Considérese el caso en el cual el operador Hamiltoniano puede ser escrito de la siguiente manera:
H = H0 + H1
siendo H0 el término no-perturbado y siendo H1 el término que representa la perturbación, siendo además H0 grande en comparación con H1, esto es, siendo la energía asociada con H0 grande en comparación con la energía asociada con H1. Haremos dos suposiciones adicionales. La primera será que el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, y la segunda que el término no-perturbado H0 conduce a una eigen-ecuación soluble:
H0uk = Ekuk
siendo las uk eigen-funciones que corresponden a los eigenvalores Ek del Hamiltoniano H0.
Ahora bien, siempre podemos escribir a:
H = H0 + H1
como un caso especial del Hamiltoniano:
H = H0 + λH1
en donde λ es un parámetro arbitrario que posteriormente puede ser tomado como igual a la unidad para obtener la solución deseada al problema de los eigenvalores del Hamiltoniano original. Supondremos ahora que es posible llevar a cabo una expansión de las eigenfunciones y las eigenenergías de este Hamiltoniano total:
ψ = ψ0 + λψ1 + λ²ψ2 + λ3ψ3 + λ4ψ4 + ...
E = E0 + λE1 + λ²E2 + λ3E3 + λ4E4 + ...
Para el caso en el cual λ→0, la eigen-ecuación para la energía se convierte en:
H0ψ0 = E0ψ0
y la ecuación previa H0uk = Ekuk nos muestra que es necesario hacer las siguientes identificaciones:
ψ0 = uk
E0 = Ek
Se recalca que uk es una de las eigen-funciones del sistema no-perturbado, siendo Ek la eigen-energía correspondiente.
Aplicando el operador H = H0 + H1 a la función de onda ψ como ha sido definida arriba como una serie infinita, se tiene:
(H0 + H1) (ψ0 + λψ1 + λ²ψ2 + λ3ψ3 + λ4ψ4 + ...)________
= (E0 + λE1 + λ²E2 + λ3E3 +...)(ψ0 + λψ1 + λ²ψ2 + λ3ψ3 + ...)
= (E0 + λE1 + λ²E2 + λ3E3 +...)(ψ0 + λψ1 + λ²ψ2 + λ3ψ3 + ...)
que podemos escribir de la manera siguiente:
H0ψ0 + λ(H1ψ0 + H0ψ1) + λ²(H0ψ2 + H1ψ1) + ...
= E0ψ0 + λ(E1ψ0 + E0ψ1) + λ²(E2ψ0 + E1ψ1 + E0ψ2) + ...
= E0ψ0 + λ(E1ψ0 + E0ψ1) + λ²(E2ψ0 + E1ψ1 + E0ψ2) + ...
Siendo λ un parámetro independiente, podemos igualar los coeficientes de las potencias semejantes en λ, lo cual nos dá el siguiente conjunto de ecuaciones:
H0ψ0 = E0ψk0
H1ψ0 + H0ψ1 = E1ψ0 + E0ψ1
H0ψ2 + H1ψ1 = E2ψ0 + E1ψ1 + E0ψ2
y así sucesivamente.
Si expandimos ψ1 en términos de las funciones no-perturbadas ψk:
que podemos escribir como:
Multiplicando por la izquierda por uj* y llevando a cabo la integración sobre todo el espacio, se tiene (en notación bra-ket de Dirac):
En el lado izquierdo de la igualdad, en virtud de que las funciones uk son ortonormales, o sea normalizadas y ortogonales, solo sobrevive un término de la sumatoria, el término para el cual un.=.uj, o sea para n.=.j, con lo cual se tiene:
Enfoquémonos ahora sobre el primer término en el lado derecho de la igualdad. El producto interno entre las funciones ortonormales uj y uk se puede substituír sin demérito alguno por una función delta de Kronecker. Y repitiendo para el segundo término en el lado derecho de la igualdad el argumento que se acaba de utilizar arriba, en virtud de que las funciones uk son ortogonales, solo sobrevive un término de la sumatoria, el término para el cual un.=.uj, o sea para n.=.j, con lo cual se tiene entonces:
Si hacemos j = k, esto elimina los dos términos que terminan siendo iguales:
El resultado que se acaba de obtener es una de las relaciones más importantes en la Teoría de las Perturbaciones, porque es lo que nos proporciona lo que se conoce como la corrección de primer orden, y frecuentemente es expresada de la siguiente manera:
Obsérvese que las funciones uk han sido reemplazadas por la notación más usual para funciones de onda usando a ψ, y además se les ha agregado a las funciones de onda un super-índice de cero. El super-índice de cero se usa para resaltar el hecho de que se trata de las funciones de onda del sistema que aún no ha sido perturbado, y para evitar que puedan ser confundidas con un exponente se les pone entre paréntesis. Del mismo modo, la corrección de primer orden a la energía es simbolizada elevando el sub-índice 1 hacia arriba poniéndolo como super-índice de uno (puesto que lo más común en la literatura técnica moderna es usar el subíndice para representar al número cuántico, poner también como sub-índice al número que representa el orden de la corrección perturbativa se puede prestar a numerosas confusiones haciendo la notación más complicada de lo que debe ser). El super-índice de 1 se usa para resaltar el hecho de que se trata de una corrección de primer orden a la energía del sistema que aún no ha sido perturbado, y se pone entre paréntesis para evitar que pueda ser confundido con un exponente matemático. Si se tratara de una corrección de segundo orden a la energía del sistema que aún no ha sido perturbado, entonces se usaría un super-índice de 2, también puesto entre paréntesis para impedir que pueda ser confundido con un exponente. Y así sucesivamente.
La relación fundamental de la Teoría de las Perturbaciones para obtener una corrección de primer orden, como está dada arriba, se presta a su aplicación en el ámbito de la Mecánica Ondulatoria basada en la ecuación diferencial de Schrödinger. Sin embargo, y sin demérito alguno, la misma relación se puede expresar de la siguiente manera que se presta más al uso de la misma en el ámbito de la Mecánica Matricial de Heisenberg:
en donde H1 es una matriz, la matriz de perturbación que debe ser agregada a la matriz que representa al operador Hamiltoniano no pertubado H0. De este modo, la perturbación de primer orden a la energía del estado que corresponde al estado de energía no-perturbado está dado por el elemento de una matriz, el elemento (H1)kk. En la Mecánica Matricial, la matriz H1 es pre-multiplicada por un vector renglón y post-multiplicada por otro vector renglón de modo tal que todo se reduce a un número real.
La diferencia en el uso de ambas notaciones para la corrección perturbativa de primer orden tanto en el ámbito de la Mecánica Ondulatoria como en el ámbito de la Mecánica Matricial deberá ser más clara en los problemas y ejemplos que se irán viendo posteriormente.
Por otro lado, la penúltima ecuación para el caso j ≠ k dá una expresión para los cj y por lo tanto para la perturbación de primer orden a la eigenfunción correspondiente uk: (aunque aquí usaremos la notación tipo matricial, el lector debe poder hacer la conversión de lo que se tiene en el numerador para obtener el símil a ser usado en un problema propio de Mecánica Ondulatoria):
Sin embargo, el valor de ck no es determinado mediante el procedimiento que acabamos de ver. Para ello, puesto que se supone de inicio que la función de onda ψ está normalizada, podemos escribir entonces:
Tomando el producto interno de los términos del bra y del ket y reagrupando:
Simplificando un poco más:
En virtud de que el parámetro λ es arbitrario y diferente de cero (si fuese cero, el sistema tendría solución exacta), cada término en los paréntesis rectangulares se debe desvanecer. Esto implica que:
De la expansión de ψ1 como una suma infinita lineal en función de los un, esto puede último puede ser escrito de la siguiente manera:
Esto nos lleva a la siguiente conclusión:
ck = iγ
Entonces, a un primer orden de aproximación, la función de onda puede ser escrita de la siguiente manera:
ψ = ψ0 + λψ1
La sumación se lleva a cabo sobre el índice n, pero con la advertencia de que en ningún momento puede ser el mismo entero que el que representa al estado k ya que ello conduciría a una división entre cero en varios de los términos (ocasionalmente se resaltará ésta advertencia debajo del símbolo de la sumatoria). Estando interesados en estos momentos únicamente en una normalización a un primer orden, 1+iγλ puede ser reemplazado con el exponencial que lo genera, o sea eiγλ. Con esto, puede verse que el coeficiente ck de la expansión como sumatoria en los un en los que es expandido ψ1 tendrá el efecto de cambiar la fase de la función original no-perturbada uk en relación a la fase de los términos de perturbación. Para preservar la ortogonalidad de las funciones de onda perturbadas, la fase debe ser tomada como igual a cero, o sea que ck = 0.
De este modo, se ha obtenido arriba a un primer orden el efecto del término de perturbación H1 sobre las eigen-energías del sistema no-perturbado así como sobre las eigenfunciones de onda del sistema no perturbado.
Procediendo de modo semejante, podemos obtener también términos de corrección perturbativa de segundo orden usando las soluciones de primer orden en λ y los términos del orden λ² en los desarrollos en series de potencias. Haciendo tal cosa, se encuentra que la función de onda a un segundo orden de perturbación estará dada por la siguiente expresión:
Al introducir una pequeña perturbación en un sistema cuántico, generalmente hablando la energía del sistema perturbado será diferente, y la fórmula general más usada en la Mecánica Ondulatoria que incorpora tanto la corrección de primer orden como la de segundo orden para la energía del sistema es la siguiente:
Para que lo anterior quede más claro y no hay absolutamente ninguna duda al respecto, se reproduce a continuación la fórmula anterior pero agregando comentarios sobre la relevancia de cada uno de los términos de la fórmula:
Podemos expresar lo anterior de una forma equivalente pero de una manera que se presta más a su uso en el contexto de la Mecánica Matricial, resaltándose que la diferencia entre la siguiente fórmula y la anterior en realidad es una diferencia notacional más que una diferencia de fondo porque estamos viendo lo mismo pero con lentes diferentes (la diferencia en el uso de ambas fórmulas para procedimientos de cálculo resultará más evidente en la solución de problemas y ejemplos):
En ambas fórmulas, la energía del sistema perturbado es diferenciada de la energía del sistema no-perturbado poniendo una comilla como super-índice en la forma en la que se muestra arriba pero sin poner un sub-índice que indique estado cuántico alguno. En realidad, el sistema perturbado también está cuantizado, pero el problema notacional es que si le agregamos un sub-índice n ello podría sugerir erróneamente que el número cuántico del estado original sigue siendo el mismo que el número cuántico del sistema perturbado, lo cual ocurre únicamente cuando se remueve la perturbación. Podemos enfatizar que también el sistema perturbado está cuantizado poniéndole un sub-índice que simboliza un entero positivo, pero usando otra letra como k:
Este tipo de detalles finos se vuelve importante tomando en cuenta el hecho de que en algunos sistemas aparecen nuevos estados energéticos, y en donde había un solo estado pueden aparecer dos estados energéticos, o tres estados energéticos, o inclusive más. Esto ocurre cuando se tiene lo que se conoce como estados degenerados que amerita un estudio más a fondo para ser llevado a cabo posteriormente en cuanto se adquiera familiaridad con la teoría de perturbaciones para sistemas no-degenerados. Entendiblemente, en aquellos sistemas en donde aparecen nuevos estados energéticos la notación se complica, y al empezar a agotar el uso de subíndices y superíndices recurrimos a variantes tales como usar una comilla para representar al operador Hamiltoniano perturbado, o sea H’, en lugar de usar un subíndice de 1, o sea H1. Aquí usaremos indistintamente ambas variantes con la finalidad de acostumbrar al lector a ambos tipos de notación.
Así pues, en la energía ya corregida (la que corresponde al sistema perturbado) al tomar en cuenta los efectos de una perturbación tenemos un segundo término (H1)nn en lo que se conoce como corrección de primer orden, y tenemos también un tércer término (evaluado de acuerdo a la sumatoria mostrada) en lo que se conoce como la corrección de segundo orden. La energía En es la energía no-perturbada que corresponde al número cuántico n del sistema y que frecuentemente se representa como E(0)n usándose el super-índice cero para distinguir a la energía no-perturbada del resto de los términos. La evaluación de la serie de perturbación en la teoría perturbacional puede ser refinada aún más agregando correcciones de orden mayor, aunque la complejidad creciente en el cálculo de correcciones posteriores va en contra del espíritu del método de las perturbaciones como una medida de aproximación cuando el efecto perturbador en un sistema es relativamente pequeño en comparación con los efectos principales que corresponden al operador Hamiltoniano H propiamente dicho.
