En la entrada anterior, con la ayuda de la aproximación de Born se llevó a cabo la derivación de la siguiente relación:
en donde dr’ representa un elemento diferencial volumétrico.
En la práctica, casi siempre trabajamos con potenciales que son esféricamente simétricos, lo cual nos permite una mayor simplificación en la fórmula para f(θ,φ). Aunque la especificación de un ángulo sólido dΩ requiere de tanto de un ángulo θ como de un ángulo φ, en muchos casos hay una simetría esférica en torno al eje-z que permite llevar a cabo la integración en torno al ángulo φ dejando únicamente al ángulo θ como una única verdadera variable que hace la diferencia. La integración en torno al eje-z con respecto a φ produce, desde luego:
El conocimiento de esto permite simplificar la expresión que tenemos arriba para f(θ,φ) reduciéndola a una expresión que contiene únicamente a θ como variable, esto es, f(θ). Para obtener dicha expresión, haremos primero un ligero cambio notacional cuya única finalidad es mantener cierta congruencia con la literatura técnica en la relación que será derivada, reemplazando el vector K utilizado previamente más arriba con el símbolo vectorial q. De este modo, y removiendo las comillas por conveniencia, podemos escribir de un modo un poco más conveniente la expresión como:
Esta integral volumétrica expresada en forma vectorial puede ser llevada a cabo en cualquier sistema de coordenadas que resulte conveniente, y para hacer las cosas más sencillas la opción lógica es recurrir a las coordenadas esféricas (r,θ’,φ’) con el eje-z apuntando a lo largo de la dirección de q. En un sistema de coordenadas esféricas, el elemento infinitesimal de volumen es:
Puesto que no hay ninguna dependencia en φ’ en la dirección que estamos utilizando (la dirección del eje-z en torno al cual hay simetría esférica), podemos escribir el producto vectorial punto q·r simplemente como qrcos(θ’). Con estas simplificaciones y llevando a cabo la integración sobre φ’ (con lo cual la integral triple se reduce a una doble integral), podemos escribir entonces prescindiendo de la dependencia de φ’:
La integración angular es independiente del potencial (el cual depende únicamente de la coordenada radial), y llevando a cabo una segunda integración sobre todo el espacio definido por la variable angular θ que va desde 0 a π, se tiene entonces (obsérvese cómo la doble integral se reduce a una integral sencilla):
Tomando los límites indicados, la expresión simplificada que estamos buscando es la siguiente:
A continuación veremos una aplicación directa de la relación que acabamos de obtener para un caso importante, aquel en el cual el potencial repulsivo es conocido como el potencial de Yukawa, así llamado en honor al científico japonés Hideki Yukawa. El potencial de Yukawa está dado por una relación como la siguiente:
en donde el parámetro μ es el inverso de la longitud de onda Compton ħ/mc de cierta partícula llamada mesón y es lo que define el rango (alcance) del potencial.
Tomando la relación obtenida arriba:
y substituyendo el potencial Yukawa dentro de la misma, se tiene entonces:
Para poder llevar a cabo esta integración, y como un enunciado puramente matemático obtenido de la relación de Euler, tenemos lo siguiente:
La integración (indefinida, sin tomar límites aún) de la expresión del lado izquierdo se reduce por lo tanto a la suma de las integrales exponenciales de los dos términos del lado derecho, lo cual es una integración directa que produce el siguiente resultado:
Tomando los límites de r.=.0 a r.=.∞ se debe tener entonces que:
Entonces la amplitud del esparcimiento para un potencial Yukawa es:
Puesto que:
y puesto que:
se puede escribir entonces:
De esto último, vemos que para k2.«.μ2 se tiene un esparcimiento isotrópico, igual en todas las direcciones. En cambio, para k2.≈.μ2, la relación muestra una cúspide que puede ser apreciada con mayor claridad en el siguiente diagrama en el cual se ha hecho k.≈.μ:
PROBLEMA: Para el potencial Yukawa, encuéntrese la sección transversal diferencial frontal, esto es, el valor de dσ/dΩ evaluado en θ.=.0. Asimismo, encuéntrese el valor de cos(θ) en el cual la sección transversal diferencial ha caído a la cuarta parte de su valor con respecto al valor que tiene en θ.=.0.
Poniendo θ.=.0 en la fórmula obtenida arriba, se obtiene que la sección transversal diferencial frontal tiene el siguiente valor:
El valor de cos(θ) en el cual la sección transversal diferencial ha caído a la cuarta parte de su valor con respecto al valor que tiene en θ.=.0 lo obtenemos haciendo:
Esto es lo mismo que:
o bien, simplificando un poco y metiendo la longitud de onda λ en lugar del número de onda k:
Esta relación nos dice que el “pico” en la dirección frontal que se tiene en la gráfica en θ.=.0 disminuye conforme el momentum de la onda incidente aumenta.
Podemos construír un potencial tipo Yukawa muy parecido al potencial exhibido por una repulsión de naturaleza Coulómbica mediante la siguiente expresión (en el sistema de unidades MKS-SI):
Para μ→0, este potencial se reduce a un potencial Coulómbico. Usualmente se le suele llamar a un potencial de este tipo como un potencial Coulómbico velado (en la literatura inglesa, screened Coulomb potential). Este potencial es esencialmente lo mismo que un potencial Yukawa, difiriendo únicamente por un factor multiplicativo, de modo tal que los cálculos que hemos hecho arriba pueden ser trasladados a un potencial de este tipo. En los casos en los cuales el uso directo de un potencial Coulómbico conduce a dificultades matemáticas, podemos utilizar el potencial Coulómbico velado en los cálculos, y hacer μ→0 al final de los cálculos.
