martes, 11 de agosto de 2009

El espacio-posición y el espacio-momentum IV

Los últimos ejemplos que vimos en la entrada anterior pertenecen a casos en los cuales la partícula se encuentra en un estado ligado, con su energía cuantizada. En el caso de una partícula libre que no se encuentra en un estado ligado, su energía E no está cuantizada en valores discretos de energía, puede tomar cualquier valor desde cero hasta cualquier límite superior que podamos encontrar en la Naturaleza en lo que es un espectro continuo de valores. De cualquier modo, en este caso seguimos hablando de una representación en el espacio-posición y de una representación en el espacio-momentum. En el espacio-posición, la función de onda ψ(x) de una partícula libre moviéndose unidimensionalmente a lo largo de un eje-coordenado es:


Esta es una eigenfunción normalizada del momentum, pero no debemos permitir que la terminología empleada nos pueda confundir, sigue siendo una función de onda especificada en el espacio-posición. Con la finalidad de destacar el hecho de que se trata de una eigenfunción del momentum, en la literatura frecuentemente se le agrega un sub-índice p a la función de onda en el espacio-momentum de la partícula libre:


Por razones de simplicidad, fijaremos el tiempo en t.=.0 y lo mantendremos constante, lo cual nos permitirá concentrarnos en aquello en lo cual nos queremos concentrar:


Podemos tomar esta función de onda como un ket en la notación bra-ket de Dirac. Una definición más formal y más completa enfatizando el hecho de que se trata de la función de onda de una partícula en el espacio-posición es la siguiente:


Juntándolo todo:


En un espacio tri-dimensional, lo anterior es especificado mediante vectores tridimensionales x y p de la siguiente manera:


¿Y cuál sería la representación de la función de onda correspondiente para la partícula libre en el espacio-momentum? Sería la siguiente:


Esta es una eigenfunción normalizada de la posición. Obsérvese que la diferencia sutil entre esta expresión y la anterior se encuentra en el signo del exponente.

La razón por la cual una función de onda ψx(p) en el espacio-momentum es completamente simétrica con respecto a su contraparte ψp(x) en el espacio-posición es porque el operador de la posición y el operador del momentum aparecen al mismo nivel en la ecuación fundamental de Born (véase la entrada titulada “La extraña ecuación de Max Born”), y por esta misma razón no hay un “tercer espacio” que participe en la fiesta.

En la Mecánica Ondulatoria, la función de onda ψ(x) definida en el espacio-posición es la solución a la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-posición, la misma ecuación que tradicionalmente se enseña en los cursos introductorios de Mecánica Cuántica, mientras que su contraparte la función de onda φ(p) es la solución a la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum. Ya hemos estudiado la ecuación de Schrödinger en el espacio-posición (véase la entrada titulada “La ecuación de Schrödinger”). La ecuación de onda de Schrödinger rara vez es discutida en los textos introductorios, y ello en virtud de que para poder obtenerla es necesario aplicar la transformada de Fourier a dicha ecuación diferencial, lo que generalmente nos conduce a una ecuación integral que no se presta al análisis simple. Aunque hay trabajos (tales como el documento titulado “Numerical approach to the Schrodinger equation in momentum space” elaborado por Wlliam Karr, Christoper Jamell y Yogesh Joglekar) que intentan hacer digerible a la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum, lo cierto es que el llevar a cabo todo lo que se pueda en el espacio-posición presenta enormes ventajas. Para el caso de una partícula libre, el supuesto básico es que la partícula se desplaza en una región de potencial V(x) constante que usualmente se toma como igual a cero. Si queremos llevar a cabo el análisis en el espacio-momentum suponiendo que el potencial V(x) no es constante, el problema que enfrentamos desde un punto de vista de interpretación puramente física es que podemos interpretar y entender sin problema alguno a un potencial que varía de acuerdo a la coordenada de la posición, mientras que si queremos darle una interpretación al mismo potencial en el espacio-momentum ello ya no se antoja apetecible, considerando que el potencial V(x) a su contraparte en el espacio-momentum V(p) tiene que ser transformado de acuerdo a la prescripción:


En los ejemplos dados en la entrada anterior para las eigenfunciones en el espacio-momentum de una partícula encerrada en una caja y del estado basal del átomo de hidrógeno, para obtener las eigenfunciones de onda Φn(p) que corresponden a los estados discretos Ψn(x) en el espacio-posición podríamos haber intentado llevarlo a cabo todo empezando con la ecuación de onda de Schrödinger en el espacio-momentum, pero ello nos habría llevado desde un principio a tener que resolver no una ecuación diferencial sino una ecuación integral, y todo para terminar obteniendo al final de cuentas el mismo resultado.

La representación dada a la función de onda en el espacio-momentum la podemos hacer en una forma completamente equivalente en el espacio-k. La representación en el espacio-momentum y la representación en el espacio-k son totalmente equivalentes en virtud de que la única diferencia entre ambas representaciones radica en que en una de ellas aparece explícitamente la constante universal ħ pero en la otra no, estando ambas relacionadas mediante la relación de De Broglie:

p = kħ

Hay, sin embargo, una ligera ventaja en darle una preferencia a la representación en el espacio-k sobre la representación en el espacio-momentum, y esta consiste de que en las representaciones llevadas a cabo en el espacio-k no aparece la constante ħ que de otra manera estaría siendo arrastrada a lo largo de cualquier desarrollo. Esto lo podemos apreciar mejor en las representaciones en el espacio-posición y en el espacio-k  de la partícula libre:


Antes de continuar adelante, veremos a continuación un resultado importante.

PROBLEMAObténgase la transformada de Fourier de la función delta de Dirac δ(x). Usando el resultado obtenido, demuéstrese que:


La transformada de Fourier de una función f(x) cualesquiera está dada por la relación:


Si lo que queremos es obtener la transformada de Fourier de la función delta de Dirac δ(x), entonces:


en donde hemos utilizado la propiedad de la función delta de Dirac bajo la cual el valor de la integral es igual al valor que toma el integrando en el punto especificado por la función delta de Dirac, en este caso en el punto x.=.0. Esta es la transformada de Fourier de la función delta de Dirac δ(x). Para demostrar la relación deseada, recurrimos al procedimiento inverso, a la transformada inversa de Fourier, con lo cual:


Usando el resultado obtenido en el problema anterior, la función delta de Dirac se extiende en forma natural a un espacio de tres dimensiones del siguiente modo (usaremos un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas, aunque el resultado final es válido en cualquier sistema de coordenadas ortogonales):


La función delta de Dirac en un espacio Cartesiano tridimensional es:


Por lo tanto:


Esto se puede compactar de la siguiente manera (obsérvese la notación que estamos introduciendo aquí para simbolizar a la función delta de Dirac en tres dimensiones):


Compactando un poco más con la ayuda de la notación vectorial:


Obsérvese que d3k no es la diferencial de un vector (desafortunadamente, esto a veces se presta a equivocaciones y confusiones).

La pareja de relaciones para las funciones de onda de una partícula libre en el espacio-posición y en el espacio-k dadas arriba en la notación bra-ket de Dirac son completamente consistentes con la definición y el uso que se le dá a dicha notación. Recurriendo a la siguiente definición sobre un espacio continuo (sin estados ligados) del operador identidad (relación de completitud o relación de cerradura) que se podemos insertar a conveniencia en cualquier punto:


obtenemos el siguiente resultado si recurrimos a lo que se obtuvo arriba para modificando un poco la notación de δ(3)(x) para el caso de la función delta de Dirac δ(3)(k):


Esta es precisamente la condición de normalización frecuentemente citada en muchos textos técnicos. Las dos condiciones de normalización para los eigenkets posición y k son pues:


Ahora bien, ya hemos visto en varias entradas que para una partícula libre que se desplaza en una región de potencial constante que tomaremos como igual a cero, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en el espacio-posición es la siguiente:


El proceso para convertir una función de onda Φ(p,t) del espacio-momentum a su contraparte Ψ(x,t) espacio-posición es el siguiente (obsérvese que el signo en el exponencial de la transformada de Fourier es negativo):


Tomando la derivada de esto último con respecto al tiempo, se tiene:


Por otro lado, tomando dos veces la derivada parcial de Ψ(x,t) con respecto a la variable de la posición, se tiene:


De la ecuación de Schrödinger dada arriba, se concluye entonces que:


En ambos lados de la igualdad tenemos dos funciones cuyas transformadas de Fourier son iguales. Entonces ambas funciones deben ser iguales, y se concluye que:


Esta relación la podemos someter de inmediato a una integración sencilla:


obteniendo:


Este resultado nos proporciona la evolución temporal de la función de onda de la partícula libre en el espacio-momentum.

