Momento angular orbital: análisis ondulatorio I

Clásicamente, el momento angular L de una partícula con un momento lineal p girando a una distancia r en torno a un núcleo de atracción está definido como el producto cruz de los dos vectores r y p:

L = r×p

En un sistema de coordenadas Cartesianas (x, y, z), esta definición nos produce tres componentes ortogonales de L: (L_x, L_y, L_z), los cuales se obtienen de las proyecciones de los vectores r = (x, y, z) y p = (p_x, p_y, p_z):

L = (L_x, L_y, L_z) = (x, y, z)×(p_x, p_y, p_z)

usando un sistema de vectores unitarios de base {i, j, k} a través de un determinante:

de donde se puede leer directamente:

L_x = yp_z - zp_y

L_y = zp_x -xp_z

L_z = xp_y - yp_z

En estas fórmulas lo que tenemos son variables continuas, las cuales pueden tomar los valores que medimos experimentalmente en un laboratorio. Pero como lo hemos visto, en la Mecánica Ondulatoria lo que representa a las variables físicas son operadores y no variables reales. Si queremos incorporar al momento angular orbital bajo el concepto ondulatorio, tenemos que hacer algún cambio que involucre a los operadores que serán utilizados. Puesto que en la Mecánica Ondulatoria el operador para el momentum está dado por un operador diferencial, tenemos que modificar las relaciones anteriores para el momento angular escribiéndolas de la siguiente manera:

L_x = yP_z - zP_y

L_y = zP_x -xP_z

L_z = xP_y - yP_z

de modo tal que estemos utilizando en dichas definiciones los siguiente operadores:

Así, los operadores del momento angular orbital que serán utilizados dentro de la Mecánica Ondulatoria serán los siguientes:

Debe ser obvio de inmediato que, por su propia naturaleza, estos operadores no son conmutativos, y debemos recordar aquí que lo mismo sucedió en el tratamiendo del momento angular mediante la Mecánica Matricial en la cual los operadores por ser matrices tampoco eran conmutativos.

Al tratar con anterioridad dentro del contexto de la Mecánica Matricial el asunto de “El spin del electrón”, habíamos visto que si en un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas tratamos de medir con precisión ilimitada las proyecciones del spin del electrón a lo largo los tres ejes, esto no será posible, y de hecho sólo será posible medir con precisión el spin en uno solo de dichos ejes, usualmente identificado como el eje-z, algo que no ocurre en la mecánica clásica en donde sí es posible descomponer un vector en sus tres proyecciones sobre los ejes ortogonales de un sistema Cartesiano de coordenadas. Esto debe despertar nuestras sospechas de que, tratándose del momento angular orbital, en el mundo sub-microscópico ocurra algo similar y tampoco sea posible medir las tres componentes del momento angular orbital sobre un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares, manifestando los efectos en acción del omnipresente principio de incertidumbre. Y esto resulta ser así, en efecto, lo cual podemos corroborar con las relaciones que acabamos de obtener arriba.

PROBLEMA: Demostrar que no se pueden conocer simultáneamente las tres componentes del momento angular orbital.

Para llevar a cabo la demostración, supóngase que sí se pueden conocer las tres componentes del momento angular orbital. En tal caso, el vector momento angular orbital se puede representar del modo siguiente con sus proyecciones sobre los tres ejes coordenados:

siendo l_x, l_y y l_z  las observables (cantidades medibles, los eigenvalores) que corresponden a los operadores L_x, L_y y L_z. Gírese ahora el sistema de coordenadas de modo tal que la magnitud l del momento angular orbital coincida con el eje-z sin tener proyecciones sobre el eje-x y el eje-z:

En el sistema de coordenadas rotado, la función de onda ψ que representa al estado del sistema será una función eigen de los operadores L_x, L_y y L_z, de modo tal que podemos escribir de inmediato el siguiente sistema de ecuaciones:

en donde hemos llamado A al eigenvalor del momento angular orbital que corresponde al único valor esperado medible dentro del sistema de coordenadas rotado. Si substituímos las expresiones explícitas mecánico-cuánticas para L_x y L_y, obtendremos lo siguiente:

Eliminando ∂ψ/∂z’ simultaneando estas dos ecuaciones, obtenemos el siguiente resultado:

o lo que es lo mismo:

Con esto, deducimos entonces que:

Pero esto contradice la hipótesis según la cual estamos midiendo y dándole un valor real al momento angular orbital a lo largo del eje-z, a menos de que hagamos A = 0 en cuyo caso no hay momento angular orbital alguno a medir. De este modo, la suposición de que es posible conocer las tres componentes del momento angular orbital resulta ilógica, a menos de que el momento angular orbital sera igual a cero.

PROBLEMA: Demuéstrese, usando notación operacional, que:

[L_z, x] = iħy

Operacionalmente hablando, tenemos lo siguiente para L_z:

L_z = xP_y - yP_x

Premultiplicando y postmultiplicando por la observable x obtenemos las siguientes dos expresiones:

L_zx = xP_yx - yP_xx

xL_z = x²P_y - xyP_x

Restando miembro a miembro la segunda igualdad de la primera:

L_zx - xL_z = xP_yx - yP_xx - x²P_y + xyP_x

[L_z, x] = xP_yx - x²P_y + xyP_x - yP_xx

= x(P_yx - xP_y) + xyP_x - yP_xx

= - x(xP_y - P_yx) + xyP_x - yP_xx

= - x[x, P_y] + xyP_x - yP_xx

Pero [x, P_y] = 0 por tratarse de dos observables compatibles. Entonces:

[L_z,x] = xyP_x - yP_xx

Puesto que las observables x y y (operadores posición) son observables compatibles, como tales son operadores que conmutan, y tenemos entonces que xy = yx, con lo cual:

[L_z, x] = yxP_x - yP_xx

[L_z, x] = y(xP_x - P_xx)

[L_z, x] = y[x, P_x]

Pero [x, P_x] = iħ. Entonces:

[L_z, x] = iħy

Del mismo modo podemos demostrar que:

[L_z, y] = iħx__[L_x, y] = iħz__[L_x, z] = iħy__[L_y, x] = iħz__[L_y, z] = iħx

Lo que tenemos aquí en realidad son relaciones de Born, que nos revelan la naturaleza de estos operadores de momento angular con las coordenadas con las cuales constituyen observables incompatibles.

PROBLEMA: Demuéstrese, usando notación operacional, que:

[L_z, P_x] = iħP_y

Expandiendo el conmutador que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad:

[L_z, P_x] = L_zP_x - P_xL_z

Substituyendo la expresión operacional para L_z:

[L_z, P_x] = (xP_y - yP_x)P_x - P_x(xP_y - yP_x)

_____= xP_yP_x - yP_x² - P_xxP_y + P_xyP_x

_____= xP_yP_x - P_xxP_y + P_xyP_x - yP_x²

Pero:

xP_y = P_yx__por tratarse de observables compatibles

P_xy = yP_x__por tratarse de observables compatibles

Entonces:

[L_z, P_x] = xP_yP_x - P_xP_yx + yP_x² - yP_x²

_____= xP_yP_x - P_xP_yx

Nuevamente, P_xP_y = P_yP_x, por tratarse de observables compatibles. Entonces:

[L_z, P_x] = xP_xP_y - P_xP_yx

_____= [x, P_xP_y]

Finalmente, usando la relación de Born [x, P_x] = iħ:

[L_z, P_x] = [x, P_x]P_y + P_x[x, P_y]

[L_z, P_x] = (iħ)P_y

[L_z, P_x] = iħP_y

PROBLEMA: Demostrar que el operador:

L² = L_x² + L_y² + L_z²

conmuta con los tres operadores L_x, L_y y L_z.

Trabajaremos primero con y L_x usando el conmutador:

[L², L_x] = [L_x² + L_y² + L_z², L_x]

[L², L_x] = [L_x², L_x] + [L_y², L_x] + [L_z², L_x]

[L², L_x] = [L_y², L_x] + [L_z², L_x]

A continuación obtendremos una expresión para el primer término que tenemos en el lado derecho de la igualdad, para lo cual usaremos los resultados obtenidos previamente en esta entrada:

[L_y, L_x] = - iħL_z

L_yL_x - L_xL_y = - iħL_z

Premultiplicando ambos miembros por L_y:

L_y²L_x - L_yL_xL_y = - iħL_yL_z

Puesto que L_y conmuta con L_x y con L_z:

L_yL_xL_y - L_xL_y² = - iħL_zL_y

Sumando miembro a miembro estas dos últimas relaciones:

L_y²L_x - L_xL_y² = - iħL_yL_z - iħL_zL_y

[L_y², L_x] = - iħ(L_yL_z + L_zL_y)

De la misma manera, expandiendo [L_z, L_x] = iħL_y en forma similar se obtiene lo siguiente:

L_z²L_x - L_xL_z² = iħ(L_zL_y + L_yL_z)

[L_z², L_x] = iħ(L_yL_z + L_zL_y)

Sumando [L_y², L_x] y [L_z², L_x] miembro a miembro tenemos entonces:

[L_y², L_x] + [L_z², L_x] = 0

y por lo tanto se concluye que:

[L², L_x] = 0

Del mismo modo, podemos demostrar que:

[L², L_x] = 0___[L², L_x] = 0

Se concluye que el operador L² conmuta con los tres operadores L_x, L_y y L_z.

Puesto que la componente L_z del momento angular orbital y el cuadrado de la magnitud del momento angular orbital  L² conmutan entre sí, es posible escoger eigenfunciones de onda que son eigenfunciones simultáneas de ambos operadores. Esto nos permite entonces montar las siguientes dos eigenecuaciones:

L²ψ = aψ

L_zψ = bψ

De la relación:

L² = L_x² + L_y² + L_z²

es evidente que las esperanzas matemáticas de L² y de L_z² deben satisfacer la siguiente desigualdad:

Si esto es cierto, entonces lo siguiente también debe serlo:

A estas alturas, resulta conveniente repasar las enormes ventajas que tuvo el análisis mecánico-cuántico del oscilador armónico simple llevado a cabo mediante las técnicas algebraicas basadas en el uso de los operadores escalera, estudiados en las dos entradas tituladas “Los operadores escalera”, lo cual nos lleva a considerar el siguiente par de operadores escalera:

L₊ = L_x + iL_y

L_.- = L_x - iL_y

que frecuentemente se simbolizan juntos como:

L_± = L_x ± iL_y

Es fácil verificar, por multiplicación directa, y haciendo uso de las propiedades del conmutador, que:

Haciendo uso de otros conmutadores afines a los operadores del momento angular, se puede demostrar también que:

Esta expresión nos dice que los operadores L₊ y L_.- desempeñan el papel de operadores escalera con respecto a las dos eigenecuaciones dadas arriba. Si usamos esta última relación en lo que se obtiene de multiplicar con L₊ por la izquierda la relación:

L_zψ = bψ

se obtiene entonces:

L_z(L₊ψ) = (b + ħ)(L₊ψ)

Haremos la demostración de esto último en detalle:

L_zψ = bψ

L₊(L_zψ) = L₊(bψ)

L₊L_zψ = bL₊ψ

Pero:

[L_z, L₊] = ħL₊

L_zL₊ - L₊L_z = ħL₊

L₊L_z = L_zL₊ - ħL₊

Por lo tanto:

(L_zL₊ - ħL₊)ψ = bL₊ψ

L_zL₊ψ - ħL₊ψ = bL₊ψ

L_z(L₊ψ) = (b + ħ)L₊ψ

Esta es una nueva eigenecuación con un eigenvalor (b + ħ) y en donde la eigenfunción es L₊ψ:

Puesto que L² conmuta con todos los tres componentes del vector L.=.(L_x,L_y,L_z), resulta evidente que pre-multiplicando la ecuación:

L²ψ = aψ

por L₊ se obtendrá:

L₊(L²ψ) = L₊(aψ)

L²(L₊ψ) = a(L₊ψ)

Esta también es otra eigenecuación con un eigenvalor a en donde la eigenfunción también es L₊ψ:

De este modo, resulta evidente que el operador escalera L₊ actuando sobre la función de onda formando con ello una función de onda nueva que es igual en ambos casos viene siendo una eigenfunción simultánea de L_z y de L², esto es, genera una nueva eigenfunción simultánea de estos dos operadores para la cual el eigenvalor de L² permanece inalterado pero para la cual el eigenvalor de L_z es incrementado en una cantidad ħ. El eigenvalor b tiene una cota superior, ya que si no la tuviera la desigualdad:

sería violada. Por lo tanto, si suponemos que el eigenvalor b es el eigenvalor máximo compatible con esta desigualdad, entonces la ecuación:

L_z(L₊ψ) = (b + ħ)(L₊ψ)

solo puede ser satisfecha para el caso trivial en el cual la eigenfunción de onda se desvanece en todas partes:

L₊ψ = 0

Si pre-multiplicamos esta relación con L_.- y usamos la relación dada arriba:

L_.-L₊ = L² - L_z² - ħL_z

entonces se tiene:

L_.-L₊ψ = 0

(L_.-L₊)ψ = 0

(L² - L_z² - ħL_z)ψ = 0

L²ψ - L_z(L_zψ) - ħ(L_zψ) = 0

De esto y de las relaciones:

L²ψ = aψ

L_zψ = bψ

se obtiene:

aψ - b²ψ -bħψ = 0

a = b(b + ħ)

Del mismo modo, si pre-multiplicamos a:

L_zψ = bψ

por el operador L_.- y usamos:

entonces, después de llevar a cabo un total de n iteraciones, se tiene:

L_z(L_.-ⁿψ) = (b - nħ)(L_.-ⁿψ)

Haremos la demostración de esto último en detalle, empezando con:

L_zψ = bψ

L_.-(L_zψ) = L_.-(bψ)

(L_.-L_z)ψ = b(L_.-ψ)

Pero:

[L_z, L_.-] = -ħL_.-

L_zL_.- - L_.-L_z = -ħL_.-

L_.-L_z = L_zL_.- + -ħL_.-

Por lo tanto:

(L_zL_.- + ħL_.-)ψ = b(L_.-ψ)

L_zL_.-ψ = (b - ħ)L_.-ψ

L_z(L_.-ψ) = (b - ħ)(L_.-ψ)

Esto que acabamos de obtener en este paso intermedio es obviamente otra eigenecuación en donde el operador escalera que interviene en la formación de la nueva eigenecuación es L_.- en lugar del operador escalera L₊:

Aplicando L_.- nuevamente sobre esto último:

(L_.-L_z)(L_.-ψ) = (b - ħ)(L_.-²ψ)

(L_zL_.- + ħL_.-)(L_.-ψ) = (b - ħ)(L_.-²ψ)

L_zL_.-²ψ = (b - ħ)(L_.-²ψ) - ħL_.-²ψ

L_z(L_.-²ψ) = (b - 2ħ)(L_.-²ψ)

En general:

L_z(L_.-ⁿψ) = (b - nħ)(L_.-ⁿψ)

De nueva cuenta, esto está en la forma de una ecuación de eigenvalores, que puede ser escrita como:

L_zψ’ = (b - nħ)ψ’

habiéndose hecho:

ψ’ = L_.-ⁿψ

El cuadrado de este eigenvalor (b - nħ) puede ser aumentado sin límite alguno haciendo a n suficientemente grande. Por lo tanto, debe de haber un valor máximo de n para el cual la desigualdad:

pueda ser satisfecha. Supóngase que n es este valor máximo. Si este es el caso, entonces la aplicación sucesiva del operador escalera L_.- a ψ’ debe producir un valor de cero:

L_.-ψ’ = 0

Si pre-multiplicamos esta ecuación por el operador escalera L₊ y usamos la relación dada arriba:

L₊L_.- = L² - L_z² + ħL_z

el resultado será:

L₊L_.-ψ’ = (L² - L_z² + ħL_z)ψ’

L₊L_.-ψ’ = [a - (b - nħ)² + (b - nħ)ħ]ψ’ = 0

de lo cual se obtiene en virtud de que el coeficiente debe ser cero al suponerse que la función ψ’ no lo es:

a = (b - nħ)² + (b - nħ)ħ

Si combinamos esto con la ecuación obtenida arriba:

a = b(b + ħ)

entonces a puede ser eliminada para dar:

0 = - 2bnħ - 2bħ + nħ² + n²ħ²

Esto último puede ser factorizado para dar:

2b(n + 1) = n(n + 1)ħ

En virtud de que el número n debe ser positivo, de lo anterior se obtiene de manera inmediata:

Esto último nos dice que l debe ser un número positivo, ya sea un entero o un medio-entero, dependiendo del hecho de que el número cuántico n sea par o impar. Posteriormente se verá que, para el momento angular orbital que está siendo considerado aquí, l sólo puede tomar valores integrales (el significado de los valores impares de n se verá posteriormente), esto es:

l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Substituyendo el valor de b que se acaba de obtener en la ecuación:

a = b(b + ħ)

se obtiene como eigenvalor para el cuadrado del momento angular:

a = lħ(lħ + ħ)

a = l(l + 1)ħ²

Los resultados intermedios del desarrollo que hemos llevado a cabo se pueden sintetizar de la siguiente manera en las siguientes eigenecuaciones:

Estas son las eigenecuaciones del momento angular orbital. Sobre la base de que se supone de antemano que las eigenfunciones de onda son funciones de onda normalizadas, de la primera eigenecuación se puede obtener la esperanza matemática para el cuadrado de la magnitud del momento angular orbital que viene siendo:

Del mismo modo, de la segunda eigenecuación se puede obtener la esperanza matemática de la componente-z del momento angular orbital, esto es, la esperanza matemática de la proyección de la magnitud del momento angular orbital sobre el eje-z:

Obsérvese que la notación ha sido cambiada ligeramente para darle a la función de onda dos sub-índices l y m_l que corresponden a los eigenvalores de L² y de L_z (y traer a la notación para que esté más en conformidad con el tipo de notación utilizada en los textos contemporáneos en su tratamiento convencional del momento angular orbital). El sub-índice ayuda a evitar que m_l pueda ser confundida con m_s (estando esta última reservada para el momento angular intrínseco del spin del electrón). En lo que hemos obtenido arriba, l solo puede tomar valores integrales, esto es:

l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

mientras que m_l solo puede tomar valores integrales positivos y negativos tales que:

l ≥ |m_l|

Haciendo memoria, podemos darnos cuenta de que los resultados obtenidos aquí reproducen los mismos resultados que se obtuvieron a través de la Mecánica Matricial, excepto por la circunstancia de que aquí no fue necesario utilizar ni matrices ni vectores. Esto nos confirma que la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria son filosofías y técnicas diferentes para llegar esencialmente a las mismas conclusiones finales.

Las eigenecuaciones del momento angular orbital también pueden ser expresadas mediante la notación bra-ket de Dirac, para lo cual podemos definir al eigenket del momento angular orbital de la siguiente manera:

En virtud de que en la notación bra-ket las referencias simbólicas dentro del eigenket al momento angular orbital no puede ser confundidas con otras cosas, el sub-índice en m mostrado en el eigenket intermedio de la línea de arriba se vuelve optativo, razón por la cual se puede utilizar en su lugar el eigenket mostrado en el extremo derecho de la línea de arriba (y de hecho, se puede prescindir del sub-índice también en la notación clásica de la Mecánica Ondulatoria cuando se tiene claro que se trata de un número cuántico relacionado con el momento angular orbital). De este modo, las eigenecuaciones del momento angular orbital expresadas en notación bra-ket vienen siendo:

El eigenket del momento angular orbital es un eigenket simultáneo en virtud de que puede ser trabajado por dos operadores distintos, L² y L_z. Resulta obvio aquí que sólo una de las tres componentes Cartesianas del momento angular orbital puede ser especificada en un momento dado (en este caso, L_z), en virtud de que los operadores para las tres componentes Cartesianas del momento angular orbital no conmutan entre sí. La selección de los operadores L² y L_z como operadores mutuamente conmutables (representando observables compatibles) es en cierto modo arbitraria. El que las funciones de onda den relevancia a cierta dirección espacial para su consideración sobre las otras dos direcciones Cartesianas significa simplemente que se requiere de una medición de esta componente en particular antes de que se sepa que el sistema se encuentra en uno de estos estados. L_x o L_y podrían muy bien haber sido escogidas en lugar de L_z.

Aunque el conocimiento simultáneo de dos de las componentes Cartesianas del momento angular orbital es imposible, algo se puede decir acerca de las otras dos componentes. Por ejemplo, para una partícula que se encuentra en un estado de momento angular orbital especificado por las ecuaciones de arriba, se puede demostrar que los valores esperados para L_x y L_y son (esta demostración será vista en la siguiente entrada):

Se puede demostrar también lo siguiente:

Obsérvese de esta última relación que cuando el momento angular orbital es “paralelo” al eje-z (lo cual ocurre para m.=.l) la componente-x cuadrática y la componente-y cuadrática siguen teniendo un valor diferente de cero, lo cual implica que la alineación “perfecta” (paralela) con el eje-z es algo que nunca se logrará.

Un modelo geométrico puede resultar de gran ayuda para visualizar los resultados obtenidos hasta este punto. Considérese la longitud del vector momento angular orbital L que viene siendo:

Las 2l+1 proyecciones de este vector sobre el eje-z están dadas por m_lħ con:

m_l = 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ... , ±.l

Obsérvese que la proyección sobre el eje-z nunca excede la longitud del vector momento angular orbital L. El vector momento angular orbital puede ser visualizado trazado sobre la superficie de un cono que tiene al eje-z como eje de simetría con una altura m_lħ. Se supone que todas las posiciones y orientaciones posibles (cuantificadas) del vector momento angular son igualmente probables.

Considerando al vector momento angular orbital L de una partícula como una cantidad vectorial propia de la Mecánica Cuántica, tenemos pues como hecho cierto la validez de las siguientes relaciones:

|L|² = l(l + 1)ħ²

L_z = mħ

en donde l puede tomar los números enteros:

l = 0, 1, 2, 3, 4, ...

y m puede tomar valores enteros positivos o negativos tales que l ≥ |m|.

El número cuántico m está asociado con la orientación del momento angular o, clásicamente, el eje de la órbita del electrón en torno al núcleo atómico. Un electrón, en la órbita clásica de Bohr, es esencialmente una corriente eléctrica en una bobina. La teoría de la electricidad y el magnetismo nos dice que éste sería un pequeño electroimán, de modo tal que si lo colocamos entre los polos de un imán, tendería a orientarse en tal forma que el polo norte del átomo estaría tan cerca como fuera posible de la cara que corresponde al polo sur del imán. La solución de la ecuación de onda para el átomo hidrogenoide nos indica que las orientaciones en el campo magnético están limitadas a cierto número fijo como lo indica la siguiente figura que nos muestra dos orientaciones diferentes posibles:

Si los ángulos de estas orientaciones permitidas pudieran medirse en términos de un ángulo α con respecto a la alineación de las líneas de fuerza del campo magnético aplicado, entonces puesto que la magnitud máxima del momento angular está dada por √l(l+1)ħ y puesto que la magnitud de la componente-z del momento angular es |m|ħ podemos escribir una relación como la siguiente:

En otras palabras, en un campo magnético hay una orientación permitida para cada valor de m. En ausencia de un campo magnético, el cual esencialmente establece una dirección especial en el espacio, los átomos que solo difieren en el valor de m no se pueden diferenciar entre sí, y los estados ahora degenerados se confunden en uno solo. Esto explica el por qué al aplicarse un campo magnético a un gas las líneas de su espectro se desdoblan al momento de romperse la degeneración con la aplicación del campo magnético.

PROBLEMA: A partir de las propiedades de los números cuánticos m y l, demuéstrese que un magneto elemental formado por un átomo de hidrógeno en el estado n.=.2 y l.=.p.=.1 nunca puede alinearse paralelamente a los polos de un magneto. ¿Cuál es la alineación más cercana a que podría llegar?

Aplicando la definición dada arriba:

En ninguno de los tres casos el magneto elemental llega a alinearse paralelamente a los polos del imán que produce el campo magnético en el que es colocado. Aquí la alineación más cercana a la que puede llegar es de 45°. En general, el vector momento angular orbital nunca puede estar alineado paralelamente al campo magnético, ya que ello requeriría que el ángulo α tomase un valor de cero grados o de 180°, para lo cual se requeriría que:

m/√l(l+1) = 1

m = √l(l+1)

Pero esto no es posible porque los valores enteros que puede tomar m están limitados al rango m.=.± l.

Si bien bajo la aplicación de un campo magnético externo una partícula atómica o sub-atómica puede tener el vector momento angular L de su órbita a cierto ángulo con respecto a la dirección de las líneas del campo magnético (en los ejemplos que hemos considerado aquí, con respecto a la vertical), no hay restricción alguna con respecto a la dirección a la cual podrá apuntar ese vector en el sentido de un plano horizontal (un plano x-y) perpendicular al eje-z del campo magnético. Esto significa que el vector puede estar apuntando en cualquier dirección alrededor del eje-z, esto es, a lo largo de un cono:

Como puede verse en la figura, a la proyección del vector momento angular sobre el eje-z se le denomina L_z.

PROBLEMA: Obténganse los valores posibles del vector momento angular orbital para l = 1.

Para l = 1, se tiene:

|L|² = 1(1 + 1) ħ² = 2ħ²

|L| = √2ħ

Siendo l = 1, los valores posibles de m son entonces m = -1, o, +1; y las proyecciones L_z del vector momento angular orbital serán entonces:

L_z = (+1) ħ = + ħ

L_z = (0) ħ = 0

L_z = (-1) ħ = - ħ

Esto lo podemos representar esquemáticamente de la siguiente manera:

Una representación más “justa”, tridimensional, sería la siguiente:

PROBLEMA: Obténganse los valores posibles del vector momento angular orbital para l = 2.

Para l = 2, se tiene:

|L|² = 2(2 + 1) ħ² = 6ħ²

|L| = √6ħ

Siendo l = 2, los valores posibles de m son entonces m = -2, -1, o, +1, +2; y las proyecciones L_z del vector momento angular orbital serán entonces:

L_z = (+2) ħ = + 2ħ

L_z = (+1) ħ = + ħ

L_z = (0) ħ = 0

L_z = (-1) ħ = - ħ

L_z = (-2) ħ = - 2ħ

Esto lo podemos representar esquemáticamente de la siguiente manera:

Una representación más “justa”, tridimensional, sería la siguiente:

Lo que hemos estado manejando arriba está basado por completo en el uso de las coordenadas rectangulares Cartesianas. Sin embargo, en problemas de simetría esférica como lo es el caso del momento angular orbital cuyo paradigma es el electrón solitario dando vueltas en torno al núcleo del átomo de hidrógeno, problemas que no se prestan a su uso y manejo en coordenadas rectangulares Cartesianas, resulta más ventajoso y mucho menos laborioso recurrir a las coordenadas esféricas que empezaremos a incorporar a continuación. En un problema de simetría esférica, las coordenadas a ser utilizadas están especificadas usualmente como (r,θ,φ) de la siguiente manera:

Como puede apreciarse en la figura de arriba, el elemento infinitesimal de volumen dV sobre el cual deben llevarse a cabo las integraciones necesarias para poder obtener la normalización de las funciones de onda del momento angular orbital sobre un espacio tridimensional en coordenadas esféricas es el siguiente:

Las coordenadas rectangulares Cartesianas (x,y,z), definidas en función de las coordenadas esféricas, se pueden escribir de la siguiente forma:

x = r sen(θ) cos(φ)

y = r sen(θ) sen(φ)

z = r cos(θ)

PROBLEMA: Expresar el operador del momento angular orbital en coordenadas esféricas.

Usando la regla de la cadena, podemos expresar el operador de derivación parcial ∂/∂x de la siguiente manera:

Se puede verificar por substitución directa que las coordenadas esféricas (r,θ,φ) están relacionadas en función de las coordenadas rectangulares Cartesianas (x,y,z) de la siguiente manera:

r = √x² + y² + z²

θ = tan^-1(√x² + y²/z)

φ = tan^-1(y/x)

Para poder expresar al operador ∂/∂x exclusivamente en función de las coordenadas esféricas, debemos obtener ∂r/∂x, ∂θ/∂x y ∂φ/∂x. Por derivación parcial directa, podemos obtener primero ∂r/∂x:

A continuación procedemos a obtener ∂θ/∂x también por derivación parcial directa:

Por último, obtenemos ∂φ/∂x:

Con esto tenemos entonces:

Del mismo modo, para la coordenada-y podemos demostrar:

Ahora podemos expresar a L_z en coordenadas esféricas partiendo de su definición en coordenadas Cartesianas:

Substituyendo en esta relación los valores encontrados para ∂/∂y y ∂/∂x así como las equivalencias de las coordenadas Cartesianas a esféricas tenemos:

En este último paso se han puesto de un mismo color rojo dos expresiones que se cancelan mutuamente y de un mismo color azul las otras dos expresiones que se cancelan mutuamente. Tras las cancelaciones, tenemos entonces:

lo cual tras el uso de la famosa identidad trigonométrica se simplifica rápidamente a:

Anteriormente, en la entrada “Ondas de simetría circular y esférica”, ya se había obtenido esta misma relación mediante argumentaciones físicas. La derivación que hemos efectuado aquí del operador mecánico-cuántico para el momento angular, una derivación de naturaleza eminentemente matemática, nos confirma el resultado anterior que habíamos obtenido.

Cuando el operador diferencial que acabamos de obtener es utilizado en la eigenecuación para la componente-z del momento angular orbital, resolviéndose la ecuación diferencial resultante, se tiene entonces:

En virtud de que el momento angular orbital consta tanto de una parte angular como de una parte radial, puede irse sospechando ya que debe de haber una expresión más completa que de alguna manera tome también en cuenta el radio de la órbita y en la cual de hecho se haga uso de las coordenadas esféricas, las cuales son más propicias para el manejo de problemas de simetría esférica que las coordenadas rectangulares Cartesianas, algo como (el factor de color azul aún no ha sido tomado en cuenta):

En términos de coordenadas esféricas, los operadores escalera L₊ y L_.- toman el siguiente aspecto:

De manera similar, el operador L² expresado en coordenadas esféricas viene siendo:

Vale la pena comparar esta expresión con la del operador Laplaciano expresado también en coordenadas esféricas:

Llevando a cabo la comparación, se puede apreciar que el operador para el cuadrado del momento angular orbital es esencialmente la parte angular del operador Laplaciano. Por lo tanto, el operador para la energía cinética en el caso de un movimiento tridimensional expresado en términos del Laplaciano debe ser:

Podemos darle a esta expresión una interpretación sencilla en términos propios de la mecánica clásica. En la mecánica clásica, es posible expresar la energía cinética de una partícula como la suma de la energía cinética asociada con el movimiento en una dirección radial y la energía cinética asociada con el movimiento a ángulos rectos al radio vector. La energía cinética de la parte angular del movimiento toma el valor del segundo término en la expresión de arriba, mientras que la energía cinética asociada al movimiento radial puede ser expresada en términos de un operador radial definido de la siguiente manera:

Aquí cabe hacer dos advertencias. La primera, aunque aparentemente el operador diferencial radial ∂/∂r pudiera pensarse (equivocadamente) que se aplica sobre la variable radial r que está a su derecha, con lo cual se obtendría una derivada igual a la unidad (de ∂r/∂r), no es así como se debe utilizar, ya que siendo todo parte de un operador primero la variable radial r se debe multiplicar sobre aquello en lo que operará P_r, tras lo cual entonces sí se debe aplicar el operador diferencial radial ∂/∂r. Y la segunda advertencia es que esto no es la componente-r del momentum de la partícula.

Si m_l toma su máximo valor posible para un valor dado de l, esto es, si:

entonces cuando se le aplica el operador escalera de ascenso L₊ a la eigenfunción de onda esto debe dar un resultado igual a cero:

o bien, usando los operadores escalera L_x y L_y del momento angular orbital expresados en coordenadas esféricas:

En esta ecuación, puesto que sabemos de antemano que los operadores del momento angular son funciones únicamente de las variables angulares, se ha omitido la dependencia que corresponde a la parte radial. Tomando en cuenta de que lo que está entre los paréntesis grandes está operando sobre lo que está a su derecha (y no sobre lo que está a su izquierda), el factor que lo antecede -considerando que no es igual a cero- se puede eliminar, para así llegar a lo siguiente:

Esto se puede simplificar aún más reduciéndose de inmediato a la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

PROBLEMA: Demuéstrese que:

es una solución a la ecuación diferencial:

El procedimiento de resolución para este problema es directo:

La constante de normalización A_l se puede obtener mediante la condición de normalización de rutina, tomando en cuenta que en este caso estamos trabajando con coordenadas esféricas (en coordenadas esféricas, θ va de cero a π, de Sur a Norte)::

o bien, expresado de manera más compacta:

Usando la solución propuesta en el problema anterior, se tiene que, en general:

La constante de normalización A₀ para el caso l.=.0 debe ser por lo tanto:

Los planteamientos para obtener otras constantes de normalización son los siguientes:

Después de algo de álgebra laboriosa, tenemos los siguientes resultados:

Estos resultados nos permiten intuír la fórmula general para la constante de normalización que debe ser:

De este modo, la fórmula general para la solución normalizada de Θ_ll es:

Ya vimos que la forma de la dependencia angular está dada por:

En general, la función de onda contiene contiene alguna función del radio r como factor multiplicativo, además de la dependencia angular.

Con la finalidad de obtener las ecuaciones de eigenvalores para los operadores escalera L₊ y L_.- del momento angular orbital, nuevamente haremos uso de la condición de normalización para la parte angular θ de la función de onda:

Si aplicamos el operador escalera L_.- en forma repetida a una eigenfunción de onda ψ para obtener otra eigenfunción de onda ψ’, lo cual podemos simbolizar como:

ψ’ = L_.-ⁿ ψ

y si la eigenfunción de onda de la que estaremos hablando es una armónica esférica Y_l,m (simbolizada también al gusto como Y_lm sin la coma entre los dos sub-índices) que junte y combine a las dos coordenadas que forman la parte angular (θ,φ) del momento angular orbital en un ángulo sólido que llamaremos Ω y que mediremos en estereorradianes en el sistema de unidades MKS-SI, podremos ir generando otras armónicas esféricas que serán también eigenfunciones simultáneas (o eigenkets simultáneos en la notación bra-ket) de L² y de L_z. Por ejemplo, si aplicamos el operador escalera L_.- una sola vez a la armónica esférica Y_ll, tendremos (obsérvese cómo se abate el segundo sub-índice en una unidad):

Como puede verse, la acción de los operadores escalera L₊ y L_.- por convención se lleva a cabo siempre sobre el segundo sub-índice de la armónica esférica, nunca sobre el primero. En esta expresión se ha incluído la constante c para asegurar la normalización de la armónica esférica con los sub-índices l,l-1 del mismo modo en que suponemos que lo estaba la armónica esférica original con los sub-índices l,l, condición de normalización obtenida para esta última mediante la integración sobre un elemento infinitesimal del ángulo sólido dΩ:

No sólo Y_ll sino cada armónica esférica Y_lm irá acompañada por su propia constante de normalización. Con la aplicación repetida del operador escalera L_.- se puede ir generando cualquier armónica esférica con los sub-índices l y m siendo desde luego m menor que l (obsérvese que para mayor simplicidad en la notación estamos reemplazando a m_l por m)

De este modo, aplicando el operador escalera L_.- una vez a la armónica esférica Y_l,l nos produce Y_l,l-1, y aplicándolo de nuevo otra vez nos produce Y_l-2, y así sucesivamente, hasta llegar a Y_l,m. De este modo, se pueden ir generando todas las armónicas esféricas “hacia abajo” desde el valor máximo posible que puede tomar m (que es l) hasta el valor más pequeño de m que es cero. En la aplicación repetida del operador escalera L_.-:

a modo de ejemplo si l.=.7 y m.=.3 entonces la iteración se debe aplicar 4 veces para poder obtener Y_7,3 a partir de Y_7,7. Este procedimiento repetitivo nos permite obtener una serie de armónicas esféricas en sucesión una tras otra, dejándonos el problema de evaluar para cada una de las armónicas esféricas su propia constante de normalización. Sin embargo, no es necesario efectuar para cada caso una integración con el fin de obtener la constante de normalización que va aparejada con alguna armónica esférica, ya que resulta que podemos usar también un procedimiento iterativo para ir obteniendo las constantes de normalización que corresponden a las armónicas esféricas que se van generando, si hacemos uso de la siguiente relación:

Pero poder llegar aún más lejos con esto, ya que nos permitirá obtener una expresión explícita para la eigenecuación que nos dará los eigenvalores del operador escalera L_.-. Para ello, empezaremos con la condición de normalización que debe ser cumplida por la armónica esférica Y_lm:

lo cual en notación convencional de la Mecánica Ondulatoria viene siendo:

Usando la relación:

tenemos entonces:

que podemos simplificar como:

Puesto que el operador escalera L₊ es la adjunta Hermitiana del operador escalera L_.-, esto es:

(L₊)* = L_.-

o bien:

entonces se puede llevar a cabo la siguiente simplificación:

que podemos escribir en notación bra-ket como:

Usando ahora la relación:

se tiene entonces:

Por otro lado, si usamos las ecuaciones de eigenvalores:

y:

entonces, puesto que:

se tiene, por lo tanto:

lo cual se puede simplificar aún más como:

Puesto que, por hipótesis, estamos trabajando con funciones de armónicas esféricas normalizadas, el par bra-ket que tenemos arriba debe ser igual a la unidad, con lo que:

o bien:

Extrayendo la raíz cuadrada y despejando, de esto se obtiene:

Usando de nueva cuenta la relación:

llegamos entonces a la relación de eigenvalores que estábamos buscando para el operador escalera L_.-:

Con un ligero cambio, lo anterior lo podemos escribir de una manera más convencional:

Recurriendo a un procedimiento semejante al que hemos llevado a cabo aquí, podemos obtener la relación de eigenvalores que corresponde al operador escalera L₊:

Como puede verse, los operadores L_.- y L₊ realmente son operadores escalera, que abaten o incrementan en una unidad el segundo sub-índice de la armónica esférica sobre la cual están actuando. Es importante no olvidar jamás que, puesto que en las ecuaciones de eigenvalores de arriba, l es tomado como un tope máximo fijo, constante, la acción de los operadores escalera en las eigenecuaciones siempre es sobre m, nunca sobre l.

Las ecuaciones de eigenvalores para los operadores escalera como están dadas arriba son válidas ya sea que las funciones Y_l,m tomadas como punto de partida para ir “hacia arriba” o “hacia abajo” estén normalizadas o no. Sin embargo, aún suponiendo que la función inicial Y_l,m estaba normalizada, se puede intuír que ni la función Y_l,m+1 ni la función Y_l,m-1 estarán normalizadas tras la aplicación de una operación escalera, como tampoco estarán normalizadas ni Y_l,m+2 ni Y_l,m+2, y así sucesivamente. Sin embargo, los eigenvalores serán los correctos.

La ecuación de eigenvalores que acabamos de obtener para el operador escalera L_.-, incorporando en ella un factor de normalización general, nos permite deducir también de dicha ecuación por repetición iterativa lo siguiente:

Esto es precisamente lo que nos va proporcionando las constantes de normalización aparejadas con cada armónica esférica. Yendo más a fondo, se puede demostrar que con estos resultados se puede obtener la siguiente función generadora para la función de onda Θ_lm(θ):

En el caso para el cual el número cuántico m es igual a cero, esta ecuación se reduce a:

Esta última relación, la cual nos sirve para la generación matemática de algo conocido como los polinomios de Legendre, es mejor conocida como la fórmula de Rodrigues, en honor al matemático francés Benjamín Olinde Rodrígues quien la expuso por vez primera en 1815 en su tesis doctoral.