Podemos pre-multiplicar ambos lados de esta igualdad por un bra con componentes semejantes pero agregándoles comillas para distinguirlos del ket:
Obsérvese que en el lado derecho de la igualdad se sacó fuera el eigenvalor l(l+1)ħ2 por ser una cantidad numérica constante, dejándonos con un producto interno bra-ket acerca del cual, por la propiedad de ortogonormalidad que suponemos válida en los eigenkets, se puede afirmar lo siguiente recurriendo a deltas de Kronecker:
De este modo, se tiene lo siguiente:
Un momento de reflexión nos indica que lo que tenemos aquí son elementos matriciales del operador L2, los cuales se pueden representar mediante una matriz como la siguiente:
Esto debe resultar familiar, porque es lo mismo que se obtuvo en una entrada previa titulada “Matrices y sub-matrices”. Pero en aquella entrada, aún no se había manejado absolutamente nada que tuviese que ver con la Mecánica Ondulatoria, no se había tratado en lo absoluto acerca de temas como las funciones de onda, los eigenkets, la ecuación de Schrödinger y la interpretación probabilista de Born. Casi sin darnos cuenta, de una manera sutil, hemos llevado a cabo una transición de la Mecánica Ondulatoria a la Mecánica Matricial. A estas alturas, la obtención de resultados idénticos en ambas ramas de la Mecánica Cuántica no puede tomarse como una mera casualidad, tiene que haber algo que funde a la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria en un terreno común pero permitiéndoles a ambas ciencias mantener su identidad separada. Esto será investigado más a fondo en una entrada posterior.
También en la entrada anterior se obtuvo en notación bra-ket la siguiente relación que nos dá la ecuación de eigenvalores para el operador Lz de la proyección del vector momento angular orbital sobre el eje-z:
Procediendo como lo hicimos arriba para el caso del operador L2, se llega a lo siguiente:
Esto nos proporciona los elementos matriciales del operador Lz, los cuales pueden ser representados en una estructura de matrices y sub-matrices como la siguiente tomando en cuenta tanto a l como a m:
Obsérvese que se ha destacado de color amarillo el elemento para el cual m.=.-1 y l.=.2.
PROBLEMA: Para un sistema que consta de una sola partícula cuyo momento angular orbital tiene una componente-z igual a mħ y una magnitud cuyo cuadrado es l(l+1)ħ2, demuéstrese que:
Para la solución de este problema, haremos uso de las siguientes ecuaciones de eigenvalores:
Empezaremos con la definición fundamental de los operadores escalera L+ y L.-:
Sumando ambos operadores escalera y despejando para Lx:
Del mismo modo, restando un operador escalera del otro y despejando para Ly:
La esperanza matemática de Lx, usando armónicas esféricas Ylm como funciones de onda, es por definición:
Metiendo aquí la definición de Lx en función de los operadores escalera, se tiene:
Por lo tanto:
Sacando las constantes fuera de las integrales:
Sin embargo, en virtud de la ortogonalidad de las armónicas esféricas, se tiene que:
Se deduce por lo tanto que:
Podemos evaluar la esperanza matemática de Ly la misma manera:
con lo cual:
para obtener finalmente apelando de nuevo a la ortogonalidad de las armónicas esféricas:
PROBLEMA: Para un sistema que consta de una sola partícula cuyo momento angular orbital tiene una componente-z igual a mħ y una magnitud cuyo cuadrado es l(l+1)ħ2, demuéstrese que:
Para la resolución de este problema, primero expresaremos Lx2 en términos de operadores escalera:
Usando armónicas esféricas como funciones de onda, la esperanza matemática de Lx2 es:
Por lo tanto:
Esto se puede reducir a cuatro integrales separadas:
Desarrollando la primera integral podemos ver que por la ortogonalidad de las armónicas esféricas se debe de tener:
Del mismo modo, desarrollando la cuarta integral, podemos ver que también por la ortogonalidad de las armónicas esféricas se debe de tener:
Recurriremos ahora a las siguientes relaciones de productos de los operadores escalera:
Esto nos permite escribir lo siguiente:
Desarrollando, lo anterior se reduce a:
Esto equivale a las siguientes dos integrales separadas:
La primera integral no es más que la esperanza matemática del operador L2, mientras que la segunda integral no es mas que la esperanza matemática del operador Lz2:
Puesto que se trata de un sistema que consta de una sola partícula cuyo momento angular orbital tiene una componente-z igual a mħ y una magnitud cuyo cuadrado es l(l+1)ħ2, entonces:
Simplificando, se tiene:
Repitiendo el mismo procedimiento, podemos obtener el mismo resultado para la esperanza matemática de Ly2.