En este punto, cabe detenerse un poco para reflexionar sobre el hecho de que una solución de la forma eikx a la ecuación de Schrödinger representa una onda senoidal (unidimensional) que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Esto puede ser aceptable para describir el comportamiento de un haz continuo de partículas coherentes como en el caso de un haz de fotones que forman parte de un haz luminoso láser que avanzan en forma sincronizada y en fase como si el enjambre constituyera una sola onda senoidal grande. Sin embargo, en el caso de una sola partícula individual, este modelo se derrumba, y se vuelve necesario recurrir a un paquete de onda que describa a dicha partícula solitaria. Para poder visualizar lo que ocurre en este caso, supóngase que se tiene un paquete de onda Gaussiano viajero (desplazándose en la misma dirección conforme avanza el tiempo) cuya función de onda representativa Ψ(x,t) en un tiempo inicial t.=.0 es la siguiente:


siendo l una constante real. La contraparte de esta función de onda en el espacio-momentum, o sea Φ(p,0), la podemos obtener mediante la transformada de Fourier aplicable en este caso:


Substituyendo en esto la función de onda Gaussiana Ψ(x,t), se tiene:


Usando el mismo procedimiento matemático de “completar el cuadrado perfecto” en el exponencial tratado en la entrada titulada “La partícula libre”, se obtiene después de las simplificaciones usuales:


Esto nos proporciona la función de onda Φ(p,0) en el espacio-momentum en un tiempo t.=.0. Pero ya obtuvimos arriba la relación mediante la cual podemos obtener Φ(p,t) a partir de Φ(p,0), con lo cual se tiene entonces:


De esta función de onda podemos obtener la densidad de probabilidad |.Φ(p,t).|2 que viene siendo:


Una esperanza matemática que ciertamente nos interesa obtener de esta función es el valor esperado del momentum, el cual a diferencia del valor esperado del momentum de la partícula encerrada en una caja que es igual a cero por estarse moviendo la partícula tantas veces hacia la derecha (con momentum positivo) como hacia la izquierda (con momentum negativo), debe ser un valor real distinto de cero porque la partícula libre representada como un paquete de onda Gaussiano siempre se está moviendo en la misma dirección. El valor esperado del momentum viene siendo:


Substituyendo en esto último lo que obtuvimos arriba para Φ(p,t) en el caso del paquete de onda Gaussiano, se tiene:


Para llevar a cabo la integración, haremos la siguiente substitución de variable:


Por lo tanto:


A continuación, podemos intentar evaluar el valor esperado del cuadrado del momentum:


Substituyendo en esto último lo que obtuvimos arriba para Φ(p,t) en el caso del paquete de onda Gaussiano, se tiene:


Nuevamente, la integración se puede simplificar recurriendo a una substitución de variable:


lo cual al desvanecerse la integral del término intermedio se reduce a:


Integrando ambos términos:


Teniendo esto, podemos evaluar la energía del paquete de onda Gaussiano viajero a través de la esperanza matemática del Hamiltoniano H de energía:


El primer término en particular es el que corresponde a la energía de un paquete de onda Gaussiano que se encuentra en reposo:


Entonces, de la relación:


puede verse que la energía total del paquete de onda Gaussiano es igual a la energía que tiene dicho paquete de onda cuando está en reposo, sumada a la energía cinética del paquete de onda asociada al movimiento del paquete de onda como un todo.