Haciendo la substitución:
obtenemos de inmediato lo siguiente:
Haciendo μ→0, obtenemos la sección transversal de Rutherford::
A estas alturas, puede resultar instructivo hacer una gráfica de un potencial Yukawa que muestre las trayectorias de algunas de las partículas que sean lanzadas a dicho potencial. Para fines ilustrativos, utilizaremos el siguiente potencial simplificado de Yukawa:
Si hacemos a.=.02, entonces el potencial repulsivo de Yukawa toma la forma:
Un potencial así tiene una gráfica como la siguiente en la cual se muestran también las trayectorias de varias partículas de un haz que son lanzadas en dirección del núcleo repulsivo:
En una simulación tridimensional con un haz de partículas arrojadas hacia un potencial repulsivo Yukawa, la esfera imaginaria cuyo centro está situado en el núcleo repulsor mostrará una distribución de partículas como la siguiente (el núcleo de repulsión es la partícula de color amarillo, las partículas de color rojo son las partículas que no son simplemente desviadas sino que son esparcidas “hacia atrás”):
Esta última ilustración resalta de manera más clara el efecto conocido como el esparcimiento sombra, esa región en la cual para el potencial Yukawa que estamos considerando está localizada de la siguiente manera:
La región de esparcimiento sombra es una en la cual no esperamos encontrar partícula alguna. Es algo como lo que ocurre en el esparcimiento producido por una esfera rígida y sólida. Al otro lado detrás de la esfera, hay una probabilidad cero de encontrar una partícula, y por lo tanto se debe crear una sombra. ¿Cómo podemos explicar esto bajo el contexto de la Mecánica Cuántica? En realidad, esto no presenta dificultad alguna. Detrás del objeto dispersor, se encuentra la onda incidente original (la cual estaría allí presente aunque el dispersor estuviera ausente), y se encuentra también la onda creada como consecuencia de la dispersión. En la región en donde ocurre el esparcimiento sombra, la onda esparcida es igual en amplitud (y por lo tanto en su flujo de probabilidad) a la onda incidente, pero fuera de fase. Esto lleva a una interferencia destructiva de ambas funciones de onda mediante la cual ambas se cancelan mutuamente, resultando en una probabilidad cero de poder encontrar partícula alguna detrás del objeto esparcidor. Lo paradójico del caso es que en la región donde no hay “nada” en realidad sí hay “algo”, dos ondas que por sus propiedades ondulatorias terminan cancelándose resultando en “nada”.
Hasta aquí hemos estado considerando imágenes estáticas (fijas, inmóviles, como si fuesen instantáneas fotográficas) del fenómeno del esparcimiento de partículas que se comportan como ondas de materia. Sin embargo, lo que ocurre en la vida real en el laboratorio es algo muy dinámico, muy activo, para cuya descripción teórica se vuelve necesario recurrir a la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo. Antes de entrar en complicaciones, se considera prudente reproducir aquí una simulacióno gráfica animada desarrollada por el equipo de investigadores M. Herman y A. Sergeev de Tulane University, que nos ilustra algunas de las cosas relevantes que ocurren cuando se lleva a cabo un esparcimiento de partículas ocasionado por un potencial repulsivo tipo Yukawa precisamente como el que hemos estado estudiando arriba:
Como puede apreciarse en la simulación, en el extremo izquierdo del gráfico animado se va moviendo de izquierda a derecha lo que es claramente una onda plana. Al llegar esta onda plana al núcleo de repulsión situado en el centro del gráfico animado y que actúa como dispersor de las partículas, se genera un tren de ondas esféricas que parece emanar radialmente fuera del núcleo dispersor. Obsérvese con detenimiento que el tren de ondas planas prosigue su camino de izquierda a derecha casi intacto (en conformidad con la aproximación de Born que impone como requisito que el potencial dispersor sea relativamente débil), pero al combinarse detrás del esparcidor con las ondas esféricas se generan entre ambos trenes de ondas lo que vienen siendo franjas de interferencia. Pero no solo se generan franjas de interferencia que en principio pueden ser observables en una pantalla perpendicular colocada en el extremo derecho del gráfico animado (franjas de interferencia que le hubieran sido muy difíciles de descubrir a Rutherford y sus colaboradores), obsérvese que también se generan franjas de interferencia antes del dispersor a causa de la misma combinación de ondas planas y ondas esféricas. Destaca también la zona de esparcimiento sombra detrás del núcleo dispersor, la cual tiene lo que parece ser la forma de un paraboloide, una zona en donde no esperamos encontrar partícula alguna. Esta zona de esparcimiento sombra es la región en donde hay una cancelación de las ondas de materia por la vía de la interferencia destructiva. La simulación nos muestra el comportamiento ondulatorio de la materia a niveles sub-microscópicos, y comparando este modelo ondulatorio con el modelo mostrado arriba basado en la suposición de que estamos hablando de partículas clásicas y no de ondas, podemos intuír mejor que nunca la dualidad onda-partícula de la que hemos estado hablando desde que tomamos la ecuación de Schrödinger y con ello la Mecánica Ondulatoria en nuestras manos.