Una equivocación que de cuando en cuando incurren algunos principiantes al estudiar por vez primera el tema de los operadores escalera consiste en suponer que L+ y L.- por tener efectos opuestos son el inverso el uno del otro, o sea que tras la aplicación del operador escalera L+ a una eigenfunción (o eigenket) si se le aplica al resultado obtenido el operador escalera L.- se recuperará el resultado original, de forma tal que uno aplicado después del otro terminarían siendo un operador identidad. Pero este no es el caso. Al hacer tal cosa lo único que se recupera es la función de onda original, pero la constante multiplicativa viene siendo diferente.
PROBLEMA: Demuéstrese que, operacionalmente hablando, el producto de los operadores escalera L+ y L.- no es conmutativo.
La ecuación que resume el efecto del operador escalera L+ para el momento angular orbital es:
Obsérvese que se han compactado todos los factores multiplicativos en una sola constante c+(l,m), la cual simboliza la constante que se obtiene al aplicar el operador escalera L+ a una función de onda Yl,m obteniéndose la función de onda Yl,m como resultado de la operación multiplicada por dicha constante. Del mismo modo, la ecuación que resume el efecto del operador escalera L.- es:
habiéndose compactado aquí también todos los factores multiplicativos en una sola constante c-(l,m).
Si en ambas ecuaciones de arriba hacemos la substitución:
tendremos entonces para los operadores escalera L+ y L.- lo siguiente:
Del mismo modo, si en ambas ecuaciones hacemos la substitución:
tendremos entonces para los operadores escalera L+ y L.- lo siguiente:
A continuación, aplicaremos el par L+L.- a una función de onda (obsérvese que el primer operador en actuar sobre la función de onda es L.-):
La operación que acabamos de llevar a cabo también se puede simbolizar utilizando las constantes c+(l,m) y c-(l,m) definidas arriba:
Esto nos dice que como resultado de la aplicación del operador combinado L+L.- a una función de onda Yl,m se obtiene la misma función de onda multiplicada por la constante c-(l,m) que resulta de la aplicación del operador escalera L.- a la función de onda y la constante c+(l,m-1) que resulta de la aplicación posterior del operador escalera L+ a la función de onda Yl,m-1 (en este caso el orden de las constantes, de izquierda a derecha, sí está de acuerdo con el orden en el que se lleva a cabo la aplicación de un operador escalera tras otro).
Fijándonos bien en la constante multiplicativa combinada que se obtiene como resultado de la aplicación del par L+L.- a la función de onda Yl,m, nos damos cuenta que la constante multiplicativa es la misma que la que aparece en la aplicación del operador escalera L.- a la función de onda, excepto que se trata de dicha constante multiplicativa elevada al cuadrado, la cual representaremos como c-2(l,m), para escribir así lo siguiente:
Por otro lado, tratándose de la aplicación del par L.-L+ a la misma función de onda Yl,m, se tiene:
De nueva cuenta, la operación que acabamos de llevar a cabo también se puede simbolizar utilizando las constantes c+(l,m) y c-(l,m) definidas arriba:
Esto también lo podemos escribir de la siguiente manera:
Efectuando comparaciones con los resultados obtenidos hasta este punto, resulta claro que una cosa es lo que se obtiene con la aplicación del operador combinado L+L.- a una función de onda, y otra cosa es lo que se logra con la aplicación del operador combinado L.-L+ a la misma función de onda. En pocas palabras, los operadores escalera L+ y L.- del momento angular orbital no son conmutativos.
La constante c+2(l,m) se puede escribir en forma explícita como:
mientras que la constante c-2(l,m) se puede escribir explícitamente como:
PROBLEMA: El operador asociado con la medición del producto del componente-x y del componente-y del momento angular para una partícula es:
Demuéstrese que este operador es un operador Hermitiano.
Evaluaremos primero una expresión para el producto LxLy:
Ahora evaluaremos una expresión para el producto LyLx::
Con esto podemos obtener lo siguiente:
La esperanza matemática de la expresión original será entonces:
Ahora bien, los operadores escalera L+ y L.- no son operadores Hermitianos. Sin embargo, ambos son adjuntos Hermitianos el uno del otro, esto es:
Teniendo esto en mente, procedemos a efectuar lo siguiente:
Lo anterior se puede escribir como:
para juntarlo todo dentro de un solo símbolo integral:
Restableciendo la expresión original tras haber servido los operadores escalera el propósito para el cual fueron invocados:
Claramente, el operador proporcionado es un operador Hermitiano, puesto que cumple con la definición esencial de Hermiticidad (o Hermicidad) para un operador cualquiera Q:
PROBLEMA: Obténgase la esperanza matemática (el valor esperado) para el siguiente operador asociado con la medición del producto del componente-x y del componente-y del momento angular para una partícula:
La esperanza matemática que se está tratando de evaluar en este problema es la siguiente:
Haciendo uso de un resultado intermedio obtenido en el problema anterior, lo cual podemos hacer porque se trata del mismo operador postulado en el problema anterior, se tiene lo siguiente:
En el caso de la primera integral, la acción repetida del operador escalera L+ sobre la función de onda Yl,m, arroja lo siguiente:
Por otro lado, en el caso de la segunda integral, la acción repetida del operador escalera L.- sobre la función de onda Yl,m, arroja lo siguiente:
Sin embargo, para la resolución de este problema, no es necesario el haber obtenido explícitamente las constantes a y b como lo hicimos arriba. Habría bastado simplemente el postular que la aplicación repetida del operador escalera L+ a la función de onda Yl,m nos produce una función de onda Yl,m+1, multiplicada por un factor ħa mientras que la aplicación repetida del operador escalera L.- a la función de onda Yl,m nos produce una función de onda Yl,m-1, multiplicada por un factor ħb, en virtud de que al llevar a cabo las operaciones:
nos damos cuenta de inmediato de que, por la ortogonalidad de las funciones de onda, ambas integrales terminan siendo cero. Por lo tanto:
PROBLEMA: Obténgase la esperanza matemática (el valor esperado) para el cuadrado del siguiente operador asociado con la medición del producto del componente-x y del componente-y del momento angular para una partícula:
La esperanza matemática que se está tratando de evaluar en este problema es la siguiente:
El primer paso que se llevará a cabo será poner la expresión en función de operadores escalera:
Entonces:
Por las mismas conclusiones que obtuvimos en el problema anterior, puesto que el operador escalera L+ aplicado cuatro veces sobre la función de onda Yl,m producirá una función de onda Yl,m+4 que será ortogonal a la función de onda original, y puesto que el operador escalera L.- aplicado cuatro veces sobre la función de onda Yl,m producirá una función de onda Yl,m-4 que también será ortogonal a la función de onda original, resulta evidente que la primera integral y la segunda integral serán iguales a cero. Esto nos deja únicamente la integral intermedia, con lo cual se tiene:
A estas alturas se requiere de la evaluación tanto del operador combinado L+2L.-2 como del operador combinado L.-2L+2. Usando el mismo procedimiento de substitución como se hizo en uno de los problemas de arriba, resultará conveniente agrupar los siguientes resultados que se necesitarán para poder continuar adelante con la solución de este problema:
De este modo, la evaluación de L+2L.-2 resulta en lo siguiente:
mientras que la evaluación de L.-2L+2 resulta en lo siguiente:
Por lo tanto, sumando ambos operadores combinados y simplificando un poco, se tiene:
Entonces:
