Clásicamente, si una partícula sólida (como una bala o una pelota) con una energía E pasa encima de un agujero o de un pozo profundo, no ocurre absolutamente nada mientras pasa por encima del pozo, suponiendo que no haya corrientes de aire saliendo del pozo que puedan alterar el recorrido de la partícula. Sin embargo, si la partícula es una onda de materia, la cosa cambia, y lo que nosotros usualmente tomamos como espacio vacío desprovisto de efectos resulta tener cierta estructura que depende de la forma del “piso” sobre el cual se llevan a cabo desplazamientos.
Enfrentemos pues esta situación contraria a nuestra intuición que nos ofrece el comportamiento ondulatorio de la materia.
PROBLEMA: Encuéntrense los coeficientes de transmisión y reflexión de una barrera finita de potencial especificada de la siguiente manera:
para una situación en la que la energía de las partículas que están incidiendo desde la izquierda sobre la barrera de potencial es mayor que la energía potencial de la barrera, o sea E>V0. Asimismo, investíguese el comportamiento del coeficiente de transmisión T tanto para la situación en la cual varía E-V0 como para la situación en la cual varía la anchura de la barrera.
De acuerdo a las especificaciones del problema, tenemos las siguientes tres regiones que deben ser tomadas en consideración:
Fijaremos un sistema de coordenadas acorde al enunciado del problema:
La ecuación de Schödinger independiente del tiempo para las regiones |x| > a (región 1 y región 3) en donde la energía potencial es igual a cero a está dada por:
Y en lo que cabe a la región intermedia (la región 2), en donde la energía de la partícula es menor que la energía potencial V0 de la barrera, la ecuación de Schödinger independiente del tiempo para esta región |x| < a es igual a:
Entonces, hablando desde el punto de vista estrictamente matemático, las soluciones a la ecuación de Schrödinger fuera de la barrera (regiones 1 y 3) son del tipo:
mientras que las soluciones a la ecuación de Schrödinger dentro de la barrera (región 2) son del tipo:
La solución matemática más general a la ecuación que corresponde a la región 1 es:
La solución matemática más general a la ecuación de onda que corresponde a la región 2 es:
Por último, la solución matemática más general a la ecuación de onda que corresponde a la región 3 es:
Esto lo podemos resumir de la siguiente manera:
Obsérvese que en la selección de coeficientes para las funciones de ψ3(x) usamos F y G pero no utilizamos E, en virtud de que puede ser confundido fácilmente con el símbolo que usamos para denotar a la energía de la partícula
De este modo, en su forma más general, los flujos posibles de partículas para las regiones bajo consideración serán los siguientes:
De nueva cuenta, por razones similares a las que fueron expuestas para el caso en el que E>V0, debemos asignarle al coeficiente G un valor de cero ya que no hay partículas incidiendo desde la derecha sobre la barrera de potencial.
En x.=.-a, la condición de que el valor de la función de onda ψ1(x) sea exactamente igual al valor de la función de onda ψ2(x) requiere que:
con esto se tiene entonces que:
Por otro lado, en el punto de encuentro x.=.-a también se requiere que las pendientes de ambas funciones de onda ψ1(x) y ψ2(x) sean iguales, esto es, dψ1/dx debe ser igual a dψ2(x)/dx:
Tomando derivadas tanto de ψ1(x) como de ψ2(x) e igualando en el punto de encuentro, se tiene:
Por otro lado, en x.=.a, la condición de que el valor de la función de onda ψ2(x) sea exactamente igual al valor de la función de onda ψ3(x) requiere que:
Con esto se tiene entonces que:
Antes de proseguir, se resalta el hecho de que aquí mismo podemos hacer una simplificación haciendo G.=.0, en virtud de que lo que intentaremos determinar es la probabilidad de un flujo de partículas de izquierda a derecha a través de la barrera de potencial, y el término con el coeficiente G representa un flujo de partículas incidente sobre la barrera de potencial desde la derecha (véase la figura de arriba), siendo que por hipótesis estaremos considerando que las únicas partículas que se estarán moviendo en la región 3 son las partículas que están saliendo hacia dicha región desde la barrera de potencial. Por lo tanto, lo anterior lo tomamos simplemente como:
Por otro lado, en el punto de encuentro x.=.a también se requiere que las pendientes de ambas funciones de onda ψ2(x) y ψ3(x) sean iguales, esto es, dψ2/dx debe ser igual a dψ3(x)/dx:
Tomando derivadas tanto de ψ2(x) como de ψ3(x) e igualando en el punto de encuentro, se tiene:
De este modo, las condiciones de frontera nos producen el siguiente conjunto de cuatro ecuaciones:
Multiplicando (1) por k1 y sumando miembro a miembro con (2):
se tiene una ecuación con solo tres coeficientes (A, C y D) en lugar de cuatro habiéndose eliminado el término con el coeficiente B:
Haciendo lo mismo con (1) y (2) pero recurriendo a una diferencia en lugar de una adición:
se tiene otra ecuación con solo tres coeficientes (B, C y D) en lugar de cuatro habiéndose eliminado el término con el coeficiente A:
Ahora trabajamos con las ecuaciones (3) y (4).
Multiplicando (3) por k2 y sumando miembro a miembro con (4):
se tiene una ecuación con solo dos coeficientes (C y F) en lugar de tres habiéndose eliminado el término con el coeficiente D:
Haciendo lo mismo con (3) y (4) pero recurriendo a una diferencia en lugar de una adición:
se tiene una ecuación con solo dos coeficientes (D y F) en lugar de tres habiéndose eliminado el término con el coeficiente C:
La resolución en la entrada anterior del problema de una barrera de potencial rectangular para el caso en el cual la energía E de la partícula es inferior a la altura V0 de la barrera de potencial resultó ser un poco tediosa en lo que al aspecto del álgebra requerida concierne, y el caso que aquí nos ocupa no es muy diferente ya que el desarrollo es similar. Continuando con la eliminación metódica y usando como recurso final de simplificación la fórmula de Euler, específicamente:
el resto del desarrollo involucra obtener una expresión que solo contenga los coeficientes A y F, que son los que nos interesan para evaluar la densidad de probabilidad de las partículas que están incidiendo desde la izquierda sobre la barrera de potencial (moviéndose de izquierda a derecha, o sea el término con el coeficiente A) y emergiendo de la barrera de potencial (moviéndose también de izquierda a derecha, o sea el término con el coeficiente F). Pasaremos por encima de lo poco que queda pendiente de álgebra y simplemente se reproducirán aquí los resultados que se obtienen.
El coeficiente de transmisión T para este problema está dado por:
Reemplazando los valores de k1 y k2 para poner el coeficiente de transmisión en función de la energía E y la energía potencial V0, es así como llegamos a la siguiente relación final para el coeficiente de transmisión a través de una barrera de potencial rectangular para el caso en el cual E>V0:
Por razones de mera conveniencia tipográfica, con la finalidad de obtener una mayor claridad en el texto impreso, en algunos libros se acostumbra dar el coeficiente de transmisión expresándolo como un inverso:
Anteriormente habíamos visto que para el caso de un potencial escalón cuando la energía E de la partícula es mucho mayor que el potencial V0 (E.».V0) el coeficiente de transmisión T es prácticamente igual a la unidad y hay una transmisión casi total de las partículas. Habíamos visto también que cuando E.=.V0 el coeficiente de transmisión de partículas se puede tomar como cero, misma situación para el caso en el cual E<V0.
En este problema, para el caso E.».V0, el factor que se muestra en rojo se puede tomar como cero:
En esta situación, tenemos un coeficiente de transmisión T = 1, y hay una transmisión casi total de partículas a través de la barrera de potencial.
Para el caso E.=.V0, reacomodando la expresión para remover la indeterminación matemática, tenemos que lo que está puesto en rojo es igual a cero:
En esta situación, no hay transmisión de partículas a través de la barrera de potencial.
Podemos obtener una mejor perspectiva de lo que está sucediendo al tomar aproximaciones si preparamos unas gráficas del coeficiente de transmisión T conforme variamos la anchura de la barrera de potencial mientras mantenemos fijo el potencial V0, y conforme variamos el potencial V0 mientras mantenemos fija la anchura de la barrera.
Nuevamente, como lo hicimos en el problema anterior, en un esfuerzo por obtener algunos resultados realistas, utilizaremos energías de reposo mc² estandarizadas. En particular, para la masa m de la partícula utilizaremos la energía de reposo aproximada de una partícula α, o sea mc² = 3758 MeV. Esto nos permite utilizar el valor ħc.=.197.3 MeV-F (unidad de longitud en fermis) directamente en las fórmulas para T. Supondremos que la energía de la partícula es E = 5 MeV. Con esto, manteniendo V0 = 1 MeV podemos preparar la primera gráfica en la cual variamos la anchura de la barrera a través del parámetro a:
El resultado obtenido es interesante, ya que el coeficiente de transmisión cae periódicamente por debajo de la unidad aunque de cualquier manera la transmisión de partículas se mantiene elevada. Podemos interpretar esto de la siguiente manera: las partículas viajeras que pasan por encima de la barrera de potencial poseen una cierta longitud de onda λ de acuerdo a la relación de De Broglie. Cuando la barrera de potencial posee una anchura que es un múltiplo de esta longitud de onda, se manifiesta una especie de “resonancia” que tiende a “atraer” a las partículas hacia la región región intermedia, la región 2. Esto abre la posibilidad de que si en vez de tener una barrera de potencial rectangular tuviésemos un pozo de potencial rectangular de profundidad finita, para ciertas energías habrá partículas viajeras que podrán quedar atrapadas dentro del pozo de potencial si la energía de las mismas concuerda con la energía del estado ligado o estados ligados que puedan ser determinados tanto por la profunidad del pozo de potencial como por su altura.
Ahora veremos lo que sucede con el coeficiente de transmisión T con la ayuda de la segunda gráfica en la cual manteniendo constante la anchura de la barrera variamos el potencial V0:
Podemos ver que a medida que el potencial cae a cero el efecto de la barrera de potencial rectangular sobre las partículas viajeras es prácticamente nulo al tomar el coeficiente de transmisión un valor igual a la unidad.
En todos los ejemplos y problemas que hemos estado cubriendo en esta serie de entradas tituladas “Transmisión y reflexión de partículas”, se ha supuesto que dentro de cada región de interés el potencial se mantiene constante, siendo igual a un simple número para efectos de análisis y cálculo:
V(x) = constante
Naturalmente, quisiéramos extender esto un poco más hacia adelante suponiendo que dentro de alguna región el potencial no se mantiene constante sino que varía de alguna manera. Después de todo, esto fue precisamente lo que motivó a Erwin Schrödinger a tomar la propuesta original de Louis de Broglie que asignó una longitud de onda λ a una partícula sub-microscópica de masa m moviéndose a una velocidad v en una zona de potencial constante hacia un caso más general en donde el potencial no permanece constante sino que varía de alguna manera. Posiblemente el caso más sencillo que podamos considerar es el de un potencial que varía linearmente de acuerdo a la prescripción:
V(x) = ax
siendo a una cantidad constante. Podemos imaginarnos de este modo algo así como una barrera de potencial triangular como la siguiente:
En la figura de arriba suponemos que incide de izquierda a derecha un flujo de partículas monoenergéticas, todas ellas con energía E. Suponemos de antemano que algunas de las partículas lograrán penetrar la barrera y saldrán por el lado derecho, mientras que otras será reflejadas siendo enviadas de regreso hacia la izquierda. Suponemos por lo tanto que también aquí podemos hablar de un coeficiente de transmisión T y un coeficiente de reflexión R. Obsérvese que para las condiciones mostradas se vuelve necesario considerar seis regiones distintas en lugar de tres. El montaje de las ecuaciones de onda en las regiones 1 y 6 es relativamente sencillo, y procede tal y como lo vimos arriba. Sin embargo, las regiones 2 y 3 así como las regiones 4 y 5 presentan un nuevo reto, porque en tales regiones el potencial no es constante sino variable. El problema en estas situaciones es que no hay soluciones analíticas exactas cuando el potencial manifiesta algún tipo de variación. Esto lo podemos ver con mayor claridad tomando la ecuación general de Schrödinger en una dimensión:
Si en cierta región tanto el potencial V(x) como la energía E son constantes, entonces la diferencia entre ambas cantidades es también una constante C, su simple número, y la ecuación anterior toma la forma:
La solución matemática de esta ecuación diferencial resulta ser extremadamente sencilla, ofreciendo soluciones analíticas exactas. Dependiendo de que la constante C sea positiva o negativa, la solución puede ser una solución de tipo exponencial o puede ser de tipo senoidal (o cosenoidal). Sin embargo, si el potencial V(x) no es constante, esto nos devuelve a la ecuación diferencial:
Y resulta que, excepto en casos muy contados y muy especiales, aquí ya no hay soluciones sencillas, y nos vemos obligados a tener que recurrir a aproximaciones.
Aún suponiendo en la figura de arriba que el haz de partículas posee una energía E tal que en ningún momento la energía de la partícula será inferior al potencial V(x), de cualquier modo esto subdivide la región del espacio en tres regiones, con las regiones 2 y 3 fusionándose en una sola y las regiones 4 y 5 fusionándose en otra sola región. Se tiene entonces un problema con cuatro regiones. Pero el problema sigue siendo algo complejo, porque las regiones intermedias en las cuales el potencial no es constante dificultan el poder llevar a cabo un simple montaje de ecuaciones simultáneas como se llevó a cabo arriba.
En lugar de considerar un problema de transmisión y reflexión de partículas como el que ocurre con una barrera de potencial triangular, podríamos tratar de considerar algo un poco más ameno, algo así como un pozo de potencial triangular en el cual se encuentra atrapada una onda de materia en dicho pozo e la manera siguiente:
Como la gráfica lo sugiere, este modelo puede estar inspirado en algo así como una pelota que se encuentra rebotando bajo la accion de un campo gravitacional, con una de las líneas azules fijando la trayectoria de la caída y con la otra línea azul fijando la trayectoria de ascenso después del rebote. Con algo así, podemos sospechar que en un pozo de potencial triangular o algo que se le aproxime de alguna manera la energía de una onda de materia no podrá tomar cualquier valor, sospechamos que la energía estará discretizada en virtud de que se requiere el poder “ajustar” múltiplos de medias longitudes de ondas de materia dentro del pozo (aún suponiendo que “algo” de la función de onda alcance a penetrar a cada lado dentro del potencial).
Más allá del simple caso en el cual el potencial V(x) varía linearmente, podemos tratar de investigar el caso en el cual el potencial tiene algún tipo de variación cuadrática:
V(x) = ax²
El primer ejemplo obvio que se nos viene a la mente con un potencial parabólico de esta índole es el de un oscilador armónico simple, posiblemente dos partículas sub-atómicas “conectadas” de alguna manera con una fuerza que tiene el efecto de un “resorte”. Extendiendo esto aún más como lo hicimos arriba, podemos intentar resolver algo como un pozo de potencial semi-infinito, una de cuyas paredes es impenetrable (representada por un potencial infinitamente alto) estando dada la otra pared por una variación parabólica del potencial, algo como el siguiente potencial de medio oscilador armónico:
Sin embargo, inclusive para algo tan sencillo como el pozo de potencial triangular que varía linearmente, ya no se diga el potencial de medio oscilador armónico, resulta que tenemos que recurrir a algo tan sofisticado como las funciones de Airy, y eventualmente tenemos que recurrir a procedimientos gráficos para poder obtener resultados numéricos aplicables al comportamiento de las funciones de onda en tales situaciones. No debe causar pues asombro el hecho de que, desde sus inicios, la Mecánica Cuántica requirió del desarrollo de técnicas de aproximación. Entre las técnicas que veremos posteriormente para problemas tales como el pozo de potencial triangular y el potencial de medio oscilador armónico, se encuentra una técnica conocida como el “método de aproximación WKB”, además de otras técnicas como las series de perturbación y el método de variación. Afortunadamente, mediante el uso correcto de técnicas de aproximación, podemos llegar muy lejos en la explicación teórica de muchos fenómenos naturales. Sin técnicas de aproximación, no llegamos a ningún lado. Esto explica el por qué un físico prudente trata de cultivar amistades con matemáticos aunque no les entienda mucho de su lenguaje formal ni los matemáticos entiendan muy bien qué es lo que pretende hacer el físico con las soluciones que le están proporcionando.