La extraña ecuación de Max Born

En la tumba de un cementerio de Göttingen, Alemania, hay una lápida en la cual podemos ver lo que parece ser una extraña inscripción:

La inscripción es una ecuación matemática un tanto extraña, porque representa términos relacionados con cantidades físicas susceptibles de ser medidas experimentalmente en el laboratorio:

pq - qp = h/2πi

Para poder apreciar lo extraña que es esta ecuación, considérese una fórmula como la que nos relaciona la cantidad de horas-hombre involucradas en la realización de un proyecto. Supóngase que se requieren 5000 horas-hombre para construír cierto complejo habitacional. Esta cantidad puede ser interpretada de varias maneras. El complejo habitacional puede ser construído por diez hombres trabajando un total de 500 horas. Si doblamos la cantidad de trabajadores, el complejo habitacional puede ser construído en la mitad del tiempo requerido, usando 20 trabajadores laborando un total de 250 horas. Y si sólo tenemos cinco trabajadores disponibles, llevará un total de mil horas completar el proyecto. Pero en cualquier caso suponemos que la cantidad estimada de 5000 horas-hombre para la realización del proyecto es la cantidad que nos sirve de guía, y expresada matemáticamente la podemos escribir como el producto TH en donde T representa el tiempo y H la cantidad de hombres asignados a la labor, siendo en este caso TH igual a una constante numérica, la constante 5000 horas-hombre. Pero si alguien nos dijera que el producto TH dá un resultado diferente del producto HT, tal vez pensaríamos que estaba loco, porque desde los primeros años en la escuela Primaria se nos enseña que en cualquier multiplicación el “orden de los factores no altera el producto obtenido”. Esto significa que HT debe ser igual a TH, bajo cualquier circunstancia. Y si se nos insiste en que para ciertos casos el orden de los factores sí altera el producto, tal vez sintamos el deseo de abandonar una conversación que se antoja del todo inútil.

Una cosa que muchas veces tomamos por hecho es que el producto de todas las cantidades físicas es conmutativo, el orden de los factores como los escribimos en un pedazo de papel no altera el producto. De este modo, si multiplicamos el área de la base de un cilindro por su altura para obtener su volumen, dá lo mismo que escribamos la fórmula ya sea como:

V = Ah

o como:

V = hA

Siendo el producto de estas cantidades conmutativo, no nos queda absolutamente ninguna duda de que:

Ah - hA = 0

De este modo, si el área de la base es igual a 5 metros cuadrados y la altura es igual a 3 metros, entonces al llevar a cabo la multiplicación debemos obtener un volumen de 15 metros cúbicos, no importando cómo escribamos el producto, ya sea como:

(5 metros cuadrados) (3 metros)

o como:

(3 metros) (5 metros cuadrados)

En ambos casos, la respuesta siempre será única y la misma, 15 metros cúbicos.

Si en vez de estar hablando de algo tan mundano como la cantidad de horas-hombre requeridas para la realización de un proyecto nos ponemos a hablar sobre cantidades físicas que también pueden ser medidas con la misma precisión que el número de horas transcurridas para la realización de un proyecto, nuestro parecer difícilmente va a cambiar sobre el asunto. Considérese una cosa tan sencilla como la que nos relaciona el gasto de agua Q que circula por una tubería (medido en metros cúbicos por segundo) en la cual pasa cierto volumen de agua V por unidad de tiempo:

Q = V/t

El volumen de un tramo de la tubería es simplemente el área de la sección transversal, usualmente cilíndrica, multiplicada por la longitud del tramo d:

V = Ad

Entonces el gasto de agua, medido en metros cúbicos por segundo (o litros por segundo) será igual a:

Q = Ad/t

De esto podemos obtener lo siguiente:

Ad= Qt

Del lado izquierdo tenemos un volumen, el volumen de un tramo de la tubería, y del otro lado tenemos también un volumen, el volumen del agua que circula por ese tramo de tubería en un tiempo t. Esto es una igualdad matemática, no una aproximación, y si la escribimos de las siguientes maneras:

dA = Qt___Ad = tQ___dA =Qt

la situación no va a cambiar en nada.

Volvamos ahora a la extraña ecuación que está inscrita sobre la lápida. Al pedir explicaciones a los habitantes del lugar sobre el significado de la ecuación, tras encontrar a alguien que nos puede ayudar se nos explica que en dicha ecuación p representa algo que tiene que ver directamente con la posición, medida en unidades de longitud como centímetros, mientras que q representa algo que tiene que ver directamente con la velocidad, medida en algo así como centímetros por segundo. Son dos cantidades físicas que en principio podemos medir si contamos con los instrumentos de medición para ello. Y lo que medimos son dos números que podemos multiplicar. Multiplicamos los números, y debemos de obtener otro número, ya sea que el producto lo representemos como pq ó que lo representemos como qp, estando totalmente seguros de que:

pq - qp = 0

Pero viendo la ecuación que está puesta sobre la lápida, nos percatamos de que no es lo mismo multiplicar algo que tiene que ver con las cantidades físicas p y q en el orden pq que en el orden qp. Si formamos ambos productos y los restamos, el resultado no es cero. De hecho es igual a h/2πi. Esto a primera vista nos debe parecer desconcertante. ¿Cómo es posible que el producto de dos cantidades físicas que podemos medir nos dé un resultado diferente dependiendo del orden en el cual escribimos el producto? Pero la sorpresa no termina aquí. En el lado derecho de la ecuación tenemos el número i, la raíz cuadrada de -1, el símbolo base de los números imaginarios:

i = √-1

¿Cómo es posible que el producto de algo que tiene que ver con dos cantidades físicas reales no sólo no sea conmutativo, sino que inclusive nos resulte hasta ser imaginario?

La ecuación, como está escrita, nos parecería una aberración, un contrasentido a la lógica. Sin embargo, dicha ecuación tiene su explicación, tiene su lógica, una lógica que en un principio contradice nuestro sentido común, pero que al fin y al cabo representa una de las mayores verdades del Universo. De hecho, el descubrimiento de esta ecuación le valió a Max Born, el hombre que la descubrió y cuyos restos reposan debajo de la lápida, el Premio Nóbel de Física.

Podemos compactar un poco más la fórmula haciendola más fácilmente memorizable con la siguiente definición:

[A,B] = AB - BA

Esta definición es conocida como el conmutador. La definición presupone que en las cantidades A y B no se puede aplicar la propiedad conmutativa porque no son intercambiables, sólo se les puede aplicar la propiedad asociativa:

A·(BC) = (AB)·C

PROBLEMA: Demostrar las siguiente relaciones:

1) [A+B,C] = [A,C] + [B,C]

2) [A,BC] = [A,B]C + B[A,C]

3) [A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]] = 0

1) Aplicando la definición del conmutador al pie de la letra, tenemos:

[A+B,C] = (A+B)C - C(A+B) = AC+BC-CA-CB = AC-CA+BC-CB

[A+B,C] = [A,C] + [B,C]

2) En este caso la demostración es más fácil de llevarse a cabo trabajando a la inversa empezando por la relación más elaborada, que es la que está del lado derecho, y simplificándola hasta obtener la expresión más sencilla, que es la que está del lado izquierdo:

[A,B]C + B[A,C] = (AB-BA)C + B(AC-CA) = ABC-BAC+BAC-BCA = ABC-BCA

[A,B]C + B[A,C] = [A,BC]

3) Expandiendo la relación:

[A,[B,C]] + [B,[C,A]] + [C,[A,B]]

tenemos paso a paso lo siguiente:

[A,BC-CB] + [B,CA-AC] + [C,AB-BA]

A(BC-CB) - (BC-CB)A + B(CA-AC) - (CA-AC)B + C(AB-BA) - (AB-BA)C

ABC-ACB-BCA+CBA+BCA-BAC-CAB+ACB+CAB-CBA-ABC+BAC

En esta última expresión todos los términos se van cancelando en pares (algunos de ellos se muestran en el mismo color de letra), de modo tal que toda la expresión es igual a cero.

