Operadores clase T

En el análisis y el estudio de problemas que están conectados de alguna manera con el momento angular, resulta útil definir una clase de operadores que tienen en común ciertas relaciones de conmutación, lo cual permite llevar a cabo una generalización con la cual se pueden acortar la distancia en la obtención de resultados para casos particulares. Este grupo de operadores será designado aquí como operadores de clase T. Las relaciones de conmutación de Born para estos operadores pueden ser generalizadas para un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas a partir de cualquier conjunto de las relaciones de conmutación que ya se han visto previamente en otras entradas. Suponiendo un operador de clase T cuyas componentes Cartesianas puedan ser representadas como un vector (T_x,T_y,T_z), entonces tendremos relaciones de conmutación como las siguientes con cualquier operador de momento angular como J cuyas componentes Cartesianas también puedan ser representadas como un vector (J_x,J_y,J_z):

[J_x , T_x] = 0_____[J_x , T_y] = iħT_z_____[J_x , T_z] = - iħT_y

Todas las combinaciones posibles pueden ser resumidas cómodamente de la siguiente manera con el símbolo de permutación Levi-Civita ε_ijk que puede tomar cualquiera de los valores +1, 0 y -1 dependiendo de la permutación cíclica de los sub-índices o de que dos sub-índices sean iguales:

Esta es una definición inspirada directamente en las propiedades del momento angular. Podemos tomar lo anterior como la definición formal de lo que es un operador clase T o un operador vectorial. Obsérvese que, por su propia naturaleza, el operador del momento angular J es también un operador clase T. Puesto de otro modo, J es también un operador vectorial.

Si consideramos al producto punto entre dos operadores T₁ y T₂ como un operador escalar, entonces se tendrá también que:

[J, T₁·T₂] = 0

El vector de posición r, el vector del momentum P, y el vector del momento angular J, así como sus productos vectoriales cruz, caen dentro de la categoría de operadores clase T. Como un caso especial de la última relación de conmutación dada arriba, el caso para el cual T₁.=.T₂, se tiene (la demostración de esto se llevará a cabo más abajo en esta misma entrada):

[J, T²] = 0

Hemos visto ya que para el análisis de varias situaciones, resulta conveniente definir operadores de escalera, tanto operadores de ascenso (subida) como operadores de descenso (bajada). Todos estos operadores escalera siguen un mismo patrón, lo cual nos permite introducir como definición básica el siguiente operador escalera:

T₊ = T_x + iT_y

PROBLEMA: Demuéstrese que:

Repasando las conmutaciones de Born apropiadas con los ajustes adecuados a la simbología, la demostración procede de manera directa:

Comparando esta relación con las relaciones para los operadores escalera del momento angular orbital que fueron obtenidas previamente en las entradas que tratan sobre dicho tema:

[L_z, L_±] = ± ħL_±

y recordando el procedimiento con el cual fueron obtenidas estas últimas relaciones, se puede apreciar que el operador T₊ es un operador escalera que tiene el efecto de incrementar (en una unidad) la componente-z del momento angular siempre que es aplicado a una función de onda.

PROBLEMA: Demuéstrese que:

En este caso, la demostración de la expresión requiere echar mano de la definición del operador de escalera de descenso (bajada) para el momento angular, definido como:

J_{_} = J_x - iJ_y

Repasando las conmutaciones de Born apropiadas con los ajustes adecuados a la simbología, la demostración se lleva a cabo de manera directa:

Procediendo de la misma manera que con los problemas anteriores, podemos construír una tabla pequeña como la siguiente de algunas relaciones de conmutación para los operadores clase T que resultan ser de utilidad:

Usando estas relaciones como ayuda simplificadora, podemos obtener varios resultados como el siguiente que resulta ser particularmente útil:

Para demostrar esta última ecuación, resulta conveniente darle un repaso a ciertas relaciones propias de los conmutadores desde su aspecto puramente matemático.

PROBLEMA: Verifíquese la relación:

[AB, C] = [A, C]B + A[B, C]

Asimismo, dése la expresión correspondiente para el caso A.=.B.

La verificación es inmediata. Todo lo que se requiere es expandir ambos lados de la igualdad para comprobar que se produce la misma relación en ambos lados:

(AB)C - C(AB) = (AC - CA)B + A(BC - CB)

ABC - CAB = ACB - CAB + ABC - ACB

ABC - CAB = ABC - CAB

Para el caso particular A = B, la expresión correspondiente es:

[A², C] = [A, C]A + A[A, C]

Con lo anterior, y la definición del cuadrado del operador del momento angular, o sea J²:

J² = J_x² + J_y² + J_z²

estamos en condiciones de dar una demostración abreviada de la ecuación dada arriba.

PROBLEMA: Compruébese la validez de la siguiente relación:

[J², T₊] = 2ħ(T₊J_z - T_z.J₊) + 2ħ²T₊

En este caso, la verificación de la expresión requiere introducir la definición del operador de escalera de ascenso (subida) para el momento angular, definido como:

J₊ = J_x + iJ_y

Desarrollando la expresión a partir del lado izquierdo de la igualdad y recurriendo a la tabla dada arriba de relaciones de conmutación para el operador de escalera T₊, se tiene:

Podemos simplificar esto aún más si recurrimos a los siguientes resultados intermedios:

De este modo:

Para el desarrollo que será dado a continuación, tomaremos la expresión anterior despejando para obtener el operador combinado T₊J²:

A continuación, aplicaremos este operador combinado a una función de onda ψ_jm para la cual el número cuántico m tomará su máximo valor posible que es el número cuántico .j, o sea haciendo j.=.m, lo cual nos permite utilizar el hecho de que un operador escalera de ascenso J₊ aplicado a una función de onda ψ_jj resultará en un valor de cero al ser rebasado el valor máximo posible:

con lo cual (el término que se cancela está mostrado en color rojo):

Obsérvese que en el último paso se ha tomado la eigenecuación para J_zψ_jj substituyéndola por la parte correspondiente al eigenvalor, o sea por .jψ_jj, haciéndose uso del hecho de que siendo el eigenvalor una constante se puede correr hacia la izquierda del operador T₊. Igualando esto con la expresión que obtenemos para el lado izquierdo de la relación anterior cuando recurrimos a la eigenecuación para J²ψ_jj, que viene siendo:

se tiene entonces que, después de recolectar términos:

o bien, simplificando un poco más;

En forma disfrazada, esto último nos está diciendo algo muy importante. Para poder extraer el significado correcto, estableceremos una comparación entre lo que ocurre cuando se aplica el operador J² a una función de onda ψ_jm propia del momento angular en el caso en que. j.=.m, y lo que ocurre cuando se le aplica a la función de onda ψ_jj primero el operador T₊ y posteriormente se le aplica el operador J²:

Comparando ambas eigenecuaciones, resulta evidente  que la segunda expresión sólo puede ser válida si la función de onda es una función de onda en la cual el sub-índice. j ha sido elevado en una unidad como resultado de la aplicación del operador T₊. Y puesto que se ha hecho. j.=.m, esto implica que la acción del operador escalera T₊ sobre la función de onda ψ_jj la convierte en una función de onda ψ_j+1,j+1, subiendo ambos sub-índices en una unidad, quedando dicha función de onda queda multiplicada por:

que es igual a una constante numérica. En pocas palabras, la acción de un operador escalera T₊ sobre una función de onda ψ_jj es convertirla en una función de onda ψ_j+1,j+1 multiplicada por una constante C_T :

¿Pero qué ocurre en caso de que el operador escalera T₊ sea el operador escalera del momento angular J₊? Si hay consistencia en los resultados, esperamos que se cumpla la relación que ya hemos visto antes en otras entradas para el caso del momento angular:

En tal situación, la constante será una constante que podemos designar como C_J. Ya hemos visto en entradas previas que el operador escalera J₊ para el momento angular está dado por la siguiente relación (en donde únicamente el segundo sub-índice es el que sube en una unidad):

Para el caso que nos ocupa, cuando se igualan los dos sub-índices de la función de onda sobre la cual actúa el operador escalera J₊ al hacer m.=.j, entonces:

con lo cual la constante numérica C_J es igual a cero. Puesto de otro modo, para el caso en el que T₊.=.J₊, se tendrá que la constante C_J.=.0, cumpliéndose de este modo la relación:

Así pues, con lo que se ha demostrado, se puede verificar que siempre que el operador escalera T₊ actúa sobre una función de onda ψ_jm para la cual m es igual a .j, el operador T₊ no solo incrementa el sub-índice m en una unidad sino que también incrementa el sub-índice .j en una unidad. Podemos generalizar esto de otra manera introduciendo el símbolo de proporcionalidad en lugar del símbolo de la igualdad en virtud de que al producirse el efecto escalera sobre la función de onda la constante de normalización que haya tenido previamente necesariamente debe cambiar y debe ser substituída por otra constante de normalización apropiada al caso, siendo estos detalles solventados recurriendo al símbolo de proporcionalidad:

Si en vez de utilizar al operador J² utilizamos al operador J_z para llegar a un resultado comparativo similar al que se efectuó arriba, la comparación arroja lo siguiente:

Comparando la segunda eigenecuación con la primera, resulta evidente  que la segunda expresión sólo puede ser válida si la función de onda es una función de onda en la cual el sub-índice. j ha sido elevado en una unidad como resultado de la aplicación del operador T₊. Y puesto que se ha hecho. j.=.m, esto implica que la acción del operador escalera T₊ sobre la función de onda ψ_jj la convierte en una función de onda ψ_j+1,j+1, subiendo ambos sub-índices en una unidad. Nuevamente, volvemos a obtener la misma conclusión que la que se había obtenido previamente.

De este modo, queda asentado en firme que el efecto de un operador T₊ que actúa sobre una función de onda para la cual m es igual a .j equivale al incremento simultáneo de ambos sub-índices (para hablar con una mayor generalidad, cambiaremos el símbolo de proporcionalidad por el símbolo de la igualdad metiendo como factor una constante pendiente a ser evaluada para cada caso en particular):

PROBLEMA: Demuéstrese que:

[J, T²] = 0

Siendo el operador del momento angular J un vector cuyas tres componentes en coordenadas rectangulares Cartesianas se puede expresar como un triplete ordenado:

entonces la relación de conmutación:

se debe interpretar en su forma correcta como las siguientes tres relaciones separadas:

Cada una de estas tres relaciones tiene que ser demostrada por separado independientemente de las otras dos. Tomando la primera de ellas, se tiene:

Si usamos la identidad de conmutación:

[A, BC] = [A, B]C + B[A, C]

que para el caso B = C se reduce a:

[A, B²] = [A, B]B + B[A, B]

entonces, procediendo como lo hemos hecho arriba, se obteniene:

Las otras dos relaciones se pueden demostrar de la misma manera. No será necesario hacerlo aquí, dada la trivialidad del asunto.

Con la relación:

[J, T²] = 0

resulta evidente que una operación usando el cuadrado de un operador clase T, o sea utilizando a T² (aplicándolo a una función de onda ψ_jj), no tendrá efecto alguno en los dos sub-índices, y por lo tanto la función de onda seguirá siendo una eigenfunción de J² y de J_z con el mismo eigenvalor.

Un ejemplo de la utilidad de los vectores-operadores de clase T radica en el hecho de que, haciendo a un lado el asunto de la normalización, las armónicas esféricas se pueden generar considerando un vector de posición r , el cual como ya se mencionó arriba es un operador de clase T, lo cual nos permite definir un operador escalera como r₊ de la siguiente manera:

r₊ = x + iy

Por otro lado, las armónicas esféricas Y_lm = Y_lm(θ,φ) que representan la solución a la parte angular de un problema que involucre un potencial de simetría esférica son a fin de cuentas funciones de onda. Por lo tanto, si aplicamos el operador escalera r₊ a una función de onda armónica esférica para la cual se hace l.=.m, o sea a una función Y_ss, el operador escalera r₊ aplicado a dicha función de onda hará que ambos sub-índices de la función de onda se incrementen en una unidad en la manera que se muestra a continuación (usaremos el símbolo de proporcionalidad en lugar del símbolo de la igualdad ignorándose la constante de normalización requerida para que la nueva armónica esférica permanezca normalizada):

Puesto que ambos sub-índices l y m son subidos, lo más natural es que tomemos como punto de partida la armónica esférica Y₀₀ para la cual l.=.0 y m.=.0, la cual sabemos de antemano que es:

Aplicando el operador escalera r₊ repetidamente nos permite ir generando sucesivamente otras armónicas esféricas hasta cualquier valor de l:

Sin embargo, lo anterior está incompleto desde el principio. Esto lo sabemos mediante un simple análisis dimensional, ya que al aplicar un operador como r₊ (cuyas componentes se miden en unidades de longitud tales como centímetros) a una función de onda armónica esférica como Y_ss (adimensional), el resultado debería tener como factor alguna función radial multiplicando a Y_s+1,s+1 igualando las dimensiones en ambos lados de la igualdad:

Este requerimiento sigue siendo válido al llevarse a cabo una aplicación repetida del operador escalera, por ejemplo si partimos de Y₀₀:

Una posibilidad consiste en modificar el operador escalera r₊ en forma tal que sea adimensional. Esto lo podemos lograr de una manera sencilla dividiéndolo entre la magnitud de r, obteniéndose de este modo el siguiente operador mejorado:

De este modo (seguimos reteniendo el símbolo de proporcionalidad porque no tenemos una expresión para adjuntar a cada armónica esférica que se vaya generando su factor de normalización correspondiente):

Esto nos permite ir generando armónicas esféricas tales como Y₁₁, Y₂₂, Y₃₃, etc. Sin embargo, hay muchas otras armónicas esféricas que parecen inalcanzables con este procedimiento, tomando en cuenta que el número cuántico m representado en el segundo sub-índice puede tomar cualquier valor entre el siguiente rango:

Esto se puede compensar si introducimos en el panorama el operador escalera de descenso del momento angular L:

L_{_} = L_x + iL_y

Por lo que ya hemos visto en las entradas previas correspondientes al momento angular L, este operador escalera tiene la característica de disminuír en una unidad el sub-índice m dejando intacto el sub-índice l:

La aplicación repetida de este operador escalera permite tomar cualquier armónica esférica como Y_ll haciéndonos llegar a otra armónica esférica Y_lm mediante la siguiente relación:

Si para mayor simplicidad tomamos la constante de normalización junto con la constante física metiéndolo todo dentro de una constante c_lm de la cual prescindiremos recurriendo al símbolo de proporcionalidad, tendremos entonces:

De este modo, llegamos a la siguiente prescripción general para obtener cualquier armónica esférica Y_lm a partir de la armónica esférica Y₀₀:

o expresado de una manera un poco más elegante metiendo la constante de normalización

Como otro ejemplo del uso de los operadores clase T, a continuación analizaremos un oscilador armónico tridimensional que puede tener vibraciones sobre los tres ejes rectangulares Cartesianos (en lugar de estar limitado a una vibración unidimensional que se lleva a cabo con un solo grado de libertad). En este caso, el operador Hamiltoniano de energía puede ser escrito de la siguiente manera:

Aquí uno tiene la opción de seleccionar eigenfunciones que sean simultáneamente eigenfunciones del operador H, del operador L² y del operador L_z en virtud de la fuerza central bajo cuya influencia se está desplazando la partícula, o en una vía alterna, podemos seleccionar eigenfunciones que sean eigenfunciones simultáneas de los operadores H_x, H_y y H_z, todos los cuales conmutan entre sí, definidos de la siguiente manera:

En términos de estos operadores, el operador Hamiltoniano H que representa a la energía total del sistema se puede expresar como:

Puesto que todos estos operadores conmutan entre sí, y cada uno de ellos opera sobre una variable distinta a las variables sobre las cuales operan los otros dos, podemos escribir las eigenfunciones como:

en donde, tomando en cuenta lo que se ha tratado previamente relacionado con el oscilador armónico simple unidimensional, se tiene para cada caso:

Aquí los números cuánticos q, r y s están asociados respectivamente con el movimiento-x, el movimiento-y y el movimiento-z de la partícula. La eigenfunción simultánea ψ_qrs es claramente una eigenfunción del operador de energía Hamiltoniano H, siendo la eigenecuación en este caso:

Una razón para darle preferencia a este conjunto de eigenfunciones simultáneas sobre el otro es que permite contar la degeneración asociada con los varios estados de energía del oscilador tridimensional. Obsérvese que el estado fundamental n.=.0 sólo puede ser logrado de una sola manera, haciendo tanto q como r como s iguales a cero. Por otro lado, el primer estado excitado n.=.1 puede ser obtenido fijando cualquiera de los números cuánticos q, r o s igual a la unidad y fijando los otros dos a cero, hay tres maneras en las cuales ésto puede ocurrir, y consecuentemente la degeneración para el estado n.=.1 es igual a 3. Procediendo del mismo modo, se pueden ir contando las degeneraciones de los otros estados de energía del oscilador tridimensional, lo cual irá produciendo una tabla como la siguiente:

Una razón por la cual resulta conveniente conocer las degeneraciones del oscilador tridimensional es que al considerar el problema de encontrar eigenfunciones simultáneas de H, L² y L_z, resulta útil tener algún criterio para deterninar cuándo el conjunto de funciones de onda está completo. Con este nuevo conjunto de observables conmutables (observable compatibles), se puede escoger un nuevo conjunto de funciones de onda caracterizadas por un sub-índice n para la energía, un sub-índice l para el momento angular total, y un sub-índice m para la componente-z del momento angular. La eigenecuación de energía entonces debe ser:

Al llegar a este punto, resulta sumamente desable poder encontrar un operador escalera que no sólo generará estados de varios niveles de energía sino también estados de momentos angulares diversos. Con este fin, introduciremos un operador R definido de la siguiente manera:

Una comparación con lo que se ha visto previamente nos revela que cada componente (en un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas) de este vector es un operador que es capaz de poder generar estados energéticos con mayor energía a partir de estados con menor energía. Por la forma en la que está definido el operador R, siendo una combinación linear de los operadores P y r, o sea una combinación linear de dos operadores clase T, el operador R también es un operador de clase T. Esto nos permite definir el siguiente operador escalera:

el cual nos servirá como un operador escalera para ir generando estados de momento angular mayor a partir de estados de momento angular menor. No es difícil verificar que este operador satisface la siguiente relación con el operador de energía Hamiltoniano:

Puesto que el estado fundamental del oscilador tridimensional no es un estado degenerado, éste estado puede ser escrito simplemente como el producto de las tres funciones de onda para el oscilador armónico simple en las direcciones (dirección-x, dirección-y y dirección-z), siendo la función de onda normalizada para el oscilador armónico simple unidimensional:

lo cual en el caso del oscilador tridimensional produce la siguiente función de onda para el estado fundamental:

Si operamos repetidamente sobre esta función de onda con el operador escalera R₊, se va obteniendo lo siguiente:

Obsérvese algo importante que aplica en esta situación: la propiedad escalera del operador R₊ con respecto al aumento en la energía y el momento angular hace que los tres sub-índices de la función de onda aumenten en una unidad. Esto es posible porque los tres grados de libertad del oscilador armónico sobre los tres ejes coordenados rectangulares Cartesianos son independientes el uno del otro, así como los valores de los momentos angulares asociados a cada eje.

Por otro lado, se tiene también al operador R² que se obtiene multiplicando directamente al operador R consigo mismo, el cual cuando es aplicado a una función de onda que es simultáneamente una eigenfunción de L² y L_z, no cambia los eigenvalores que corresponden a estos dos operadores, lo único que lleva a cabo es producir un incremento en la energía. Por lo tanto, R² es un operador para aumentar la energía del estado sin cambiar el momento angular. Puesto que R por sí solo aumenta la energía del sistema en una unidad, el operador R² aumenta la energía en dos unidades. Por lo tanto, cuando el operador R² es aplicado en forma repetida a la función de onda ψ₀₀₀ dada arriba, el resultado final será (obsérvese que el único cambio que ocurre es en el primer sub-índice):

Resulta evidente que aplicando primero el operador R² y aplicando tras ello el operador R₊ sobre una función de onda, aplicando finalmente el operador escalera de descenso del momento angular L_{_}, podemos obtener una expresión para la función general de onda:

Esta función de onda es simultáneamente una eigenfunción de H, L² y L_z. Puesto que la potencia a la cual es elevado R² tiene que ser una potencia integral, necesariamente n y l deben ser ambos enteros impares, o deben ser ambos enteros pares. Obsérvese que la función general de onda que se acaba de dar no es una función de onda normalizada, no se ha hecho intento alguno aquí para llevar a cabo la normalización de la misma. Sin embargo, haciendo uso de las técnicas de normalización que ya fueron cubiertas en las entradas correspondientes al estudio del momento angular orbital bajo la Mecánica Ondulatoria, no es difícil calcular la constante apropiada con la cual se tiene que multiplicar la igualdad dada arriba para que la función resultante quede normalizada a la unidad. Aunque ψ_nlm representa un conjunto de funciones que son simultáneamente eigenfunciones de los tres operadores H, L² y L_z, aún existe la posibilidad de que dicho conjunto de funciones no sea un conjunto completo. Para confirmar esto, podemos calcular la degeneración que corresponde a cada eigenestado de energía, lo cual nos permite construír una tabla como la siguiente:

Comparando esta tabla con la anterior, podemos ver que las degeneraciones son las mismas en ambos casos. Se concluye por lo tanto que el conjunto de eigenfunciones dado por ψ_nlm es completo.

El concepto de los operadores clase T nos permite llevar a cabo de una manera un poco más compacta y simplificada algo que había quedado pendiente en una entrada anterior.

Al llevar a cabo el estudio de la partícula libre, se había mencionado que existe otra manera de efectuar el análisis del comportamiento de una partícula libre, el cual consiste en recurrir al “truco” de considerar a la partícula libre como una partícula moviéndose en un campo de fuerza central, y considerando para fines prácticos el caso trivial en el cual dicha fuerza es inexistente. En la Mecánica Cuántica no se maneja el concepto de la fuerza, pero sí se maneja el concepto del potencial V considerando a la fuerza como el negativo de la derivada del potencial V con respecto a la distancia al centro de la fuerza (-dV/dr). Si la fuerza para fines prácticos se va a tomar como cero, entonces también el potencial puede tomarse como cero en la ecuación de Schrödinger para una partícula libre. En tal caso, tanto el operador Hamiltoniano de energía H, como el cuadrado del operador del momento angular L² así como el operador L_z deben ser tres operadores que conmutan entre sí simultáneamente, y debe ser posible por lo tanto construír eigenfunciones  que son eigenfunciones simultáneas de estos tres operadores. Un conjunto así de eigenfunciones no pueden ser ondas planas, habido el hecho de que el operador del momentum linear P no conmuta con los operadores del momento angular. Las eigenecuaciones de Schrödinger para la energía, el momentum angular total y la componente-z del momento angular pueden escribirse de la siguiente manera (obsérvese que estaremos usando μ para representar a la masa de la partícula libre en lugar de m, no solo porque que la partícula bajo análsis puede ser cualquier partícula, ya sea un protón, un neutrón o un mesón y no necesariamente un electrón, sino porque de este modo evitaremos una confusión con el símbolo m que será usado para designar a la componente-z del momento angular):

Si haciendo un cambio de variables usamos la definición:

entonces, recurriendo a la técnica matemática de separación de variables como ya lo hemos hecho previamente en el caso del estudio del átomo de hidrógeno, la expansión de la parte radial de la ecuación de Schrödinger para la partícula libre para el caso particular en el cual l.=.0 toma la forma:

Esta es una ecuación diferencial relativamente sencilla que puede ser resuelta para dar la siguiente solución (obsérvese que al hacer l.=.0 se requiere tomar la componente-z del momento angular también como igual a cero, o sea m.=.0):

Como era de esperarse, esta función de onda no está normalizada, ni es posible normalizarla. La función de onda que hemos encontrado es válida únicamente para el estado l.=.0, y nos falta encontrar la manera de poder definirla para otros valores (enteros) de l. En vez de considerar el tener que resolver nuevamente la ecuación de onda radial para otros estados diferentes de l.=.0, podemos considerar mejor el recurrir a la técnica de los operadores escalera que ya hemos usado previamente para así poder generar todas las demás  soluciones a partir de la solución que ya tenemos arriba para el estado l.=.0. Para estos fines, y usando como guía el operador del momentum linear P, usaremos el operador escalera P₊ que corresponde al momentum linear (el cual a su vez es un operador clase T):

Puesto que este operador escalera P₊ es simplemente la suma de dos componentes Cartesianas del momentum linear de la partícula (P_x y P_y), P₊ conmuta con el operador de energía Hamiltoniano H. Como tal, una función de onda que sea una eigenfunción de la energía seguirá siendo una eigenfunción de la misma energía después de que haya sido sometida a una operación con P₊. Por otro lado, ya vimos arriba que el efecto del operador P₊ sobre una función de onda con l.=.m será el de incrementar ambos l y m en una unidad. Por lo tanto, la operación de P₊ sobre la función de onda dada arriba debe generar la función de onda:

Este procedimiento puede ser repetido (iterado) l veces para generar la siguiente función de onda:

Haciendo uso de uno de los operadores escalera del momento angular, L_{_},es posible generar entonces una función de onda general para la partícula libre con los números cuánticos k, l y m:

Haremos aquí una pausa para reflexionar sobre esto último. Por sus tres números cuánticos principales, esta función de onda se asemeja mucho a la función de onda del electrón que está atrapado en el potencial central de un átomo hidrogenoide. Sin embargo, aquí hay una diferencia substancial: el número cuántico principal k puede tomar valores continuos y no está limitado necesariamente a tomar valores discretos. Esta es la razón por la cual lo simbolizamos como k en lugar de usar n. En rigor de verdad, esto es justo lo que esperamos de una partícula libre, que pueda tomar cualquier valor de energía dentro de un espectro continuo de valores, en lugar de estar limitada a tomar ciertos valores discretos como ocurre cuando la partícula se encuentra en un sistema ligado. Pero encima de esto, nos encontramos con un hecho que al principio puede parecer sorprendente y extraño. La partícula libre puede poseer un momento angular. El hecho puede parecer sorprendente porque al hablar del momento angular lo que se viene a la mente es el de una partícula que está atrapada en una órbita circular girando en torno a un núcleo central. ¿Estamos hablando entonces de un momento angular intrínseco a la partícula como el del spin del electrón? Si es así, entonces se vuelve necesario extender dicho concepto a cualquier otro tipo de partículas incluyendo a las partículas que se encuentran en estado libre.

Para ver en mayor detalle las consecuencias de operar sobre una función cualesquiera con un operador escalera como P₊, obtendremos primero una forma modificada del mismo tomando como punto de partida la longitud del vector radial:

Tomando diferenciaciones parciales separadas, de lo anterior se llega a lo siguiente:

Ahora recurriremos a un poco de gimnasia del cálculo multivariables usando la regla de la cadena:

Con esto, podemos escribir entonces lo siguiente:

Considérese ahora el efecto de este operador sobre cualquier función general de la distancia r:

Antes de continuar, demostraremos el siguiente resultado intermedio.

PROBLEMA: Demuéstrese que:

Aplicando el conmutador proporcionado sobre una función de onda ψ cualesquiera, se tiene:

Simplificando un poco más usando ∂x/∂x.=.1 y ∂y/∂y.=.1 así como el hecho de que la independencia por la ortogonalidad de las coordenadas nos garantiza que ∂x/∂y.=.0 y ∂y/∂x.=.0, entonces tras cancelar términos comunes con signos opuestos vemos que:

Lo que se acaba de demostrar, desprovisto de la farfalá, es que:

o en pocas palabras, el operador escalera r₊ y el operador escalera P₊, ambos operadores clase T, son mutuamente conmutativos. Usando este resultado que nos expresa una conmutatividad plena entre ambos operadores, se tiene entonces que:

Lo anterior es una igualdad exacta. Representa la parte radial del problema, y no incluye la parte angular. Este efecto operacional puede ser ampliado metiendo la armónica esférica que representa la parte angular del problema. Sin embargo, ignorando el factor constante que tenga que ser agregado para usar la expresión ampliada que incluye tanto la parte angular como la parte radial, no podemos hablar ya de una igualdad sino de una mera relación de proporcionalidad, la cual de cualquier modo nos resulta útil para poder continuar llevando a cabo el análisis. De este modo, a excepción de la constante de proporcionalidad que estaremos dejando ausente por razones de simplicidad, la relación operacional tiene el siguiente aspecto (obsérvese que se ha metido como factor a la armónica esférica Y_lm -escrita en ocasiones como Y_l^m- haciendo l.=.m puesto que el efecto del operador P₊ sobre una función de onda que hemos estado estudiando es precisamente con l.=.m):

Inspeccionando esto y así como los resultados obtenidos previamente, se puede comprender mejor el por qué la función radial (sin incluír la parte angular que está dada por la armónica esférica) para la partícula libre puede ser escrita de la siguiente manera (esto será explicado en mayor detalle más abajo):

Esta función radial es conocida por los matemáticos como una función esférica de Bessel (estudiaremos este tipo de funciones más a fondo en la serie de entradas tituladas “Esparcimiento de partículas”). De hecho, para l.=.0, la solución de la parte radial de la ecuacion de Schrödinger para la partícula libre consta de dos soluciones diferentes:

Sin embargo, la forma cosenoidal de la solución tiene que ser desechada para una partícula libre porque es indeterminada en el origen debido a la división por cero cuando r.=.0, careciendo por lo tanto de significado físico. La solución senoidal es conocida frecuentemente como una función esférica de Bessel de orden cero:

Para obtener soluciones a la parte radial cuando l.≠.0, puesto que ψ_k00 es una función de la distancia radial r únicamente (además de ser una función del entero positivo l), se tiene que:

Omitiendo los factores de normalización y metiendo a la armónica esférica Y_ll(θ,φ) en el asunto (obsérvese que la constante física ħ será incorporada implícitamente dentro de la armónica esférica ya que realmente no forma parte de la función radial), se puede escribir lo siguiente:

Haciendo un cambio ligero en la notación, podemos asentar que la función radial para cualquier valor l.≠.0 puede ser obtenida mediante el siguiente procedimiento:

Esto último puede tomarse como la definición matemática formal (desprovista de cualquier significado físico) de las funciones esféricas de Bessel (no cuesta mucho trabajo verificarla mediante el procedimiento de inducción matemática que consiste en tomar la relación como válida para .j₀, suponer que es válida para .j_k, y demostrar que ello implica que será válida también para .j_k+1). Se ha introducido el signo negativo para que haya conformidad con la definición usual de las funciones esféricas de Bessel (puesto que la densidad de probabilidad para la función radial está dada por R_kl*R_kl, o bien por .j*j, físicamente la introducción del signo no altera en nada las cosas vistas desde el punto de vista experimental ya que al final termina cancelándose). Por la manera en la cual se han generado las funciones esféricas de Bessel, queda claro que serán soluciones de la ecuación radial que puede ser simplificada escribiéndola de la siguiente manera:

A continuación se enlistan las primeras tres funciones esféricas de Bessel, señalándose la existencia de un número infinito de ellas:

Como puede anticiparse desde ahora, las funciones esféricas de Bessel vuelven a aparecer nuevamente al llevarse a cabo el estudio del esparcimiento de partículas en donde un haz de partículas es lanzado hacia un blanco que puede ser un centro de potencial repulsivo (como ya se mencionó arriba, esto lo veremos en mayor detalle a partir de la entrada titulada “Esparcimiento de partículas II”). En resumidas cuentas, combinando la función radial (en color azul) con la armónica esférica que representa la parte angular (en color magenta) nos dá desde luego función de onda para la partícula libre:

Como ya se asentó, el vector de posición r, el vector del momentum P, y el vector del momento angunar J, así como sus productos vectoriales cruz, caen dentro de la categoría de operadores clase T. De hecho, cualquier vector que se transforma bajo una rotación propia de las coordenadas (descartando aquellas transformaciones que produzcan una reflexión espacial en lugar de una rotación, las cuales son conocidas como rotaciones impropias) como ocurre con un vector de posición r forman parte de esta clase de operadores. Para quienes están familiarizados con el concepto de los tensores Cartesianos, esto debe traer cierta familiaridad con el tema. De hecho, el concepto de los operadores vectoriales será generalizado hacia otro concepto más amplio que será tratado posteriormente en otra entrada, el concepto de los operadores tensoriales, lo cual no debe ser confundido con lo que acabamos de ver en esta entrada ya que el enfoque que será utilizado es algo diferente.