La Mecánica Cuántica: Operadores Hermitianos

Habiendo asentado la notación bra-ket de Dirac, estamos ahora en posición de formalizar un poco más lo que hemos venido haciendo hasta ahora, de modo tal de que lo que se vaya señalando sea aplicable tanto a la Mecánica Matricial como a la Mecánica Ondulatoria.

Empezaremos por definir, dentro de la Mecánica Ondulatoria, lo que es un operador Hermitiano. En la Mecánica Matricial, en donde todos los operadores son matrices, una matriz Hermitiana es simplemente una matriz A para la cual la transpuesta del conjugado complejo (de sus elementos) A^† es igual a la matriz original, o sea A = A^†. Pero en la Mecánica Ondulatoria no tenemos matrices, lo que manejamos son funciones de onda ψ y operadores diferenciales, y las matrices que surgen generalmente van apareciendo como soluciones a las ecuaciones de onda. Sabemos de antemano que debe de haber algo similar a los operadores Hermitianos matriciales. Y de hecho lo hay. Ya vimos un anticipo de esto en la entrada “Operadores y esperanzas matemáticas I”, a lo cual sería conveniente darle un repaso antes de continuar con este material.

En la definición de lo que debe ser un operador Hermitiano dentro de la Mecánica Ondulatoria, debemos usar como guía lo mismo que encontramos en la Mecánica Matricial. La primera condición que se debe cumplir es que se debe tomar en cuenta la no-conmutatividad del operador con el operando. Del mismo modo en que una matriz que está actuando como operador sobre un vector no puede ser escrita después del vector en virtud de que los productos matriciales no son conmutativos, sabemos también que un operador diferencial no es conmutativo con aquello sobre lo que está actuando. En otras palabras, no es lo mismo:

que:

En la Mecánica Matricial no hay conmutatividad en lo que se refiere a los operadores (matriciales). Aquí tampoco la hay.

Entre las posibilidades para definir la característica esencial que debe cumplir un operador diferencial Hermitiano dentro de la Mecánica Ondulatoria, se ha encontrado que la siguiente definición es la que cumple con todos los requisitos que se le pueden imponer, mismos requisitos que a su modo cumple una matriz Hermitiana:

En la notación bra-ket de Dirac, esto mismo se puede expresar de una manera mucho más compacta:

En la definición que se ha dado a los operadores Hermitianos se ha utilizado el hecho de que el conjugado complejo de un producto de funciones es igual al producto de los conjugados de las funciones.

De este modo, para el caso unidimensional y expresado en todo detalle, la condición de Hermiticidad (también conocida como condición de Hermicidad en varios textos traducidos al Castellano) para que un operador Q pueda ser considerado como un operador Hermitiano (llamado también operador Hermítico) debe ser posible llevar a cabo legalmente los siguientes pasos a partir de la notación bra-ket de Dirac:

En general, para dos funciones continuas f y g cualesquiera sean o no funciones de onda ψ:

PROBLEMA: Demostrar que el conjugado complejo de un producto de funciones, (AB)*, es igual al producto de los conjugados de dichas funciones, A*B*.

Queremos demostrar que:

(AB)* = A*B*

Para ello, supóngase que tenemos dos funciones A y B, las cuales siempre pueden ser expresadas en una parte real y en una parte imaginaria:

A = a + im___B = b + in

Multiplicando ambas funciones obtenemos:

AB = (a + im)(b + in) = ab + ina + imb - i²mn

AB = ab - mn + i(na + mb)

cuyo conjugado complejo es:

(AB)* = a*b* - m*n* - i(n*a* + m*b*)

A continuación tomaremos el conjugado complejo de cada una de las funciones A y B por separado:

A* = a* - im*___B* = b* - in*

Multiplicando A* por B* tenemos entonces:

A*B* = (a* - im*)(b* - in*) = a*b* - in*a* - im*b* - m*n*

A*B* = a*b* - m*n* - i(n*a* + m*b*)

Comparando ambos resultados, se concluye que (AB)* = A*B*.