Hay casos en los cuales al evaluar la corrección de primer orden se obtiene un valor igual a cero, lo cual nos puede llevar a concluír erróneamente que todos los términos restantes de la serie de perturbación también serán iguales a cero, lo cual no necesariamente es cierto, y se encuentra que al evaluar la corrección de segundo orden se obtiene un resultado diferente de cero. Cuando la corrección de primer orden no es igual a cero, se obtiene esencialmente una corrección lineal, en el sentido de que el efecto de la perturbación en el sistema es alterar en una manera proporcionalmente lineal la energía original del sistema no-perturbado. Y cuando la corrección de segundo orden no es igual a cero, se obtiene esencialmente una corrección cuadrática en el sentido de que el efecto de la perturbación en el sistema es alterar en una manera proporcionalmente cuadrática la energía original del sistema no-perturbado. De nueva cuenta, se volverá indispensable estudiar casos específicos en donde se obtienen efectos lineales y cuadráticos (uno de tales casos es lo que en la física cuántica se conoce como el efecto Stark).
Se repite que lo anterior está puesto en una notación más apropiada para cálculos y evaluaciones llevados a cabo bajo el ámbito de la Mecánica Matricial. Cuando se está trabajando en el ámbito de la Mecánica Ondulatoria, la relación para el cálculo de la corrección de primer orden a la energía no-perturbada del sistema En bajo un operador Hamiltoniano de perturbación H’ usando la función de onda ψ(0)n para representar al sistema no-perturbado bajo un número cuántico n vendría siendo la siguiente con la ayuda de la notación bra-ket de Dirac:
Asimismo, la corrección de segundo orden se puede escribir de la siguiente manera en una notación más apropiada para cuestiones de la Mecánica Ondulatoria:
La sumatoria para el cálculo de la corrección de segundo orden se lleva a cabo sobre m, observándose que no es permisible darle a m el valor de n porque ello conduciría a una división por cero en el denominador. Como siempre, se puede entender mucho mejor esto de lo que hemos estado hablando con algunos ejemplos necesarios para aclarar lo que se está tratando en los cálculos de los términos de perturbación.
PROBLEMA: Utilizando la técnica de las perturbaciones, obténgase la energía del estado basal (fundamental) para un oscilador anarmónico cuyo Hamiltoniano es el siguiente:
En este caso, el Hamiltoniano no perturbado consiste de los dos términos típicos del oscilador armónico simple, y una perturbación que supondremos pequeña dada por:
Para el estado basal del oscilador armónico simple cuya función de onda es:
la corrección de primer orden para la energía será:
E1 = <ψ0 | H1ψ0>
Evaluando dicha corrección:
Con esta corrección de energía, podemos escribir la energía del estado basal del oscilador anarmónico de la siguiente manera:
PROBLEMA: Supóngase que se tiene una partícula encerrada en una caja unidimensional (una partícula en un pozo de potencial con paredes infinitamente altas) dentro de la cual la energía potencial no es igual a cero sino que está dada por la relación V(x) = C(x/a). Usando la teoría de las perturbaciones, obténgase la aproximación de primer orden para la energía de este sistema.
Un bosquejo gráfico para este problema vendría siendo el siguiente:
Nuestro punto de partida será el conocimiento que ya tenemos para una partícula encerrada en una caja unidimensional dentro de la cual el potencial V(x) es igual a cero. Para esta situación no perturbada, el Hamiltoniano es:
La solución para este problema no-perturbado viene siendo:
siendo K la constante de normalización tal que K*K = 2/a. Y los niveles de energía para el sistema no-perturbado vienen siendo:
El Hamiltoniano del sistema perturbado, tomando en cuenta únicamente la aproximación de primer orden, será:
siendo H1 = C(x/a). Tenemos entonces lo siguiente:
Con esto, los niveles de energía para el sistema perturbado vienen siendo:
PROBLEMA: Supóngase que se tiene una partícula encerrada en una caja unidimensional (una partícula en un pozo de potencial con paredes infinitamente altas) dentro de la cual la energía potencial no es igual a cero sino que está dada por la siguiente relación en donde la constante k es un número entero fijo:
Usando la teoría de las perturbaciones, obténgase la aproximación de primer orden para la energía de este sistema.
El sistema no-perturbado es esencialmente el mismo que vimos en el problema anterior para el cual:
__
En este caso el término de perturbación viene siendo H1 = V0sen(kπx/a). Tenemos entonces lo siguiente:
Para llevar a cabo esta integral, podemos recurrir a la siguiente identidad trigonométrica:
De este modo, la integral original se convierte en dos integrales:
Si el entero k es par, la primera integral será cero, y si el entero k es impar esta primera integral será igual a V0/kπ. Podemos recurrir a tablas de integrales para la evaluación de la segunda integral. Sin embargo es necesario considerar tres casos diferentes. El primer caso ocurre cuando k es impar. Para esta situación 2n ≠ k y podemos recurrir a la siguiente integral tomada de las tablas:
En esta situación, obtenemos la siguiente corrección de primer orden para el sistema no-perturbado:
En el segundo caso, k es par, pero n ≠ k/2, aplicándose entonces la integral del primer caso resultando en una corrección de cero.
Y en el tercer caso, k es par y n = k/2. Entonces la corrección de primer orden será igual a cero como podemos apreciarlo a continuación:
De este modo, las energías perturbadas serán:
Cuando k es impar:
Cuando k es par:
Existe una explicación física sencilla para los resultados obtenidos. Cuando k es par habrá un número entero de longitudes de onda de la función perturbante en la caja, y de este modo la función de onda tendrá un valor promedio de cero dentro de la caja, no presentándose en una perturbación de primer orden.
La teoría de las perturbaciones nos permite no solo obtener un estimativo de las energías perturbadas de un sistema cuántico cuando se le introduce una pequeña perturbación. También nos permite obtener un estimativo de las funciones de onda que corresponden a un sistema perturbado. Sin embargo, aunque la convergencia de las series de perturbación para obtener los eigenvalores de un sistema perturbado son usualmente breves (relativamente hablando) requiriendo el cálculo de solo dos o tres términos de la serie de perturbación, el cálculo de las funciones de onda de un sistema ya perturbado procede con mucha mayor lentitud debido a la convergencia usualmente lenta de las series para este tipo de evaluaciones.
Llevando a cabo un procedimiento de derivación prácticamente idéntico al que se llevó a cabo arriba para derivar la serie de perturbación para obtener los eigenvalores de energía para un sistema cuántico perturbado, del mismo modo podemos derivar la siguiente relación para el cálculo inicial aproximado de cada una de las funciones de onda ψ(1)n a un primer orden que corresponden a un sistema perturbado:
El siguiente problema deberá arrojar un poco más de luz sobre ésto último.
PROBLEMA: Sabiendo que la función de onda unidimensional para una partícula encerrada dentro de una caja hermética (o lo que es lo mismo, entre las paredes de un pozo de potencial infinitamente altas) está dada por:
y suponiendo que dentro del pozo de potencial se introduce la siguiente perturbación del tipo de una función delta de Dirac:
siendo K una constante arbitraria pero pequeña, obténganse a un primer orden las energías del sistema perturbado, así como los primeros tres términos de la serie de perturbación para la función de onda del sistema perturbado que corresponde al estado fundamental del sistema ya perturbado.
Pictóricamente, lo que tenemos en este problema es algo como lo siguiente:
Tomando la función de onda del sistema no-pertubado:
procedemos de manera directa como sigue a la evaluación de la corrección de primer orden en la energía del sistema:
Usamos ahora la propiedad de la función delta de Dirac actuando bajo el signo de integración:
para obtener lo siguiente de manera directa por simple substitución:
Puesto que el número cuántico n solo puede tomar valores enteros, en base a este último resultado obtenemos los siguientes eigenvalores de energía:
Obsérvese que para un n par la función de onda será igual a cero en el punto en donde está puesta la discontinuidad perturbadora (o sea en x.=.a/2), de modo tal que será indiferente a la presencia del Hamiltoniano perturbador H’.
Para obtener los primeros tres términos de la serie de perturbación que corresponde a la función de onda del sistema ya perturbado en su estado basal, tenemos que efectuar el siguiente cálculo:
Puesto que no hay factores imaginarios o complejos aquí, el resultado del proceso de conjugación (destacado en color rojo) es inconsecuente. Aplicando nuevamente la propiedad de la función delta de Dirac actuando bajo el signo de integración, lo anterior se reduce tras una simplificación trigonométrica a:
Puesto que esto es igual a cero para un entero m par, anticipamos que los primeros tres términos en la sumatoria a evaluar diferentes de cero corresponderán a m.=.3, m.=.5 y m.=.7. Se sabe de antemano que los eigenvalores de energía para una partícula encerrada en un caja de longitud a están dados por la siguiente relación general:
De esta relación obtenemos lo siguiente:
Así pues, tenemos para el denominador:
De este modo, la corrección de primer orden en la serie de perturbación para la función de onda del sistema ya perturbado se puede ir evaluando del modo mostrado a continuación:
Las funciones de onda que aparecen en cada uno de los tres términos de la serie corresponden a las funciones de onda del sistema no-perturbado, las cuales podemos substituír de inmediato para así obtener finalmente:
Algo importante que se debe destacar es que la corrección de primer orden para la función de onda ψ(1)1 del sistema perturbado viene siendo una especie de “mezcla” de una cantidad infinita de funciones de onda ψ(0)n que corresponden a las eigenfunciones del sistema no-pertubado. Otra cosa importante a destacar es que el resultado obtenido es una corrección a la función de onda original, y para obtener la función de onda del sistema perturbado en su estado fundamental n.=.1 se debe agregar ésta corrección a la función de onda del sistema no-perturbado, la cual si identificamos como φ’ para distinguirla de la función de onda del sistema no-perturbado será entonces:
| φ’n = ψn + λψ(1)n + λ2ψ(2)n + λ3ψ(3)n + ... |
En su quintaesencia, el método de las perturbaciones es en realidad una técnica matemática para poder obtener una solución aproximada a ecuaciones diferenciales para las cuales una solución analítica exacta no se antoja posible, y la filosofía del método es siempre la misma. Para resolver una ecuación diferencial que se antoja algo difícil de manejar, se empieza con una ecuación diferencial más sencilla cuya solución o soluciones nos sean perfectamente conocidas, y la ecuación diferencial usada como punto de partida que se supone ya resuelta se utiliza siempre como punto de arranque agregándole a dicha ecuación diferencial un término perturbador, o sea el término que la convierte en la ecuación más compleja, usando entonces los métodos propios de la teoría de las perturbaciones. En algunos casos, es posible obtener una solución exacta a una ecuación diferencial algo compleja sin tener que recurrir al método de las perturbaciones, y comprobar posteriorment que el método de las perturbaciones nos conduce a la misma respuesta. Considérese la siguiente ecuación diferencial cuyas soluciones nos son conocidas:
Esta ecuación diferencial nos debe ser ya familiar después de haberla tratado en detalle en la entrada Oscilador armónico simple: solución ondulatoria. Se trata de la ecuación que describe el comportamiento del oscilador armónico simple, la cual se obtiene a partir de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
Hψ = Eψ
El operador Hamiltoniano H del sistema es simplemente igual a la suma de las energías cinética y potencial V(x) del oscilador armónico simple. Si con fines de mayor simplicidad sacamos fuera a las constantes numéricas del panorama haciendo:
ħ = m = ω = 1
tendremos entonces la siguiente ecuación diferencial más al gusto de los matemáticos:
De cualquier modo, pese a su aparente simplicidad, a causa de los requerimientos impuestos por la física (la función de onda se debe desvanecer a distancias suficientemente grandes) la solución de ésta ecuación diferencial eventualmente conduce a la cuantización de los valores de la energía E del sistema.
Tomemos la ecuación diferencial original del oscilador armónico simple (con todo y sus constantes físicas) agregándole un término de pertubación como se muestra a continuación:
El término perturbador proviene de sumergir al oscilador armónico dentro de un campo eléctrico ℇ que, suponiendo que la partícula que está oscilando es una partícula con una carga eléctrica q, vuelve la ecuación diferencial original en un asunto más complicado. El operador Hamiltoniano original H de energía del sistema no-perturbado se puede considerar ahora como un nuevo operador formado por la suma directa del operador Hamiltoniano original que renombramos como H0, y un operador Hamiltoniano de perturbación H’:
Nos hacemos ahora la pregunta: ¿qué tan difícil será resolver ésta nueva ecuación diferencial que se antoja más complicada obteniendo una solución exacta? No mucho, si efectuamos el siguiente cambio de variable:
Este sencillo cambio de variable nos conduce al siguiente resultado intermedio:
Metiendo esto en la ecuación diferencial y simplificando un poco, llegamos a lo siguiente:
Esta es esencialmente la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico simple, en la variable x’. La constante en el lado derecho de la igualdad debe representar una energía cuantizada que, sabiendo de antemano la solución del oscilador armónico original (sin perturbación), reconocemos como:
Se concluye entonces que la energía del sistema perturbado por la presencia del campo eléctrico ℇ estará dada por la expresión:
El término nuevo es lo que debemos restar a la energía original del sistema para obtener la energía del sistema perturbado.
¿Y qué es exactamente lo que se obtiene cuando se recurre al método de las perturbaciones para obtener aunque sea en forma aproximada las eigenenergías del sistema perturbado? Para obtener la respuesta, empezamos por el cálculo más sencillo que es la obtención de la corrección de primer orden que procede de la manera siguiente:
La evaluación de la relación en notación bra-ket de Dirac es igual a cero porque x es una función impar:
f (-x) = - x
y ya sabemos que en estos casos en donde tanto en el bra como en el ket tenemos a la misma función de onda, el resultado será siempre igual a cero.
Continuamos con el cálculo de la corrección de segundo orden empezando con la relación fundamental para ello:
Usando el Hamiltoniano de perturbación H’, se tiene entonces que:
Puesto que el sistema no-perturbado es un oscilador armónico simple, podemos meter aquí en el denominador las relaciones de la energía de dicho oscilador tanto para el estado n como para el estado m y simplificar un poco:
Para la evaluación de lo que tenemos en el denominador, recurrimos a una relación válida para el oscilador armónico simple (¡y solo para el oscilador armónico simple!) que se puede obtener mediante el uso de los operadores escalera:
estando los deltas de Kronecker δ definidos de la manera usual para dos enteros a y b:
De este modo, se tiene:
Elevando al cuadrado lo que tenemos en el numerador y llevando a cabo las siguientes simplificaciones que son consecuencia directa de la definición básica del delta de Kronecker:
nos queda entonces lo siguiente:
A continuación aplicamos la sumatoria, y al hacer tal cosa encontramos nuevamente que solo sobrevivirán dos términos, aquellos en los que los dos subíndices en cada delta de Kronecker δ son iguales, mientras que todos los demás términos se van eliminando, quedando tan solo lo siguiente:
Obsérvese algo muy importante: el número cuántico n no aparece en la expresión de la corrección de segundo orden, lo cual significa que el desplazamiento será el mismo para cada nivel de energía. Más aún, por la acción de los deltas de Kronecker, se puede verificar que todas las correcciones de tercer orden en adelante serán iguales a cero, por lo que la serie de perturbación que nos proporciona la energía del sistema perturbado para cada número cuántico n (del sistema perturbado, no confundir) será:
Lo más relevante es que el resultado que se obtiene mediante el método de las perturbaciones es el mismo que el resultado que se obtiene en forma exacta cuando se resuelve la ecuación diferencial perturbada mediante el cambio de variable que se ha usado arriba. Esto debe servir para darnos mayor seguridad y confianza en el método de las perturbaciones conforme tratamos de aplicarlo en situaciones en las que la perturbación modifica la situación de modo tal que no hay esperanza alguna de poder obtener un resultado analítico exacto.
Como un último ejemplo en esta entrada, considérese el caso de dos partículas idénticas, algo de lo cual ya se ha hablado previamente en la entrada El principio de exclusión de Pauli que forma parte de esta obra. Se presenta éste ejemplo adicional para ir tomando mayor destreza en el uso de la Teoría de las Perturbaciones, en donde analizaremos los pasos a seguir en un problema en el que se tienen a dos partículas idénticas encerradas en una caja herméticamente sellada. Puesto que las partículas que llamamos fermiones (como los electrones) no pueden ocupar un mismo estado energético con todos sus números cuánticos iguales, usaremos bosones que sí pueden hacer tal cosa:
Primero que nada, para una partícula encerrada dentro de un pozo de potencial con paredes infinitamente altas (o lo que es lo mismo, puesta dentro de una caja herméticamente sellada), la función de onda es (obsérvese que se ha puesto un super-índice de cero entre paréntesis para resaltar el hecho de que se trata de una función de onda no perturbada):
Del mismo modo, para dos partículas idénticas puestas dentro de la caja, siendo ambas partículas bosones, ignorando la interacción entre las partículas entonces la función de onda combinada del sistema no-perturbado será:
La energía total del sistema en su estado fundamental (con n.=.1) será igual a la energía aportada por cada una de las dos partículas idénticas (el sub-índice 1 indica el estado fundamental n.=.1, mientras que el super-índice 0 indica que se está considerando al sistema aún sin perturbación alguna):
La función de onda combinada general del sistema no-perturbado para el primer estado excitado será (obsérvese el sub-índice de 2 que indica n.=.2, o sea el primer estado excitado):
lo cual podemos expresar del modo siguiente para el caso de las dos partículas atrapadas dentro de la caja hermética:
La energía total del sistema no-perturbado, cuando se encuentra en su primer estado excitado que corresponde a un número cuántico n.=.2 (no confundir, en este caso se trata del número cuántico del sistema combinado), será:
Supóngase ahora la presencia de una perturbación que está dada por la siguiente relación:
Entonces la corrección de primer orden, para el sistema combinado de partículas perturbado en su estado fundamental, será:
Del mismo modo, la corrección de primer orden para el sistema combinado de partículas perturbado en su primer estado excitado será:
PROBLEMA: Partiendo desde el principio y usando la notación bra-ket de Dirac, obtener la expresión para la corrección de segundo orden a las energías cuantizadas de un sistema que será sujeto a una perturbación.
Podemos escribir el operador Hamiltoniano H de un sistema con operador Hamiltoniano inicial H0 y que ha sido perturbado con un factor de perturbación λ anclado a un operador Hamiltoniano de pertubación H1 de la manera siguiente:
Se supone que tanto la función de onda del sistema perturbado como la eigenenergía del sistema perturbado se pueden expresar mediante las siguientes expansiones en series infinitas:
siendo ψn(1) y ψn(2) las correcciones de primer orden y segundo orden para la eigenfunción n del sistema perturbado y siendo En(1) y En(2) las correcciones de primer orden y segundo orden para los eigenvalores del sistema perturbado Se supone también que la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo sigue siendo tan válida para un sistema perturbado como lo era para el sistema no-perturbado, y por lo tanto usando las expansiones anteriores podemos escribir lo siguiente:
Si recolectamos las potencias iguales en λ en cada lado reagrupando términos, entonces:
De lo anterior obtenemos para el orden más bajo el resultado que nos es de sobra conocido porque de hecho fue el punto de partida (obsérvese que tanto el sub-índice como los super-índices de cero nos indican que se trata de la ecuación que corresponde al sistema no-perturbado):
Del mismo modo, obtenemos para el primer orden en λ:
Y del mismo modo, obtenemos para el segundo orden en λ:
Si en ésto último pre-multiplicamos todo en ambos miembros de la igualdad por la función de onda ψn(0) formando los productos bra-ket de Dirac, entonces se tiene:
Por hipótesis, el operador es un operador Hermitiano, lo cual nos permite hacer lo siguiente:
A causa de ésto, tanto el primer miembro a la izquierda de la igualdad como el primer miembro a la derecha de la igualdad en la que estamos trabajando se cancelan mutuamente, mientras que en el tercer término a la derecha de la igualdad el producto bra-ket se reduce a un factor de 1 a causa de la ortonormalidad de las funciones que suponemos normalizadas:
Así llegamos a la siguiente expresión para la corrección de segundo orden a la energía eigen del sistema:
Pero en forma parecida a lo que encontramos al principio en las derivaciones de las relaciones para las correcciones de primer orden, la función de onda ψn(1) del sistema perturbado se puede expandir tomando como base las eigenfunciones del sistema no perturbado con una combinación adecuada de coeficientes, y en este caso especial tomando en cuenta que todas las eigenfunciones del sistema perturbado son ortogonales entonces cada uno de los productos de la sumatoria para m.≠.n necesariamente serán iguales a cero:
Por lo tanto, el segundo término en la corrección de segundo orden a la energía eigen del sistema es igual a cero, lo cual nos deja:
Ya obtuvimos al principio de esta entrada la sumatoria con sus respectivos coeficientes para lo que tenemos aquí, o sea:
Por lo tanto, introduciendo nuevamente la expansión en sumatoria para el segundo término en la corrección de segundo orden a la energía eigen del sistema y simplificando, llegamos al resultado deseado:
Procediendo de modo similar, podemos obtener las correcciones de tercer orden, de cuarto orden y así sucesivamente, aunque en una situación así es preferible recurrir a textos o referencias en Internet en donde podemos encontrar expresiones para estas correcciones, las cuales por su complejidad conviene tratar de aplicar simbólicamente para casos específicos usando paquetes computacionales como Mathematica, Maple, y otros semejantes.
Antes de dejar ésta entrada para proseguir a la siguiente, se vuelve necesario enfatizar la limitación de mayor peso en el uso de la Teoría de las Perturbaciones.
La advertencia más importante a ser tomada en cuenta al usar la Teoría de las Perturbaciones es que la perturbación debe ser “suficientemente pequeña”. ¿Pero cómo se debe interpretar ésto? Siendo la serie de perturbación una serie infinita, significa que la perturbación λ debe ser lo suficientemente pequeña para que la serie infinita sea convergente hacia un valor finito. Matemáticamente, el criterio fundamental es el criterio de convergencia hacia un valor finito. Considérese la siguiente serie:
