Ψ = Ψ(x,t)
y es capaz de proporcionarnos información sobre la evolución en el tiempo de un sistema físico tal como un sistema de estados mezclados. ¿En dónde, nos preguntamos, está la capacidad de la Mecánica Matricial para darnos esta misma información? La respuesta a esta pregunta se encuentra, aunque no lo parezca, en las mismas matrices. Si bien podemos ver a una matriz como algo estático que simplemente nos arroja (a través de sus autovalores eigen) los valores que puede tomar cierta cantidad física, esta misma matriz también puede ser vista como algo dinámico capaz de variar con el tiempo:
H = H(t)
Considérese un operador matricial Q = (Qij) que sea capaz de variar con el tiempo. En la notación bra-ket de Dirac, si contamos con un conjunto ortonormal de vectores u el elemento matricial Qij puede ser extraído de la matriz Q de la siguiente manera:
Tomaremos a continuación la derivada con respecto al tiempo de ambos lados de esta expresión, usando la notación de punto puesto encima del símbolo matricial para indicar que se está llevando a cabo una derivación con respecto al tiempo:
Tomando la derivada con respecto al tiempo tenemos lo siguiente (en el proceso de diferenciación aplicaremos en forma repetida la regla para la derivada del producto de dos cantidades):
El segundo bra-ket lo podemos separar en dos partes de la siguiente manera:
Considérese ahora un conjunto ortonormal de funciones u = (un) que sea ortonormal en un tiempo t = 0 y que continúe siendo ortonormal en un tiempo posterior satisfaciendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
Usando esta ecuación en la relación de arriba obtenemos lo siguiente:
Reagrupando y suponiendo que el operador matricial H es un operador Hermitiano:
Lo que tenemos dentro del primer término es algo que nos debe resultar familiar, puesto que es algo que se puede abreviar con la ayuda del conmutador. Haremos aquí algo más que simplemente simplificar el primer término recurriendo al conmutador. Escribiremos toda la expresión en notación matricial compacta para tener de este modo lo siguiente:
Esta última relación es de importancia extraordinaria dentro de la Mecánica Matricial, ya que se trata ni más ni menos que de la ecuación de movimiento de Heisenberg. Con esta ecuación se completa el cuadro pone a la Mecánica Matricial a la par con la Mecánica Ondulatoria. Es así como completamos el aparato matemático matricial que se conoce como la representación de Heisenberg (Heisenberg representation), también conocido como el cuadro de Heisenberg (Heisenberg picture).
La frase “ecuación de movimiento de Heisenberg” puede algo ser engañosa, llevándonos a creer que fue descubierta por Heisenberg en los tiempos en los que la Mecánica Matricial estaba en pleno desarrollo. Sin embargo, históricamente hablando, esta ecuación fue escrita y publicada por vez primera por el físico teórico inglés Paul Adrien Maurice Dirac, el cual con su modestia característica le dió a dicha ecuación el título “ecuación de movimiento de Heisenberg”.
Una observación importante es el hecho de que, aunque por la forma en la que hemos derivado la ecuación de movimiento de Heisenberg, esta parece ser una ecuación que se aplica exclusivamente a relaciones matriciales que involucren a matrices que en cierta forma “se mueven”, en virtud de la equivalencia que existe entre la Mecánica Matricial de Heisenberg y la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger hay también una ecuación de movimiento de Heisenberg dentro de la Mecánica Ondulatoria con la misma forma y el mismo aspecto (lo cual a veces se presta a confusiones entre los principiantes en la Mecánica Cuántica), excepto que en lugar de matrices lo que se tiene son operadores diferenciales. Con la finalidad de evitar confusiones, en la mayor parte de lo que tiene que ver con operadores matriciales bajo el contexto de la Mecánica Matricial (como el operador matricial de energía Hamiltoniano H) se ha rematado la fuente tipográfica con un color azul resaltado. Dentro de la Mecánica Ondulatoria en donde no se utilizan matrices, algunos autores resaltan la naturaleza operacional de los operadores que representan a las observables físicas poniéndole un “sombrero” encima a los operadores de la manera siguiente (prescindiremos del punto puesto encima que denota derivación con respecto al tiempo con la finalidad de no sobrecargar el término izquierdo de la ecuación ondulatoria de movimiento de Heisenberg):
Esta última expresión, a la cual no se le está dando carácter matricial alguno, puede causar confusión en algunos lectores que están acostumbrados a tomar las derivadas parciales como lo mismo que las derivadas ordinarias sin tomar en cuenta las excepciones que se pueden dar, específicamente, como ocurre en el caso de las funciones explícitas y las funciones implícitas. Si la pregunta fuera: ¿no es lo mismo dQ/dt que ∂Q/∂t en todos los casos?, la respuesta debe ser un no rotundo. En particular, ∂Q/∂t será igual a cero cuando la cantidad Q no es una función explícita del tiempo. Un ejemplo de una función explícita del tiempo es la siguiente:
Q = 3t5 + 2x2t3 + 5t
en cuyo caso, tomando la derivada parcial ∂Q/∂t, se obtiene:
∂Q/∂t = 15t4 + 6x2t2 + 5
En cambio, en el siguiente caso Q no es una función explícita del tiempo:
Q = x4 + 3y3 - 10z
y al tomar ∂Q/∂t se obtiene:
∂Q/∂t = 0
Sin embargo, si en la última expresión lo que se toma es la derivada total dQ/dt, entonces aunque Q no sea una función explícita del tiempo la derivada dQ/dt no será necesariamente cero, y de hecho será igual a:
dQ/dt = 4x3(∂x/∂t) + 9x2(∂y/∂t) - 10(∂z/∂t)
al ser Q una función implícita del tiempo. Lo anterior implica también que la esperanza matemática <dQ/dt> será igual a cero a menos de que el operador Q sea una función explícita del tiempo.
Si tomamos las esperanzas matemáticas en ambos lados de la ecuación de movimiento de Heisenberg obtendremos otra relación de carácter general dentro de la Mecánica Ondulatoria:
Expresada de este modo, en términos de esperanzas matemáticas, la ecuación de movimiento de Heisenberg es también conocida como la expresión más general del teorema de Ehrenfest que veremos más adelante. En realidad, la diferencia entre la ecuación de movimiento de Heisenberg y el teorema de Ehrenfest es muy sutil, ya que en la primera no se hace referencia alguna al concepto de esperanzas matemáticas mientras que en la segunda sí se hace. De hecho, ambas cosas son confundidas liberalmente en muchos textos de Mecánica Cuántica.
En la obtención de la ecuación del movimiento de Heisenberg, se había supuesto que un conjunto ortonormal de funciones u = (un) que sea ortonormal en un tiempo t = 0 continuará siendo ortonormal en un tiempo posterior. Esto lo formalizaremos a continuación para que no haya duda alguna al respecto.
PROBLEMA: Demostrar que si un conjunto de funciones ψr satisface la ecuación de Schrödinger y si dicho conjunto es ortonormal en un tiempo inicial t = 0, entonces dicho conjunto de funciones permanecerá ortonormal todo el tiempo.
Utilizando dos funciones de onda ψm y ψn cualesquiera tomadas de un conjunto ortonormal de funciones de onda, nuestro punto de partida será lo siguiente usando la definición de la misma ortonormalidad:
La primera línea es la que nos define mediante el delta de Kronecker la ortonormalidad de dos funciones ψm y ψn, mientras que la segunda línea es la definición del producto interno de dichas funciones. Para una función , la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se puede enunciar del modo siguiente:
Ahora llevaremos a cabo el siguiente cálculo tomando el producto interno de Hψm con ψn recurriendo directamente a la definición del producto interno de dos funciones:
Substituyendo en el lado derecho de esto último lo que nos dá en igualdad la ecuación de Schrödinger y desarrollando tenemos entonces:
En lo que sigue haremos uso del hecho de que el operador H es un operador Hermitiano, satisfaciendo por lo tanto la siguiente relación:
Llevando a cabo nuevamente el cálculo del producto interno de Hψm con ψn usando la condición de Hermiticidad del operador H:
Restando este último resultado del primero que habíamos obtenido para el producto interno de Hψm con ψn y desarrollando:
Podemos sacar fuera del signo integral el operador de diferenciación parcial con respecto al tiempo, habido el hecho de que la integral es llevada a cabo sobre un elemento infinitesimal de longitud y no sobre un elemento infinitesimal de tiempo:
Esto último que hemos obtenido nos dice, literalmente, que la ortonormalidad de un conjunto de funciones ψr no cambia con el transcurso del tiempo.
PROBLEMA: Demuéstrese que en una representación de Heisenberg, el operador:
Q = Psen(ωt) - mωXcos(ωt)
para el oscilador harmónico simple, en donde las matrices P y X denotan el momentum y la posición respectivamente, es independiente del tiempo.
La ecuación de movimiento que corresponde al oscilador harmónico simple, con las variables momentum y posición reemplazadas con operadores matriciales P y Q, es la siguiente:
En la resolución de este problema utilizaremos la ecuación de movimiento de Heisenberg. Lo primero que haremos será evaluar el conmutador [H,Q]:
Llevando a cabo las multiplicaciones respetando a la vez el orden de los operadores (en virtud de que la multiplicación de dos matrices no es una operación conmutativa) la expresión nos produce los siguiente ocho términos:
Se han subrayado con el mismo color los términos que se cancelan mutuamente, dejándonos entonces lo siguiente ya simplificado un poco:
Podemos compactar esto aún más con la ayuda del conmutador:
Los dos conmutadores se pueden reemplazar con las siguiente relaciones que se pueden obtener fácilmente de la ecuación de Born:
De este modo, tenemos entonces:
Por otro lado, si tomamos el operador Q y efectuamos sobre el mismo la diferenciación parcial con respecto al tiempo, obtenemos:
Substituyendo los resultados intermedios que hemos obtenido dentro de la ecuación de movimiento de Heisenberg, tenemos entonces el siguiente resultado:
Se concluye entonces que el operador Q es independiente del tiempo. Obsérvese que en la última línea hemos utilizado el símbolo 0 para denotar la matriz cero, ya que si hubiésemos escrito simplemente “0” el resultado habría estado notacionalmente incorrecto en virtud de que “0” representa un solo elemento, siendo que el resultado implica que para que un operador matricial sea independiente del tiempo se requieres que todos los elementos de los que consta la matriz sean iguales a cero al tomarse la derivada con respecto al tiempo.
Una aplicación importante de la ecuación del movimiento de Heisenberg tiene que ver con la obtención del análogo mecánico cuántico de la segunda ley de Newton:
que expresada no vectorialmente sino escalarmente en su forma diferencial es:
El estudio de la física en las instituciones de enseñanza media generalmente empieza con una familiarización con las leyes del movimiento de Newton, especialmente la segunda ley de Newton que conecta la aceleración que adquiere un cuerpo bajo el influjo de una fuerza constante que le va alterando su cantidad de movimiento o su momentum. Pero por lo que hemos visto en esta obra, la segunda ley de Newton parece haber desaparecido por completo. Para la descripción de lo que ocurre en el mundo sub-microscópico, ni siquiera la definición básica de la velocidad parece haber sido de mucha utilidad. El universo dinámico de Newton, un universo determinista en el que todo lo que existe en un momento dado determina mecánicamente el estado futuro de cualquier sistema físico, parece haberse diluído hacia la nada, reemplazado por un universo estático en el que la certidumbre del movimiento mecánico es substituída por la incertidumbre inherente a los fenómenos sub-microscópicos en donde lo más a lo que se puede aspirar es a una descripción estadística basada en el azar, en la probabilidad. Sin embargo, sabemos por nuestra experiencia cotidiana que las leyes de Newton funcionan bastante bien para la predicción de los eclipses y el movimiento de los planetas y los cometas. Pero por otro lado debemos aceptar la realidad de que todos los cuerpos celestes están formados por partículas sub-microscópicas. ¿Cómo compaginar ambas visiones del mundo? ¿No habrá algo que en forma así sea aproximada haga una proyección de lo que nos es conocido macroscópicamente hacia lo que está fuera del alcance de nuestros sentidos por su pequeñez? ¿No habrá algún equivalente de la segunda ley de Newton en el mundo sub-microscópico que pueda ser aplicable a las ondas de materia? Estas son precisamente las mismas preguntas que se formuló el científico Paul Ehrenfest, tratando de encontrar alguna semejanza o equivalencia. En su búsqueda, Ehrenfest tuvo que resignarse a la pérdida del concepto Newtoniano de la fuerza dentro de la Mecánica Cuántica en donde todo está fundamentado sobre definiciones y conceptos que tienen que ver más con la energía de un sistema. Sin embargo, observó que una forma de definir a la fuerza es obteniéndola como la derivada de la energía potencial. Y esto resultó ser la clave para encontrar un terreno común.
Expresado en su forma más sencilla de tal manera que sea entendible en términos “clásicos”, podemos enunciar al teorema de Ehrenfest de la siguiente manera recurriendo a las esperanzas matemáticas cuánticas:
Con un poco de imaginación podemos reconocer el lado izquierdo como el equivalente de la fórmula Newtoniana masa×aceleración, considerando el hecho de que podemos tomar a la segunda derivada con respecto al tiempo de la esperanza matemática de la posición como el equivalente cuántico de la aceleración de una partícula. Y también con un poco de imaginación podemos reconocer el lado derecho como el equivalente de la fuerza Newtoniana F, al tomarse el negativo de la derivada de la energía potencial V con respecto a la posición como el equivalente de la fuerza clásica, esto es, F.=.-∂V/∂x.
PROBLEMA: Demuéstrese el equivalente mecánico-cuántico de la segunda ley de Newton, expresada como el teorema de Ehrenfest, partiendo para ello de la ecuación del movimiento de Heisenberg.
Suponiendo que la observable física Q no sea una función explícita del tiempo (esto es, que la variable del tiempo no aparezca explícitamente en la representación algebraica de Q):
entonces la ecuación del movimiento de Heisenberg (en la cual pondremos “sombreros” encima de las literales para destacar que se trata de operadores y no de observables):
se reduce a:
Si la observable física Q es la variable posición:
entonces:
Hágase el operador de energía Hamiltoniano H de la partícula igual a:
Entonces:
Puesto que el operador V(r) expresado a su vez unidimensionalmente como alguna función de la posición conmuta con la variable posición, se tiene:
Por lo tanto, lo que teníamos anteriormente se reduce a:
Expandiendo el operador momentum que supondremos tridimensional:
Por la relación de conmutación de Born, lo que está marcado de rojo contiene conmutadores de observables compatibles y por lo tanto se vuelven cero, quedando únicamente:
Aquí podemos recurrir a una relación demostrada previamente en la entrada “El espacio-posición y el espacio-momentum II”:
de la cual obtenemos para n.=.2 e invirtiendo el orden de los componentes del conmutador justo lo que necesitamos para poder continuar con la simplificación (prescindiremos del uso del “sombrero” al resultar superflua ya la distinción entre la observable y el operador que la representa):
De esto se obtiene el siguiente resultado:
que puede ser generalizado a las otras dos componentes Cartesianas de la siguiente manera:
Estas relaciones nos dan la velocidad del paquete de onda en función del momentum de la partícula.
Derivando con respecto al tiempo el resultado obtenido para la componente-x:
Esto ya se va pareciendo algo a la segunda ley de Newton. Procediendo en forma similar a como lo hicimos arriba, obtendremos a continuación la razón del cambio del momentum de la partícula en función de la fuerza promedio que actúa sobre la partícula, o mejor dicho, en función de la variación de la energía potencial V(x), en virtud de que el concepto dinámico de la fuerza Newtoniana no es utilizado en la Mecánica Cuántica.
Si como observable física Q tomamos a la variable posición px, entonces hablando operacionalmente:
De este modo, la ecuación del movimiento de Heisenberg dice lo siguiente:
Usando el mismo operador de energía Hamiltoniano H que usamos arriba, se tiene entonces:
Puesto que el cuadrado del operador del momentum (que en el espacio posición es un operador diferencial de segundo orden) conmuta con todos y cada uno de los operadores del momentum que corresponden a las tres componentes Cartesianas, vemos que:
Por lo tanto, la ecuación del movimiento de Heisenberg se reduce a:
Ahora echaremos mano del par del siguiente par relaciones (demostrados previamente también en la entrada “El espacio-posición y el espacio-momentum II”):
De estas dos relaciones solo utilizaremos una de ellas, la segunda. Invirtiendo el orden de los componentes del conmutador (lo cual invierte el signo en el término del lado derecho de la igualdad) y haciendo a la función F(x) igual al potencial V al que está siendo sometida la partícula, se obtiene en la ecuación del movimiento de Heisenberg:
Substituyendo esto en lo que habíamos obtenido arriba, se llega finalmente al teorema de Ehrenfest, el equivalente mecánico-cuántico de la segunda ley de Newton:
La derivación que hemos llevado a cabo del equivalente mecánico-cuántico de la segunda ley de Newton en realidad es una consecuencia de un teorema de Ehrenfest más generalizado. Para obtener el enunciado del teorema de Ehrenfest en su forma más generalizada, podemos empezar suponiendo que tenemos un operador general A para el cual su esperanza matemática es como se ha estado definiendo previamente en otras entradas:
Tomando en ambos lados la derivada con respecto al tiempo:
en donde podemos identificar el segundo término como el valor medio de la derivada parcial del operador A con respecto al tiempo.
Suponiendo que el operador A cumple con la ecuación de Schrödinger para la cual:
de donde:
entonces, tomando en cuenta la hermiticidad del hamiltoniano H que nos permite afirmar que H*.=.H, se tiene:
Se concluye entonces que:
Esto presupone que el operador }A no depende del tiempo, porque en caso contrario se debe utilizar la expresión ampliada:
Otra consecuencia importante del teorema de Ehrenfest se obtiene considerando que el operador A sea un número igual a la unidad. Puesto que un operador A que sea igual a la unidad conmuta con cualquier otro, el conmutador [H,1] será igual a cero, lo que nos permite escribir lo siguiente para una función de onda ψ ortonormalizada cuyo producto interno consigo misma es precisamente igual a la unidad:
Este es un resultado de importancia vital para la interpretación probabilista de la Mecánica Cuántica, ya que nos dice que la probabilidad total se conserva con el tiempo, como se desprende de que la norma del vector |ψ> se conserve. Aunque esta demostración de la conservación de la probabilidad es de naturaleza global, se puede demostrar que la conservación de la probabilidad también es local, de modo tal que la probabilidad no puede desaparecer o aparecer de forma espontánea ya que cuando tal cosa ocurre sólo se puede deber a que una partícula entre o salga del volumen que está siendo considerado.
Una aplicación interesante de la ecuación de movimiento de Heisenberg consiste en tomar como punto de partida el análisis de una partícula sub-microscópica con simetría esférica perfecta y girando con una velocidad angular ω en torno a cierto eje que pasa por el centro de la partícula. Si llamamos I al momento de inercia de la partícula y simbolizamos como L al momento angular de la misma, entonces la energía rotacional de la partícula está dada por:
El análisis se vuelve mucho más interesante si la partícula sub-microscópica es asimétrica (como ocurre en el caso de una molécula diatómica formada por dos o más átomos diferentes) para la cual en un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas que pasan por el “centro de gravedad” de la partícula hay no un sólo momento de inercia sino varios momentos de inercia como Ixx, Iyy, Ixy, Iyz, y Izy, los cuales son recolectados en una matriz 3×3 conocida como el tensor momento de inercia I, y para los cuales por la simple simetría mecánica de lo que se define como momento de inercia se tiene que Iab.=.Iba. En el mundo macroscópico, el equivalente viene siendo un cuerpo rígido que exhibe una combinación de rotaciones sobre ejes distintos, como los movimientos combinados de rotación y nutación de la Tierra:
Para mayor simplicidad, consideraremos una partícula cuyo comportamiento rotacional combinado será descrito mediante lo que se conoce como momentos principales de inercia definidos como I1.=.Ixx, I2.=.Iyy y I3.=.Izz. Las rotaciones en torno a cada eje serán ω1.=.ωxx, ω2.=.ωyy y ω3.=.ωzz. Del mismo modo, designaremos al momento angular en torno a cada uno de los ejes principales como K1, K2 y K3 (usando la letra K en lugar de la letra L para la designación del momento angular). Estando de acuerdo en esto, el operador Hamiltoniano de energía H para una partícula sub-microscópica se puede escribir de la siguiente manera:
Podemos definir un vector momento angular de la siguiente manera:
La ecuación de movimiento de Heisenberg para este vector momento angular y el Hamiltoniano H de la partícula es entonces:
El vector momento angular, expresado en función de vectores unitarios de base {e1,e2,e3}, es:
De este modo, substituyendo el Hamiltoniano H y el vector momento angular en el lado derecho de la ecuación de movimiento de Heisenberg, se tiene:
En forma más explícita, trabajando sobre el lado izquierdo de la igualdad, se tiene:
o lo que es lo mismo:
Cambiando de notación vectorial en el lado izquierdo de la igualdad (usando también vectores unitarios de base para continuar con el desarrollo posterior):
Igualando y recolectando términos en ambos lados, esto nos produce tres ecuaciones. Una de ellas es la siguiente:
En el desarrollo posterior a esto último, usaremos la definición del anticonmutador, y para que no se confundan los corchetes del anticonmutador con los corchetes que sólo encierran un término multiplicativo entre ellos, los corchetes serán destacados de color azul:
Ahora obtendremos una igualdad intermedia que resulta ser útil en este tipo de análisis:
En la parte inicial de esta igualdad intermedia, con el simple cambio notacional de K a L podemos reconocer a una de las relaciones de conmutación de Born para el momento angular:
o lo que es lo mismo:
Por lo tanto:
Procediendo del mismo modo, se puede demostrar también la veracidad de la siguiente relación:
Con este tipo de relaciones, y regresando a la ecuación de movimiento de Heisenberg, se tienen entonces las siguientes tres ecuaciones dinámicas que describen el comportamiento rotacional de una partícula sub-microscópica rígida y asimétrica:
Si enfocamos nuestra atención en la primera de las tres relaciones y desarrollamos el anticonmutador:
podemos hacernos entonces la siguiente pregunta de peso: ¿se pueden convertir las relaciones que describen el comportamiento rotacional combinado de una partícula submicroscópica en lo que esperaríamos obtener para el movimiento rotacional de un cuerpo rígido macroscópico? Responder a esta pregunta requiere pensar en los mismos términos en los cuales pensó Niels Bohr al elaborar su célebre principio de correspondencia que indica que “para números cuánticos grandes, el comportamiento de un sistema físico sub-microscópico debe aproximarse al comportamiento macroscópico”. El problema aquí es que no tenemos números cuánticos a la vista con los cuales podamos hacer n.→.∞. Sin embargo, en el mundo macroscópico, los momentos angulares L1, L2 y L3 no son anticonmutativos, o sea que LmLn.=.Lnm. Para el mundo macroscópico, un principio de correspondencia equivalente implica que la anticonmutatividad de los operadores del momento angular K debe desaparecer, o sea que:
De este modo se tiene:
Pero Kk.=.Ikωk, con lo cual:
Generalizando para las tres ecuaciones dinámicas:
siendo los sub-índices (.j,k,l) la permutación cíclica de 1, 2 y 3. Estas son precisamente las ecuaciones clásicas de movimiento de Euler para un cuerpo rígido asimétrico macroscópico, conocidas en conjunto como la ecuación de movimiento de Euler. De este modo, hemos confirmado que la ecuación de movimiento de Heisenberg para el desplazamiento rotacional de un cuerpo sub-microscópico tiene una correspondencia directa con la ecuación de movimiento de Euler para el desplazamiento rotacional de un cuerpo macroscópico, lo cual debe darnos una razón adicional para convencernos de que estas ecuaciones mecánico-cuánticas apuntan en la dirección correcta.