La notación que se ha introducido arriba puede ser ampliada y formalizada manteniéndose compatibilidad plena con todo lo que se ha visto. En particular, los eigenkets de posición (simbolizados a continuación de color azul) satisfacen la eigenecuación:


en donde el símbolo en color negro es el operador posición y el símbolo en color magenta es el eigenvalor de la posición (la observable que se puede medir en metros o centímetros y que puede tomar cualquier valor real sin estar discretizada), obedeciendo (en una dimensión) la condición de ortogonalidad que vimos arriba:


Con la ayuda del operador identidad (relación de completitud) el ket de estado para un estado físico arbitrario puede ser expandido en términos de eigenkets de posición:


En el reagrupamiento que se ha llevado a cabo en la segunda línea se ha destacado en color azul lo que en un desarrollo de Fourier vendría siendo un coeficiente de expansión interpretado de modo tal que:


es la probabilidad de que una partícula se encuentre dentro de un intervalo estrecho dx' centrado en torno a la posición x'. En el formalismo que estamos empleando, el producto interno:


es a lo que dentro de la Mecánica Ondulatoria nos hemos estado refiriendo como la función de onda ψα(x'en el espacio-posición:


Considérese ahora el producto interno:


Recurriendo nuevamente a la relación de completitud (operador identidad) para los eigenkets de posición, vemos que:


Esto es lo que caracteriza el traslape de dos funciones de onda. Aquí se obtuvo el traslape usando eigenkets del espacio-posición. Sin embargo, la representación es independiente del espacio bajo consideración, y habríamos obtenido el mismo resultado si se hubieran utilizado eigenkets del espacio-momentum para la expansión.

En nuestra notación formal, definimos de la siguiente manera al operador del momentum tal y como se usa en el espacio-posición:


Podemos replicar todo el desarrollo anterior para definir a la función de onda en el espacio-momentum. Los eigenkets de base en el espacio-momentum especifican la siguiente eigenecuación:


en donde en esta última expresión el símbolo en color negro es el operador momentum y el símbolo en color magenta es el eigenvalor del momentum (la observable que puede tomar cualquier valor real sin estar discretizada), obedeciendo (en una dimensión) la condición de ortogonalidad que vimos arriba:


De la relación dada anteriormente para el operador del momentum en el espacio-posición, si hacemos en ella α.=.p', entonces se tiene:


Recurriendo a la eigenecuación para los eigenkets en el espacio-momentum dada arriba, esto último se puede poner como (en esta línea el color magenta se usa para representar un eigenvalor del momentum que se puede sacar fuera del producto interno bra-ket por tratarse de una constante):


Esto viene siendo lo mismo que:


Integrando y simbolizando como C a la constante de integración:


Para obtener la constante de normalización C, considérese lo siguiente (se ha destacado en color magenta el uso del operador identidad):


Por la relación de ortogonalidad, lo que tenemos del lado izquierdo es simplemente:


mientras que el lado derecho (lo que aparece bajo el signo integral) puede ser evaluado usando la forma explícita de lo que obtuvimos arriba junto con el conjugado complejo de la misma:


Llevando a cabo la integración tal y como lo hicimos arriba en la forma convencional que se utiliza al trabajar con transformadas de Fourier, se tiene entonces que:


con lo que finalmente:


Esto le dá una justificación más formal a las relaciones que se han estado empleando arriba.

PROBLEMADemuéstrese que:


Para demostrar la relación que se está pidiendo (lo cual consiste realmente en obtener el operador posición expresado en el espacio-momentum), usando el resultado obtenido arriba y recurriendo a la relación de completitud (operador identidad) así como a la eigenecuación para los eigenkets de la posición empezamos por desarrollar lo siguiente:


Pero por otro lado, también de lo que hemos visto arriba se tiene que:


Tomando la derivada parcial de lo anterior con respecto a p'::


De este modo:


Recurriendo nuevamente a la relación de completitud, se tiene (obsérvese que para pasar de la segunda línea a la tercera línea usamos la propiedad principal de la función δ de Dirac que consiste en resolver la integración dándole al integrando el mismo valor en el cual la función δ adquiere su “pico” pronunciado y no es igual a cero, o sea en el punto p'.=.p'', mismo punto con el cual la función δ al ser integrada por sí sola produce un valor igual a la unidad):


con lo cual queda demostrada la relación pedida.

PROBLEMADemuéstrese que:


Este problema es en cierto modo muy parecido al problema anterior. Recurriendo a la relación de completitud y al resultado obtenido en el problema anterior, se tiene que:


con lo cual queda demostrada la relación pedida.

