El teorema Wigner-Eckart II

En la entrada anterior vimos la esencia fundamental del teorema Wigner-Eckart. Dicho teorema nos facilita un atajo poderoso para la evaluación de los elementos matriciales de los operadores tensoriales, ya que nos permite evaluar dichos elementos matriciales consultando tablas de coeficientes Clebsch-Gordan sin necesidad de tener que recurrir a la evaluación de integrales. A modo de ejemplo podemos citar la siguiente fórmula que es de gran utilidad para evaluar elementos mulipolos matriciales en la espectroscopía atómica y nuclear:

Esta ecuación que suele ser obtenida en la aplicación de las matrices de rotación al estudio de los coeficientes Clebsch-Gordan (específicamente, en el estudio de las series Clebsch-Gordan) resulta ser esencialmente un caso especial del teorema Wigner-Eckart que permite obtenerla de una manera mucho más rápida. La raíz cuadrada que multiplica al segundo coeficiente Clebsch-Gordan es un factor que es independiente de las orientaciones, o sea, es independiente de los números cuánticos magnéticos m₁ y m₂ que no aparecen para la evaluación del coeficiente Clebsch-Gordan al ser puestos a cero, y por lo tanto podemos reconocer a dicho factor como la cantidad proporcionada por el elemento matricial “doble-barra” (o elemento matricial reducido) en el teorema Wigner-Eckart, mientras que el primer coeficiente Clebsch-Gordan es el coeficiente apropiado para sumar el momento angular l₁ a l₂ para obtener el l total.

 Básicamente, el teorema nos dice que un elemento matricial (mostrado a continuación al lado izquierdo del signo de igualdad) se puede evaluar como el producto de dos factores (a la derecha del signo de igualdad):

El primer factor, el coeficiente Clebsch-Gordan destacado en color magenta, es simplemente un coeficiente con la prescripción para sumar j₁ a  j₂ para obtener  j. Este factor depende únicamente de la geometría, esto es, la forma en la cual el sub-estado está orientado con respecto al eje-z (o sea, la proyección del cuadrado del vector momento angular total sobre el eje-z, que es lo que fija los valores de los números cuánticos magnéticos m). El coeficiente Clebsch-Gordan no hace ninguna referencia acerca de la naturaleza específica del operador tensorial T^(k)_q. Por su parte, el segundo factor, el elemento “doble-barra” o elemento matricial reducido, no hace referencia a número cuántico magnético m alguno, y es completamente independiente de m₁, m₂ y m, aunque puede depender de la dinámica de la situación; ya que tanto α como β pueden representar, por ejemplo, dos estados distintos del número cuántico radial, y la evaluación del mismo podría requerir de la evaluación de integrales radiales. Para evaluar elementos matriciales de un operador tensorial con varias combinaciones de m₁, m₂ y m, basta con conocer una sola de ellas, todas las demás pueden ser relacionadas geométricamente porque son proporcionales a los coeficientes Clebsch-Gordan, los cuales son conocidos ya sea a través de tablas disponibles en libros, sitios de Internet o paquetes computacionales. El factor de proporcionalidad común a todos los elementos matriciales, el elemento “doble-barra”, no hace referencia alguna a características geométricas al ser independiente de los números cuánticos magnéticos m₁, m₂ y m.

Las reglas de selección para los elementos matriciales del operador tensorial pueden ser leídas de inmediato de las reglas de selección para sumar momentos angulares. Es así como del requerimiento de que los coeficientes Clebsch-Gordan sean diferentes de cero se obtiene la regla de selección m obtenida previamente, así como la regla triangular:

El punto de partida para el aprendizaje del teorema Wigner-Eckart son, desde luego, los operadores tensoriales, los cuales vienen en conjuntos de tamaños prefijados. El operador de Hamiltoniano de energía H de un sistema aislado es un operador sencillo, y por lo tanto pertenece a un conjunto de orden uno. El operador posición (x,y,z) de un sistema es un conjunto de operadores de orden tres. La mayoría de los operadores en los cuales estamos interesados pueden ser ajustados dentro de la definición de un operador tensorial irreducible:

que es un conjunto de 2k+1 operadores que satisfacen las siguientes reglas de conmutación:

en cuyo caso los operadores son los componentes convencionales de un operador tensorial irreducible de orden 2k+1. Como caso trivial tenemos al operador Hamiltoniano H de un sistema aislado, el cual conmuta con J+, J- y Jz. El operador Hamiltoniano es el único miembro de un conjunto de orden uno, y por lo tanto es un componente convencional, esto es, satisface todas las relaciones anteriores de conmutación, ya que:

2k + 1 = 1

k = 0

y por lo tanto q.=.0, con lo cual todos los conmutadores dados arriba terminan siendo evaluados a cero. Por su parte, los operadores Cartesianos de la posición (x,y,z) no son los componentes convencionales del operador posición, y para ello basta con ver de lo que hemos estudiado anteriormente de los conmutadores del momento angular que (por ejemplo):

lo cual no satisface las tres relaciones de conmutación dadas arriba como definitorias para un operador tensorial irreducible. Sin embargo, podemos construír fácilmente un conjunto de componentes convencionales, observando que:

lo cual nos sugiere que muy posiblemente z sea el componente convencional para el cual q.=.0. Supóngase que esto sea así (obviamente, puesto que se tienen tres componentes, k.=.1 y q.=.-1,0,+1). Para encontrar el componente q.=.1, usamos la regla de conmutación apropiada, que es:

Usando q.=.0 y k.=.1 se tiene:

Pero por otro lado puesto que se tiene:

y se tiene también que (usando las relaciones de conmutación obtenidas al iniciar los estudios de las relaciones de conmutación del momento angular):

entonces la componente convencional para q.=.1 debe ser:

Del mismo modo, para q.=.-1 se puede demostrar que la componente convencional debe ser:

Este resultado válido para el operador posición puede ser generalizado para el caso de cualquier operador vectorial que pueda ser definido en componentes Cartesianas. Si K_x, K_y y K_z son las componentes Cartesianas de un operador vectorial K, sus componentes convencionales serán:

Esta generalización la estaremos usando más abajo en unos ejemplos que serán dados.

La “mecánica” (o “receta de cocina”) para usar el teorema Wigner-Eckart consiste en unos cuantos pasos básicos:

APLICACION DEL TEOREMA WIGNER-ECKART:

1) Se evalúa un producto bra-ket que corresponda a un elemento matricial cualquiera del operador tensorial bajo análisis. Resulta conveniente evaluarlo aprovechando eigenestados del momento angular que se correspondan forma apareada usando un bra que sea el dual del ket.

2) Recurriendo al teorema Wigner-Eckart, se usa el resultado obtenido en el paso anterior para evaluar el elemento matricial doble-barra.

3) Una vez obtenido el elemento matricial doble-barra, se aplica recursivamente el teorema Wigner-Eckart para ir evaluando uno a uno cada uno de los elementos matriciales del operador tensorial hasta tenerlos evaluados todos.

De este modo, en el primer paso es ventajoso hacer algo como lo siguiente:

en donde por comodidad en la evaluación de la integral hacemos los números cuánticos α y β iguales, y hacemos también a  j₁ igual a  j y a m₁ igual a m, con lo cual el bra es el dual exacto del ket. De este modo, lo que estamos evaluando es el equivalente a un elemento matricial situado en la diagonal principal tanto a nivel de matriz como a nivel de sub-matrices. Esto, desde luego, no es indispensable, y podemos escoger cualquier otro elemento matricial no-diagonal para su evaluación siempre y cuando de acuerdo a la regla de selección m podamos tener la seguridad de que será diferente de cero. Sin embargo, generalmente resulta más fácil la evaluación de los elementos matriciales cuando el bra y el ket son los duales exactos el uno del otro que cuando no lo son.

Hecho lo anterior, el siguiente paso consiste en tomar el resultado de la integración como una cantidad X:

que será igualada a lo que se obtenga con la aplicación del teorema Wigner-Eckart al elemento matricial en cuestión, despejando para obtener así el elemento matricial reducido o “doble-barra”:

Obtenido el elemento matricial reducido, podemos ir evaluando los demás elementos matriciales del operador tensorial con el solo hecho de procurar los coeficientes Clebsch-Gordan que necesitemos, y nuestro trabajo se reducirá a estar evaluando cocientes de coeficientes Clebsch-Gordan.

Para ver el teorema Wigner-Eckart en acción, no hay nada mejor que recurrir a algunos ejemplos prácticos en donde se aplique dicho teorema. Empezaremos por tomar la definición del momento de cuadripolo que vimos en las entradas anteriores, de acuerdo a la cual el valor del momento de cuadripolo se toma entre dos eigenestados del momento angular iguales, y usándose para m el valor máximo que puede tomar, o sea  j:

siendo e la carga eléctrica. Tomando en cuenta el material previo que ya hemos visto en el estudio del tema “Operadores tensoriales”, sabemos ya que para el estado  j.=.2 la armónica esférica está dada por una relación que se puede escribir de la siguiente manera:

Substituyendo esto en la definición que tenemos arriba del momento de cuadripolo, se tiene:

Lo que tenemos “emparedado” entre el bra y el ket es esencialmente un operador tensorial, y el operador tensorial es en este caso el producto del cuadrado de la coordenada radial y la armónica esférica empleada. Hay que ejercer mucha precaución aquí, porque en la notación que usamos arriba para T^(k)_q en la demostración del teorema Wigner-Eckart el super-índice k se corresponde con  j mientras que el sub-índice q se corresponde con el número cuántico magnético m, en tanto que en la armónica esférica la situación es al revés, o sea:

Hecha la aclaración, y teniendo en mente de que por usar la definición convencional del momento de cuadripolo se está tomando m.=.j, podemos simplificar un poco lo que tenemos arriba escribiéndolo de la siguiente manera:

A continuación, podemos aplicar directamente el teorema Wigner-Eckart tal y como se ha dado arriba:

Obsérvese que al escribir el elemento matricial doble-barra, al sub-índice de la armónica esférica se le escribió dentro de paréntesis. Aunque esto no es realmente necesario, ello nos recuerda que el sub-índice que aparece en este elemento matricial doble barra corresponde a lo que se acostumbra escribir entre paréntesis en T^(k)_q como super-índice. Obsérvese también que solo se está usando un índice en ambos casos, en virtud de que en el elemento matricial doble-barra ha desaparecido toda referencia al número cuántico magnético m.

De este modo, se tiene lo siguiente para el momento de cuadripolo:

Podemos despejar aquí para el elemento matricial reducido obteniendo de este modo:

Ahora bien, con esto en nuestras manos podemos llevar a cabo otro tipo de evaluaciones en las cuales ya no es necesario que el bra y el ket representen el mismo eigenestado de momento angular, podemos usar estados diferentes. A modo de ejemplo, supóngase que con lo que hemos obtenido queremos evaluar lo siguiente (obsérvese que se le están dando colores diferentes al bra y al ket para resaltar el hecho de que los números cuánticos magnéticos m pueden ser distintos):

en donde:

m' = j ,  j - 1 ,  j - 2 ,  j - 3 , ...

En la evaluación de esto, podemos usar ventajosamente el hecho de que:

Con esto se tiene:

Simplificando:

Tenemos dos términos, y podemos aplicar el teorema Wigner-Eckert en cada término, expresando así cada término como el producto de un coeficiente Clebsch-Gordan y un elemento matricial doble-barra. Pero como ya tenemos evaluado arriba el elemento matricial doble-barra, lo podemos insertar dejando como única tarea pendiente la determinación de los coeficientes Clebsch-Gordan para cada término, para lo cual consultamos tablas o usamos paquetes computacionales, sin necesidad de tener que efectuar una sola integral en todo el proceso. Aplicando el teorema Wigner-Eckert en cada término y tomando en cuenta que j es el mismo tanto en el bra como en el ket, la evaluación y simplificación de lo anterior viene resultando en lo siguiente:

Podemos aplicar aquí la regla de selección m leyendo de corrido el renglón inferior de parámetros en cada coeficiente Clebsch-Gordan. En el primer término, esto nos dá:

como condición indispensable para que el primer coeficiente Clebsch-Gordan no sea cero. Pero para cualquier valor real de  j, m’ excederá en dos unidades de momento angular el valor máximo permitido para m’. Entonces el primer coeficiente Clebsch-Gordan debe ser cero. Puesto que este problema no se tiene en el segundo coeficiente Clebsch-Gordan, la expresión se reduce a:

Substituyendo aquí el elemento matricial obtenido arriba, se tiene finalmente:

Con esto, hemos logrado expresar la relación inicial en términos del momento de cuadripolo Q y un cociente de coeficientes Clebsch-Gordan.

Hemos utilizado el teorema Wigner-Eckart cuando el operador tensorial (el operador momento de cuadripolo) es portador de dos unidades de momento angular, o sea, es un tensor de orden dos. A continuación usaremos el teorema Wigner-Eckart para un caso más sencillo en el cual el operador tensorial es un tensor de orden uno, el operador posición r en un espacio tridimensional. En coordenadas rectangulares Cartesianas, los tres componentes Cartesianos del operador posición son reducibles. Pero los tres operadores x, y y z que multiplican la función de onda por el valor de la coordenada respectiva pueden ser combinados en un tensor esférico irreducible, el operador r_q de momento angular unitario con sus tres componentes siguiendo la definición usual cuando se trata de componentes esféricos:

Para enfatizar el hecho de que los tres componentes son parte de un tensor de orden uno, agregaremos un super-índice a cada uno de los componentes, y además combinaremos dos de ellos en uno solo en la manera que se muestra a continuación:

De este modo, la aplicación del teorema Wigner-Eckart es directa al ser el operador tensorial:

Con esto, el teorema Wigner-Eckart nos dice que (obsérvese que estamos usando l en lugar de  j para la representación del momento angular):

De la regla de selección m aplicada en el lado izquierdo, podemos ver que la condición para tener un elemento matricial del operador tensorial posición que sea diferente de cero será:

La otra condición (o mejor dicho, tres condiciones) es, desde luego:

El elemento matricial desarrollado arriba con el teorema Wigner-Eckart es un elemento matricial general. Puesto que q puede tomar los valores 0 y ±1, en cada caso se tiene:

Podemos relacionar estos dos tipos de elementos matriciales con el solo hecho de tomar el cociente de ambas expresiones de arriba, lo cual reduce todo a un simple cociente de coeficientes Clebsch-Gordan:

En el ejemplo que se acaba de dar, trabajando sobre los componentes esféricos del operador posición (no los componentes Cartesianos), no se especificó ninguna función de onda sobre la cual pudieran quedar especificados también el bra y el ket. Para ver lo que sucede cuando se introduce en el panorama una función de onda, supondremos que lo que se tiene bajo análisis es una partícula carente de spin intrínseco ligada a un centro fijo por una fuerza originada por un potencial central. Supondremos una función de onda Ψ que para dicha partícula, como ya lo hemos visto en entradas anteriores, está especificada como el producto de dos funciones de onda, una de las cuales representa la parte radial y la otra la parte angular, algo como lo siguiente:

El sistema está especificado completamente por los tres números cuánticos n, l y m.

Con la finalidad de no confundir cualquiera de los tres componentes esféricos del operador tensorial vector posición con la distancia radial r especificada en coordenadas rectangulares Cartesianas como:

escribiremos los componentes esféricos en mayúsculas.

La expresión que queremos evaluar con la función de onda Ψ dada arriba es la siguiente (aquí desafortunadamente, el operador tensorial en coordenadas esféricas R⁽¹⁾±1,0,  se presta a confusión con la función radial Rn,l que es una parte de la función de onda, esto es algo con lo que tenemos que estar precavidos haciendo la distinción siempre y en todo momento):

Esto representa en realidad tres componentes distintas a ser evaluadas, una para cada uno de los tres valores q especificados en los sub-índices. Para poder llevar a cabo el cálculo que deseamos, podemos empezar por tomar la componente esférica especificada por q.=.0:

y recurriendo al trabajo en las entradas previas, meter a la armónica esférica correspondiente haciendo:

Manejamos los otros dos componentes de modo similar, haciendo:

y metiendo en el panorama a las armónicas esféricas respectivas usando la siguiente relación:

con lo cual:

Prescindiendo del asunto de los signos aritméticos puestos al frente de la raíz cuadrada en esto último, los cuales no son de importancia trascendental para el desarrollo que llevaremos a cabo, podemos resumir del siguiente modo las tres expresiones para las componentes esféricas del operador tensorial vector posición en una sola expresión:

La expresión que queremos evaluar es entonces:

Puesto que el elemento diferencial de volumen dV está dado (en coordenadas esféricas) por:

podemos “romper” la integral en el producto de dos integrales, la primera siendo la que corresponde a la parte radial, y la segunda siendo la que corresponde a la parte angular:

Podemos simplificar la notación un poco, tomando la integral radial tal y como lo que es, la esperanza matemática del cubo de la posición (obsérvese que, por la manera en la que está simbolizada esta cantidad a través de los sub-índices, estamos dejando abierta la posibilidad de que los elementos matriciales puedan describir el salto cuántico de un número principal n’ a otro número principal n o viceversa, produciéndose una absorción o una emisión de un fotón de energía, según sea el caso):

Por lo tanto:

La integral que en esta expresión representa la parte angular debería parecernos familiar a estas alturas. Es esencialmente la misma integral que fue dada arriba al principio de esta entrada:

Para usar el resultado dado, hacemos:

con lo cual la raíz cuadrada se reduce a:

Por lo tanto:

De los renglones superiores de los coeficientes Clebsch-Gordan se obtiene que:

lo cual nos dá una regla de selección. Por otro lado, aplicando la regla de selección m se tiene que la expresión evaluada es igual a cero a menos de que:

m’ = q + m

y del mismo modo:

l’ = | l  ± 1 |

Del resultado obtenido arriba para los elementos matriciales del operador tensorial R⁽¹⁾_q, podemos relacionar los elementos matriciales para q.=.±1 y q.=.0 evaluando el cociente de ambas expresiones, lo cual reduce a su vez a un simple cociente de coeficientes Clebsch-Gordan:

de lo cual obtenemos:

m’₁  = m ± 1

También resulta evidente de lo que tenemos en el cociente que:

m’₂  = m₂

De este modo, obtenemos las reglas de selección para transiciones permitidas entre distintos estados, pero esta vez de un modo más formal y riguroso.

El operador posición, el cual por ser un vector es un operador tensorial de orden uno, es tan solo un ejemplo de muchos otros operadores tensoriales de orden uno que se puden citar. En general, un operador vectorial que podemos simbolizar en su sentido más amplio como V puede ser escrito forma más explícita aún como un operador tensorial esférico como V⁽¹⁾±1,0, denotando las tres componentes esféricas. Ahora bien, de acuerdo a la regla de selección m, se tiene que:

a menos de que:

m’ = ±1, 0 + m

o bien:

Δm = m’ - m = ±1

Δm = m’ - m = 0

Por la misma razón, se tiene también que:

Δ j = j’ - j = ±1

Δ j = j’ - j = 0

Descartando la transición 0.→.0 (una transición prohibida), esto nos dá la regla de selección que es de importancia fundamental en la teoría de la radiación, se trata de la regla de selección del dipolo que se obtiene en el límite de fotones emitidos con longitudes de onda grandes.

Manteniéndonos en el caso del operador tensorial de orden uno, si consideramos el caso especial en el cual  j.=.j’ y aplicamos al mismo el teorema Wigner-Eckart, el resultado que se obtiene toma una forma relativamente sencilla conocida como el teorema de la proyección:

en donde J_q representa las componentes esféricas del momento angular, usándose notación vectorial (en letra negrita) para simbolizar los vectores J y V (J·V representa un producto vectorial punto). Para demostrar dicho teorema, y en una forma parecida a como lo hicimos arriba al trabajar sobre el operador posición r_q, expresamos al momento angular J en componentes esféricos (véase la entrada “Operadores tensoriales”):

El conjunto anterior de tres componentes lo podemos expresar de una manera un poco más compacta que solo requiere dos líneas:

Observando en mayor detalle, podemos ver que los componentes ± de hecho son a su vez funciones directas de los operadores escalera J± del momento angular. Tenemos así por un lado:

mientras que por el otro se tiene:

Podemos expresar ambas cosas de una manera más compacta:

El punto de partida empieza por tomar la siguiente relación para desarrollarla y evaluarla:

El producto vectorial punto J·V, usando componentes esféricas, viene siendo lo siguiente:

Es importante tomar en cuenta que en cada uno de los productos J_aV_b tal y como están dados no se puede suponer de antemano que dichos productos sean conmutativos, o sea que no podemos usar anticipadamente la suposición de que J_aV_b sea igual a V_aJ_b. La estrategia consiste ahora en substituir esto último en lo anterior, obteniendo de este modo algo que puede ser expandido a tres términos distintos como se muestra a continuación:

Aquí podemos substituír los tres componentes esféricos de (J0,J+1,J-1) dados arriba para continuar desarrollando. En el primer término, con J₀.=.J_z,  se tiene:

No sabemos de antemano el efecto que pueda tener el operador V₀ al actuar sobre el ket que está a su derecha. Pero sí sabemos el efecto que puede tener el operador J_z tal al actuar sobre el bra que está a su izquierda; es el mismo efecto que el que se tiene cuando en la eigenecuación correspondiente el operador J_z actúa sobre un ket que está a su derecha:

con lo cual el primer término queda como sigue:

Los otros dos términos son desarrollados de igual manera, con los operadores escalera del momento angular usándose sobre los bras que están a su izquierda. Como puede verse, el desarrollo de la demostración es similar al que fue utilizado para la demostración de la regla de selección m y la demostración del teorema Wigner-Eckart. El segundo término viene quedando como se muestra a continuación (póngase especial atención en los sub-índices de J en las dos primeras líneas; obsérvese también que cuando un operador escalera de ascenso J₊ actúa no sobre el ket que está a la derecha sino sobre el bra que está a la izquierda, el efecto resultante es producir no un aumento sino un descenso del número cuántico m en una unidad):

mientras que el tercer término viene quedando como se muestra a continuación (obsérvese aquí también que cuando un operador escalera de descenso J_- actúa no sobre el ket que está a la derecha sino sobre el bra que está a la izquierda, el efecto resultante es producir no una disminución sino un incremento del número cuántico m en una unidad)):

Tenemos con esto la suma de tres términos, y podemos aplicar el teorema Wigner-Eckart sobre cada uno de estos tres términos. Simbolizando con la misma constante c_jm los coeficientes Clebsch-Gordan que van anexados como los factores de cada elemento matricial “doble-barra”, tenemos entonces algo como lo siguiente (aunque las constantes c_jm que van pegadas a cada término son diferentes, usaremos el mismo símbolo para todas ellas, máxime que esto no cambiará nuestra conclusión final):

Aunque la suma de los tres términos que aparecen al lado derecho de la igualdad vienen siendo a fin de cuentas números que sumados se reducen a una sola cantidad (en conformidad con lo que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad en donde J·V es un operador escalar que termina produciendo un número escalar), resulta conveniente inventar aquí un símbolo no muy convencional mediante el cual resumimos los tres elementos matriciales “doble-barra” en un solo elemento matricial  “doble-barra” que corresponde al vector V que es a su vez un vector de tres componentes esféricos, o sea V.=.(V0,V-1,V+1), teniendo con ello la siguiente representación meramente simbólica:

en donde c_jm es un número independiente de m y en virtud de que J·V es un operador escalar que por ser un escalar no es capaz de cambiar el número cuántico magnético m, razón por la cual podemos escribir simplemente c_j en lugar de c_jm. Más aún, puesto que la constante c_j no depende de V, esto último que acabamos de obtener sigue siendo válido aún si en la ecuación llevamos a cabo las substituciones V.→.J y α’.→.α obteniendo la siguiente relación igualmente válida:

Por lo tanto, aplicando el teorema Wigner-Eckart por separado a V_q y a J_q, y dividiendo ambos resultados tal y como son dados por el teorema Wigner-Eckart, se obtiene:

Pero el lado derecho de esto último, por lo que hemos visto arriba, es lo mismo que:

Además, por lo que ya hemos visto previamente desde que iniciamos nuestros estudios del momento angular:

Con esto se obtiene entonces lo que fue enunciado arriba como el teorema de la proyección (dentro del recuadro negro).

El teorema de la proyección, tal y como fue dado al inicio de esta demostración, es el equivalente mecánico-cuántico de una conocida relación vectorial clásica, si imaginamos al vector V como un vector que se mueve en torno del vector del momento angular total J con un movimiento de precesión firme como se muestra en la siguiente figura:

A la larga, con el transcurso del tiempo (y aquí podríamos invocar al teorema virial, véase la entrada “El teorema virial”) el promedio de la componente del vector V que es perpendicular (normal) al vector J es igual a cero. Por lo tanto, el promedio del vector V es un vector paralelo al vector J, que tiene como magnitud vectorial (promediada en el tiempo):

Esta es una relación puramente clásica, pero se corresponde con lo que se tiene en el teorema de la proyección si se substituye a J² con  j(.j+1)ħ² y si los vectores clásicos son substituídos por sus contrapartes cuánticas.

Quizá el caso más sencillo de todos sea aquél en el cual el operador tensorial es un tensor de orden cero, en cuyo caso estamos hablando ya de un operador escalar S que consta de un solo elemento.

Aplicando el teorema Wigner-Eckart para la obtención de los elementos matriciales de este operador tensorial, se tiene lo siguiente (con la finalidad de mantener consistencia en la notación durante el desarrollo, anexaremos al operador tensorial escalar S el cero entre paréntesis como super-índice que lo identifica como un operador tensorial de orden cero, y el cero como sub-índice que es consecuencia necesaria de que se trata de un tensor de orden cero):

El coeficiente Clebsch-Gordan, con un cero intermedio arriba en el renglón super-índice y un cero intermedio abajo en el renglón sub-índice, está severamente restringido en los valores que puede tomar. Puesto que el momento angular  j es el resultado del acoplamiento entre  j₁ y  j₂, si cualquiera de estos dos últimos es igual a cero entonces  j tiene que ser necesariamente igual al otro de ellos que no es cero. Del mismo modo, puesto que el número cuántico magnético m es el resultado del acoplamiento entre los números cuánticos m₁ y m₂, si cualquiera de estos dos últimos es igual a cero entonces m tiene que ser necesariamente igual al otro de ellos que no es cero. Expresado en la notación convencional para los coeficientes Clebsch-Gordan:

En el caso aún más restringido en el cual tenemos un cero arriba y un cero abajo, el momento angular  j solo puede ser igual necesariamente al elemento en su renglón que no es cero y el número cuántico magnético m solo puede ser necesariamente igual  al elemento en su renglón que no es cero, en cuyo caso el coeficiente Clebsch-Gordan en sí solo puede ser igual a la unidad, y si los dos elementos no-cero en el renglón superior o los dos elementos no-cero en el renglón inferior son diferentes, entonces el coeficiente Clebsch-Gordan tiene que ser igual a cero indicando con ello una condición imposible. Expresado simbólicamente:

Tenemos, desde luego, un símbolo para expresar este tipo de situaciones, el símbolo delta de Kronecker. Puesto que son dos las condiciones que se deben cumplir, tenemos que utilizar dos deltas de Kronecker. De este modo, obtenemos el siguiente resultado:

Así pues, incorporando este resultado a lo que tenemos arriba (y haciendo los cambios notacionales para mantener consistencia), se tiene entonces (omitiremos los ceros super-índice y sub-índice en el operador tensorial S al resultar superfluos a estas alturas):

Habiendo desaparecido los coeficientes Clebsch-Gordan del panorama, este resultado nos dice que el operador tensorial escalar S no puede cambiar los números cuánticos relacionados con el momento angular. Esto tiene sentido, puesto que un operador escalar de orden cero actuando sobre el ket que está a la derecha es como añadir un momento angular de cero. Expresado simbólicamente (suponiendo que el operador S produce un eigenvalor constante s al actuar sobre el ket a la derecha):

Posiblemente obscurecido en todo esto es lo que ocurre cuando un operador tensorial irreducible T^(k)_q entra en acción al actuar sobre el ket que está a su derecha (igual puede actuar sobre el bra que está a su izquierda, pero aquí tomaremos la primera opción para simplificar la explicación que se está dando). Tanto en la derivación de la regla de selección m como en la demostración del teorema Wigner-Eckart dadas en la entrada previa, no se hizo apelación alguna a los efectos del operador tensorial sobre un ket o un bra, se empezó con relaciones de conmutación que metieron en el escenario a los operadores del momento angular J_z y J± , y dejando al operador tensorial como simple espectador se le hizo a un lado dejando caer todo el peso de la carga sobre los operadores del momento angular. Pero hablando en términos generales, ¿qué es exactamente lo que hace el operador tensorial irreducible? Para indagar esto, hagamos las siguientes operaciones:

Si el operador tensorial T^(k)_q al actuar sobre el ket que está a su derecha produce un nuevo ket en el cual los números cuánticos  j y m hayan sido alterados de alguna manera, resulta claro que el nuevo ket que representa el estado ξ (de color azul) tendrá que tener algo en común con el bra (de color magenta) que permanece intacto para que el producto bra-ket que aparece al final no sea igual a cero. Esto es lo que nos dá una perspectiva sobre la acción general del operador tensorial, actuar como un acoplador del momento angular.

En lo que hemos visto hasta este punto, con el teorema Wigner-Eckart se facilita el llevar a cabo el acoplamiento entre dos momentos angulares  j₁ y  j₂ permitiéndonos obtener un momento angular  j:

j =  j₁ +  j₂

Pero posiblemente en algún momento haya cruzado por nuestra mente la posibilidad de poder llevar a cabo el acoplamiento de tres momentos angulares:

j = j₁ +  j₂ +  j₃

y que en el curso de llevar a cabo operaciones de esta índole, exista también un equivalente del teorema Wigner-Eckart para poder simplificar las operaciones en este tipo de análisis. Un estudio más a fondo de esto revela que, en efecto, existe una versión del teorema Wigner-Eckart para simplificar el estudio del acoplamiento de tres momentos angulares. Y de hecho, esto se puede llevar más lejos, hacia el acoplamiento de cuatro momentos angulares. Para poder manejar algo así, resulta ventajoso hacer a un lado los coeficientes Clebsch-Gordan y recurrir a los símbolos 6j de Wigner en el caso del acoplamiento de tres momentos angulares, los cuales ofrecen un grado mayor de simetría que los coeficientes Clebsch-Gordan, y los símbolos 9j en el caso del acoplamiento de cuatro momentos angulares. En la entrada anterior ya se dió un adelanto de esto, al darse una relación empleando símbolos 3j de Wigner. La triple integral puesta al principio de esta entrada, expresada usando los símbolos 3j de Wigner en vez de los coeficientes Clebsch-Gordan, es como ya lo vimos antes:

Como puede verse, aquí aparecen dos símbolos 3j de Wigner, cada uno de los cuales consta de seis elementos. Los símbolos 6j de Wigner también constan de seis elementos. Pero si un símbolo 3j de Wigner consta de seis elementos con tres elementos puestos en cada renglón, y si el símbolo 6j de Wigner también consta de seis elementos con tres elementos puestos en cada renglón, ¿cómo podemos distinguir entonces entre un símbolo 3j y un símbolo 6j en problemas en los cuales estemos efectuando cálculos numéricos (el problema no se presenta cuando el análisis que se está llevando a cabo es puramente simbólico, en cuyo caso la distinción resulta obvia al ver los símbolos que se están empleando)? La respuesta es que, por convención, para representar un símbolo 3j de Wigner se utilizan paréntesis ordinarios, mientras que para representar un símbolo 6j de Wigner se usan corchetes. A continuación tenemos un ejemplo para cada caso:

Además de que hay tablas disponibles en libros tales como Tables of Wigner 6j-symbols y Tables of Wigner 9j-symbols, ambos de Keith M. Howell, también hay calculadoras disponibles en Internet que permiten la evaluación de los símbolos 6j y 9j de Wigner, así como paquetes computacionales tales como Mathematica en donde la expresión para evaluar un símbolo 6j de Wigner es la siguiente:

SixJSymbol[{ j₁, j₂,  j₃},{ j₄, j₅,  j₆}]

A modo de ejemplo, se muestra a continuación el resultado de una evaluación de un símbolo 6j de Wigner:

para cuya evaluación se recurrió a una página montada en Internet por el Profesor Anthony Stone de la Universidad de Cambridge. A continuación se muestra un ejemplo de la evaluación de un símbolo 9j de Wigner recurriéndose a dicha página:

Obsérvese que en casos así, de no ser por los corchetes no se sabría si lo que fue evaluado fue un símbolo 3j o un símbolo 6j de Wigner.

Con libros de tablas o con una calculadora a la mano, resulta fácil verificar que los símbolos 6j de Wigner permanecen invariantes al llevarse un intercambio de columnas, o al llevarse a cabo un intercambio entre los argumentos superiores o inferiores de dos renglones cualesquiera, como lo muestran los siguientes ejemplos:

La metodología para acoplar tres momentos angulares es una extensión de lo que ya se ha desarrollado. Se puede comenzar acoplando  j₁ con  j₂ hacia un momento angular compuesto J₁₂, y acoplando  j₂ con  j₂₃, hacia otro momento angular compuesto J₂₃, tras lo cual se pueden combinar ambos para obtener el J total. Una consecuencia de este proceso está resumida en el siguiente conmutador de Born:

razón por la cual a lo más uno de estos operadores intermedios de acoplamiento puede ser diagonal (si ambos fueran diagonales, el conmutador de Born sería igual a cero).

Suponiendo que una base no acoplada está dada por los números cuánticos individuales del momento angular como:

entonces el momento angular total como ya se dijo estará dado por (obsérvese que usaremos a partir de este punto una letra mayúscula para simbolizar el momento angular total):

J = j₁ +  j₂ +  j₃

y tanto el cuadrado como la componente-z de dicho momento angular darán números cuánticos buenos. Números cuánticos adicionales serán proporcionados por los cuadrados de los momentos angulares individuales, y todos estos operadores también conmutan con los cuadrados de la suma de dos momentos angulares tales como:

J ²₁₂  = ( j₁ +  j₂)²

En el caso de del acoplamiento de cuatro momentos angulares, se puede comenzar acoplando  j₁ con  j₂ hacia un momento angular compuesto J₁₂, y acoplando  j₃ con  j₄, hacia otro momento angular compuesto J₃₄, tras lo cual se pueden combinar ambos para obtener el J total. Como ya se dijo, se debe tener:

así que a lo más uno de estos uno de estos operadores intermedios de acoplamiento puede ser diagonal. Si se escoge a J ²₁₂ como diagonal, la construcción procede acoplando  j₁ con  j₂ con el método convencional:

tras lo cual se lleva a cabo el acoplamiento adicional:

Otra alternativa consiste en acoplar j₂ con  j₃ , lo cual conduce a la siguiente construcción:

De este modo, se tienen dos conjuntos alternos de estados de base para tres momentos angulares acoplados   j₁,   j₂  y  j₂, conjuntos que sabemos de antemano que tienen que estar relacionados mediante algún tipo de transformación. Convencionalmente, para esto se utilizan dos tipos de definiciones. Una de ellas es el símbolo conocido como el coeficiente W de Racah (así llamado en referencia al físico teórico Giulio Racah) que es definido del siguiente modo:

Obsérvese que el número cuántico M es omitido en las funciones de onda, en virtud de que resulta que el coeficiente W de Racah es independiente de M. El factor de normalización (la raíz cuadrada) resulta útil para hacer que el coeficiente sea más simétrico en los cálculos (y en realidad este es su único propósito). Usando el coeficiente W de Racah, la transformación entre los dos conjuntos alternos de base para tres momentos angulares acoplados resulta ser:

o sea, una expansión en sumatoria de kets usando coeficientes W de Racah. Sin embargo, se puede obtener un grado aún mayor de simetría si se recurre al símbolo 6j de Wigner (el cual consta de seis elementos), el cual está relacionado con el coeficiente W de Racah de la siguiente manera:

En el caso de la suma de cuatro momentos angulares:

J =  j₁ +  j₂  +  j₃ +  j₄ 

las ideas son desarrolladas de igual manera. Podemos, por ejemplo, acoplar  j₁ con  j₂ hacia un momento angular compuesto J₁₂, y acoplar  j₃ con  j₄ hacia un momento angular compuesto J₃₄, y tras esto combinarlos para obtener el J total, o bien obtener J mediante un acoplamiento de J₁₃ y  J₂₄, y . La transformación, con la ayuda del símbolo 9j de Wigner (el cual consta de nueve elementos), está definida de la siguiente manera:

Obsérvese que cada renglón (léase por ejemplo el segundo renglón de izquierda a derecha) o cada columna (léase por ejemplo la primera columna de arriba hacia abajo) describe un acoplamiento del momento angular. El símbolo 9j de Wigner es conocido también como el coeficiente X de Fano que evita el uso de los corchetes y pone todos los elementos en un solo renglón:

Todos estos símbolos resultan ser muy útiles en la descomposición de los elementos matriciales de los operadores tensoriales.

Frecuentemente, uno tiene que lidiar con funciones de onda Ψ y operadores tensoriales T que se refieren a subsistemas diferentes. En el caso de una misma partícula, por ejemplo, la función de onda puede constar de una parte orbital (momento angular extrínseco) y de una parte de spin (momento angular intrínseco), y el operador tensorial es también un acoplamiento de una contribución orbital y una contribución de spin. Otro ejemplo es el de dos partículas diferentes que combinan sus momentos angulares y un operador tensorial que consiste en el producto de dos operadores tensoriales diferentes R y S cada uno de los cuales actúa en una de las partículas únicamente. En una situación así, estamos obligados a considerar elementos matriciales del tipo:

en donde:

y el operador tensorial R actúa sobre la partícula 1 caracterizada por  j₁ y  j₁’, mientras que el operador tensorial S actúa únicamente sobre la partícula 2 caracterizada por  j₂ y  j₂’. La siguiente fórmula nos dá la expresión del elemento matricial total en función de un producto de los elementos matriciales de los subsistemas (obsérvese en el lado derecho de la igualdad el producto de dos elementos matriciales reducidos):

Para el caso especial en el cual uno de los operadores, digamos el que actúa sobre la partícula 2, es un operador tensorial de orden cero, esto es, un operador escalar, que para nuestros propósitos viene siendo lo mismo que un operador identidad, el elemento matricial para la partícula 2 debe ser diagonal, pero el resultado final aún dependerá del acoplamiento del momento angular que está presente en las funciones de onda. La fórmula en tal caso para el elemento matricial del operador tensorial R (el cual no puede ser diagonal) se simplifica a lo siguiente (obsérvese la inserción del delta de Kronecker δ para tomar en cuenta la acción del operador tensorial escalar, tal y como lo vimos en el ejemplo puesto arriba relacionado con operadores tensoriales escalares):

en donde se ha utilizado el símbolo W de Racah para simplificar la notación.