En la Mecánica Matricial, la razón por la cual las matrices Hermitianas son de importancia crucial es porque aunque sus entradas puedan incluír números imaginarios o complejos los valores eigen de una matriz Hermitiana siempre son valores reales, y por lo tanto una matriz Hermitiana tiene la capacidad de poder representar cantidades físicas reales que se pueden medir en el laboratorio, siendo los valores propios de la matriz los valores que puede tomar la cantidad física representada como un operador matricial. Del mismo modo, en la Mecánica Ondulatoria los valores eigen generados por un operador mecánico-cuántico actuando sobre una función de onda deben ser también valores reales, porque de lo contrario tal operador no nos sirve para describir cosas que podamos medir en un laboratorio.

PROBLEMA: Demostrar, en el entorno de la Mecánica Ondulatoria, que los valores eigen de un operador Hermitiano son valores reales.

Si aplicamos un operador Hermitiano Q a una función de onda ψ_n en una ecuación eigen entonces se nos debe regresar dicha función de onda multiplicada por un eigenvalor q_n:

Qψ_n = q_nψ_n

Siendo el operador Q un operador Hermitiano, entonces tenemos lo siguiente:

Las dos derivaciones anteriores implican que q_n = q_n*. Puesto que la única manera en la cual un número q_n puede ser igual a su conjugado complejo q_n*, se concluye que los valores eigen de un operador son necesariamente reales.

A continuación se llevará a cabo la misma demostración, excepto que utilizaremos la notación bra-ket de Dirac. El lector debe comparar ambos procedimientos tomando en cuenta que las dos formas de resolución del problema simbolizan exactamente los mismos pasos:

Obsérvese que en la segunda derivación el hecho de recorrer al operador Q hacia la izquierda pasándolo hacia el bra no se destaca el proceso de conjugación compleja, en virtud de que todo lo que vaya de un bra a un ket o viceversa necesariamente es objeto de un proceso de conjugación compleja. Sin embargo, al sacar el valor eigen q_n del producto bra-ket al estar situado en el bra se le ha destacado como un número conjugado complejo con el asterisco (y con la notación de color rojo que se está utilizando aquí para distinguir de manera más clara el conjugado complejo de una función de onda.

PROBLEMA: Demostrar que las eigenfunciones de los operadores Hermitianos son ortogonales.

Sea el operador Hermitiano Q y sean ψ₁ y ψ₂ dos eigenfunciones asociadas con dicho operador con eigenvalores a₁ y a₂ respectivamente. Entonces:

Qψ₁ = a₁ψ₁

Qψ₁ = a₁ψ₁

Prescindiremos de la notación convencional clásica y utilizaremos la notación bra-ket de Dirac. Calcularemos la siguiente relación:

de dos maneras distintas, siendo la primera de ellas:

La otra manera en la cual podemos evaluar la relación es haciendo uso de la definición de Hermiticidad:

Ya se había demostrado previamente que los eigenvalores de un operador Hermitiano siempre son números reales, de modo tal que al sacar al eigenvalor a₂ del bra no fue necesario escribirlo como un conjugado complejo.

Restando los dos resultados obtenidos:

Para a₁ = a₂ el lado izquierdo de la ecuación ciertamente es igual a cero, pero se trata del mismo eigenvalor y es el caso trivial. Pero para el caso no-trivial a₁ ≠ a₂ (dos eigenvalores diferentes) se tiene entonces necesariamente que:

lo cual puede ser cierto solo si las eigenfunciones ψ₁ y ψ₂ son ortogonales.

Sin embargo, si las funciones ψ₁ y ψ₂ tienen el mismo eigenvalor (lo cual puede suceder cuando hay estados degenerados) entonces la prueba dada no funciona. Para esta situación, supóngase que tenemos dos eigenfunciones ψ₁ y ψ₂ con el mismo eigenvalor real (esto siempre se puede lograr ajustando la fase). Puesto que cualquier combinación de ambas funciones de onda ψ₁ y ψ₂ tendrá el mismo eigenvalor, podemos usar para lo que llevaremos a cabo cualquier combinación de las mismas. Nuestro objetivo será utilizar dos combinaciones lineares de ψ₁ y ψ₂ que sean ortogonales. Sean las siguientes dos funciones:

Entonces:

Con esto se confirma que tenemos un conjunto ortogonal de eigenfunciones aún en el caso en el cual haya eigenvalores repetidos (estados degenerados).

PROBLEMA: ¿Es el operador diferencial básico:

un operador Hermitiano?

Recurriendo a la definición central de lo que debe ser un operador Hermitiano, tenemos por principio de cuentas:

Para proseguir adelante, podemos aplicar aquí una integración por partes:

con lo cual:

El operador es casi Hermitiano, excepto por dos detalles importantes. El primer detalle tiene que ver con el signo que aparece en el segundo término, el cual es negativo. Para empezar a satisfacer la definición de Hermiticidad, el segundo término debería de tener un signo positivo, no un signo negativo. Y el segundo detalle es el estorboso primer término:

el cual debería ser igual a cero para lograr satisfacer la definición de Hermiticidad. Podemos disponer del término estorboso si nos limitamos a manejar funciones que tengan el mismo valor en los dos extremos que fijan los límites de la integración:

En la práctica, en virtud de que hemos estado trabajando y seguiremos trabajando en intervalos infinitos (a.=.-∞ y b.=.+∞) junto con el requerimiento de integrabilidad cuadrática que requiere que f(a).=.f(b).=.0 (la función de onda debe desvanecerse en ambos extremos del infinito), podemos solventar el término estorboso tomándolo como igual a cero. Pero esto nos deja con el problema del “signo equivocado”, al cual no es posible darle vuelta alguna. Se concluye por lo tanto que el operador diferencial básico no es Hermitiano. De hecho, el operador diferencial básico es el arquetipo del operador anti-Hermitiano, el cual se define como todo aquél operador cuyo conjugado complejo viene aparejado con un cambio de signo (en el caso de la Mecánica Matricial, definimos una matriz anti-Hermitiana como toda aquella matriz que sea igual al conjugado complejo de su transpuesta con el signo invertido). Sin embargo, podemos modificar el operador diferencial de una manera muy sencilla para forjar un nuevo operador que sí sea Hermitiano, multiplicando al operador diferencial por el número imaginario i, o sea:

Con esta modificación, la conjugación compleja compensa el signo negativo que aparece como resultado de la integración por partes. Una forma más clara de ver esto consiste en repasar el hecho de que el resultado obtenido de cualquier experimento tiene que ser un número real y tiene que ser también un eigenvalor del operador asociado con la observable física. Puesto que únicamente los operadores Hermitianos tienen eigenvalores reales, los operadores Hermitianos son los que se corresponden con las observables físicas. Junto con los eigenvalores de un operador están asociadas también de modo inseparable las eigenfunciones del operador. En el caso del operador diferencial D, la eigenfunción normalizable que le corresponde es e^ikx puesto que D(e^ikx).=.ike^ikx (la función e^kx también es una eigenfunción del operador D, sin embargo esta eigenfunción no forma parte del espacio de Hilbert puesto que estalla exponencialmente en el infinito). Puesto que esto nos trae hacia abajo desde el exponente un factor imaginario i cuando la eigenfunción es diferenciada, todos los eigenvalores de la eigenfunción terminan siendo imaginarios. Premultiplicando el operador diferencial con un factor i hace que todos los eigenvalores sean reales, proporcionándonos un operador Hermitiano.

PROBLEMA: Demostrar que el operador diferencial para el momentum P_x utilizado en la Mecánica Ondulatoria es un operador Hermitiano.

Para el operador del momentum podemos empezar escribiendo lo siguiente:

Si substituímos la definición del operador diferencial para el momentum en el lado derecho de la anterior expresión, entonces tenemos una integral a ser evaluada:

La integral puede ser evaluada mediante integración por partes haciendo las siguientes identificaciones:

La integración por partes nos produce entonces lo siguiente:

Para que la función de onda pueda ser normalizada, esta se tiene que desvanecer en el infinito, de modo que el primer término al ser evaluado tiene que reducirse a cero. Tras imponer esta condición, esto nos deja solamente el segundo término para seguir trabajando:

Hemos llegado a lo que en notación bra-ket es simplemente:

Siendo:

se concluye que el operador utilizado en la Mecánica Ondulatoria para el momentum es un operador Hermitiano.

PROBLEMA: Al tratar el tema de vectores y matrices en lo que concierne a la Mecánica Matricial, se introdujo en uno de los problemas el “operador de proyección”, el cual tiene la propiedad de que al actuar sobre un vector nos produce un vector del mismo tamaño pero con ceros en una o más de sus entradas, y al ser aplicado nuevamente sobre el vector que ha resultado no produce ya cambio alguno. Defínase un operador semejante dentro de la Mecánica Ondulatoria y demuéstrese que dicho operador es un operador Hermitiano.

Llamando P al operador de proyección, entonces al aplicarlo sobre una función de onda ψ_a nos producirá una nueva función de onda ψ_a':

Pψ_a = ψ_a'

Si el operador P es un operador de proyección, entonces una nueva aplicación de onda no producirá ya cambio alguno:

P²ψ_a = P(Pψ_a) = P(ψ_a') = ψ_a'

Del mismo modo:

P²ψ_b = P(Pψ_b) = P(ψ_b') = ψ_b'

Con esto tenemos entonces (por simplificación notacional, suprimiremos el asterisco usual que hemos estado utilizando para denotar el proceso de conjugación compleja, destacando mejor dicho proceso con el color rojo con el que hemos estado resaltando las cantidades conjugadas):

∫ ψ_a'Pψ_b' dr = ∫ ψ_a'ψ_b' dr

Por otro lado:

∫ Pψ_a'ψ_b' dr = ∫ ψ_a'ψ_b' dr

Entonces:

∫ ψ_a'Pψ_b' dr = ∫ Pψ_a'ψ_b' dr

y se concluye que el operador de proyección es un operador Hermitiano.

En la definición formal que se ha dado arriba de lo que debe ser un operador Hermitiano, resulta claro que, tras obtener un operador Q* a partir de un operador Q, en un lado de la definición tendremos a Q* y en el otro lado tenemos a Q, y ambos estarán directamente relacionados a través de la definición dada al principio. Si son operadores Hermitianos, en cierta forma están “pegados” el uno al otro, son “adjuntos”, y es por ello que decimos que el operador Q* es el adjunto Hermitiano del operador Q así como decimos también que el operador Q es el adjunto Hermitiano del operador Q*. Cada uno es el adjunto Hermitiano del otro.

Aquí podemos establecer más claramente los paralelos entre la Mecánica Ondulatoria y la Mecánica Matricial, porque en la Mecánica Matricial habíamos encontrado que las matrices que pueden ser de interés son las matrices Hermitianas cuyos valores propios eigen siempre serán reales, y habíamos visto también que a toda matriz Hermitiana H le corresponde otra matriz, la adjunta Hermitiana, que es la transpuesta de su conjugado complejo denotada como H^†.Y la característica fundamental de una matriz Hermitiana H es que, por definición, se trata de una matriz que es igual a su adjunta Hermitiana, o sea H^†.=.H.

Aunque no todos los operadores posibles son Hermitianos, es posible llevar a cabo una Hermitización en ciertos casos especiales. Puesto que el conjugado complejo del conjugado complejo de un operador cualquiera Q es igual al operador original:

( (Q)* )* = Q

podemos construír un operador Hermitiano Q tomando la media aritmética de la suma del operador Q y su conjugado complejo Q*, ya que con esto al tomar el conjugado complejo de esta media aritmética necesariamente volveremos a obtener lo que teníamos inicialmente, o sea:

Q = (Q + Q*)/2

(Q)* = [(Q + Q*)/2]* = [Q* + (Q*)*]/2 = (Q* + Q)/2

Al tomarse la media aritmética estamos asegurándonos de que el operator Hermitianizado se parecerá bastante al operador original que no era Hermitiano.

PROBLEMA: Constrúyase un operador Hermitiano a partir del producto del momentum y el desplazamiento, y demuéstrese que dicho operador es Hermitiano.

Aunque el producto del momentum y el desplazamiento no es Hermitiano, ni en el orden xP_x ni en el orden P_xx, si tomamos la media de ambos productos podemos construír un operador Hermitiano que vendría siendo el siguiente:

Q = (xP_x + P_xx)/2

A continuación se llevará a cabo la demostración de que este operador es Hermitiano, empezando con:

Tenemos dos integrales que pueden ser evaluadas mediante integración por partes haciendo las siguientes identificaciones:

Llevando a cabo las integraciones por partes en cada término tenemos lo siguiente:

Para que cualquier función de onda pueda ser normalizada, esta se tiene que desvanecer en el infinito, de modo que los términos al ser evaluado entre sus límites infinitos son iguales a cero, dejándonos únicamente:

A continuación hacemos uso del hecho de que los conjugados complejos del operador momentum y el operador posición vienen siendo:

Con estas substituciones tenemos entonces:

Al llegar al último paso, la demostración de que el operador que hemos construído es Hermitiano llega a su conclusión.

Del mismo modo, podemos reemplazar al operador P_xⁿxⁿ (en donde el exponente es un entero) que no es Hermitiano por el operador (P_xⁿxⁿ + xⁿP_xⁿ)/2, haciéndolo Hermitiano.

Aunque muchos operadores que se pueden definir dentro de la Mecánica Ondulatoria son Hermitianos, no todos lo son, y es necesario tener cautela y asegurarse de que en efecto aquello que suponemos como cierto realmente lo sea, so pena de incurrir en resultados erróneos si nos dejamos llevar por un exceso de confianza. Tómese por ejemplo el operador p², o sea el operador del momentum aplicado dos veces sobre un operando. ¿Es Hermitiano? En tres dimensiones, tal operador nos conduce al uso del operador Laplaciano también conocido como el operador nabla (∇). Supóngase que estamos trabajando en un problema radial que se presta más al uso de coordenadas esféricas (r,θ,φ) que al uso de las coordenadas Cartesianas (x,y,z). En tal caso, el operador Laplaciano en coordenadas esféricas toma el siguiente aspecto:

Supóngase un caso en el que se tienen estados en donde la única dependencia es puramente radial, y no hay dependencia angular alguna en θ o en φ. Entonces en la definición del operador del momentum p² lo anterior se reduce a:

Usando las funciones de prueba f(r) y g(r), y llevando a cabo (dos veces) el procedimiento de integración por partes, podemos trabajar con el siguiente desarrollo:

El término a ser evaluado entre límites se desvanece en el infinito para funciones f y g que se van a cero exponencialmente (como lo requerimos en la Mecánica Cuántica), y también se desvanece en el límite r.=.0 por el factor r², siempre y cuando las dos funciones de prueba y sus derivadas sean finitas. Con estas consideraciones, lo anterior se reduce a:

Se concluye que el operador p² es Hermitiano.

Veamos ahora lo que ocurre cuando se trata del operador p⁴:

Puesto que p⁴ en cierta forma se deriva de p² que sí es Hermitiano, uno supondría que también debería de serlo. ¿No es así? Para verificar tal cosa, llevemos a cabo el siguiente desarrollo, recurriendo repetidamente a la integración por partes, con el cual pondremos a prueba la Hermiticidad de dicho operador:

En este caso, tenemos cuatro límites de los cuales nos tenemos que preocupar, dos límites en r.=.0, y los otros dos límites en r.=.∞. Los límites en el infinito no presentan problema alguno, ya que de inicio se supone que las funciones de onda se deben desvanecer en el infinito. Pero el caso en el que r.=.0 debe ser checado con mayor cuidado con unas funciones de prueba. Supóngase que las dos funciones de prueba, con decaimiento exponencial, son las siguientes: