Clásicamente también, para que lo que se muestra arriba sea válido se considera que es el campo electromagnético el que obra sus efectos sobre una partícula permaneciendo inalterado. Sin embargo, esto no toma en cuenta el hecho de que la partícula puede a su vez actuar sobre el campo electromagnético, algo que el electromagnetismo clásico sí toma en cuenta en estudios más avanzados, aunque la distorsión de los campos suele considerarse muy pequeña y para fines prácticos insignificante. Y desde la perpectiva de la Mecánica Cuántica, el campo electromagnético ni siquiera se puede considerar como un campo continuo en su totalidad, también está cuantizado. En un tratamiento completo, el campo electromagnético en sí debe ser considerado no como un sistema estático e inamovible sino como un sistema dinámico susceptible de ser descrito mediante coordenadas y momentum de acuerdo con el formalismo mecánico-cuántico. Esto nos lleva invariablemente a un nuevo grado de complejidad, hacia lo que se conoce como la Teoría Cuántica de los Campos, en donde los campos en sí son cuantizados. Y más a fondo, tratándose del campo electromagnético, es necesario construír una nueva teoría hoy considerada como parte primordial de la Teoría Cuántica de los Campos, la Electrodinámica Cuántica. Y uno de los primeros libros en volver accesible los nuevos materiales teóricos involucrados en éste asunto es el libro The Quantum Theory of Radiation de Walter Heitler, aunque hoy el número de referencias en torno a estos temas se ha expandido considerablemente. Cuando el campo electromagnético es tratado con éste formalismo, se encuentra que no es continuo como usualmente se le supone sino que posee muchas de las propiedades de las partículas atómicas y subatómicas, y los cuantos electromagnéticos son lo que hoy se entiende por fotones. El problema de la interacción de un campo electromagnético con una partícula cargada es esencialmente el de la creación y destrucción de fotones bajo la influencia de su interacción con la partícula cargada. Sin embargo, para un campo electromagnético suficientemente fuerte, los efectos específicamente mecánico-cuánticos se convierten en meras fluctuaciones dentro de cantidades grandes, fluctuaciones que son clásicamente determinadas, y recurriendo a tal aproximación es posible describir el efecto de un campo electromagnético sobre una partícula cargada como una interacción entre las partículas cargadas y las variables que caracterizan al campo electromagnético aplicado externamente. En este tipo de descripción, el efecto de las partículas cargadas sobre el campo electromagnético es ignorado, y por lo tanto tal descripción es fundamentalmente incapaz de describir los procesos de radiación de un átomo. Sin embargo, de lo que sí es capaz, es de poder describir el efecto del campo electromagnético sobre las partículas cargadas; y podemos evaluar la acción del campo electromagnético en hacer que el átomo salte de un estado energético a otro. Todo ésto significa, en pocas palabras, que al hablar aquí de la interacción de una partícula con un campo electromagnético estamos hablando de una interacción con un campo electromagnético fuerte, al menos lo suficientemente fuerte para no tener que tomar en cuenta los efectos colaterales de la partícula sobre el mismo campo que está actuando sobre ella.
Aunque estuviéramos en la mejor disposición para aferrarnos a la Mecánica Newtoniana, en el estudio de los fenómenos cuánticos existe otro problema de fondo que prácticamente nos prohibe el recurrir a los métodos de Newton, y dicho problema se encuentra en el principio de incertidumbre de Heisenberg. La Mecánica Newtoniana es cien por ciento determinística en el sentido de que supone que es posible especificar con precisión ilimitada tanto la posición como la velocidad de una partícula de una partícula en movimiento. Esto funciona muy bien en el mundo macrosópico, les funciona muy bien a los astrónomos mientras no se metan en fenómenos que requieren el uso de la Teoría de la Relatividad (como los hoyos negros). Pero en el caso de los fenómenos cuánticos, ya no es posible hablar de tal precisión. Al derrumbarse nuestra capacidad analítica para determinar con precisión ilimitada la velocidad de una partícula, se derrumba también la utilidad del concepto de fuerzas. El lector ya se habrá dado cuenta de que en casi todo lo que hemos visto previamente no aparece la palabra "fuerza" entendida como algo que causa un cambio en el momentum de una partícula. ¿Y cómo se supone que vamos a poder medir o especificar el momentum de una partícula, definido como el producto de su masa por su velocidad, si ni siquiera podemos hablar de su velocidad?
Y si bien es casi imposible estudiar lo que sucede en el mundo submicroscópico mediante los métodos mecanísticos de Newton, los pioneros de la Mecánica Cuántica se dieron cuenta desde muy temprano de que algo a lo que la Mecánica Cuántica no podía escapar es el principio de la conservación de la energía. El operador Hamiltoniano de energía H, formado mediante la suma directa tanto de la energía potencial como la energía cinética de un sistema, y entronizado en las ecuaciones de Schrödinger, es el reconocimiento de que la conservación de la energía es y sigue siendo la pieza más fundamental que pueda haber para cualquier tipo de mecánica que se pueda concebir.
La Mecánica Cuántica como hoy la conocemos refleja el hecho de que estuvo basada en dos tipos formales axiomáticos de mecánica clásica pre-relativista, la Mecánica Hamiltoniana, y la Mecánica Lagrangiana. Haremos un breve repaso de algunos conceptos clave que serán de utilidad para lo que queremos obtener, el operador Hamiltoniano de energía para una partícula sujeta a la acción de un campo eléctrico o un campo magnético o ambos.
Nuestro objetivo principal será primero tratar de llegar clásicamente a un Hamiltoniano H que sea capaz de darnos la descripción del movimiento de una partícula cargada eléctricamente que se desplaza dentro de un campo electromagnético. ¿Pero por qué meternos con la Mecánica Lagrangiana para ésto? En primer lugar, porque en el mundo académico y científico, la Mecánica Lagrangiana es considerada como algo más fundamental que la Mecánica Hamiltoniana, a grado tal que la Teoría del Campo Cuántico está basada no en la Mecánica Hamiltoniana de la cual obtenemos los operadores Hamiltonianos que hemos estado utilizando, sino en la Mecánica Lagrangiana. Y en segundo lugar, habiendo obtenido lo que buscamos dentro del ámbito de la Mecánica Lagrangiana, podemos obtener sin mucho problema el operador Hamiltoniano H que estamos buscando aquí.
Usualmente, al empezar el tema de la interacción cuántica con el campo electromagnético de una partícula cargada, la mayoría de los textos académicos suponen que mucho del material preliminar requerido para desarrollar el tema ya fue estudiado previamente en cursos de mecánica clásica y análisis vectorial, y se supone que se comprende y se recuerda perfectamente todo dicho material. Aquí no se partirá de tan pretensioso supuesto, y se llevará a cabo un respaso somero de los puntos principales para empezar con bases firmes en el tema que se desarrollará aquí. Aquellos que comprendan y recuerden perfectamente bien el material preliminar que tiene que ver con la mecánica clásica y el análisis vectorial pueden pasar por encima del repaso presentado aquí al principio, e ir directamente hacia lo que tiene que ver con la derivación del operador Hamiltoniano para una partícula cargada que se mueve dentro de un campo electromagnético.
En la mecánica clásica, no relativista, la base es la ley de Newton para el movimiento de una sola partícula de masa m que al ser sometida a una fuerza experimenta una aceleración:
Lo anterior es para un movimiento que se lleva a cabo en una sola dimensión. Cuando el movimiento se lleva a cabo en tres dimensiones, entonces la ley de Newton se extiende naturalmente a tres dimensiones del siguiente modo en el sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas:
Lo anterior se puede expresar de una manera mucho más compacta sin pérdida de claridad recurriendo al uso de notación vectorial. Definiendo los vectores fuerza F y de posición r del siguiente modo:
entonces la ley de Newton se puede expresar vectorialmente así:
Esto último es una ecuación diferencial de segundo orden (en realidad, por ser una ecuación vectorial, es equivalente a tres ecuaciones obtenidas resolviendo los vectores a lo largo de tres ejes ortogonales) cuya solución en términos de la posición inicial de la partícula, su posición y su velocidad, especifica completamente el movimiento de la partícula para todo tiempo pasado, presente y futuro. La resolución de la ecuación vectorial mediante el uso de las tres coordenadas Cartesianas es algo directo. Sin embargo, en muchos casos las simetrías del problema o las restricciones impuestas indican que sería conveniente usar otro tipo de coordenadas ortogonales diferentes de las coordenadas rectangulares Cartesianas. A modo de ejemplo, tenemos el caso de una partícula moviéndose en torno a un centro fijo con las fuerzas que actúan sobre la partícula dirigidas hacia el centro y dependiendo únicamente de la distancia entre la partícula y el centro; resulta claro que las coordenadas esféricas son lo más natural al problema, la solución reflejará la simetría de la situación y esto puede ser expresado de la manera más simple en coordenadas esféricas. Por esta razón, es deseable formular las leyes de la mecánica en una forma que pueda ser aplicable a un sistema arbitrario de coordenadas. Considérese un sistema que consiste de N partículas, teniendo por lo tanto 3N grados de libertad en un espacio tridimensional. Uno está en libertad de escoger cualquier sistema conveniente de “coordenadas generalizadas” qi (i.=.1,2,3,...3N) para describir el sistema. Estas coordenadas generalizadas estarán relacionadas con las 3N coordenadas rectangulares Cartesianas que describen a las partículas a través de las ecuaciones:
o más simplemente, usando notación vectorial:
Como se ha asentado arriba, las ecuaciones “conectoras” contienen la variable tiempo en forma explícita. En el caso en el cual simplemente un sistema fijo de coordenadas Cartesianas por un conjunto de otro sistema fijo de coordenadas (por ejemplo, coordenadas cilíndricas), ésta dependencia explícita en el tiempo no aparecerá.
Aunque la transformación de coordenadas dada arriba puede ser substituída directamente en la fórmula de la ley de Newton, las ecuaciones resultantes por lo general son complejas y difíciles de resolver. Por ésta razón, ha resultado ser más útil recurrir a otro tipo de técnica matemática que puede, con suposiciones apropiadas, reproducir a la ley de Newton como uno de sus resultados. Más importante aún, este método general, el método variacional, produce resultados válidos para cualquier sistema de coordenadas.
Considérese una función L, cualquier función expresada en coordenadas generalizadas, velocidades generalizadas y el tiempo:
Obsérvese el empleo de la notación punto propuesta originalmente por el mismo Newton en donde se pone un punto encima de la variable para indicar que se trata de una primera derivada con respecto al tiempo (un doble punto indica una segunda derivada con respecto al tiempo, y así sucesivamente).
Se supone de inicio que las funciones qi.(t) son seleccionadas de modo tal que logren que la integral W, definida del modo siguiente:
pueda ser un extremo, esto es un máximo o un mínimo tal y como lo entendemos en el sentido matemático usual. Esta condición sobre las funciones qi.(t) puede ser expresada diciendo que cualquier variación δqi en la función qi.(t) no alterará el valor de la integral W. Se supone con esto que las variaciones δqi serán de una naturaleza tal que su valor será cero en t1 y t2, los puntos inicial y final de la integración.
En el lenguaje del cálculo de variaciones, esto equivale a decir que:
en lo que se conoce como el principio de la acción mínima.
Sin menoscabo de la plena validez matemática, es perfectamente válido meter el símbolo de la variación δ dentro de la integral:
Si se manipula al símbolo δ en la variación como un operador de diferenciación infinitesimal (y de hecho, éso es), podemos afirmar que lo siguiente debe ser cierto:
con lo cual:
Aplicándose una integración por partes y la condición de que en los límites de la integral la variacióm debe ser igual a cero, se encuentra que para que la relación que se obtiene sea igual a cero la condición requerida es que lo siguiente sea válido:
Y puesto que las coordenadas qi se presume que son ortogonales, obtenemos un conjunto de i ecuaciones independientes, una para cada i:
Esta ecuación es conocida como la ecuación de Euler-Lagrange, y forma el pilar fundamental de toda la estructura que llamamos la Mecánica Lagrangiana.
De este modo, para obtener las ecuaciones de movimiento suponiendo que las fuerzas expresadas en coordenadas rectangulares Cartesianas:
sean derivables de algo que introduciermos aquí y que definiremos como el potencial V clásico (obsérvese el uso del doble punto puesto encima de las coordenadas xi usado para denotar una derivada de segundo orden con respecto al tiempo, o sea una aceleración):
entonces todo lo que tenemos que suponer es que la función L que llamaremos el Lagrangiano esté definida de la manera siguiente:
en donde T es la energía cinética y V es la energía potencial de la partícula. Para esta selección de función L, las ecuaciones de Euler se convierten en las ecuaciones de Lagrange. Puesto que la integral W es minimizada por las trayectorias qi(t) que corresponden al movimiento de la partícula (las ecuaciones de Lagrange se corresponden con la ley del movimiento de Newton), la integral será minimizada sin importar el sistema de coordenadas que sea utilizado. Las ecuaciones de Lagrange son pues las ecuaciones de movimiento deseadas en cualquier sistema arbitrario de coordenadas.
A modo de ejemplo, cuando las ecuaciones del movimiento están dadas en coordenadas cilíndricas al estar dada la energía potencial en función únicamente de r y de z:
se obtienen entonces las siguientes tres ecuaciones empleando la ecuación de Euler-Lagrange:
Primera ecuación:
Segunda ecuación:
Tercera ecuación:
A partir de este punto, el problema físico puede considerarse resuelto y lo que sigue es de índole meramente matemática.
Veamos ahora la relación que existe entre las ecuaciones de Lagrange y las ecuaciones del movimiento de Hamilton. Las ecuaciones de Lagrange son un sistema de 3N ecuaciones diferenciales de segundo orden para las 3N ecuaciones generalizadas. En la formulación Hamiltoniana de la mecánica, se introduce además un conjunto adicional de 3N variables independientes. Esto conduce a un sistema de 6N ecuaciones diferenciales de primer orden para describir el movimiento del sistema. Para sistemas conservativos, el Lagrangiano L en coordenadas Cartesianas está expresado por la relación:
Los momentums en el sistema Cartesiano están expresados y son obtenibles del Lagrangiano mediante la relación:
Lo que tenemos en esto último a la izquierda son los momentums Cartesianos lineales, mientras que lo que tenemos a la derecha es la derivada parcial del Lagrangiano L con respecto a las velocidades Cartesianas lineales. Esto nos motiva a emprender la siguiente generalización del concepto del momentum básico al del momentum generalizado válido en cualquier sistema de coordenadas, también conocido más pomposamente como el momentum canónico:
Póngase atención en el tipo de generalización que se está llevando a cabo:
Bien, ahora trataremos de intuír heurísticamente (no de una manera mucho muy formal) el aspecto que debe tener no el Hamiltoniano H para la descripción del movimiento de una partícula cargada eléctricamente que se desplaza dentro de un campo electromagnético, sino la función Lagrangiana que nos describa la misma cosa.
El método Lagrangiano de la mecánica clásica se puede aplicar al movimiento de una partícula dentro de un campo electromagnético si se puede encontrar una función Lagrangiana apropiada. Si la partícula con carga eléctrica se desplaza dentro de un campo eléctrico estático que pueda ser descrito por un potencial eléctrico Φ, esperamos que el Lagrangiano L pueda ser expresado de la manera convencional como la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial U:
Si hay también un campo magnético B (posiblemente dependiente del tiempo) presente, entonces el Lagrangiano L tiene que ser modificado. Puesto que los campos magnéticos interactúan con corrientes (eléctricas, cargas en movimiento), esperamos que la modificación requerida del Lagrangiano involucre la adición de un término que depende tanto de la velocidad v como del campo magnético B. Más aún, el Lagrangiano basado en conceptos de energía es una función escalar que no involucra vectores de ningún tipo, así que anticipamos que el término a ser añadido al Lagrangiano involucre el producto escalar del vector velocidad v y un vector que describa al campo magnético. La función más sencilla que satisface estos requerimientos es v·A. La forma correcta del Lagrangiano debe ser entonces (en el sistema de unidades CGS-Gaussiano):
Se puede demostrar formalmente que en coordenadas rectangulares Cartesianas las ecuaciones de movimiento de Lagrange son:
Tomando la derivada parcial con respecto a vi del Lagrangiano L propuesto y observando que el tercer término se desvanece en virtud de que el potencial electorestático Φ es independiente de las componentes vi del vector velocidad v, se obtiene entonces lo siguiente:
o bien:
Vectorialmente, este sistema de ecuaciones en coordenadas rectangulares Cartesianas se puede escribir en forma más compacta de la siguiente manera:
siendo mv el momentum linear de la partícula, y el cual no debe ser confundido con el momentum generalizado o momentum canónico:
que incluye el efecto del campo magnético a través del potencial vectorial A.
Para un principiante en lo más básico del electromagnetismo, la manera de empezar sus estudios sería recurriendo a la fórmula de la fuerza de Lorentz que define la fuerza F que actúa sobre una partícula con carga eléctrica q que se desplaza dentro de un campo eléctrico E o un campo magnético B o ambos, la cual en el sistema de unidades MKS-SI está dada por la relación:
mientras que en el sistema de unidades CGS-Gaussiano se le introduce la constante velocidad de la luz c como una especie de factor de escala:
Lo anterior considera que no hay nada más fundamental en la electrodinámica clásica que los campos eléctrico E y magnético B. Sin embargo, por razones de índole teórica, el físico holandés Hendrik Antoon Lorentz (el mismo físico que antes del advenimiento de la Teoría Especial de la Relatividad de Einstein propuso lo que se conoce como la contracción de Lorentz para explicar los resultados negativos obtenidos en el experimento Michelson-Morley) descubrió que para muchos desarrollos resulta más conveniente utilizar algo que se puede considerar más “fundamental” que los campos E y B, el vector potencial magnético A actuando junto el potencial eléctrico Φ, o sea una cantidad vectorial y una cantidad escalar. Los campos E y B por definición son derivados de Φ y de A mediante las siguientes relaciones en el sistema de unidades MKS-SI:
o bien, en el sistema de unidades CGS-Gaussiano:
El operador nabla (∇) o del puede ser expresado en coordenadas Cartesianas rectangulares usando ya sea el conjunto de vectores unitarios {i,j,k} o bien {ex,ey,ez}, o bien {e1,e2,e3}, o bien puede ser expresado usando la representación simplificada mediante paréntesis. Estas son las siguientes tres representaciones que son las que se encuentran con mayor frecuencia en la literatura:
Parecería que una extensión natural del operador ∇ hacia otros sistemas de coordenadas (como las coordenadas parabólicas) podría escribirse en un sistema de coordenadas generalizadas (q1,q2,q3) como:
Sin embargo, esto resulta ser insuficiente. A modo de ejemplo, considérese que mientras que en un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas (x,y,z) cada una de las tres componentes del operador tienen las mismas dimensiones (por ejemplo, metros), en otro sistema de coordenadas como las coordenadas esféricas (r,θ,φ) la primer componente puede estar expresada en alguna de las unidades usuales de longitud (por ejemplo, metros) mientras que las otras dos componentes están expresadas en unidades angulares (por ejemplo, radianes). Para poner todas las componentes sobre una estructura pareja al menos dimensionalmente en lo que a los sistemas de unidades se refiere, es necesario introducir lo que se conoce como los factores de escala:
Antes de proseguir, aprovecharemos este espacio para dejar en claro lo que parece ser uno de los secretos mejor guardados en el amplio tema del análisis vectorial, que puede ser enunciado de la siguiente manera:
| Cuando partiendo de algún sistema de coordenadas (usualmente coordenadas rectangulares Cartesianas) se obtiene algún resultado expresado en forma vectorial, dicho resultado una vez obtenido ya en su forma vectorial seguirá siendo válido bajo cualquier otro sistema de coordenadas. |
Considérse la siguiente suma de dos vectores a y b, llevada a cabo trabajando sobre los componentes de los vectores proyectados sobre el sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares:
Borrando el sistema de coordenadas Cartesianas y dejando únicamente los dos vectores así como el vector que resulta de la suma de ambos vectores, tenemos lo que pudiéramos llamar una relación vectorial “pura” sin estar referida a ningún sistema de coordenadas:
Cada uno de los dos vectores a y b así como el vector a+b que resulta de la suma vectorial los podemos referir a otro sistema de coordenadas distinto que no sean las coordenadas rectangulares Cartesianas, por ejemplo al sistema de coordenadas polares:
pero ésto no cambia en nada la naturaleza esencial de la suma vectorial mostrada. Las relaciones, al estar expresadas vectorialmente, son completamente válidas en cualquier otro sistema de coordenadas (esféricas, cilíndricas, polares, paraboloides, etcéctera) que no sean coordenadas rectangulares Cartesianas. Esto nos dá una gran ventaja. Podemos después de un extenso desarrollo matemático llevado a cabo usando coordenadas rectangulares Cartesianas expresar alguna relación en forma vectorial, y al hacer tal cosa tenemos una relación que es válida en cualquier otro sistema de coordenadas. Precisamente por esta razán las cuatro ecuaciones de Maxwell que son el pilar de la teoría clásica del electromagnetismo fueron expresadas no en forma de componentes rectangulares Cartesianos sino en forma vectorial, lo cual hizo dichas fórmulas muchísimo más compactas, y pudiéramos incluso decir, universales. La gran utilidad de la notación vectorial se extiende aún más cuando uno o varios vectores son operadores (como ), vectores simbólicos, que se pueden manejar como si fuesen vectores ordinarios en sí al llevar a cabo desarrollos matemáticos. De no existir la notación vectorial compacta, de tener que llevar a cabo todos los desarrollos usando componentes Cartesianos, nuestra labor se multiplicaría considerablemente.
Hay otro truco en el repertorio del Análisis Vectorial que no es aprovechado al máximo, y consiste en que es posible obtener algunas identidades vectoriales no a través de desarrollos matemáticos sino apelando a la interpretación física de lo que estamos manejando. Considérese el significado físico de la operación del rotacional (simbolizado en algunos textos como rot) de un campo de fuerza F, el cual nos indica (con un valor diferente del vector cero) que cierto campo exhibe una rotación como la que distingue a las líneas circulares del campo magnético B:
Considérese también la divergencia (simbolizada en algunos textos simplemente como “div”) de un campo vectorial F en el cual las líneas del campo de fuerza nacen (brotan) de una fuente como en el caso de las líneas del campo eléctrico emanadas de una carga eléctrica positiva, o se hunden en un sumidero si la carga eléctrica es negativa:
De las figuras dadas arriba, resulta obvio que la divergencia de un campo eléctrico que exhibe rotación tiene que ser igual al vector cero porque al formar las líneas de fuerza de un campo con rotación trayectorias cerradas, no pueden ser ni fuente ni sumidero de nada. Poniéndolo en notación matemática, lo siguiente debe ser verdad (y se puede demostrar matemáticamente):
Pero lo mismo se puede expresar con palabras de la siguiente manera (y muchos textos así lo hacen):
div rot F = 0
De este modo, hemos obtenido una relación vectorial haciendo uso de simples argumentos físicos y sin meter las matemáticas para nada. Del mismo modo podemos “demostrar” que:
por el simple hecho de que un campo de líneas de fuerza que brotan de una fuente no pueden cerrarse en sí mismas en trayectorias cerradas para hacer presente una rotación.
A continuación se establecen algunas comparaciones entre los dos tipos de notación, la primera preferida por los matemáticos para demostraciones formales, y la segunda preferida por los físicos para tratar de visualizar lo que sucede (obsérvese la diferencia entre el escalar “0” y el vector “0”):
| Notación ideal para fines matemáticos |
Notación usada para ayudar con la interpretación del significado físico de las relaciones vectoriales |
∇f = A
|
grad f = A
|
∇·∇×F = 0
|
div rot F = 0
|
∇×(∇·F) = 0
|
rot div F = 0
|
Regresando al potencial vectorial A y al potencial escalar Φ propuestos por Lorentz, una pregunta que suele surgir es: ¿realmente tienen una existencia propia A y Φ, en el sentido de poseer una existencia física real? En el laboratorio, podemos medir y comprobar la existencia del campo eléctrico E con una simple botella de Leyden, mientrs que con una simple brújula podemos comprobar la existencia del campo magnético B. No sucede lo mismo con A, no existe un instrumento científico que nos pueda dar una lectura del valor de A. El campo escalar Φ y el campo vectorial A tienen una existencia real en el sentido puramente matemático, allí ambos son completamente reales, pero a la hora de llevar a cabo experimentos nos vemos obligados a revertir a los campos clásicos E y B. Hasta la fecha, todavía sigue siendo motivo de gran debate y controversia en el mundo académico sobre si se les puede considerar tan reales al potencial escalar Φ y al potencial vectorial A como lo son E y B. Aquí no entraremos en discusiones inútiles, simple y sencillamente los usaremos tal cual habido el hecho de que existe una gran cantidad de literatura técnica y científica en donde se recurre a ellos.
eran consideradas lo más fundamental en la teoría del electromagnetismo, los pilares y axiomas a partir de los cuales se podía obtener todo lo demás. Sin embargo, Lorentz descubrió que las ecuaciones de Maxwell, expresadas en función de Φ y de A, toman su representación más sencilla cuando el potencial escalar Φ y el potencial vectorial A se “conectan” el uno con el otro mediante la condición de Lorentz que expresada en el sistema de unidades MKS-SI está dada por la siguiente relación:
mientras que en el sistema de unidades CGS-Gaussianas está dada por la relación:
De la fórmula para la fuerza de Lorentz, y las ecuaciones de Maxwell expresadas en función del potencial escalar Φ y el potencial vectorial A, obtenemos en el sistema de unidades CGS-Gaussiano (que es el que estaremos usando de aquí en adelante en lo que resta de esta entrada, en el entendido de que para hacer la conversión al sistema de unidades MKS-SI todo lo que se requiere es borrar el factor de escala 1/c):
Obsérvese aquí algo importante: en esta última relación para la fuerza de Lorentz, no aparece mención alguna ni del campo vectorial eléctrico E ni del campo vectorial magnético B, lo único que aparece en la expresión son el potencial escalar Φ y el potencial vectorial A.
Por otro lado, tomando en consideración que el potencial vectorial A es una función tanto de la posición r en algún sistema de coordenadas como del tiempo t, expresable como A(r,t), la derivada total (o diferencial total) del potencial vectorial A con respecto al tiempo, expresada en un sistema de coordenadas rectangulares Cartesianas, produce lo siguiente para el eje-x:
De este modo, para los tres ejes rectangulares en el sistema de coordenadas Cartesianas, se tiene:
Lo anterior se puede compactar recurriendo a notación vectorial obteniendo así el siguiente resultado intermedio:
Por otro lado, usando la relación del triple producto vectorial que usualmente se demuestra en los cursos introductorios de Análisis Vectorial y que para los vectores P, Q y R podemos escribir del modo siguiente:
entonces haciendo:
en dicha relación, se tiene también el siguiente resultado intermedio:
Una advertencia: siendo ∇ un operador y no un simple vector, es necesario ejercitar precaución al recurrir a identidades vectoriales obtenidas mediante consideraciones puramente geométricas. Dependiendo de la substitución que se lleve a cabo, es necesario verificar que la substitución produce un resultado congruente al que se obtiene sin la substitución. Lo siguiente nos ilustra el hecho de que el operador no es un operador conmutativo:
Esto nos debe alertar de que tenemos que considerar a no como un vector ordinario sino como un vector simbólico que representa un operador vectorial de tres componentes que opera sobre lo que tiene a la derecha.
Regresando a la relación que estamos desarrollando para la fuerza de Lorentz, usando los anteriores resultados intermedios dicha relación se puede escribir del siguiente modo:
Inspeccionando lo que tenemos hasta éste punto, encontramos que si definimos el potencial generalizado U de la siguiente manera:
entonces, puesto que ni el potencial escalar Φ ni el potencial vectorial A dependen de la velocidad, el operador Lagrangiano L apropiado es:
De este modo, hemos obtenido a partir de la expresión para la fuerza de Lorentz el Lagrangiano L que describe el movimiento de una partícula cargada que se desplaza dentro de un campo electromagnético.
El formalismo Lagrangiano bosquejado aquí es ventajoso porque los problemas de la dinámica son formulados en términos de una sola función escalar L, en lugar de hacerlo mediante el conjunto de relaciones vectoriales que resultan de la ley del movimiento de Newton según lo vimos al principio. Además, mediante una selección apropiada de coordenadas generalizadas, posibles simplificaciones se vuelven más notorias. Considérese, por ejemplo, el caso en el cual el Lagrangiano es independiente de una (o más) coordenadas generalizadas. Se conocen tales coordenadas como coordenadas cíclicas. La ecuación de Lagrange para este tipo de coordenadas se reduce a:
y demuestra que lo que aparece entre paréntesis es una constante del movimiento. El descubrimiento de constantes del movimiento puede simplificar enormente la solución de un sistema dinámico.
Pero nuestro objetivo aquí desde un principio era encontrar el Hamiltoniano H y no el Lagrangiano L. Tenemos ya el Lagrangiano L, ¿cómo podemos obtener ahora el Hamiltoniano H? Esto se logra mediante la siguiente relación que establece una conexión entre la Mecánica Lagrangiana y la Mecánica Hamiltoniana:
siendo las qi con el punto puesto arriba las velocidades generalizadas que corresponden con las coordenadas generalizadas y siendo los pi los momentums generalizados.
PROBLEMA: Obtener el Hamiltoniano H para un oscilador armónico simple a partir del Lagrangiano L usando la relación que establece la conexión entre la Mecánica Lagrangiana y la Mecánica Hamiltoniana.
La energía cinética T y la energía potencial V para un oscilador armónico simple están dadas respectivamente por las relaciones:
El Lagrangiano L del oscilador armónico simple está dado por la diferencia entre la energía cinética T y la energía potencial V:
El momentum es:
de lo cual:
Entonces el Hamiltoniano para el oscilador armónico simple es:
en concordancia con el hecho que se ha venido usando previamente de que el Hamiltoniano está dado por la suma de las energías cinéticas y potencial de un sistema.
En virtud de la relación que establece una conexión entre la Mecánica Lagrangiana y la Mecánica Hamiltoniana, el Hamiltoniano H puede ser expresado formalmente en función de las variables pi, qi y el tiempo t:
Si tomamos la diferencial total de ésto, obtenemos lo siguiente:
Pero podemos tomar también el diferencial total de H en la relación que establece una conexión entre la Mecánica Lagrangiana y la Mecánica Hamiltoniana, obteniendo:
Inspeccionando éste diferencial total, podemos ver que el primer término y el cuarto término dentro de los paréntesis se cancelan en virtud de la definición que se ha dado al momentum generalizado, dejándonos con:
Comparando los dos diferenciales totales, obtenemos las siguientes ecuaciones canónicas del movimiento:
Antes de continuar con la aplicación de la expresión que nos proporciona la manera de obtener un Hamiltoniano H cuando se conoce el Lagrangiano L para el caso del movimiento de una partícula cargada que se desplaza dentro de un campo electromagnético, veremos algo que se usará aquí como resultado intermedio.
PROBLEMA: Una función homogénea de orden n es aquella en la cual:
en donde λ es un parámetro. (1) Determinar cuáles de las siguientes funciones son homogéneas:
(a) x2 + y2 + z2 + xy + yz + xz
(b) 5x - 3y + 7z
(c) xyz + 2xy + 2xz + 2yz
(d) (x+y+z) /z
(e) x3 tan -1 (y/x)
(f) 4sen(xy)
(g) (x+y+z)/(x2 + (y2 + (z2
(2) Si F(x,y,z) es una función homogénea de orden n, demostrar que:
(3) Generalizar el resultado anterior.
(1) Puesto que:
____(λx)2 + (λy)2 + (λz)2 + (λx)(λy) + (λy)(λz) + (λx)(λz)
_________= λ2(x2 + y2 + z2 + xy + yz + xz)
____5(λx) - 3(λy) + 7(λz) = λ(5x - 3y + 7z)
____(λx)(λy)(λz) + 2(λx)(λy) + 2(λx)(λz) + 2(λy)(λz)
_________= λ3xyz + 2λ2xy + 2λ2xz + 2λ2yz
____[(λx)+(λy)+(λz)] /(λz) = (x+y+z) /z
____(λx)3 tan -1 (λy/λx) = λ3x3 tan -1 (y/x)
____4sen[(λx)(λy)] = 4sen(λ2xy)
____[(λx)+(λy)+(λz])/[(λx)2 + (λy)2 + (λz)2
_________= (1/λ)[ (x+y+z)/(x2 + (y2 + (z2]
se puede afirmar que (a) es homogénea de orden 2, (b) es homogénea de orden 1, (c) no es una función homogénea, (d) es homogénea de orden cero, (e) es homogénea de orden 3, (f) no es una función homogénea y (g) es una función homogénea de orden -1.
(2) Sea F(x, y, z) una función homogénea. Hágase:
Se tiene entonces al hacer el cambio de variables:
Diferenciaremos ambos lados de lo anterior con respecto a λ. Diferenciando primero el lado izquierdo con respecto a λ, vemos que:
La diferenciación del lado derecho resulta en lo siguiente:
Es así como llegamos a:
Haciendo λ.=.1 de modo tal que:
se tiene finalmente:
Esta relación es mejor conocida como el teorema de Euler sobre funciones homogéneas.
(3) Las generalizaciones posibles del teorema de Euler sobre funciones homogéneas de orden n es obvia:
Usando el teorema de Euler sobre funciones homogéneas, si F es la energía cinética T de un sistema entonces, sabiendo que la energía cinética es una función homogénea de orden 2:
se tiene entonces que:
Esta relación sigue siendo completamente válida incluso si la energía cinética es generalizada de un modo más formal como el siguiente:'
Tenemos ya lo que faltaba para llegar al Hamiltoniano que nos proponíamos obtener:
Así pues, en este caso el Hamiltoniano es simplemente la energía total, puesto que qΦ es la energía potencial de la partícula. La energía cinética T, expresada en función del momentum lineal mv, está dada por:
Pero ésta expresión de la energía cinética T no incluye los efectos del potencial vectorial A. Ya vimos arriba que para coordenadas rectangulares Cartesianas, el momentum generalizado o canónico p está dado por las relaciones:
o, vectorialmente:
enfatizando el hecho de que el momentum generalizado o canónico p ya no es simplemente el momentum linear ordinario mv puesto que incluye también el efecto del campo magnético a través del potencial vectorial A. Es así como usando:
llegamos al resultado tras el cual habíamos desarrollado desde un principio todo lo anterior, el Hamiltoniano clásico H de una partícula cargada eléctricamente que se desplaza en medio de un campo eléctrico o magnético, en el sistema de unidades CGS-Gaussianas:
Se repite que el momentum linear ordinario mv no debe ser confundido con el momentum generalizado o momentum canónico:
PROBLEMA: Partiendo de la relación que se acaba de obtener para el Hamiltoniano H de una partícula cargada que se mueve dentro de un campo electromagnético, recurriendo a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y trabajando en el sistema de unidades MKS-SI, demuéstrese que:
Para hacer el cambio al sistema de unidades MKS-SI, todo lo que tenemos que hacer es tomar c.=.1. Tomando la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:
Entonces, haciendo la siguiente substitución mecánico-cuántica que es válida en coordenadas generalizadas (y por lo tanto se le puede considerar como una relación canónica):
con esto tenemos justo lo que se requiere para obtener la relación pedida.
PROBLEMA: Partiendo de la relación:
demostrar en el sistema MKS-SI de unidades lo siguiente expresión:
Haciendo c.=.1 para el cambio de unidades en el Hamiltoniano H, se tiene lo siguiente:
El conmutador de H con la coordenada x es (obsérvese que el conmutador con qΦ se desvanece):
Por otro lado, haciendo uso de las relaciones de conmutación canónicas mecánico-cuánticas, se tiene lo siguiente:
Además:
De este modo, el conmutador del Hamiltoniano H con la coordenada x toma el siguiente aspecto:
Para un vector posición r en tres dimensiones, se entiende con ésto último que la relación será:
Por lo tanto:
Aunque la velocidad instantánea como se define clásicamente es un concepto inexistente dentro de la Mecánica Cuántica en virtud del principio de incertidumbre de Heisenberg, podemos usar el concepto del cambio de la esperanza matemática de la posición con respecto al tiempo como un substituto, tal y como lo simboliza la siguiente expresión:
Del mismo modo, así como tampoco es posible hablar dentro de la Mecánica Cuántica acerca de la aceleración instantánea de una partícula ni usar el concepto del producto de la masa por la aceleración instantánea como efecto resultante de una fuerza aplicada para provocar dicha aceleración, podemos usar un substituto de tal concepto definiéndo a la aceleración como el cambio de la esperanza matemática de la velocidad con respecto al tiempo, y multiplicando por dicha “aceleración” por la masa m para obtener algo que evoca la definición de la fuerza dinámica según Netwon:
Podemos jugar un poco con este concepto tal y como lo haremos en el siguiente problema:
PROBLEMA: Continuando con el problema anterior, demuéstrese la siguiente relación para una partícula cargada que recorre un campo electromagnético:
Para una partícula moviéndose dentro de un campo electromagnético, defínase el operador velocidad de la siguiente manera:
Tomando la derivada parcial de ésto con respecto al tiempo se tiene:
Hagamos ésto temporalmente a un lado mientras recurrimos al concepto clásico del Hamiltoniano H como la suma total de la energía cinética clásica y la energía potencial del campo electroestático Φ:
El conmutador de este Hamiltoniano H con el operador velocidad tal y como se ha definido arriba es:
Veamos el primer conmutador de ésta expresión. El conmutador del cuadrado de la velocidad que resulta de tomar el producto escalar punto del vector velocidad v (que aquí elevaremos al nivel de operador mecánico-cuántico) consigo mismo, con cualquiera de las tres componentes Cartesianas de la velocidad, nos produce algo como lo siguiente:
Las tres componentes Cartesianas de la velocidad, en función de las componentes Cartesianas de los operadores p y A, son:
Antes de seguir adelante, hagamos un repaso de lo que son las componentes Cartesianas que resultan de la aplicación mediante el producto vectorial cruz del operador ∇ a un vector M:
Como una ayuda mnemónica útil, se suele reacomodar lo anterior en la forma compacta de un determinante que se expande con menores a lo largo de la primera línea horizontal superior del determinante en donde van acomodados los vectores unitarios Cartesianos:
Con tales conceptos vectoriales en mente, podemos efectuar la evaluación del siguiente conmutador:
Procediendo de modo casi idéntico, obtenemos también el siguiente conmutador:
Con lo anterior se tiene entonces que:
Del mismo modo:
En general y para tres dimensiones en coordenadas Cartesianas, compactando todo mediante notación vectorial:
Por otro lado, regresando a lo que teníamos en relación al potencial eléctrico Φ, podemos efectuar las siguientes operaciones usando el conmutador mecánico-cuántico (aunque el potencial eléctrico Φ no es un vector sino una función escalar que produce números, ciertamente no es conmutativo con el operador del momentum p, y por lo tanto el conmutador de Φ y p no se desvanece):
Y puesto que, de la relación que ya se demostró previamente en ésta obra:
extendiendo dicha relación en un sistema de coordenadas rectantulares Cartesianas a tres dimensiones:
se tiene por lo tanto:
En la demostración del teorema de Ehrenfest, se demuestra que:
Poniendo en ésto último lo que hemos obtenido con anterioridad, se tiene entonces:
Simplificando y compactando con un poco de álgebra, llegamos a lo siguiente:
Podemos simplificar el primer término observando que:
en donde en virtud de que aunque p no conmuta con B lo contrario no ocurre en el caso de A y B para el cual se tiene en virtud de la anticonmutatividad del producto cruz:
Juntándolo todo, se llega pues a la relación que se pretendía demostrar:
¿Podemos checar de alguna manera que lo que acabamos de llevar a cabo es correcto desde la perspectiva mecánico-cuántica? Hay una manera de confirmarlo, la cual consiste en tomar de uno de los últimos pasos previos de las anteriores líneas la relación:
En el lado derecho, podemos hablar si no del concepto clásico de una fuerza instantánea como lo definió Newton, sí podemos hablar de la fuerza promedio que actúa sobre la partícula en movimiento:
Del mismo modo, tomando en cuenta de que los campos eléctrico E y magnético B aplicados a la partícula en movimiento, considerados constantes y uniformes, poseen valores perfectamente definidos y no hay incertidumbre en ninguno de ellos que nos obligue a recurrir al concepto de sus esperanzas matemáticas, podemos llevar a cabo las siguientes simplificaciones:
De este modo, llegamos a lo siguiente:
Esto último lo podemos tomar como la versión mecánico-cuántica de la fuerza de Lorentz.
Antes de cerrar ésta entrada, llevaremos a cabo la derivación de la relación general de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula que se desplaza en un campo electromagnético fuerte. Empezando con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, y haciendo uso de varios de los resultados que hemos obtenido arriba, efectuaremos el siguiente desarrollo:
Al llegar a éste punto, y con la finalidad de simplificar el segundo término del lado izquierdo puesto entre corchetes, podemos recurrir a la siguiente fórmula propia del álgebra del operador nabla:
Con la ayuda de ésta identidad, llegamos a lo siguiente:
Esto último lo podemos tomar como la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la electrodinámica.