El espacio-posición y el espacio-momentum II

Entender a plenitud la existencia del espacio-posición y del espacio-momentum nos permite apreciar la forma en la cual se debe llevar a cabo la substitución de variables por operadores para poder resolver problemas de Mecánica Cuántica. Entre otras cosas que veremos aquí, a partir de la “extraña ecuación” de Max Born obtendremos los operadores diferenciales que deben ser utilizados según sea el caso de que se esté trabajando dentro del espacio posición o dentro del espacio momentum.

PROBLEMA: (1) A partir de la relación de Max Born tal y como se aplica en la Mecánica Ondulatoria (la cual está basada no en matrices sino en operadores diferenciales):

y tomando en cuenta que los operadores x y P_x no son conmutativos, demuéstrese que:

[x², P_x] = 2iħx

[x³, P_x] = 3iħx²

(2) Generalizar estos dos resultados.

Para demostrar la primera relación [x², P_x] = 2iħx, tomaremos la relación fundamental de Born:

[x, P_x] = iħ

y tras llevar a cabo la expansión del conmutador:

x P_x - P_x x = iħ

llevaremos a cabo una pre-multiplicación de la relación de Born y una post-multiplicación de la misma relación por la variable-operador que representa a la posición:

Pre-multiplicación: x² P_x - x P_x x = iħx

Post-multiplicación: x P_x x - P_x x² = iħx

Si sumamos miembro a miembro ambas igualdades, obtenemos entonces la primera relación;

x² P_x - P_x x² = 2iħx

[x², P_x] = 2iħx

Para obtener [x³, P_x] = 3iħx², llevaremos a cabo nuevamente una pre-multiplicación y una post-multiplicación de la relación que acabamos de obtener, usando para ello de nuevo a la variable-operador que representa a la posición:

Pre-multiplicación: x³ P_x - x P_x x² = 2iħx²

Post-multiplicación: x² P_x x - P_x x³ = 2iħx²

Nuevamente, sumando miembro a miembro las igualdades obtenidas:

x³ P_x - x P_x x² + x² P_x x - P_x x³ = 4iħx²

Reacomodando:

x³ P_x - P_x x³ - x P_x x² + x² P_x x= 4iħx²

[x³, P_x] - x P_x x² + x² P_x x= 4iħx²

Ahora bien, la parte marcada en color rojo es igual a:

[x², P_x] = 2iħx

x² P_x - P_x x² = 2iħx

x² P_x = P_x x² + 2iħx

Substituyendo esto en la relación anterior, tenemos entonces:

[x³, P_x] - x P_x x² + (P_x x² + 2iħx) x= 4iħx²

[x³, P_x] - x P_x x² + P_x x³ + 2iħx² = 4iħx²

[x³, P_x] - (x P_x - P_x x) x² = 2iħx²

Pero lo que tenemos entre paréntesis es [x, P_x] que es igual a iħ de acuerdo a la relación fundamental de Born. Esto nos lleva al resultado deseado:

[x³, P_x] - iħx² = 2iħx²

[x³, P_x] = 3iħx²

La generalización propuesta, en base a los dos resultados obtenidos, será la siguiente:

PROBLEMA: A partir de la relación de Max Born tal y como se aplica en la Mecánica Ondulatoria (basada no en matrices sino en operadores diferenciales):

demostrar que para cualquier entero positivo n la siguiente relación será válida:

La demostración de esta expresión general se puede llevar a cabo mediante el procedimiento de inducción matemática usando como guía el mismo procedimiento empleado en el problema anterior para obtener los casos particulares para n = 2 y n = 3.

La expresión general ciertamente es válida para n=1, y es lo que utilizaremos como punto de partida para nuestro “escalonamiento” propio de la inducción matemática. Supondremos ahora que la expresión general es válida para un entero k:

[x^k, P_x] = kiħx^k-1

Si esta relación es verdadera, entonces el procedimiento de inducción matemática nos pide demostrar que la siguiente relación también será verdadera:

[x^k+1, P_x] = (k+1) iħx^k

Esto se lleva a cabo reproduciendo simbólicamente los pasos que se llevan a cabo para obtener [x³, P_x], [x⁴, P_x], y así sucesivamente, premultiplicando y postmultiplicando.

Tomaremos [x^k, P_x] = kiħx^k-1 y llevaremos a cabo la expansión del conmutador:

x^k P_x - P_x x^k = kiħx^k-1

Premultiplicando y postmultiplicando lo anterior por x:

x^k+1 P_x - xP_x x^k = kiħx^k

x^k P_x x - P_x x^k+1 = kiħx^k

Sumando miembro a miembro las dos igualdades:

x^k+1 P_x - P_x x^k+1 + x^k P_x x - xP_x x^k = 2kiħx^k

Los primeros dos términos (mostrados en azul) se pueden agrupar bajo un nuevo conmutador:

[x^k+1, P_x] + x^k P_x x - xP_x x^k = 2kiħx^k

Por otra parte, partiendo de la misma hipótesis:

[x^k, P_x] = kiħx^k-1

x^k P_x - P_x x^k = kiħx^k-1

x^k P_x = P_x x^k + kiħx^k-1

Substituyendo esto en el desarrollo previo:

[x^k+1, P_x] + (P_x x^k + kiħx^k-1) x - xP_x x^k = 2kiħx^k

[x^k+1, P_x] + P_x x^k+1 + kiħx^k - xP_x x^k = 2kiħx^k

[x^k+1, P_x] + P_x x^k+1 - xP_x x^k = kiħx^k

[x^k+1, P_x] + (P_x x - xP_x) x^k = kiħx^k

[x^k+1, P_x] + (- iħ) x^k = kiħx^k

[x^k+1, P_x] - iħx^k = kiħx^k

[x^k+1, P_x] = (k + 1) iħ x^k

y la relación se puede considerar probada.

PROBLEMA: (1) A partir de la relación de Max Born como se aplica en la Mecánica Ondulatoria (sin recurrir a matrices, empleando en cambio operadores diferenciales):

y tomando en cuenta que los operadores x y P_x no son conmutativos, demuéstrese que:

[x, p_x²] = 2iħp_x

[x, p_x³] = 3iħp_x²

(2) Generalizar estos dos resultados.

Obsérvese una diferencia aparentemente pequeña en la forma en la cual se ha escrito la relación de Born para este problema a la forma en la que se escribió para los problemas anteriores: para la representación de la componente del momentum a lo largo del eje-x se está utilizando una letra p minúscula en lugar de una letra P mayúscula. Aunque en este problema el cambio no tendrá relevancia alguna, el cambio adquirirá sentido posteriormente.

Al igual que como lo hicimos en un problema anterior, llevamos a cabo la expansión del conmutador de la relación de Born:

[x, p_x] = iħ

x p_x - p_x x = iħ

Premultiplicando y postmultiplicando ambos lados con el operador p_x (contrástese con la forma en la cual en los problemas anteriores usamos para esto al operador posición x):

Pre-multiplicación: p_x x p_x - p_x² x = iħp_x

Post-multiplicación: x p_x² - p_x x p_x = iħp_x

Sumando miembro a miembro ambos lados de las dos igualdades:

x p_x² - p_x² x = 2iħp_x

[x, p_x²] = 2iħp_x

Para obtener [x, p_x³] = 3iħp_x², llevaremos a cabo nuevamente una pre-multiplicación y una post-multiplicación de la relación que acabamos de obtener, usando para ello de nuevo a la variable-operador p_x que representa al momentum:

Pre-multiplicación: p_x x p_x² - p_x³ x = 2iħp_x²

Post-multiplicación: x p_x³ - p_x² x p_x = 2iħp_x²

Nuevamente, sumando miembro a miembro las igualdades obtenidas:

p_x x p_x² - p_x³ x + x p_x³ - p_x² x p_x = 4iħp_x²

Reacomodando:

x p_x³ - - p_x³ x + p_x x p_x² - p_x² x p_x = 4iħx²

[x, P_x³] + p_x x p_x² - p_x² x p_x = 4iħx²

Ahora bien, la parte marcada en color rojo es igual a:

[x, p_x²] = 2iħp_x

x p_x² - p_x² x = 2iħp_x

x p_x² = p_x² x + 2iħp_x

Substituyendo esto en la relación anterior, tenemos entonces:

[x, p_x³] + p_x (p_x² x + 2iħp_x) - p_x² x p_x = 4iħp_x²

[x, p_x³] + p_x³ x + 2iħp_x² - p_x² x px= 4iħp_x²

[x, p_x³] + p_x³ x - p_x² x px = 2iħp_x²

[x, p_x³] - p_x² (x p_x - p_x x) = 2iħp_x²

Pero lo que tenemos entre paréntesis es [x, p_x] que es igual a iħ de acuerdo a la relación fundamental de Born. Esto nos lleva al resultado deseado:

[x, p_x³] - iħp_x² = 2iħp_x²

[x, p_x³] = 3iħp_x²

La generalización propuesta, en base a los dos resultados obtenidos, será la siguiente:

PROBLEMA: A partir de la relación de Max Born tal y como se aplica en la Mecánica Ondulatoria (basada no en matrices sino en operadores diferenciales):

y tomando en cuenta que los operadores x y P_x no son conmutativos, demuéstrese que para cualquier entero positivo n la siguiente relación será válida:

La demostración de esta expresión general también se puede llevar a cabo mediante el procedimiento de inducción matemática usando como guía el mismo procedimiento empleado en el problema anterior para obtener los casos particulares para n = 2 y n = 3. La expresión general ciertamente es válida para n=1, y es lo que utilizaremos como punto de partida para nuestro “escalonamiento” propio de la inducción matemática. Supondremos ahora que la expresión general es válida para un entero k:

[x, p_x^k] = kiħp_x^k-1

Si esta relación es verdadera, entonces el procedimiento de inducción matemática nos pide demostrar que la siguiente relación también será verdadera:

[x, p_x^k+1] = (k+1) iħp_x^k

Esto se lleva a cabo reproduciendo simbólicamente los pasos que se llevan a cabo para obtener [x, p_x³], [x, p_x⁴], y así sucesivamente, premultiplicando y postmultiplicando.

Tomaremos [x, p_x^k] = kiħp_x^k-1 y llevaremos a cabo la expansión del conmutador:

x p_x^k - p_x^k x = kiħp_x^k-1

Premultiplicando y postmultiplicando lo anterior por p_x:

p_x x p_x^k - p_x^k+1 x = kiħp_x^k

x p_x^k+1 - p_x^k x p_x = kiħp_x^k

Sumando miembro a miembro las dos igualdades:

x p_x^k+1 - p_x^k+1 x + p_x x p_x^k - p_x^k x p_x = 2kiħp_x^k

Los primeros dos términos (mostrados en azul) se pueden agrupar bajo un nuevo conmutador:

[x, p_x^k+1] + p_x x p_x^k - p_x^k x p_x = 2kiħx^k

Por otra parte, partiendo de la misma hipótesis:

[x, p_x^k] = kiħp_x^k-1

x p_x^k - p_x^k x = kiħp_x^k-1

x p_x^k = p_x^k x + kiħp_x^k-1

Substituyendo esto en el desarrollo previo:

[x, p_x^k+1] + p_x (p_x^k x + kiħp_x^k-1) - p_x^k x p_x = 2kiħx^k

[x, p_x^k+1] + p_x x^k+1x + kiħp_x^k - p_x^k x p_x = 2kiħp_x^k

[x, p_x^k+1] + p_x^k+1x - p_x^k x p_x = kiħp_x^k

[x, p_x^k+1] + p_x^k (p_x x - xp_x) = kiħp_x^k

[x, p_x^k+1] + p_x^k (- iħ) = kiħp_x^k

[x, p_x^k+1] - iħp_x^k = kiħp_x^k

[x, p_x^k+1] = (k + 1) iħ p_x^k

y la relación se puede considerar probada.

PROBLEMA: A partir de la relación fundamental de Max Born, aplicando el conmutador de dicha relación a una función de onda y trabajando en el espacio posición, dedúzcase el operador diferencial con el cual debe ser reemplazada la variable del momentum cuando se está trabajando en el espacio posición:

Supóngase una función de onda ψ(x) expresada en el espacio posición. Aplicando el conmutador de Born sobre dicha función de onda y manteniéndonos dentro del espacio posición, tenemos:

[x, P_x] ψ(x) = iħψ(x)

(x P_x - P_x x) ψ(x) = iħψ(x)

(x P_x) ψ(x) - (P_x x) ψ(x) = iħψ(x)

x P_x ψ(x) - P_x x ψ(x) = iħψ(x)

Puesto que estamos trabajando en el espacio posición, en el primer término la acción de la variable x sobre P_xψ(x) no producirá ningún cambio ya que no es reemplazada por operador alguno. Sin embargo, en el segundo término, puesto que la variable del momentum P_x debe ser reemplazada por un operador de momentum (cuya naturaleza supondremos desconocida), entonces se debe aplicar su acción siguiendo la regla del producto de Leibinz para un operador O que se aplica al producto de dos cantidades, la cual en el caso de una diferenciación es igual a la regla de la diferencial del producto de dos funciones u y v:

O(uv) = uOv + vOu

d(uv) = udv + vdu___(diferenciales)

Entonces se tiene lo siguiente:

x P_x ψ(x) - P_x [x ψ(x)] = iħψ(x)

x P_x ψ(x) - x P_x ψ(x) - ψ(x) P_x x = iħψ(x)

x P_x ψ(x) - x P_x ψ(x) - ψ(x) P_x x = iħψ(x)

ψ(x) P_x x = - iħψ(x)

En el lado izquierdo de la igualdad, la función de onda ψ(x) no está siendo actuada por el operador del momentum P_x por estar a su izquierda. Y en el lado derecho, la función de onda está siendo multiplicada por la constante -iħ. Para que ambos lados de la igualdad se puedan sostener en pie, la única manera posible de lograrlo es dándole al operador del momentum la siguiente asignación:

de modo tal que con esto tenemos entonces:

confirmando que la asignación que hemos hecho es la correcta.

PROBLEMA: A partir de la relación fundamental de Max Born, aplicando el conmutador de dicha relación a una función de onda y trabajando en el espacio momentum, dedúzcase el operador diferencial con el cual debe ser reemplazada la variable de la posición cuando se está trabajando en el espacio momentum:

Supóngase una función de onda ψ(p_x) expresada en el espacio momentum (puesto que al trabajar en el espacio momentum la variable del momentum ya no es convertida en un operador, en vez de representar al momentum con una letra mayúscula, o sea como P_x, lo estamos representando aquí con una letra minúscula, como p_x con la finalidad de minimizar las confusiones que puedan surgir). Aplicando el conmutador de Born sobre dicha función de onda y manteniéndonos dentro del espacio posición, tenemos:

[x, p_x] ψ(p_x) = iħψ(p_x)

(x p_x - p_x x) ψ(p_x) = iħψ(p_x)

(x p_x) ψ(p_x) - (p_x x) ψ(p_x) = iħψ(p_x)

x P_x ψ(p_x) - P_x x ψ(p_x) = iħψ(p_x)

Puesto que estamos trabajando en el espacio momentum, en el segundo término la acción de la variable momentum sobre el producto xψ(p_x) no producirá ningún cambio ya que no es reemplazada por operador alguno. Sin embargo, en el primer término, puesto que la variable de la posición debe ser reemplazada por un operador de posición (cuya naturaleza supondremos desconocida), entonces al igual que en el problema anterior se debe aplicar su acción siguiendo la regla del producto de Leibinz para un operador O que se aplica al producto de dos cantidades, con lo cual se tiene entonces lo siguiente:

x [p_x ψ(p_x)] - p_x x ψ(p_x) = iħψ(p_x)

p_x x ψ(p_x) + ψ(p_x) x p_x - p_x x ψ(p_x) = iħψ(p_x)

p_x x ψ(p_x) + ψ(p_x) x p_x - p_x x ψ(p_x) = iħψ(p_x)

ψ(p_x) x p_x = iħψ(p_x)

En el lado izquierdo de la igualdad, la función de onda ψ(p_x) no está siendo actuada por el operador de la posición por estar a su izquierda. Y en el lado derecho, la función de onda está siendo multiplicada por la constante iħ. Para que ambos lados de la igualdad se puedan sostener en pie, la única manera posible de lograrlo es dándole al operador de la posición la siguiente asignación:

de modo tal que con esto tenemos entonces:

confirmando que la asignación que hemos hecho es la correcta.

En estos últimos dos problemas, hemos obtenido directamente de la relación fundamental de Born las substituciones que se deben llevar a cabo de variables por sus correspondientes operadores dependiendo del hecho de que estemos trabajando en el espacio posición o en el espacio momentum. Al obtener las substituciones, ni siquiera habíamos partido del supuesto de que estaría involucrado algún tipo de diferenciación, esto surgió de manera casi obligada. Estos dos problemas que se acaban de resolver son de nuestro mayor interés porque nos muestran desde el interior de la relación fundamental de Born la simetría y la unidad de la Mecánica Cuántica.

PROBLEMA: Usando la relación de Max Born como se aplica en la Mecánica Ondulatoria:

demuéstrese que:

Suponiendo que podemos expresar la función f(x) como una serie de potencias en su argumento mediante una serie de Maclaurin:

tenemos entonces que:

lo cual podemos desarrollar como:

El primer término se descarta en virtud de que siendo f(0) una constante numérica conmuta con P_x, siendo el conmutador igual a cero. Esto nos deja con:

Podemos reemplazar cada uno de los conmutadores con los resultados obtenidos en el problema anterior:

Factorizando lo que tiene en común cada término:

La suma infinita entre paréntesis la podemos simbolizar de forma más general:

Por otra parte, si tomamos la expansión en serie de Maclaurin de f(x) y tomamos la derivada de la serie término a término con respecto a x, tenemos entonces que:

Se concluye por lo tanto que:

Los lectores que han estado siguiendo esta obra desde el principio posiblemente reconocerán mucho de lo que hemos visto aquí en esta entrada como material familiar, excepto visto bajo otro disfraz. Y de hecho ya lo vimos al estudiar la Mecánica Matricial, al estudiar el tema de las “Funciones Matriciales”. Para poder apreciar las analogías, todo lo que tenemos que hacer es establecer la siguiente correspondencia entre las matrices posición y momentum Q y P propios de la Mecánica Matricial y entre los operadores posición y momentum x y P_x propios de la Mecánica Ondulatoria:

Q ↔ x

P ↔ P_x

Desde luego que una cosa es resolver problemas utilizando matrices y otra cosa es resolver problemas utilizando operadores diferenciales; en el primer caso nuestro interés primordial es la búsqueda de los valores característicos eigen de una matriz, mientras que en el segundo caso nuestro interés primordial es la búsqueda de los valores eigen que son la solución a una ecuación diferencial. Sin embargo, el hecho de que obtengamos el mismo resultado para las expectativas matemáticas de parámetros físicos relevantes (como en el caso del problema del oscilador armónico simple) y el hecho de que recurramos a los mismos pasos para obtener resultados semejantes como lo hemos comprobado aquí nos indica que, en el fondo, la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria están hablando de la misma cosa, pero vista desde puntos de vista matemáticos diferentes. Lo importante aquí es tomar nota de que existe una equivalencia absoluta entre la Mecánica Matricial y la Mecánica Ondulatoria, y el primero en demostrarlo fue precisamente Erwin Schrödinger, el hombre que descubrió la famosa ecuación de onda para las “ondas de materia”.

PROBLEMA: Generalizar el resultado del problema anterior al caso de tres dimensiones.

En el caso de tres dimensiones, utilizando coordenadas rectangulares Cartesianas, puesto que las coordenadas son ortogonales entre sí (independientes), podemos agregar inmediatamente lo siguiente al resultado obtenido en el problema anterior:

Puesto que en todos los casos estamos utilizando derivadas parciales, haciendo:

x = (x₁, x₂, x₃)

P = (P₁, P₂, P₃)

entonces para una función F de la posición en tres variables:

F(x) = F(x₁, x₂, x₃)

podemos asentar lo siguiente:

PROBLEMA: Usando la relación de Max Born como se aplica en la Mecánica Ondulatoria:

demuéstrese que:

Al igual que como lo hicimos anteriormente, supondremos que podemos expresar la función g(p_x) como una serie de potencias en su argumento mediante una serie de Maclaurin:

Repitiendo los mismos pasos que efectuamos anteriormente y los cuales no tiene objeto repetir aquí, tenemos lo siguiente:

Tomando la derivada término a término con respecto a p_x de la expansión en serie, tenemos también:

Juntando lo anterior, se concluye por lo tanto que:

PROBLEMA: Generalizar el resultado del problema anterior al caso de tres dimensiones.

En el caso de tres dimensiones, utilizando coordenadas rectangulares Cartesianas, puesto que las coordenadas son ortogonales entre sí (independientes), podemos agregar inmediatamente lo siguiente al resultado obtenido en el problema anterior:

Puesto que en todos los casos estamos utilizando derivadas parciales, haciendo:

x = (x₁, x₂, x₃)

p = ( p₁, p₂, p₃)

entonces para una función G del momentum expresada en tres variables:

G(p) = G( p₁, p₂, p₃)

podemos asentar lo siguiente:

Cabe señalar que, a diferencia de lo que ocurre en la Mecánica Ondulatoria en donde los operadores son operadores diferenciales que actúan sobre un operando que está situado a la derecha de los mismos, puesto que en la Mecánica Matricial los operadores son matrices “autocontenidas” y “autosuficientes” de las cuales sale toda la información que necesitamos a través de sus autovalores propios eigen, estando la matriz posición Q y la matriz momentum P a la misma altura (al mismo nivel, etc.) en la relación de Born:

[Q, P] = iħ

el concepto de los espacios posición y momentum es algo que no se aplica dentro de la Mecánica Matricial.