Con la ayuda del conmutador, la ecuación de Born se puede escribir del modo siguiente:

[p, q] = h/2πi

Podemos compactar un poco más la fórmula de la lápida recurriendo a la constante h de Dirac, o sea:

Para ello, tomaremos la fórmula original escribiéndola de la siguiente manera:

pq - qp = h/2πi = (ih)/(2πi²) = - ih/2π

qp - pq = ih/2π

Con esto podemos escribir entonces:

Esto ciertamente está en una forma mucho más compacta, mucho más memorizable. Pero no nos aclara el misterio de cómo dos cosas que están directamente relacionadas con cantidades físicas que podemos medir en un laboratorio pueden ser cantidades tales que el producto qp sea diferente del producto pq, y mucho menos nos aclara cómo el símbolo base de los números imaginarios pudo haber entrado aquí. Estas cosas sin sentido tienen desde luego una explicación, y la explicación es que las cantidades a las que nos estamos refiriendo no representan cosas que estamos acostumbrados a ver y medir en el mundo macroscópico que nos rodea, representan cosas del mundo ultramicroscópico, el mundo de los átomos y las moléculas.

El velo de misterio se empieza a aclarar un poco cuando empezamos a considerar que las cantidades p y q no representan números ordinarios, sino matrices, esos arreglos rectangulares de números que se empiezan a estudiar en cualquier curso elemental de álgebra lineal, porque una de las primeras cosas que se aprenden en el estudio de las matrices es que el producto de matrices no es conmutativo.

La última ecuación que se ha dado arriba puede considerarse como la piedra angular de la Mecánica Cuántica, la ciencia dedicada al estudio del mundo ultramicroscópico, el mundo de los átomos y las moléculas. La importancia de la ecuación deriva en que todo, absolutamente todo lo que sabemos y conocemos en la Mecánica Cuántica puede ser explicado o derivado a partir de esta ecuación sencilla.

La ecuación, tal y como está dada, si la interpretamos de modo tal que las dos cantidades p y q especificadas dentro del conmutador sean matrices, presenta un pequeño problema de interpretación, en virtud de que en el lado izquierdo de la ecuación tenemos una matriz y en el lado derecho tenemos lo que parece ser un valor numérico en lugar de una matriz. Para los creadores de la Mecánica Cuántica esto nunca representó ningún problema, porque se sobreentendía que el lado derecho de la ecuación estaba multiplicado a una matriz identidad que hoy representamos con la letra I. Este símbolo no aparece en la ecuación original de Max Born porque para él y para otros en su época era claro que en el lado derecho de la ecuación matricial lo que se tenía eran los valores de una matriz identidad cuyos elementos diagonales son precisamente el valor numérico escrito en la ecuación. Pero para nosotros en nuestra época, acostumbrados a un formalismo más riguroso, estas aparentes omisiones nos pueden ocasionar alguna confusión si no estamos absolutamente seguros de aquello de lo que estamos hablando. Con esto en mente, podemos enunciar una ecuación “corregida”, más a nuestro gusto, de la manera siguiente, para que no haya dudas en la interpretación de la misma:

Aquí hemos introducido a la matriz identidad I, y hemos escrito las letras de las variables en mayúsculas en lugar de minúsculas para hacerlas resaltar más como matrices.

