una de las partículas 1 y 2 sobre el eje-z (se ha hecho énfasis en lo que ya debe ser obvio, que debe ser el no confundir lo que es el operador del momento angular con el eigenvalor del momento angular):


Podemos expresar esto último usando notación bra-ket de Dirac como se acostumbra hacerlo en muchos libros de texto.


Los eigenkets, como lo hace resaltar la notación bra-ket de Dirac, son eigenkets simultáneos tanto del operador del momento angular J2 como del operador del momento angular J1z.

Este modo de acoplar el momento angular también surge en la teoría de los problemas de los muchos-cuerpos (many-body), por ejemplo en el problema de los dos electrones, en donde cada electrón solitario puede ser descrito individualmente mediante las funciones de onda:


En este caso, la función de onda total del sistema de dos electrones está dada por ψj,m(1,2) con un momento angular total igual a .j y su par acoplado de componentes (suma de las proyecciones sobre el eje-z) siendo igual a m. Pero además también en el problema de los dos electrones debe considerarse que hay un acoplamiento entre el momento angular del spin y el momento angular orbital para producir un momento angular total combinado, siendo necesario recurrir a las técnicas que estamos estudiando aquí para poder determinar la fuerza de todos estos acoplamientos.

Las eigenfunciones de los operadores del momento angular total J2 y Jz simbolizadas como ψj,m(1,2) son en la notación bra-ket de Dirac eigenkets simultáneos de ambos operadores. Mientras no haya un acoplamiento entre los dos sistemas, los momentos angulares J1, J2 y J están fijos. La función de onda ψ es separable en dos partes ψ(1) y ψ(2), y podemos escribir a ψj,m como el producto:


En caso de que haya un acoplamiento, por el principio de superposición en el que se basa la Mecánica Ondulatoria ψj,m siempre puede ser expresada como una combinación lineal de estos productos. Podemos escribir los coeficientes que van con dichos productos en cualquiera de las dos maneras siguientes:


para mostrar la dependencia que hay entre los diversos números cuánticos. Estos coeficientes numéricos son, desde luego, los coeficientes Clebsch-Gordan. De este modo, podemos escribir de la siguiente manera la función de onda total para el sistema:


Esquivando la notación bra-ket de Dirac para la representación de los coeficientes numéricos Clebsch-Gordan, podemos escribir lo anterior de una manera un poco más clara:


Si se lleva a cabo un acoplamiento entre los momentos angulares del sistema (y los experimentos así lo demuestran), entonces:


dejan de ser funciones eigen “buenas” (en el sentido de que los números cuánticos m1 y m2 dejan de ser cantidades que se conservan) en virtud de que los momentos angulares constituyentes entran en precesión en torno al momento angular total, lo cual está expresado implícitamente en la sumatoria llevada a cabo sobre m1 y m2 en la relación de arriba para ψj,m(1,2). Desde el punto de vista matemático, la relación representa una transformación en el espacio de Hilbert abarcado por los vectores ortonormales ψj1,m1 y ψj2,m2 a la nueva base ortonormal ψj,m del mismo subespacio. El espacio-producto total es invariante, aunque puede ser descompuesto, en tanto que los subespacios invariantes abarcados por ψj,m para un valor de .j fijo no pueden ser descompuestos. Matemáticamente, cuando hablamos de una descomposición, la referencia es a la representación (matricial) del grupo de rotación generado por el espacio-producto hacia sus partes irreducibles. Si ψj,m representa una eigenfunción de los operadores J2 y Jz , entonces se pueden encontrar las condiciones necesarias para la evaluación de los coeficientes Clebsch-Gordan. Por un lado, podemos escribir (simplificaremos los símbolos Σ de las dos sumatorias combinándolas en un solo símbolo Σ y poniendo debajo m1 y m2 para destacar que se trata de una doble sumatoria):


Por otro lado, y procediendo del mismo modo, podemos escribir:


Las sumatorias se llevan a cabo sobre todos los valores permisibles de m1 y m2 que son:


Usando las eigen-ecuaciones de arriba para el sistema, se puede demostrar formalmente de una manera sencilla (esto se hará en la siguiente entrada) que una propiedad fundamental de los coeficientes Clebsch-Gordan es que cumplen con la siguiente condición:


Se deduce de esta relación que los coeficientes Clebsch-Gordan se desvanecen cuando m..m1+m2. Esto significa que la doble sumatoria que aparece en el desarrollo se reduce a una sumatoria sencilla, ya que o bien el coeficiente Clebsch-Gordan se desvanece o bien se puede determinar mediante m2.=.m-m1. De este modo, nuestra relación convertida de una sumatoria doble a una sumatoria sencilla viene quedando como:


En ocasiones esta expresión se suele encontrar en algunos textos y publicaciones expresada de la siguiente manera para enfatizar la razón del por qué sólo se requiere de una sumatoria (meteremos además notación bra-ket de Dirac para fines didácticos):


No debe perderse de vista el hecho de que la conservación del momento angular (o más precisamente, de la proyección del momento angular en la dirección de cuantización -o cuantificación- que se toma usualmente como el eje-z) está expresada por la relación m.=.m1+m2. El siguiente paso consiste en calcular los valores posibles del número cuántico .j para la configuración del sistema, definido como:


Puesto que J es un operador del momento angular que obedece las relaciones dadas arriba, se tiene:


A continuación se supondrá que existen varios valores de .j (por lo menos dos), y se supondrá también que los estados ψj,m son ortonormales (o que pueden ser ortonormalizados mediante alguna técnica como el procedimiento de ortogonalización Gram-Schmidt). Puesto que la función de onda contiene las coordenadas de las dos partículas (para el momento angular), llevando a cabo una integración sobre todo el espacio (para cada partícula) la condición de ortonormalización implica que (daremos aquí al color rojo y al asterisco la interpretación que hemos establecido para denotar el conjugado complejo de lo que está puesto de color azul):


Por lo tanto:


De esto último, se deduce que:


o bien:


Esta última relación expresa la ortogonalidad de los renglones (matriciales) de los coeficientes Clebsch-Gordan. Y puesto que los coeficientes Clebsch-Gordan, por construcción (recurriendo a la convención de fase), son números reales, podemos omitir el asterisco (y el color rojo) que indica conjugación compleja.

De la relación m.=.m1+m2, se tiene que el valor más grande posible de m, que llamaremos mmax, es:


Este valor se dá una sola vez, cuando m1.=.j1 y m2.=.j2. Esto demuestra que el eigenvalor más grande de .j, que llamaremos .jmax, tiene que ser:


El segundo valor más grande de m es mmax-1, el cual ocurre en cualquiera de las siguientes dos maneras:


Una de las dos combinaciones posibles linearmente independientes de los dos estados:


debe pertenecer a:


puesto que m toma todos los valores tales que


en pasos integrales (de uno en uno). La otra combinación posible pertenece necesariamente al estado:


con .j.=.j1+.j2-1, puesto que no hay estados con valores de .j tales que estos puedan ser mayores que .jmax.=.j1+.j2. Sólo puede haber un estado de esta clase, esto es, con .j.=.j1+.j2-1, puesto que para un segundo estado de esta clase la combinación correspondiente de bases:


con m.=.j1+.j2-1 está ausente. Repitiendo este mismo argumento, observamos que todos los valores posibles:


se dán una sola vez. Esta es la justificación para la famosa regla del triángulo:


que nos dice que dos momentos angulares .j1 y .j2 solo pueden ser combinados para formar un momento angular total .j de modo tal que la combinación sea compatible con un modelo de adición vectorial (triángulo). Siendo así, podemos contar el número total de estados acoplados del siguiente modo:


No es fácil obtener algebraicamente el límite inferior para el momento angular resultante, que viene siendo |.j1-.j2|. Una forma más sencilla de obtenerlo consiste en considerar las dimensiones. Puesto que las dimensiones de los espacios de Hilbert cubiertos por ψ.j,m y por ψ.j1,m1×ψ.j2,m2 deben de ser iguales, y puesto que .jmax.=.j1+.j2, podemos escribir lo anterior como:


Esto nos determina .jmin, para lo cual se tiene que .jmin.=.j1-.j2  cuando .j1 es mayor que .j2, y .jmin.=.j2-.j1  cuando .j2 es mayor que .j1,

Hay “expresiones analíticas en forma cerrada” (fórmulas exactas) para el cálculo numérico de los coeficientes Clebsch-Gordan. Se han dado arriba algunas de dichas relaciones, específicamente para la evaluación de los elementos matriciales del bloque (2×2) y del bloque (3×3), pero aún no se ha visto en detalle la manera en la cual se obtienen dichas relaciones. En la práctica, puede resultar tedioso el insistir en recurrir a fórmulas para el cálculo numérico de los elementos de bloques matriciales más grandes tales como un bloque (6×6) ó un bloque (20×20). Una forma de darle vuelta al asunto consiste en recurrir a las tablas de coeficientes Clebsch-Gordan publicadas en Internet. De cualquier modo, si no encontramos lo que estamos buscando, existe otro procedimiento de evaluación numérica de coeficientes Clebsch-Gordan basado en lo que se conoce matemáticamente como un procedimiento recursivo, el cual consiste en utilizar valores de coeficientes Clebsch-Gordan ya conocidos para evaluar nuevos coeficientes Clebsch-Gordan que se irán sumando en forma acumulativa a lo que ya se tiene, con lo cual se pueden ir calculando más y más coeficientes nuevos.

La clave para la evaluación numérica (o algebraica) de los coeficientes Clebsch-Gordan en forma recursiva consiste en darse cuenta de que, para un .j1.y un .j2.fijos, en una submatriz Clebsch-Gordan al ir avanzando de izquierda a derecha (de una columna a la otra) o de arriba hacia abajo (de un renglón a otro) siempre lo hacemos en pasos unitarios, de uno en uno (o de -1 en -1), y lo que nos puede llevar de un elemento matricial al siguiente elemento contiguo son los operadores escalera J+ y J- que ya hemos visto previamente al tratar la cuestión del momento angular desde el punto de vista de la Mecánica Ondulatoria. Es precisamente en cosas tales como la evaluación recursiva de los coeficientes Clebsch-Gordan en donde los operadores escalera J± (aquí los representaremos como uno solo aunque en realidad se trata de dos cosas diferentes) resultan de una utilidad extraordinaria.

Las expresiones frecuentemente utilizadas para los operadores escalera J+ y J- que corresponden al momento angular son las siguientes:


Sin embargo, en muchos otros textos y libros, los operadores escalera son escritos de la siguiente manera:


Ambas formas son totalmente equivalentes. Esto lo podemos verificar fácilmente obteniendo una forma de la otra para el caso del operador escalera J+:


Es importante señalar que, por cuestiones de simplicidad notacional, frecuentemente se toma como ħ.=.1 a la constante reducida de Planck (y en esta obra frecuentemente se recurre a la misma práctica aunque no siempre), siendo una constante al fin y al cabo.

Antes de detallar un procedimiento recursivo de carácter general para la evaluación de los coeficientes Clebsch-Gordan, trabajaremos primero sobre un ejemplo sencillo, el cual consistirá en sumar dos momentos angulares de magnitudes .j1.=.1 y .j2.=.1. En la suma de los momentos angulares de spin para dos partículas estudiado previamente en la entrada anterior, se requirió definir para el sistema combinado de partículas un operador escalera de descenso S_ sumando los operadores escalera de descenso S1- y S2- aplicables a cada una de las partículas por separado:


Para el caso de dos momentos angulares en general, hacemos un ligero cambio notacional:


En rigor de verdad, puesto que lo que se está llevando a cabo no es una simple adición aritmética o inclusive algebraica, ya que cada uno de los operadores J1- y J2- afecta por separado el espacio del momento angular de cada partícula, una notación más apropiada es la siguiente:


De cualquier manera, para mantener las cosas simples (a costa de perder rigor y formalidad), prescindiremos en el ejemplo de este último tipo de notación.

La resolución del ejemplo se llevará a cabo mediante eigenkets en la representación {m1,m2}:


El operador escalera de descenso que estaremos usando es, desde luego:


Puesto que cada partícula puede tomar un valor m1 (m2) que puede ser igual a +1, 0 ó -1, hay nueve combinaciones posibles de eigenkets. No siendo posible en este caso representar el estado de cada partícula simplemente como una flecha de cierto color apuntando “hacia arriba” o “hacia abajo”, estableceremos aquí la siguiente convención (arbitraria) para los distintos eigenkets:


Tenemos tres situaciones distintas a tratar por separado: (1) El caso en el cual el momento angular total es .j.=.2, (2) el caso en el cual .j.=.1, y (3) el caso en el cual .j.=.0. Los estados más sencillos son aquellos para los cuales:


o sea:


Aplicando el operador escalera de descenso al eigenket para el cual .j.=.2 y m.=.2, se tiene:


Por otro lado, y emulando paso a paso el procedimiento utilizado en la entrada anterior cuando eran dos momentos angulares los que eran sumados, se tiene:


Igualando esto con lo anterior, obtenemos la primera relación:


Haciendo uso nuevamente del operador escalera sobre este resultado que acabamos de obtener, y repitiendo los mismos pasos anteriores (aquí el lector ya puede darse cuenta de la recursividad del procedimiento empleado), se tiene:


Igualando estos resultados, llegamos entonces a la siguiente relación:


Aplicando nuevamente el operador escalera de descenso sobre este resultado que acabamos de obtener, y repitiendo los mismos pasos anteriores, se tiene en dos partes separadas:


Igualando estos resultados, llegamos entonces a la siguiente relación:


Habiendo cubierto ya las tres situaciones para las cuales .j.=.2, veremos a continuación el caso para el cual .j.=.1. Postulando ahora el hecho de que:


entonces, teniendo en cuenta el requisito básico de normalización de los eigenkets:


y tomando en cuenta de que, por otro lado, en virtud de la ortogonalidad de los eigenkets:


se tiene p+q.=.0 ó p.=.-q, podemos por lo tanto determinar entonces (fijando la convención de fase como real, lo cual equivale a tomar las constantes de normalización p y q como números reales en lugar de números complejos) que:


Aplicando el operador escalera de descenso en ambos lados de esta última igualdad:


se obtiene entonces:


Procediendo de igual manera y con una repetición casi idéntida de los pasos utilizados arriba, se obtiene:


Esto cubre las situaciones para las cuales .j.=.1.

Por último, para el caso para el cual .j.=.0, se puede escribir:


En este caso, usando la condición de ortogonalidad:


y haciendo uso de las condiciones de ortogonalidad para los eigenkets:


se obtiene (seleccionando a las constantes de normalización a, b y c como reales):


Vaciando lo que hemos obtenido sobre una tabla Clebsch-Gordan, se tiene algo como lo siguiente:


Habiendo visto un ejemplo en particular de evaluación de coeficientes Clebsch-Gordan, para el caso general que en realidad no es más que una generalización del ejemplo que acabamos de ver empezaremos con la siguiente eigenecuación escalera para el momento angular de dos partículas 1 y 2 usando un eigenket simultáneo destacado en color azul (en una eigenecuación como ésta, las constantes reducidas de Planck ħ se eliminan al estar en ambos lados de la relación):


A continuación, injertaremos un operador identidad I en el lado derecho entre la parte operacional y el eigenket:


El siguiente paso consiste en substituír al operador identidad por un equivalente combinado de dos sumatorias (se requiere de una doble sumatoria por tratarse de dos partículas) que resultará conveniente para nuestros propósitos:


Obsérvese con detenimiento que, mediante un simple reacomodo (o mejor dicho, un reagrupamiento) de los factores, se tiene en esencia un coeficiente Clebsch-Gordan del lado derecho (destacado en color rojo):


Esta manipulación es precisamente lo que estará detrás del propósito de nuestro objetivo final. En este punto y haciendo memoria, invocaremos la acción de los operadores escalera para el momento angular que ya habíamos visto previamente para el caso de una sola partícula como el electrón en un átomo hidrogenoide:


Para el caso que nos ocupa, las acciones de los operadores escalera tanto en el lado derecho como en el lado izquierdo de las relaciones para las dos partículas nos producen el siguiente efecto (revertiremos a la notación tipo bra-ket para el coeficiente Clebsch-Gordan):


El siguiente paso consiste en pre-multiplicar ambos lados de la expresión por el bra:


y usar las condiciones de ortonormalidad, lo cual trae como consecuencia que en la doble sumatoria sólo irá sobreviviendo una combinación posible en cada término de la sumatoria. En otras palabras, las únicas contribuciones en el lado derecho que no se desvanecen al llevar a cabo las sumatorias ocurren con:


para el primer término, y con:


para el segundo término. De este modo, se obtienen las relaciones recursivas que estábamos buscando desde un principio:


Observando esto en mayor detalle, descubrimos que tanto en el lado izquierdo de la relación como en el lado derecho de la misma tenemos coeficientes Clebsch-Gordan (destacados en color azul). Esto significa que los nuevos coeficientes Clebsch-Gordan se irán evaluando a partir de los coeficientes ya conocidos usando para ello los factores multiplicativos (en color negro) anexados a los coeficientes. Puesto que tanto .j1.como .j2.están fijos para una submatriz (o una tabla) Clebsch-Gordan,  podemos simplificar un poco la notación tipográfica de la siguiente manera que dá mayor claridad a las relaciones recursivas finales (es así como se va inventando y reinventando la notación, según las necesidades en los procedimientos demostrativos y la necesidad para una mayor claridad):


En una relación recursiva como ésta, generalmente empezamos con una semilla, el valor inicial del punto de arranque, usualmente el valor más fácil de obtener mediante una evaluación numérica o algebraica directa, tras lo cual se van calculando los valores posteriores en base a la recursividad (el espíritu del procedimiento es el mismo que el que ya fue utilizado en la entrada “Solución numérica de la ecuación de Schrödinger”). Es precisamente de una manera como ésta como se obtuvieron los coeficientes generales Clebsch-Gordan dados arriba para las submatrices (2×2) y (3×3). La enorme ventaja de los procedimientos recursivos es que pueden ser especificados como un algoritmo para ser usados en una computadora que nos libera de los detalles laboriosos.

Es posible que a estas alturas surja la duda sobre la relación que pueda haber entre los coeficientes Clebsch-Gordan obtenidos recurriendo a una representación {m1,m2}, los cuales podemos simbolizar de la siguiente manera compacta:


y los coeficientes Clebsch-Gordan obtenidos mediante una transformación inversa recurriendo a una representación {.j,m}, los cuales podemos simbolizar de la siguiente manera compacta:


La respuesta inequívoca es que se obtienen en ambos casos los mismos coeficientes Clebsch-Gordan, esto es:


La razón para esto debe ser obvia tomando en cuenta que una sub-matriz Clebsch-Gordan es una matriz unitaria, para lo cual la sub-matriz Clebsch-Gordan debe ser igual a su transconjugada. Si todos los elementos matriciales son números reales, al no haber elementos complejos la sub-matriz Clebsch-Gordan debe ser igual simplemente a su transpuesta, lo cual automáticamente ancla cada uno de los coeficientes en ambas representaciones a  un mismo valor.

Vale la pena repasar las cosas involucradas en la obtención de esto último, auxiliados con la versatilidad de la notación bra-ket de Dirac. Toda la cuestión de la aparición de los coeficientes Clebsch-Gordan en la adición de dos momentos angulares proviene de la transformación unitaria del conjunto ortonormal de base ψ.j1,m1(1)×ψ.j2,m2(2) que consiste en el producto directo de las funciones de onda para partículas individuales ψ.j1,m1 y ψ.j2,m2 al conjunto ortonormal de base ψ.j,m(1,2). Las ψ.j,m(1,2) son funciones de onda para una combinación de dos partículas. En una transformación, la transformación para ir de la representación {m1,m2} a la representación {.j,m}:


se tiene que el elemento matricial:


se corresponde directamente con la definición del coeficiente Clebsch-Gordan:


Usando la relación de cerradura (la cual nos define de forma general un operador identidad que podemos injertar a nuestro gusto dentro de cualquier expresión), se puede reescribir (y reagrupar) lo siguiente en la simbología bra-ket:


De este modo, en virtud de la ortonormalidad de los dos conjuntos de base de ambas representaciones,  se puede deducir que:


lo cual junto con el hecho de que:


nos lleva a la relación general que había sido obtenida más arriba bajo el signo integral. En el caso de la transformación inversa para ir de la representación {.j,m} a la representación {m1,m2}:


el eigenket que debemos utilizar y el operador identidad que se tiene que injertar son los siguientes:


De este modo, se obtiene la relación que es complementaria a la que se obtuvo arriba:


Un mejor entendimiento de la mecánica que hay detrás de todo esto en la evaluación recursiva de coeficientes Clebsch-Gordan requiere examinar algún caso en particular. Esto se llevará a cabo en la siguiente entrada.

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