La partícula libre II

Un efecto inesperado que suele tomar por sorpresa a muchos que se inician en el estudio de la Mecánica Ondulatoria es el hecho de que la anchura de un paquete de onda ya sea que permanezca fijo en el espacio o conforme se vaya desplazando a cierta velocidad fija en cierta dirección fija no permanece constante sino que va ampliándose cada vez más y más, incrementándose la incertidumbre en la posición de la partícula. Llevaremos a cabo el análisis considerando una partícula con un perfil (envoltorio) de onda Gaussiano, una partícula que se mantiene estática e inmóvil y que no se está moviendo a ninguna parte, pero que de cualquier manera puede variar con el transcurso del tiempo.

PROBLEMA: Supóngase que se tiene una partícula que inicialmente en un tiempo t.=.0 puede ser representada por la siguiente función de onda Gaussiana:

Tras obtener primero la constante de normalización A para esta función de onda, encuéntrese la expresión general para esta función de onda Ψ(x,t) en un tiempo posterior cualesquiera. Utilícese dicha función de onda para obtener los valores esperados (las esperanzas matemáticas) de la posición, del momentum, de la posición media cuadrática y del momentum medio cuadrático. Con los resultados obtenidos, obténgase una expresión para el producto de la incertidumbre σ en la posición y la incertidumbre σ en el momentum, haciendo los comentarios apropiados sobre los resultados obtenidos.

La constante de normalización A la podemos obtener de inmediato para la función de onda proporcionada recurriendo a la condición de normalización:

Puesto que para una partícula considerada como un paquete de onda resultante de la superposición de una cantidad infinitamente grande de frecuencias la descripción de la misma está dada por la relación de transformación de Fourier:

entonces como lo vimos en la entrada anterior para poder encontrar Ψ(x,t) tenemos que encontrar primero la representación en el espacio-k que corresponda a la función inicial de onda para esta partícula libre, para lo cual recurrimos a la transformación de Fourier requerida para este caso:

Para la evaluación de esta integral recurriremos al viejo truco matemático de “completar el cuadrado perfecto” que podemos resumir de la manera siguiente:

Haciendo b = ik, tenemos entonces una integral de la forma:

Si hacemos:

y = √a [x + (b/2a)]

entonces:

(ax² + bx) = y² - (b²/4a)

con lo cual tomando diferenciales se tiene:

dx = dy/√a

Con esto se tiene ahora lo siguiente para la evaluación de la integral:

Entonces φ(k) será igual a:

De este modo, podemos regresar a la relación:

y proceder así a la evaluación de Ψ(x,t):

Simplificando un poco más la expresión para Ψ(x,t) tenemos:

Nuevamente, tenemos que recurrir al truco de “completar el cuadrado”, con lo cual tenemos lo siguiente:

Simplificando un poco:

Finalmente, metiendo la constante de normalización que habíamos obtenido previamente:

Para simplificar un poco las cosas, haremos la siguiente substitución de variable:

La densidad de probabilidad |Ψ(x,t)|² es entonces de acuerdo al criterio de Born:

Inspeccionando las sumas de los términos que corresponden a los dos factores exponenciales, podemos llevar a cabo el siguiente desarrollo:

Por lo tanto:

Haremos una nueva substitución de variable para simplificar los pasos posteriores:

Con esto se tiene la siguiente expresión simplificada:

Incuestionablemente, esta es la densidad de probabilidad para una función de onda Gaussiana. Reemplazando de nuevo lo que representa α y a a su vez lo que representa μ con el objetivo de generar gráficas, la expresión obtenida nos permite darle una interpretación física a lo que sucede conforme va transcurriendo el tiempo. Si graficamos la densidad de probabilidad en contra de la variable posición para un tiempo inicial t.=.0 y para un tiempo posterior cualquiera, encontramos que:

En pocas palabras, se mantiene un perfil de onda Gaussiano. Pero conforme el tiempo va incrementando, la curva Gaussiana aunque se mantiene como una curva Gaussiana se va “aplanando y achatando”. Y esto pese a que estamos considerando una partícula libre fija e inmóvil. Inevitablemente, la incertidumbre en la posición de la partícula va aumentando, y no hay nada que podamos hacer al respecto excepto llevar a cabo una nueva medición que nos dé la posición de la partícula (una posición que puede ser diferente de la posición que la partícula tenía anteriormente, recuérdese que aquí estamos hablando únicamente de probabilidades). E inmediatamente después de haber llevado a cabo la nueva medición, la incertidumbre en la posición de la partícula volverá a aumentar. La única manera en la cual podemos estar seguros de la posición en la cual se encuentra la partícula es estar determinando su posición constantemente a intervalos regulares de tiempo. Pero cada vez que determinemos su posición inevitablemente alteraremos la posición con el solo hecho de llevar a cabo una medición que desplazará a la partícula de su posición anterior. A diferencia de lo que ocurre con la mecánica clásica Newtoniana en la cual podemos escribir la posición de una partícula en función de la variable tiempo, en el mundo sub-microscópico no es posible escribir una función como x(t), ya que si se pudiera hacer tal cosa con precisión ilimitada entonces podríamos obtener en forma exacta la velocidad de la partícula con el solo hecho de tomar la derivada de x(t) con respecto al tiempo, y multiplicando la velocidad por la masa (la cual suponemos que nunca varía para una partícula libre, esquivando complicar el asunto con la Teoría de la Relatividad) podríamos obtener una expresión exacta para el momentum de la partícula, lo cual nos permitiría medir simultáneamente con precisión ilimitada tanto la posición como el momentum. Lo cual, sin embargo, contraviene el principio de incertidumbre de Heisenberg.

El valor esperado (la esperanza matemática) de la posición de la partícula libre representada como paquete de onda Gaussiano es:

Sin necesidad de tener que llevar a cabo cálculos matemáticos, la integral es igual a cero simple y sencillamente porque el integrando es una función impar. Y en lo que a la interpretación física y en palabras del resultado se refiere, la posición promedio de la partícula estará situada todo el tiempo en el origen, esto no cambia, lo que cambia es la certidumbre con la cual podamos afirmar que está situada cerca del origen. Al principio, en un tiempo inicial igual a cero, el rango de la ubicación probable de la partícula está más o menos bien definido, pero conforme el tiempo avanza la certidumbre de su posición puede volverse tan grande que la partícula podría estar no en el origen sino a cientos o miles de kilómetros de distancia.

Habiendo obtenido el valor esperado (la esperanza matemática) de la posición de la partícula libre, podemos obtener el valor esperado (la esperanza matemática) del momentum de la partícula libre de la siguiente manera:

Esto tiene sentido, porque nos dice que sobre un eje-x hay tantas probabilidades de tener a la partícula moviéndose hacia la derecha como moviéndose hacia la izquierda, lo cual es de esperarse de una partícula que por hipótesis está inmóvil en cierto lugar.

Sin embargo, la esperanza media cuadrática de la posición de la partícula no es cero, porque ciertamente hay una dispersión estadística de las posiciones que la partícula puede tener de acuerdo a su perfil de onda Gaussiano:

Del mismo modo, sospechamos desde un principio que la esperanza media cuadrática del momentum de la partícula tampoco es igual a cero:

Para poder llevar a cabo esta integración, se requiere de algo de “colmillo” y paciencia. Empezaremos por hacer la siguiente substitución de variables:

Con esto, se tiene:

y entonces:

Por lo tanto:

aPor otro lado:

De este modo:

Y así:

Entonces:

Continuando:

Y así, finalmente:

La incertidumbre σ_x en la posición puede ser evaluada de inmediato de la siguiente manera:

Del mismo modo, la incertidumbre σ_p en el momentum puede ser evaluada de inmediato de la siguiente manera:

El producto de ambas incertidumbres viene siendo entonces:

Esto es muy significativo, porque nos dice que:

Podemos hacer una gráfica de σ_xσ_p en función del tiempo, obteniendo lo siguiente:

En todo momento, se cumple el principio de incertidumbre de Heisenberg, ya que el producto de las incertidumbre en la posición y el momentum siempre es mayor o igual que ħ/2. Y la igualdad se cumple justo en el tiempo inicial cuando t.=.0.

Si en la relación obtenida arriba para el producto de las incertidumbres hacemos:

entonces podemos escribir lo siguiente:

con lo cual el producto de las incertidumbres toma la forma:

El análisis general para una onda-partícula (un “paquete de onda”) Gaussiano que se mueve unidimensionalmente a cierta velocidad a lo largo de cierto eje tomado convencionalmente como el eje-x resulta ser algo más elaborado, esvel típico problema cuya solución requiere el llenado completo del pizarrón de un salón de clases (y estamos hablando aquí de un pizarrón grande). Matemáticamente hablando, esto no requiere de nuevos principios ni de nuevas técnicas matemáticas, ya que se resuelve con el mismo procedimiento de “completar el cuadrado” que se acaba de ver arriba. Si postulamos una función de onda Ψ(x,t) como la siguiente (obsérvese que la función no está aún normalizada):

manejándose lo siguiente:

entonces, llevando a cabo las integraciones requeridas recurriendo al procedimiento matemático de “completar el cuadrado”, se obtiene el resultado que se muestra a continuación (el cual consta de cuatro factores distintos, los cuales se muestran también de cuatro colores distintos):

El primer factor (de color azul) es un factor de amplitud cuya magnitud va disminuyendo con el transcurso del tiempo (lo cual es obvio solo después de que nos hemos liberado de los factores imaginarios con la multiplicación rutinaria con el conjugado complejo). El segundo factor (de color magenta) es una función de amplitud Gaussiana dependiente de la coordenada-x y cuya desviación estándard Δx en un tiempo t.=.0 es 1/Δk, pero que va incrementándose con el tiempo. En pocas palabras, la curva Gaussiana que representa la densidad de probabilidad de la partícula |Ψ(x,t)|².=.Ψ*Ψ de acuerdo al criterio de Born va disminuyendo en amplitud a la vez que su anchura va aumentando, tal y como se había visto previamente. El tercer factor (de color negro) es un término periódico que tiene la forma de la eigenfunción que corresponde al valor central de k. Y por último, para propósitos de simplificación de análisis, el cuarto factor es esencialmente constante para valores pequeños de t, y por lo tanto sin influencia en la región en la cual el paquete de onda se encuentra localizado.

Tomando el producto Ψ*Ψ, se obtiene lo siguiente para la densidad de probabilidad del paquete de onda Gaussiano viajero:

De este modo, el análisis detallado confirma que para una partícula viajera que se traslada de un punto a otro,considerada como un paquete de onda Gaussiano, inmediatamente después de que se lleva a cabo una medición exacta de la posición de la partícula (en el tiempo t.=.0) esta posición se va volviendo más y más incierta. La única manera de remover la incertidumbre creciente en la posición es llevando a cabo una nueva medición de la posición de la partícula, pero el resultado sólo será válido en el tiempo inicial de medición t.=.0, tras lo cual la certidumbre se va esfumando, y se va esfumando porque al medir la posición de una partícula no es posible medir simultáneamente el momentum de la misma que nos daría la velocidad (magnitud y dirección) permitiéndonos conocer (mediante la mecánica clásica Newtoniana) su posición exacta en cualquier momento futuro (principio de incertidumbre de Heisenberg, reformulado bajo la Mecánica Ondulatoria de Schrödinger). Y de cualquier modo, puesto que para la ubicación de la partícula lo que se tiene de inicio es un paquete de onda cuya localización no puede ser especificada exactamente mediante una simple coordenada (x,y,z) = (a,b,c) en el espacio sino mediante una función que se extiende hacia ambos lados del punto en el cual adquiere su máxima amplitud (Gaussiana), se tiene entonces que el concepto de la partícula puntual es inalcanzable en la Mecánica Cuántica; ninguna partícula puede ser confinada a un punto, como tampoco se le puede concebir como algo tal como una “esfera sólida” dentro de la cual se encuentra ubicado el 100 por ciento de la partícula y fuera de la cual no hay nada de la partícula; tales absolutos carecen de sentido en la Mecánica Cuántica. Las repercusiones de todo esto tienen que ver directamente con las aparentes paradojas y contradicciones que se obtienen al llevar a cabo el acto de medición, tema que ya fue tratado en una entrada previa.

Así, para un tiempo t.=.0 y para una función de onda viajera, la función de onda se reduce a la función Gaussiana original con la que habíamos empezado cuando la partícula estaba situada en el origen. Pero para un tiempo que va en aumento, aunque la función de onda seguirá siendo Gaussiana la anchura del envoltorio de la onda se irá ampliando al tiempo que disminuye su altura de modo tal que el área total bajo |Ψ(x,t)|² evaluada desde -∞ hasta +∞ se mantendrá igual a la unidad, y todo esto irá ocurriendo mientras la partícula se desplaza a lo largo del eje coordenado:

Esto significa que, al ir transcurriendo el tiempo, la onda se irá extendiendo más y más en ambas direcciones requiriendo menos componentes de frecuencia para representar el paquete de onda, hasta que cuando la onda se haya extendido en ambas direcciones hacia el infinito la onda será esencialmente una onda senoidal con una sola longitud de onda λ asociada a ella. De estar localizada dentro de una pequeña región dándonos una incertidumbre muy pequeña sobre su posición, la partícula como onda de materia se va desparramando en ambas direcciones en forma tal que ya no podremos estar seguros en qué parte se encuentra localizada, lo cual equivale a una incertidumbre enorme sobre la posición de la partícula.

No cuesta mucho trabajo confirmar que el producto de las incertidumbres en la posición Δx y en el momentum Δp para un paquete de onda viajero que se está desplazando a cierta velocidad en cierta dirección está dado por:

En pocas palabras, el producto de las incertidumbres es el mínimo posible sólo cuando t.=.0 tanto para el paquete de onda estático como para la onda viajera. Conforme el tiempo va transcurriendo, dicho producto de incertidumbres irá creciendo en forma esencialmente linear para valores suficientemente grandes de la variable del tiempo. Pero este es esencialmente el mismo resultado obtenido para un paquete de onda estático.

Adoptando un punto de vista propio de la Teoría de la Relatividad, podemos considerar un paquete de onda Gaussiano móvil que se está moviendo de izquierda a derecha como un paquete de onda Gaussiano estacionario que está fijo todo el tiempo en su misma posición (y para el cual ya llevamos a cabo un análisis completo arriba) siendo nosotros los observadores los que nos estamos moviendo de derecha a izquierda. El paquete de onda se sigue ensanchando y aplanando en su misma posición todo el tiempo, mientras que nosotros lo que vemos es un paquete de onda que además de ensancharse y aplanarse al transcurrir el tiempo también se está moviendo en el espacio.

Podemos efectuar el análisis de un paquete de onda Gaussiano viajero de una manera no muy complicada suponiendo una función de onda como la siguiente:

en donde l es una constante real (¡que no tiene nada que ver con el momento angular!). Esta es esencialmente la misma función de onda que vimos en el primer problema puesto al principio, excepto que ahora se le ha agregado un factor exponencial adicional. La condición de normalización:

nos produce el mismo resultado que el que se obtuvo arriba, con lo cual se tiene:

Tal y como lo vimos en la serie de entradas previas tituladas “El espacio-posición y el espacio-momentum”, para poder obtener la función de onda Ψ(x,t) conforme va evolucionando con el tiempo, primero obtendremos de la misma la función de onda φ(k) en el espacio-k:

Llevando a cabo la integración mediante la técnica de “completar el cuadrado perfecto”, se tiene:

Con esto, la evaluación de Ψ(x,t) a partir de φ(k) se puede efectuar mediante una segunda transformación de Fourier:

Reemplazando a ω con ħk²/2m para poder llevar a cabo la integración sobre el espacio-k, se tiene:

Efectuaremos ahora el siguiente cambio:

De este modo, llevando a cabo la integración:

se tiene para Ψ(x,t):

Con esto se puede calcular de inmediato la densidad de probabilidad, aunque antes de hacerlo se puede anticipar ya que el tiempo entrará como un parámetro dentro de la expresión para la densidad de probabilidad. Para simplificar un poco las cosas, haremos la misma substitución de variable que se hizo arriba:

De este modo:

Esto se puede simplificar un poco más trabajando sobre el término en el exponencial situado entre los paréntesis cuadrados:

Esto último se puede seguir simplificando aún más recurriendo nuevamente a la técnica de “completar el cuadrado perfecto”:

De este modo llegamos a una forma que pudiera considerarse lo más simplificada posible:

La única manera en la que podemos compactar esto un poco más es recurriendo a la misma simplificación a la que recurrimos arriba con una segunda substitución de variable:

con lo cual se obtiene algo parecido (aunque no igual) a lo que se obtuvo para un paquete de onda Gaussiano estacionario:

La diferencia entre esta última relación y la relación para la densidad de probabilidad que corresponde al paquete de onda Gaussiano estacionario es el reemplazo:

De este modo, |Ψ|² tiene la misma forma y el mismo achatamiento que se obtuvo anteriormente, excepto que en esta ocasión el centro del paquete de onda Gaussiano se mueve a una velocidad constante:

El valor esperado (la esperanza matemática) de la posición del paquete de onda viajero está dado como siempre por:

Para llevar a cabo la integración, podemos efectuar el siguiente cambio de variable:

Con esto, la integral a resolver viene quedando como dos integrales:

en donde se ha hecho uso del dato de que la primera integral es trivialmente igual a cero por ser el integrando una función impar, mientras que la segunda integral es igual a la unidad en virtud de la normalización. Por lo tanto:

Con esto podemos obtener el valor esperado del momentum del paquete de onda Gaussiano viajero:

La esperanza media cuadrática de la posición es evaluada en la forma usual:

En este caso, se tiene:

en donde para la evaluación de la primera integral se usó el resultado obtenido en el problema resuelto al principio (para el paquete de onda estacionario), y para la evaluación trivial de la segunda integral se usó el hecho de que el integrando es una función impar, mientras que para la evaluación de la tercera integral se usó    el hecho de que el integrando (después de sacar fuera el factor que sobrevive) debe igual a la unidad en virtud de la normalización. Por lo tanto:

En lo que toca a la esperanza media cuadrática del momentum, esta también es evaluada en la forma usual:

El proceso de evaluación también es un poco largo, teniéndose como pasos intermedios:

No se reprodujeron más pormenores detallados de esta evaluación porque realmente no contribuyen a una comprensión física del resultado final, además de ser parecidos a los pasos que se han efectuado arriba. Se dará el resultado que se puede esperar obtener como consecuencia del último paso dado arriba:

La incertidumbre σ_x en en la posición es entonces:

mientras que la incertidumbre σ_p en en el momentum es:

Puesto que las expresiones de σ_x y de σ_p que se obtuvieron para el paquete de onda Gaussiano viajero son los mismos que los que se obtuvieron para el paquete de onda Gaussiano estacionario, los resultados se sostienen y el principio de incertidumbre basado en el producto de σ_x y de σ_p sigue siendo válido.

En la entrada titulada “El principio de incertidumbre, revisitado”, se había desarrollado la siguiente relación de carácter general para la estimación del producto de las incertidumbres en la medición simultánea de la posición de la partícula y la energía de la misma:

habiéndose llegado a la conclusión en dicha entrada de que dicha relación no nos decía mucho si el estado bajo análisis era un estado estacionario. Sin embargo, en el caso de la partícula libre que hemos estado tratando, podemos someter dicha relación a prueba para ver qué información útil nos puede dar. Expresando aquí a σ²_x en su forma explícita sin recurrir a la variable α como abreviadora, se tiene:

Nos falta por determinar σ_H. Para ello, sabemos de antemano que;

La determinación del segundo término, o sea el valor esperado del Hamiltoniano de energía H, elevado al cuadrado, no presenta problema alguno, ya que lo podemos obtener de la relación:

elevándola al cuadrado, habiendo obtenido ya arriba el valor esperado del cuadrado del momentum. El problema radica en la evaluación del valor esperado del cuadrado del Hamiltoniano H², ya que:

 La evaluación de la cuarta potencia del operador del momentum requiere evaluar:

En una situación así, resulta mucho más conveniente efectuar el cambio del espacio-posición al espacio-momentum, convirtiendo a Ψ(x,t) en Φ(p,t) mediante el procedimiento de transformación Fourier aplicable en este caso:

Podemos simplificar un poco las cosas haciendo el siguiente cambio de variable:

Haciendo esto, se tiene:

Con la ayuda del cambio de variable, la integración es resuelta entonces de la siguiente manera:

Por lo tanto:

La densidad de probabilidad de la función de onda en el espacio-momentum es entonces:

De este modo:

De nueva cuenta, para llevar a cabo la integración resulta conveniente hacer otro cambio de variable:

Así, observándose que al llevarse a cabo la integración solo sobrevivirán las potencias pares de la variable monigote (no mostrándose por lo tanto todos los términos que resultan de la expansión del binomio a la cuarta potencia):

Por lo tanto:

Estamos por fin en condiciones de poder evaluar σ²_H:

De este modo:

Sin duda alguna, y de acuerdo con esto último:

Y puesto que, por otro lado:

se concluye que la relación del producto de incertidumbres bajo el principio general de incertidumbre se cumple para esta partícula libre.

Una partícula libre, ya sea que se encuentre en reposo o que se encuentre en movimiento, parecería no tener ningún número cuántico con el que pueda ser asociada. Aunque ciertamente se puede asociar una energía cinética E a la partícula al estarse desplazando a cierta velocidad a lo largo de una línea recta imaginaria, esta energía de movimiento linear no está cuantizada, concebiblemente la partícula puede tomar cualquier valor de energía posible entre un continuo o continuum de valores. Esto podría parecer lo propio, excepto en el caso en el cual la partícula es desviada de su movimiento linear a consecuencia de una fuerza de atracción o repulsión que se encuentre en su camino. Y aunque la partícula mantenga su misma energía después de ser desviada hacia otra dirección como consecuencia de una fuerza repulsora o atractiva (por ejemplo, un protón que se aproxima a un núcleo atómico siendo repelido por la carga eléctrica positiva del núcleo), como consecuencia de su interacción y su consecuente desviación en su ruta original, por breve que haya sido, tuvo que haber estado descrita por la cantidad de moviento angular o momento angular (cantidad que se conserva en todo momento por el principio de la conservación del momento angular) asociada al cambio de ruta, en forma parecida a lo que ocurre con un cometa que se aproxima a la Tierra.

Sabemos ya que, en el mundo sub-microscópico, el momento angular de una partícula no puede tomar cualquier valor posible entre un continuo de valores, su momento angular está discretizado, está cuantificado. Y lo mismo tiene que ser necesariamente cierto para una partícula libre. Es por ello que, aunque la partícula libre no se encuentre atrapada en un pozo de potencial ni esté sujeta a una fuerza central que saque a relucir la discretización del momento angular, tenemos que asociar un momento angular a la partícula libre, lo cual se hace utilizando el mismo número cuántico que utilizamos para tales efectos cuando la partícula está atrapada como ocurre con un electrón cuya nube de probabilidad circunda al núcleo del átomo de hidrógeno, o sea el número cuántico l. Pero con este número cuántico también está asociado inseparablemente el número cuántico m. De este modo, podemos asociar por lo menos dos números cuánticos a la partícula libre. Pero podemos ir más lejos, podemos asociar un tercer número cuántico a la partícula libre que tenga que ver directamente con la energía de movimiento de la partícula. En el caso de una partícula atrapada en una caja unidimensional o un electrón atrapado en un átomo de hidrógeno, tal energía está discretizada con un número cuántico n. ¿Pero qué hacer en el caso de la partícula libre cuya energía no está discretizada y puede tomar cualquier valor posible? Podemos asignar ese tercer número cuántico a la energía simbolizándolo no con n sino con el mismo símbolo usado para denotar la energía E de la partícula. De este modo, la función de onda para una partícula libre se puede escribir en cualquiera de las siguientes maneras:

Naturalmente, podemos utilizar los tres números cuánticos E, l y m para especificar en la notación bra-ket de Dirac el ket de estado que representa a la partícula libre:

Al hablar de tres números cuánticos para identificar a la partícula libre, tenemos que tener suma precaución en no olvidar que el primero de ellos, E, en realidad no representa algo que esté “cuantizado” o cuantificado en niveles discretos, ya que la energía de la partícula libre puede tomar cualquier valor entre un continuo de valores posibles que va desde cero hasta lo que podamos obtener con nuestros recursos de aceleración de partículas. El primer número cuántico en realidad podría ser designado como un número “pseudo-cuántico” por no representar valores discretos, pero pondremos a los tres números E, l y m al mismo nivel para no perdernos en las complejidades de la semántica. De cualquier modo, puesto que la energía de una partícula libre que se mueve a lo largo de una línea recta imaginaria está en función directa de su longitud de onda De Broglie λ que a su vez depende (en forma inversamente proporcional) al número de onda k de la partícula:

podemos usar a E en lugar de k, el cual también identifica en forma directa a la energía de la partícula. De este modo, podemos simbolizar una partícula libre de la siguiente manera:

Esto se parece mucho a la función de onda de una partícula como el electrón atrapada en cualquiera de las capas de niveles energéticos de un átomo de hidrógeno. Sin embargo, en ese caso la energía ciertamente está discretizada mientras que en el caso de la partícula libre no lo está.

Al llevar a cabo el análisis del comportamiento de una partícula libre aproximándose a otra que ejercerá una influencia sobre ella, podemos considerar a la partícula libre como una partícula moviéndose en un campo de fuerza central F(r), lo cual incluye para fines prácticos el caso trivial en el cual dicha fuerza es inexistente y la partícula libre es verdaderamente libre. En la Mecánica Cuántica no se maneja el concepto de la fuerza, pero sí se maneja el concepto del potencial V considerando a la fuerza como el negativo de la derivada del potencial V con respecto a la distancia al centro de la fuerza (-dV/dr). Si la fuerza para fines prácticos se va a tomar como cero cuando la partícula libre es realmente libre y no está sometida a ninguna influencia, entonces también el potencial puede tomarse como cero en la ecuación de Schrödinger para una partícula libre. En tal caso, tanto el operador Hamiltoniano de energía H, como el cuadrado del operador del momento angular L² así como el operador L_z, los operadores que corresponden a los números cuánticos k, l y m, deben ser tres operadores que conmutan entre sí simultáneamente, y debe ser posible por lo tanto construír eigenfunciones que son eigenfunciones simultáneas de estos tres operadores. De este modo, las eigenecuaciones de Schrödinger para la energía, el momentum angular total y la componente-z del momento angular de la partícula libre pueden escribirse de la siguiente manera (obsérvese que estaremos usando μ para representar a la masa de la partícula libre en lugar de m, no solo porque que la partícula bajo análsis puede ser cualquier partícula, ya sea un protón, un neutrón o un mesón y no necesariamente un electrón, sino porque de este modo evitaremos una confusión con el símbolo m que será usado para designar a la componente-z del momento angular):

Si haciendo un cambio de variables usamos la definición:

entonces, recurriendo a la técnica matemática de separación de variables como ya lo hemos hecho previamente en el caso del estudio del átomo de hidrógeno, la expansión de la parte radial de la ecuación de Schrödinger para la partícula libre para el caso particular en el cual l.=.0 toma la forma:

Esta es una ecuación diferencial relativamente sencilla que puede ser resuelta para dar la siguiente solución (obsérvese que al hacer l.=.0 se requiere tomar la componente-z del momento angular también como igual a cero, o sea m.=.0):

Como era de esperarse, esta función de onda no está normalizada, ni es posible normalizarla. La función de onda que hemos encontrado es válida únicamente para el estado l.=.0, y nos falta encontrar la manera de poder definirla para otros valores (enteros) de l. En vez de considerar el tener que resolver nuevamente la ecuación de onda radial para otros estados diferentes de l.=.0, podemos considerar mejor el recurrir a la técnica de los operadores escalera que ya hemos usado previamente para así poder generar todas las demás soluciones a partir de la solución que ya tenemos arriba para el estado l.=.0. Para estos fines, y usando como guía el operador del momentum linear P (el cual dicho sea de paso pertenece a la clase de operadores vectoriales conocidos como operadores clase T que ya vimos previamente), introduciremos el siguiente operador escalera:

Puesto que este operador escalera P₊ es simplemente la suma de dos componentes Cartesianas del momentum linear de la partícula (P_x y P_y), P₊ conmuta con el operador de energía Hamiltoniano H. Como tal, una función de onda que sea una eigenfunción de la energía seguirá siendo una eigenfunción de la misma energía después de que haya sido sometida a una operación con P₊. Por otro lado, se puede demostrar que el efecto del operador P₊ actuando sobre una función de onda cuando l.=.m será el de incrementar ambos l y m en una unidad (véase la entrada titulada “Operadores clase T”). Por lo tanto, la operación de P₊ sobre la función de onda dada arriba debe generar la función de onda:

Este procedimiento puede ser repetido (iterado) l veces para producir lo siguiente (al dar este paso seguimos usando la propiedad de que al aplicar un operador escalera clase T a una función de onda cuyos números cuánticos iniciales sean l.=.0 y m.=.0, ambos índices son elevados en una unidad cada vez que se aplique el operador escalera clase T sobre la función de onda):

Haciendo uso de uno de los operadores escalera del momento angular, el operador escalera de descenso L_{_}, es posible generar entonces una función de onda general para la partícula libre con los números cuánticos k, l y m:

De este modo, lo que hicimos en resumidas cuentas fue tomar la función de onda ψ_k00 para producir la función de onda ψ_kll, para producir después finalmente la función de onda ψ_klm. Haremos aquí una pausa para reflexionar sobre lo que tenemos entre manos. Por sus tres números cuánticos principales, esta función de onda se asemeja mucho a la función de onda del electrón que está atrapado en el potencial central de un átomo hidrogenoide. Sin embargo, se repite por la importancia del hecho que aquí hay una diferencia substancial: el número cuántico principal k.puede tomar valores continuos y no está limitado necesariamente a tomar valores discretos. Esta es la razón por la cual lo simbolizamos como k en lugar de usar n. En rigor de verdad, esto es justo lo que esperamos de una partícula libre, que pueda tomar cualquier valor de energía dentro de un espectro continuo de valores, en lugar de estar limitada a tomar ciertos valores discretos como ocurre cuando la partícula se encuentra en un sistema ligado. Pero encima de esto, la partícula libre puede poseer un momento angular. Ciertamente, lo debe tener cuando al interactuar con otra partícula es desviada de su trayectoria.

Para ver en mayor detalle los efectos de operar sobre una función cualesquiera con un operador escalera como P₊, considérese el efecto del operador P₊ sobre cualquier función general de la distancia r:

en donde hemos tomado las expresiones diferenciales usuales para los momentums P_x y P_y:

haciendo los reagrupamientos simbólicos pertinentes.

Antes de continuar, demostraremos el siguiente resultado intermedio.

PROBLEMA: Demuéstrese que:

Aplicando el conmutador proporcionado sobre una función de onda ψ cualesquiera, se tiene:

Simplificando un poco más usando ∂x/∂x.=.1 y ∂y/∂y.=.1 así como el hecho de que la independencia por la ortogonalidad de las coordenadas nos garantiza que ∂x/∂y.=.0 y ∂y/∂x.=.0, entonces tras cancelar términos comunes con signos opuestos vemos que:

De este modo, usando este resultado en la relación previa:

la operación puede ser repetida (iterada) varias veces para dar (resaltándose el operando con color azul para distinguirlo del operador que actúa sobre él):

Por lo tanto, a excepción de la constante de proporcionalidad que hemos estado dejando ausente más arriba por razones de simplicidad, esta última ecuación puede ser compactada de la siguiente manera introduciendo dentro del panorama a las armónicas esféricas Y_lm haciendo m.=.l:

De esto y de los resultados obtenidos previamente, la función radial (sin incluír la parte angular que está dada por la armónica esférica) para la partícula libre puede ser escrita de la siguiente manera:

Esta función radial es conocida por los matemáticos como una función esférica de Bessel. Esta función volverá a aparecer nuevamente al llevarse a cabo el estudio del esparcimiento de partículas en donde un chorro de partículas libres es lanzado hacia un blanco que puede ser un centro de potencial repulsivo o atractivo. Combinando la función radial que hemos obtenido aquí con la armónica esférica Y_lm nos dá la siguiente función de onda para la partícula libre (la armónica esférica que representa la parte angular se muestra de color magenta mientras que la parte radial se muestra de color azul):

Nuevamente, esto se parece mucho a la función de onda de un electrón atrapado en una de las capas energéticas de un átomo hidrogenoide, en donde el papel que desempeñan las armónicas esféricas Y_lm en la definición de las nubes de probabilidad que corresponden a cada una de las capas y sub-capas del átomo hidrogenoide tienen representaciones pictóricas claramente definidas. ¿Pero qué interpretación se le puede dar a las armónicas esféricas en el caso de una partícula libre que no está atada a ninguna otra partícula? En el caso de la partícula libre, los números cuánticos del momento angular l y m entran en acción cuando la partícula libre se aproxima a otra partícula o a un campo (por ejemplo, un campo eléctrico o un campo magnético) que la hará desviarse de su trayectoria. Y si son muchas las partículas que están incidiendo sobre el blanco cuyos efectos dispersores son modelados con algún potencial V(r) apropiado, entonces las armónicas esféricas Y_lm proporcionarán el patrón del esparcimiento de las partículas hacia el exterior después de que hayan interactuado con el potencial. Las partículas libres siguen siendo partículas libres, pero al ser esparcidas por algún potencial V(r) las partículas mostrarán los efectos ondulatorios típicos de interferencia constructiva y destructiva al ser esparcidas. El único caso en el cual se obtendrá un esparcimiento equitativo de partículas sin exhibir dependencia angular alguna, o sea un esparcimiento isotrópico en el cual no habrá dependencia en los ángulos polar θ y azimutal φ que caracterizan a las armónicas esféricas Y_lm, será el caso en el cual el l.=.0 que implica a su vez m.=.0, o sea el caso en el cual la partícula libre tiene un momento angular igual a cero, en cuyo caso la partícula libre no será desviada por el blanco esparcidor y puede tener un choque frontal directo (esto es, una “colisión dura”) con el esparcidor pudiendo incluso ser absorbida la partícula libre por el blanco para dar lugar a los fenómenos propios de la física nuclear.