Bajo la óptica de la notación bra-ket de Dirac, lo que hemos visto podemos explorarlo desde una perspectiva un poco diferente. Recuérdese que, dado un operador matricial A, la operación:



nos permite extraer de la matriz A un elemento ubicado en cierto renglón y en cierta columna. Y esta operación sigue siendo válida incluso si se trata de una matriz continua A que no representa un sistema físico cuantizado en valores discretos (véase la entrada “Matrices continuas”). Si al producto de una función de onda que representa cierto estado físico β con el conjugado complejo de otra función de onda que representa cierto estado físico α le hacemos corresponder la notación usual del producto interno bra-ket:


entonces:


debe leerse como “el elemento matricial Ω tomado entre los estados α y β”. De este modo, la expresión:


puede leerse (por extraño que ello nos parezca) como “el elemento matricial del operador posición tomado entre los estados α y β dentro del espacio-momentum”. Lo más extraordinario es que si α y β representan respectivamente estados expandibles en eigenkets (o eigenbras) de momentum y/o eigenkets (o eigenbras) de posición, la definición sigue siendo válida.

El corazón mismo de la Mecánica Cuántica radica en la facultad de poder reemplazar en las ecuaciones correspodientes a las variables físicas que podemos medir con algún aparato o instrumento con operadores que representan a dichas variables, operadores que pueden ser matrices (en la Mecánica Matricial de Heisenberg) o que pueden ser incluso operadores diferenciales (en la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger). Este descubrimiento fue central para el desarrollo de prácticamente todo lo que se ha podido lograr desde el punto de vista teórico, y el concepto es de aplicación general. Tómese por ejemplo la distancia radial r que gracias al teorema Pitagórico sabemos que en un espacio Euclideano de tres dimensiones se puede expresar en coordenadas Cartesianas rectangulares de la siguiente manera:


Aquí estamos hablando de distancias que se pueden medir en metro o centímetros con una cinta de medir. Pero bajo el contexto de la Mecánica Cuántica, lo anterior puede representar también una cosa completamente diferente. Para poder apreciar esto, hágase:


Las variables en el lado derecho de la igualdad tienen la misma forma en el espacio-posición cuando representan opeadores. Sin embargo, no la tienen cuando representan operadores en el espacio-momentum. Si para pasar del espacio-posición al espacio-momentum hacemos las substituciones:


se tiene entonces:


Esta ya no es una simple distancia radial que podamos medir con una regla. Es un operador. Específicamente, se trata de un operador mecánico-cuántico que podemos utilizar en el análisis de problemas definidos dentro del espacio-momentum. Se trata de un operador posición distancia radial definido en el espacio-momentum. Las derivadas parciales deben ser interpretadas en cada coordenada Cartesiana pi como derivadas de segundo orden y no como simples derivadas parciales elevadas al cuadrado.

PROBLEMASupóngase que f(Aes una función de un operador (Hermitiano) A con la propiedad de que A pueda formar una eigenecuación al actuar sobre un eigenket de estado (lo que se muestra en color azul es el eigenket, mientras que lo que se muestra en color magenta es el eigenvalor o constante numérica que corresponde al resultado de llevar a cabo la operación):


Entonces, suponiendo que se conoce la matriz de transformación de la base a’ a la base b’, evalúese:



Suponiendo que el operador f(A) es un operador discreto que representa estados cuantizados, podemos usar entonces el operador identidad (relación de completitud o cerradura, destacado en color magenta) para llevar a cabo la siguiente expansión:


Aplicando la propiedad del operador f(A) en lo que respecta a la eigenecuación dada arriba y reagrupando, se tiene:


que es la propiedad buscada, la cual consiste en reducir la expresión matricial original (lado izquierdo de la igualdad) a un producto de dos productos internos bra-ket sacando fuera la constante numérica (color magenta) que resulta de corresponde al eigenvalor del operador matricial f(A).

PROBLEMAEvalúese y simplifíquese lo más que se pueda la expresión:


Usaremos aquí el análogo continuo (no discreto) del resultado obtenido en el problema anterior, aplicándolo al pie de la letra conservando el orden mostrado arriba:


Obsérvese que d3r representa un elemento diferencial de volumen (y no el diferencial de un vector) en el espacio tridimensional Euclideano. Pero por otro lado, en la expresión F(r) sí representa un vector tridimensional (desafortunadamente, llega un momento en el que los símbolos disponibles se tienen que utilizar para fines diferentes al no haber más simbología disponible).

Ya vimos arriba que:


Del mismo modo:


Por lo tanto:


Entonces:


Explícitamente, si llevamos a cabo la integración recurriendo a las coordenadas esféricas (r,θ,φ), algo que podemos hacer aunque hayamos empezado en un espacio de coordenadas rectangulares Cartesianas en virtud de que la notación vectorial es completamente general y válida bajo cualquier sistema de coordenadas (en esto radica precisamente la enorme utilidad del Análisis Vectorial), se tiene lo siguiente (lo que se muestra en color magenta es el elemento diferencial de volumen en coordenadas esféricas):


Para continuar, supondremos que F(r) es una función esféricamente simétrica, con lo cual podemos hacer F(r).=.F(r). Por otro lado, podemos sacar primero la integral más sencilla de las tres, la que corresponde a la coordenada angular φ, y podemos compactar un poco más lo que toca a la integral llevada a cabo sobre la coordenada θ en lo que viene siendo la substitución usual de variable para simplificar la integración, teniendo con esto:


Obsérvese que hemos hecho:


seleccionando al eje-z para coincidir con la dirección del vector p’-p’’. De este modo, se tiene finalmente:


No podemos avanzar más adelante a menos de que se tenga una expresión para F(r’).

PROBLEMADemuéstrese que:


Empezando con el término al lado izquierdo de la igualdad, podemos llevar a cabo el siguiente reagrupamiento bajo el contexto del álgebra de kets y bras:


En la última línea, lo que tenemos puesto entre corchetes es un operador posición x actuando sobre el bra (destacado en color magenta) que está a su izquierda. Ya sabemos cuál es el operador posición cuando dicho operador es expresado en el espacio-momentum. Llevando a cabo el reemplazo haciendo actuar dicho operador sobre el bra a la izquiera se tiene:


Obsérvese que, además de haberse agregado un sub-índice x a la variable del momentum para destacar el hecho que se está utilizando el operador del momentum que corresponde a la abcisa-x, en la segunda línea se ha intercambiado el orden con respecto al que se muestra en la primera línea. Sin embargo, la segunda línea es idéntica operacionalmente a la primera, porque en la primera línea tenemos un operador actuando sobre el bra que está a la izquierda, mientras que en la segunda línea se tiene al mismo operador actuando sobre el mismo bra que está ahora a su derecha. En ambos casos, es el mismo operador actuando sobre el mismo bra, y en esto no debe haber confusión alguna. De este modo, substituyendo esto último en lo que se tiene arriba entre corchetes, y repitiendo la misma operación por segunda ocasión, se tiene el resultado deseado:


Este resultado nos servirá para la resolución de lo siguiente.

PROBLEMAObténgase la ecuación de Schrödinger en el espacio-momentum para el oscilador armónico simple así como la forma general de las eigenfuciones de energía en el espacio-momentum.

Empezaremos con la ecución de Schrödinger dependiente del tiempo aplicada a un ket general de estado α igualmente válida tanto en el espacio-posición como en el espacio-momentum:


El operador Hamiltoniano de energía H para el oscilador armónico simple en el espacio-posición está dado por:


De este modo, para el oscilador armónico simple se tiene en el espacio-posición lo siguiente:


Podemos pre-multiplicar ambos miembros de esta igualdad con un bra que corresponda a un bra de momentum p’ simplificando un poco sacando fuera las constantes:


En el primer término, aplicando dos veces hacia la izquierda el operador p al bra de momentum produciendo el eigenvalor p’ en cada ocasión, resulta obvio que:


En lo que respecta al segundo término, podemos utilizar el resultado obtenido en el problema anterior escribiendo de inmediato lo siguiente:


De este modo, se tiene así:


Podemos reagrupar para obtener:


Esto implica que:


en donde Hp es el Hamiltoniano de energía en el espacio-momentum del oscilador armónico simple. Lo anterior es la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico simple expresada en el espacio-momentum.

Resulta evidente que para el oscilador armónico simple hay una simetría completa entre el operador de la posición y el operador del momentum p en la ecuación mecánico-cuántica expresada ya sea en el espacio-posición o en el espacio-momentum. Esto implica que, al tener las eigenfunciones de energía del oscilador armónico simple la forma normalizada:


en el espacio-posición, siendo Hn el polinomio de Hermite correspondiente (¡no confundir con el operador Hamiltoniano de energía H!), entonces las eigenfunciones de energía en el espacio-momentum para el oscilador armónico simple deben tener la forma:


Hemos estado utilizando en esta obra tanto la notación “clásica” de la Mecánica Ondulatoria como la notación más contemporánea basada en los bras y los kets de Dirac. Independientemente del hecho de que la comprensión o la resolución de algún problema se pueda facilitar empleando alguno de los dos sistemas de notación, es importante tener un dominio de ambas escuelas de simbolización porque en la literatura técnica contemporánea ambas se utilizan indistintamente. Tómese por caso el siguiente problema que será resuelto recurriendo a la notación “clásica” de la Mecánica Ondulatoria.

PROBLEMA: Supóngase que una función ψ(x) puede ser expandida mediante una serie de Taylor. Demuéstrese entonces que:


siendo x0 una distancia constante.

Puesto que, por hipótesis, la función puede ser expandida mediante una serie de Taylor, entonces podemos llevar  a cabo la siguiente expansión:


Por otro lado, también se tiene que:


Por lo tanto:


Resulta evidente que, como resultado de la operación anterior, el efecto resultante es tomar una función de onda ψ(x) y desplazarla en el espacio una distancia x0. El término exponencial actúa en efecto sobre la función de onda a su derecha como un operador exponencial. Y por este mismo efecto, la cantidad p/ħ es conocida como el generador de traslaciones en el espacio.

A continuación resolveremos un problema muy parecido al anterior, excepto que x en lugar de ser una variable será un operador. Podríamos recurrir al mismo procedimiento que se acaba de dar arriba, pero en esta ocasión lo haremos bajo la simbología de la notación bra-ket de Dirac, aprovechando el ejercicio para adquirir proficiencia en varios de los detalles propios de la simbología de los bras y los kets.

PROBLEMADada la siguiente relación:


en donde x es el operador posición y ξ puede ser un número cualquiera con las dimensiones del momentum, explíquese cuál es el significado físico de la relación.

Por principio de cuentas, puesto que la relación exponencial está definida sobre un operador, el operador posición, la relación es un operador, específicamente, un operador exponencial.

Considérese un eigenket de momentum cuyo eigenvalor sea p’. Entonces la siguiente ecuación eigen (en donde el eigenket está resaltado de color azul, el eigenvalor está resaltado en color magenta y el operador está en su color negro usual):


es una relación válida.

Considérese un ket definido de la siguiente manera:


construído habiéndose tomando el operador exponencial proporcionado y haciéndolo actuar sobre el eigenket de momentum. Nos preguntamos ahora si este es un eigenket de momentum, y si esto es así, nos preguntamos cuál puede ser su valor. Para indagar esto, haremos actuar el operador del momentum p sobre dicho eigenket:


A continuación, y llevando a cabo reagrupamientos, efectuaremos varios pasos adicionales para desarrollar la expresión en el lado derecho de la igualdad (no es necesario dar una explicación detallada de cada paso, ya que se han incluído suficientes detalles para que cada paso sea autoevidente):


Obsérvese que en el último paso se ha llevado a cabo una compactación recurriendo al conmutador de Born.

En otra entrada de esta obra se ha demostrado que cuando se tiene un conmutador de Born cuyo primer elemento es un operador del momentum p y cuyo segundo elemento es una función de la posición, entonces la siguiente relación es válida:


Aplicando esta relación a lo que tenemos arriba, se puede ver que:


Por lo tanto (obsérvese que al pasar de la primera línea a la segunda línea aplicamos el operador del momentum  p al eigenket de momentum obteniendo el eigenvalor p que por ser una constante numérica se puede mover hacia la derecha sacándolo fuera del alcance del operador exponencial):


Se deduce entonces que:


es un eigenket de p cuyo eigenvalor es p’+ξ. Y se deduce del mismo modo que el operador:



es un operador de traslación del momentum, siendo x el generador de la traslación del momentum hacia un nuevo valor. Veremos en mayor detalle este tipo de operadores exponenciales en las entradas correspondientes a temas como el operador de traslación, el operador de evolución del tiempo, y sobre todo, los importantísimos operadores de rotación.