Así como hay una notación para definir a la expresión matricial AB.-.BA, usando paréntesis cuadrados, del mismo modo se utiliza con cierta frecuencia una notación parecida para definir a la expresión matricial en la cual se define no a la diferencia de los productos matriciales sino a la suma de los mismos, a la cual se le llama el anticonmutador, utilizando corchetes en lugar de los paréntesis cuadrados:

{A,B} = AB + BA

PROBLEMA: Demostrar la siguiente relación:

[JK, LM] = J{L,K}M + {L,J}MK - JL{M,K} - L{M,J}K

La forma más fácil de resolver este problema es trabajando a la inversa, empezando por la relación más elaborada, que es la que está del lado derecho, y reduciéndola hasta obtener la expresión más sencilla, que es la que está del lado izquierdo, e invirtiendo los pasos para escribir la solución que tenemos a continuación respetando en todo momento el hecho de que el producto de dos matrices (generalmente hablando) no es conmutativo.

Partiendo de la definición del conmutador:

[JK, LM] = JKLM - LMJK

Agregaremos aquí algunos términos extra:

= JKLM + JLKM - JLKM + JLMK - JLMK

+ LJMK - LJMK - LMJK

Reacomodando los términos:

= JLKM + JKLM + LJMK + JLMK

- JLMK - JLKM - LMJK - LJMK

Factorizando con la aplicación de la ley asociativa pero respetando el orden:

= J(LK+KL)M + (LJ+JL)MK - JL(MK+KM) - L(MJ+JM)K

Aquí podemos meter ya la definición del anticonmutador en cada uno de los términos:

= J{L,K}M + {L,J}MK - JL{M,K} - L{M,J}K

con lo cual la relación a demostrar queda probada.

La Mecánica Cuántica es el lenguaje utilizado por los científicos para describir las cosas de las que está hecho el mundo y la manera en la que interactúan. Es el lenguaje de la física atómica, molecular, nuclear, estado sólido y de partículas. Es un lenguaje matemático que representa el conocimiento logrado de muchos experimentos que revelan propiedades de los átomos y las moléculas que son diferentes de lo que conocemos de nuestra experiencia cotidiana. Es de lo que estamos hechos. En sus inicios históricos, con este lenguaje se comenzaron a representar cantidades físicas tales como coordenadas de posición, velocidades, momentum, momento angular y energías como matrices. Como ya se indicó arriba, el álgebra de las matrices es muy diferente de la de los números ordinarios porque por regla general el producto de dos matrices no es conmutativo.

La Mecánica Cuántica hace una distinción muy clara entre una cantidad física y los valores que puede tomar. En la Mecánica Cuántica Matricial, toda cantidad es representada mediante una matriz, y las cantidades que relacionan diferentes cantidades físicas son escritas empleando matrices en lugar de valores específicos que representan números. Para cada estado, algunas cantidades tienen valores definidos mientras que otras no los tienen. Tomemos el caso de las variables posición y momentum, las cuales no están cuantizadas. Cada una de ellas tiene un rango continuo de valores posibles (esto se puede ver con mayor claridad en una relación conocida como el principio de incertidumbre de Heisenberg). Pero la energía de un oscilador harmónico simple, que es una combinación de los cuadrados de la posición y el momentum, está cuantizada, no tiene un rango continuo de valores posibles. Esto puede suceder porque la fórmula para la energía en términos de la posición y el momentum está escrita empleando matrices. No podría suceder si la fórmula fuese escrita en términos de valores ordinarios (o sea, en su representación clásica tradicional). La introducción de matrices nos produce de inmediato estas consecuencias.

Bajo esta nueva visión, para obtener la ecuación matricial mecánico-cuántica del oscilador armónico simple que nos dá la energía total H del oscilador en función de las variables numéricas x y p:

empezamos con la ecuación clásica del mismo (en la cual las variables posición x y momentum p pueden tomar cualquier valor numérico entre ciertos rangos) dada como la suma de la energía potencial y la energía cinética a la cual en la mecánica clásica se le conoce más elegantemente como el Hamiltoniano del sistema:

en donde m es la masa de la partícula, v es su velocidad, p es su momentum (=.mv) y x es la distancia desde el punto central a lo largo de la línea del movimiento. Las dos partes de la energía (cinética y potencial) cambian conforme la partícula se desplaza oscilando de un punto a otro, pero la suma de ambas (H) permanece constante. Con la ayuda de la segunda ley de Newton, F.=.ma, es fácil comprobar que ω = √k/m. Si usamos la velocidad angular ω = 2πf, entonces podemos escribir la ecuación clásica del oscilador armónico simple de la siguiente manera:

Si en esta ecuación clásica reemplazamos las variables continuas x y p con las matrices Q y P:

x → Q

p → P

obtendremos la siguiente ecuación matricial:

siendo H, Q y P matrices. (En esta ecuación matricial, en el primer término podemos considerar al factor mω²/2 multiplicando cada uno de los elementos de la matriz Q², mientras que en el segundo término podemos considerar al factor 1/2m dividiendo cada uno de los elementos de la matriz P².) Al hacer esto, no tardaremos en descubrir (esto lo veremos después en mayor detalle) que automáticamente se lleva a cabo la discretización de los valores posibles de la energía que puede tomar el oscilador armónico simple. Pero si la ecuación es una ecuación matricial, ¿cómo podemos extraer de la misma los valores posibles de energía que puede tomar el oscilador, los valores observables que podemos medir experimentalmente con algún aparato en el laboratorio? Esta pregunta nos lleva a examinar más de cerca esos arreglos rectangulares de números llamados matrices cuestionando cómo algo como una matriz puede tener encerrada tal información. Y resulta que muchas matrices, además de los valores numéricos obvios que vemos puestos a lo largo de sus renglones y sus columnas, están caracterizadas por un conjunto muy específico de valores propios a cada matriz, como si esos valores fuesen sus “huellas digitales”, su ADN matemático, especialmente tratándose de matrices que representan cantidades físicas.

Dada una matriz cualquiera que representa una cantidad física, esa matriz puede ser transformada en una matriz diagonal que es semejante ó equivalente a la matriz original, por ejemplo:

Dos matrices que son semejantes o equivalentes poseen el mismo conjunto de valores característicos, llamados también autovalores, valores propios y valores eigen (del alemán eigen que significa “propio, típico o inherente a algo”). Los autovalores o valores propios eigen de una matriz son los valores que puede tomar la cantidad física que está representando, son las observables que podemos medir en un laboratorio. Más aún, los elementos diagonales de una matriz diagonalizada (el proceso de diagonalización se lleva a cabo empleando relaciones de similitud entre matrices) son los valores característicos propios (eigen) de la matriz original. En el ejemplo de arriba, la matriz posee como valores eigen 0, 1, 3 y 4. Es su “ADN matemático”.

Dada una matriz A cualesquiera, siempre podemos encontrar sus autovalores eigen r montando con algún vector X = (x₁,.x₂,.x₃,....) la ecuación (propia) de eigenvalores:

AX = rX

y encontrando (resolviendo el conjunto de ecuaciones lineares simultáneas que nos resultan) las raíces r que hacen cierta esta ecuación matricial. Para cualquiera de las dos matrices en el ejemplo de arriba, los valores son r.=.0, 1, 3 y 4.

Si una matriz diagonal que representa una cantidad física tiene entradas repetidas, por ejemplo:

tenemos entonces lo que se conoce como una degeneración. En esta matriz, el autovalor 3 es dos veces degenerado, y el autovalor 7 es tres veces degenerado.

Repasando la ecuación matricial:

AX = rX

vemos que, siendo igual el vector X en ambos lados de la ecuación, en el lado izquierdo de la ecuación la matriz A funciona como un operador matemático actuando sobre el vector X, mientras que en el lado derecho tenemos los autovalores eigen que hacen cierta a la ecuación matricial. Siendo r una constante numérica, un valor que podemos medir con algún aparato de laboratorio, podemos interpretar a A como un operador que, sin cambiarle su dirección al vector X haciéndolo que apunte hacia otro lado, simplemente nos aumenta o nos acorta la longitud del vector X. Pero los cambios posibles en la longitud del vector X no pueden ser arbitrarios, están confinados a ciertos valores fuera de los cuales la ecuación propia de autovalores no tiene solución.

Al principio, podemos ver al vector X como un mero artificio matemático, como una herramienta de ocasión cuya utilidad consiste meramente en ayudarnos a obtener los autovalores propios eigen r asociados con el operador matricial A. Pero si esto fuera así, no estaríamos mucho mejor que como estábamos con el modelo atómico planetario de Bohr, el cual también nos permite obtener los valores característicos de las energías posibles de un electrón ligado a un átomo sin tener que andarnos metiendo con matrices. Sin embargo, una deficiencia del modelo de Bohr es que no nos permite obtener teóricamente las intensidades de las líneas espectrales del hidrógeno que podemos apreciar claramente en cualquier espectrograma. Si suponemos que las intensidades relativas de las líneas espectrales tienen algo que ver con la probabilidad estadística de que se pueda dar cada una de las líneas en particular (la línea con la mayor intensidad tendría la mayor probabilidad de producirse, seguida de la segunda línea menos intensa, y así sucesivamente), y si suponemos que el vector X tal vez pueda tener algo que ver con la distribución de las probabilidades de estas intensidades relativas, entonces X dejaría de ser un mero artificio matemático para convertirse en un medio valioso para obtener información adicional. Postpondremos momentáneamente el estudio de esta posibilidad mientras nos vamos familiarizando con el lenguaje de la Mecánica Cuántica Matricial.

En la Mecánica Cuántica Matricial, la cual precedió históricamente a la Mecánica Cuántica Ondulatoria, frecuentemente encontraremos matrices algunas de cuyas entradas pueden ser números imaginarios o complejos. ¿Pero cómo es posible que una matriz tal pueda representar cantidades físicas que puedan ser medidas en un laboratorio con instrumentos en donde las cantidades imaginarias o complejas carecen de sentido? La respuesta es: en los eigenvalores propios de la matriz. Si los valores eigen de una matriz son cantidades reales aunque las entradas de la matriz sean cantidades imaginarias o complejas, entonces la matriz representará un sistema físico real. Como un ejemplo de ello tenemos la siguiente matriz α conocida como matriz de Dirac, en la cual sus entradas que no son iguales a cero son cantidades imaginarias:

Mediante los métodos del Álgebra Lineal, de los cuales daremos un repaso en entradas posteriores, se puede demostrar que esta matriz 4×4 de Dirac tiene cuatro eigenvalores λ₁, λ₂, λ₃ y λ₄, los cuales son:

Como puede verse, dos de los valores son degenerados. Pero lo más importante es que todos los valores propios eigen de la matriz de Dirac son cantidades reales, no imaginarias. Entonces la matriz de Dirac puede representar cantidades físicas reales susceptibles de poder ser medidas en un laboratorio, aunque la matriz en sí tenga entradas imaginarias.

El procedimiento matemático que conduce a la diagonalización de la matriz de Dirac nos demuestra que las cuatro entradas de la matriz que aparecen en la diagonal principal son cantidades reales. De acuerdo a lo que se enseña en el Álgebra Lineal, el procedimiento de diagonalización se puede llevar a cabo con la ayuda de una matriz apropiada que aquí simbolizaremos simplemente como X, y con algo que se conoce como el transconjugado de la matriz X simbolizado como X^† (usando una daga como super-índice), ya sea pre-multiplicando la matriz α de Dirac con X^† y post-multiplicándola con X, o viceversa:

Podemos llevar a cabo la diagonalización de la matriz α de Dirac calculando las entradas de la matriz X y tras esto llevando a cabo la pre-multiplicación y la post-multiplicación arriba indicadas, con lo cual se obtiene la matriz α de Dirac. Esta es una forma de hacerlo. Pero hay otra manera de hacerlo mucho más rápida y sencilla con la cual no es necesario calcular la matriz X, la cual consiste en montar lo que se conoce como la ecuación secular con el fin de determinar los valores propios eigen λ de la matriz (este procedimiento lo veremos en mayor detalle en las entradas posteriores). Y una vez que tenemos los valores propios eigen de la matriz, simplemente los ponemos en la diagonal principal, llenando de ceros las demás entradas. De este modo, la matriz diagonal que es semejante a la matriz α de Dirac viene siendo una matriz como la siguiente (el orden específico de los eigenvalores no es importante, lo que importa es que cada eigenvalor ocupe un lugar único en la diagonal principal):

¿Y qué es exactamente lo que permite que una matriz, aunque posea entradas con números imaginarios o complejos, pueda tener valores propios eigen que son reales? Para verlo tomaremos la matriz α de Dirac:

obteniendo primero el conjugado complejo de la matriz α (que simbolizaremos como α* con un asterisco como super-índice y usando color rojo para distinguirla mejor) con el simple expediente de poner en cada lugar correspondiente de la matriz el conjugado complejo del elemento matricial de la matriz original:

Hecho esto, a continuación tomaremos la transpuesta de la matriz α* intercambiando los renglones de las matriz α* por las columnas y las columnas por los renglones, simbolizando el resultado final como (α*)^T, lo cual podemos simbolizar también como α^† porque esta es precisamente la definición de la transconjugada de una matriz:

Resalta casi de inmediato un hecho muy curioso. El transconjugado α^† de la matriz α es igual a la matriz α:

No todas las matrices son capaces de cumplir con esta condición. Pero aquellas que la cumplen, son conocidas como matrices Hermitianas, en honor al matemático francés Charles Hermite que las investigó por vez primera. Y como veremos posteriormente, basta con el solo hecho de que una matriz sea Hermitiana para que esté garantizado que los valores propios eigen de la matriz serán números reales y no complejos o imaginarios. En esto radica la enorme importancia de las matrices Hermitianas para la Mecánica Cuántica.

Nos falta un cabo suelto por atar. La solución del oscilador armónico simple mediante los postulados de Bohr (con la ayuda de la regla de cuantización ó cuantificación Wilson-Sommerfeld) discretiza los valores posibles de la energía como E.=.nhω/2π, pero nos dá una infinitud de ellos al poder tomar n cualquier valor entero desde uno hasta el infinito. Si los autovalores eigen de la matriz H que representa la energía de un oscilador armónico simple forman un conjunto infinito, entonces la matriz H y por ende las matrices Q y P deben ser matrices infinitas. Esto nos exige ya extender los alcances del Álgebra Lineal enseñada en las instituciones de educación superior de espacios vectoriales finitos a espacios vectoriales infinitos. Y esto fue justo una de las cosas que hizo el matemático David Hilbert al postular un espacio vectorial infinito conocido como el espacio de Hilbert. Generalmente hablando, el salto de un espacio finito a un espacio infinito está cargado de trampas y recovecos que nos pueden hacer caer fácilmente en el error, y el rigorismo matemático que con frecuencia vemos en tratados avanzados de Mecánica Cuántica se debe precisamente a la justificación rigurosa que se necesita para purgar los resultados obtenidos de una posible división por cero intermedia o de una autoreferencia lógica que eventualmente nos puede producir un absurdo. Afortunadamente, las bases han sido suficientemente estudiadas y podemos recorrer el camino seguro trazado para nosotros por los grandes físicos de principios del siglo XX.

Empezamos de este modo una de las historias más increíbles en el campo del conocimiento humano, la cual ha hecho posible miles de maravillas tecnológicas del mundo moderno. Estas maravillas tecnológicas son las realidades increíbles de hoy que nos conminan a ver de cerca qué fue precisamente todo lo que quiso decirnos Max Born con su extraña ecuación.