El análisis de Fourier

Cualquier función de una variable x definida entre los límites -π ≤ x ≤ π que se repita periódicamente y que tenga un número finito de discontinuidades puede ser representada mediante una serie de Fourier:

Sacando fuera de la sumación el término correspondiente a n = 0 tenemos la siguiente representación alterna:

Los coeficientes a_n y b_n pueden ser obtenidos de las siguientes relaciones:

Si f(x) es una función en el dominio tiempo, o sea f(x) = f(t), la expansión mediante series de Fourier nos permite convertir una función cualquiera del dominio tiempo al dominio frecuencia en el cual la función periódica no es representada de acuerdo a la forma en la cual va variando con el tiempo sino de acuerdo a la suma infinita de una frecuencia fundamental y sus frecuencias armónicas (múltiplos enteros de la frecuencia fundamental) de las cuales se muestran a continuación algunas que corresponden a una frecuencia de 60 Hertz (60 ciclos por segundo):

Las amplitudes de las armónicas dependerán de la onda que será reconstruída a partir de esta suma infinita de frecuencias. Así como solemos hacer un diagrama para visualizar la forma en la cual una onda viajera periódica va variando con el tiempo, también podemos hacer un diagrama en el dominio frecuencia para visualizar el espectro de frecuencias que sumado nos reproduce la onda viajera en el dominio tiempo:

En el siguiente diagrama tenemos cómo la suma de la frecuencia fundamental y unas armónicas aproximan la reconstrucción de una onda cuadrada:

Naturalmente, entre más y más harmónicas vayamos sumando a la frecuencia fundamental, tanto mayor será la aproximación de la onda reconstruída en el dominio tiempo:

Existe una buena razón por la cual la expansión de una función periódica en series de Fourier es posible. Antes de entrar en detalle, definiremos lo que son las funciones ortogonales. Se dice que dos funciones f(x) y g(x) definidas dentro de un rango a≤x≤b son ortogonales si cumplen con la siguiente condición:

PROBLEMA: Determinar si las siguientes funciones:

f₁(x) = x____f₂(x) = x² - (1/3)

son ortogonales.

Recurriendo a la condición de ortogonalidad de dos funciones, tenemos para estas dos funciones lo siguiente:

Se concluye que las dos funciones son ortogonales.

Volviendo a las series de Fourier, si observamos el siguiente conjunto de funciones de base:

{cos(ω₀t), cos(2ω₀t), cos(3ω₀t), cos(4ω₀t), cos(5ω₀t), ... }

descubriremos que:

En base a esto, podemos ver que las funciones 1, cos(ω₀t), cos(2ω₀t), cos(3ω₀t), etc. que corresponden a la expansión en series de Fourier forman un conjunto de funciones ortogonales. Del mismo modo, para el conjunto:

{sen(x), sen(2x), sen(3x), sen(4x), sen(5x), ... }

tenemos:

Sin mucho pensarlo, podemos ver que cualquiera de las componentes de un conjunto de funciones de base es independiente de las demás en el sentido vectorial, al igual que lo son los vectores unitarios de base:

x₁ = (1, 0, 0, 0, 0, ...)

x₂ = (0, 1, 0, 0, 0, ...)

x₃ = (0, 0, 1, 0, 0, ...)

La ortogonalidad de las funciones de base es precisamente lo que nos permite llevar a cabo la expansión. Si no fuese por esta ortogonalidad, las series de Fourier no serían posibles.

Tiempo después de que Jean-Baptiste Fourier descubriera sus famosas series trigonométricas infinitas que permiten representar casi cualquier tipo de función periódica, se descubrieron otras series con las que también se podía lograr lo mismo pero prescindiendo de los términos trigonométricos harmónicos. Una de tales series utiliza los polinomios conocidos como los polinomios de Legendre, de los cuales los primeros polinomios son:

Al igual que la series de Fourier, las representaciones basadas en series de Legendre son series infinitas.

La propiedad matemática que permite utilizar las polinomios de Legendre para la representación de una función periódica es la misma propiedad que la que permite a las series de Fourier lograr el mismo efecto, la ortogonalidad de los términos. Podemos verificar en los términos dados arriba que todos los términos son ortogonales bajo la siguiente operación:

Otra tipo de series es el que podemos lograr mediante los polinomios de Laguerre, de los cuales los primeros polinomios son:

Además de las series de Fourier, las series de Legendre y las series de Laguerre, hay muchas otras series posibles con las cuales podemos representar cualquier función que se repita periódicamente. De hecho, las posibilidades de representación son infinitas. Todo lo que se requiere de una serie de términos cualquiera para poder expandir una función matemática en dicha serie es que las funciones utilizadas como términos de dicha serie sean ortogonales, lo cual dicho sea de paso permite agruparlos y acomodarlos en una representación vectorial.

Definiremos ahora lo que es una función normalizada. A diferencia de las funciones ortogonales cuya definición descansa en el producto de dos funciones de base distintas, la función normalizada se define sobre el producto de la función consigo misma de la manera siguiente:

Cuando una función no está normalizada, se puede utilizar la anterior definición para normalizarla.

Cuando tenemos una expansión en series para la cual utilizamos funciones de base que además de ser ortogonales han sido normalizadas, llamamos a dichas funciones ortonormales.

La expansión en series a ser utilizada dependerá de la naturaleza específica del problema que está siendo analizado, aunque en algunos casos ciertos problemas nos llevan directamente a la serie que los resuelve. Sin embargo, las series de Fourier tienen una ventaja sobre otras series: nos permite hacer la conversión de una función del dominio tiempo al dominio frecuencia como lo vimos arriba, de modo tal que la expansión se presta a un análisis intuitivo, lo cual no es factible cuando llevamos a cabo una expansión por medio de polinomios.

En general, si disponemos de un conjunto completo de funciones ortonormales:

χ₁(q), χ₂(q), χ₃(q), χ₄(q), ... , χ_n(q), ...

podemos llevar a cabo una expansión de una función f(q) en términos de estas funciones ortonormales:

f(q) = Σ a_n(q) χ_n(q)

Hemos visto cómo representar una función periódica mediante su expansión en una serie infinita de términos. Pero, ¿será posible representar de esta manera algo que no sea periódico? La respuesta es un no rotundo. Sin embargo, podemos representar algo que no sea periódico si recurrimos a un proceso límite mediante el cual la serie infinita pueda ser reemplazada con una integral.

Considérese el siguiente tren de pulsos en el cual cada pulso se repite cada T segundos:

Supóngase ahora que sin variar la anchura de cada pulso vamos estirando la distancia entre ellos aumentando el período de la onda hasta que T adquiere un valor infinito:

Al llevar a cabo este proceso, descubriremos mediante la evaluación de cada serie que conforme llevamos a cabo este proceso aumentando el período de la señal las componentes espectrales de Fourier (en la gráfica que corresponde al dominio frecuencia) se van acercando más y más, hasta que en un momento lo que parecía una serie de líneas verticales claramente distinguibles parece ir tomando el aspecto de algo denso en el que ya no podemos apreciar las líneas individuales. A continuación tenemos una gráfica, en el dominio frecuencia, que nos muestra precisamente para un tren de pulsos dos pasos en este proceso de compactación al ir de un período T = 1 a un período T = 5:

En el paso final en donde tenemos un solo pulso aislado, lo que tenemos ya es una curva (formada por las alturas de una cantidad infinita de líneas espectrales agrupadas a una distancia infinitamente pequeña la una de la otra), en cuyo caso no hablamos ya de una serie de Fourier sino de una transformada de Fourier.

En los siguiente diagramas tenemos el efecto sobre el espectro de frecuencias de ir ampliando sobre una periódica de pulso el período de tiempo T que hay entre cada pulso manteniendo la duración de cada pulso constante (de arriba hacia abajo), ampliar la anchura del pulso manteniendo el período de tiempo T constante (de izquierda a derecha), y ampliar ambos parámetros (como ya es costumbre en la literatura técnica, se ha dibujado cada espectro de frecuencias tanto para valores positivos de la frecuencia como para valores negativos de la misma, lo cual se puede hacer desde el punto de vista matemático sin problema alguno):

El efecto que nos interesa es el aquél mediante el cual vamos aumentando el período de la onda de modo tal que vamos logrando obtener un pulso aislado.

En el siguiente problema obtenemos el espectro de frecuencias, en función del número de onda k (= 2π/λ), para el pulso periódico que acabamos de describir.

PROBLEMA: Obténgase la transformada de Fourier de una función de onda especificada de la siguiente manera:

Usando la definición de la transformada de Fourier tenemos lo siguiente:

Para poder llevar a cabo la integración, hacemos un cambio de variables:

u = - ikx

du = -ikdx

Con esto tenemos entonces: