Pero al entrar más a fondo en el asunto en la entrada posterior titulada “El acoplamiento LS” quedó claro que para poder explicar una gama nueva de líneas espectrales no previstas era necesario tomar en cuenta el acoplamiento spin-órbita LS entre el momento angular orbital L del electrón y su momento angular de spin S, produciendo un operador Hamiltoniano de perturbación HLS que tiene que ser sumado al operador Hamiltoniano básico H0 para dar un operador Hamiltoniano modificado H:
La entrada previa “Corrección perturbativa relativista” demostró que, además del efecto del acoplamiento LS como modificador de los niveles energéticos predichos por la ecuación de onda de Schrödinger, se tiene que agregar otro efecto perturbador ocasionado por una corrección perturbativa proporcionada por la Teoría Especial de la Relatividad. De éste modo, una consecuencia directa del efecto del acoplamiento LS en el átomo de hidrógeno y de la corrección perturbativa relativista combinados es la modificación fina en los niveles energéticos de las líneas espectrales del hidrógeno en lo que se conoce como la estructura fina, lo cual ha sido confirmado mediante espectroscopía de alta resolución. En comparación con las energías cuánticas predichas por el modelo atómico planetario de Bohr, la estructura fina es una pequeña perturbación más pequeña en magnitud en un factor α2 en donde (en el sistema de unidades MKS-SI):
es la constante de estructura fina. Podemos poner la fórmula de Bohr en términos de la constante de estructura fina α de la siguiente manera:
No es necesario aplicar nada externo al átomo de hidrógeno (como un campo eléctrico o un campo magnético o un bombardeo de rayos X) para poder observar los desdoblamientos en los niveles de energía y los efectos que forman parte de la estructura fina, tales efectos de desdoblamiento en las líneas espectrales se dan por sí solos.
El cálculo de los niveles energéticos producidos por el acoplamiento spin-órbita LS proviene desde luego de la esperanza matemática del Hamiltoniano de perturbación HLS, y los valores que se obtengan para ésta esperanza matemática dependerán del tipo de modelo que se utilice para éste efecto perturbador, específicamente el tipo de potencial radial V(r) usado para describir al átomo de hidrógeno.
En un análisis básico, cuando al átomo se le aplica un campo magnético externo B produciendo con ello un efecto Zeeman de desplazamiento en los niveles energéticos del átomo y desdoblamiento en las líneas espectrales al romperse la degeneración, la perturbación puede ser considerada como una combinación vectorial de dos efectos distintos que podemos representar con el siguiente operador Hamiltoniano perturbativo:
en donde:
es el momento de dipolo magnético μL asociado con el movimiento orbital del electrón en torno al núcleo, y:
es el momento de dipolo magnético μs asociado al movimiento del spin del electrón girando sobre sí mismo (la relación giromagnética γ para el movimiento orbital es igual a lo que se espera clásicamente, q/2m, mientras que para el spin del electrón la relación giromagnética aumenta en un factor muy cercano a 2 por consideraciones propias de la Electrodinámica Cuántica). De éste modo, el operador Hamiltoniano perturbativo viene siendo bajo un primer análisis:
El comportamiento cuántico del efecto Zeeman depende de la fuerza del campo magnético externo aplicado a la muestra en comparación con el campo magnético interno del átomo, o sea el campo magnético producido por el protón medido desde el punto de vista del electrón cuando se considera a sí mismo en reposo viendo girar al protón en torno suyo y produciendo un campo magnético a causa del bucle de corriente eléctrica que produce la carga eléctrica positiva e del protón. En el sistema de unidades MKS-SI, la intensidad de éste campo magnético interno Binterno está dada por la ley de Biot-Savart aplicada a lo que supondremos un bucle circular de corriente:
siendo la corriente efectiva I.=.e/T en donde T es el período de la órbita. Considerando al protón en reposo, el momento angular orbital L del electrón es:
con lo cual, usando bajo el sistema de unidades MKS-SI la conocida relación de Maxwell que conecta la velocidad de la luz c con la permitividad eléctrica ε0 del vacío y la permeabilidad magnética μ0 del vacío (hacemos todo ésto para mantener consistencia en las unidades de medición):
se tiene lo siguiente para el campo magnético interno del átomo (obsérvese que, vectorialmente, B y L apuntan en la misma dirección):
Lo anterior cubre el asunto del momento de dipolo magnético del protón. Nos falta lo propio en lo que concierne al momento de dipolo magnético del electrón. Al igual que el análisis efectuado arriba para el protón que fue un análisis basado en conceptos clásicos, llevaremos a cabo en análisis relacionado con el electrón usando también conceptos clásicos (la justificación para ello es que si Bohr pudo obtener su famosa fórmula basándose en conceptos clásicos agregándoles el concepto de cuantización de energías, esperamos que aquí también la cosa pueda funcionar, y si los resultados experimentales contradicen lo predicho teóricamente entonces hay que buscar la manera de modificar la teoría en todo lo que sea necesario poder hacer concordar la teoría con los resultados de laboratorio). Consideraremos al momento de dipolo magnético del electrón causado por una carga eléctrica de simetría esférica girando sobre su propio eje, relacionado con el momento angular de spin a través de la relación giromagnética. Supóngase primero una carga eléctrica (la del electrón) desparramada a lo largo de un anillo circular de radio r, que gira en torno al eje del spin con un período T. El momento de dipolo magnético μ del aro de carga eléctrica se puede definir como la corriente eléctrica del anillo que viene siendo (clásicamente) q/T multiplicado por el área que circunda (πr2):
Esto en lo que toca a la parte eléctrica. En lo que toca a la parte mecánica, si la masa del anillo es igual a la masa del electrón m, entonces de acuerdo a la mecánica clásica su momento angular de spin S será igual al momento de inercia del aro (mr2) multiplicado por la velocidad angular con la que está girando (2π/T):
La razón giromagnética γ será por lo tanto:
que resulta ser independiente del radio r y del período T de rotación.
¿Y qué del caso en el que el electrón en vez de ser considerado como un anillo girando en torno a su eje de simetría hubiera sido considerado como una esfera sólida girando en torno a su eje? En tal caso, el problema se complicaría porque tendríamos que recurrir al cálculo infinitesimal, subdividiendo la esfera en aros muy pequeños y sumando sus contribuciones. Sin embargo, el resultado final sería siendo exactamente el mismo, ya que en tanto que la carga y la masa sigan distribuídas de la misma manera (uniformemente) la razón giromagnética será la misma para cada aro de grosor infinitesimal, y por lo tanto para la esfera completa como tal.
Considerados como vectores, tanto el momento magnético μ como el spin S son vectores que apuntan en la misma dirección, o en direcciones opuestas si tomamos la carga del electrón como una carga negativa, de modo tal que podemos escribir vectorialmente lo siguiente:
Pero resulta que, de acuerdo a la teoría relativista de Dirac sobre el electrón, a la fórmula anterior hay que agregarle un factor que es exactamente igual a 2, con lo cual se tiene para el electrón:
Si imaginamos al electrón en órbita en torno al núcleo, entonces desde el punto de vista del electrón éste será el que vea al protón girando en torno suyo, creando con ello un campo magnético B sobre el electrón que a su vez está girando sobre su propio eje, tendiendo a alinear al momento magnético μ del electrón con respecto al campo magnético de modo tal que la energía estará dada por el Hamiltoniano:
H = - μ · B
Usando las experesiones anteriores, se tiene entonces lo siguiente:
Ésto lo podemos tomar como la perturbación producida por la interacción spin-órbita. Sin embargo, está todavía incompleto porque falta meter otro factor para incorporar efectos relativistas, el factor de Thomas de magnitud 1/2 que resulta de la precesión relativista observada por Llewelyn Thomas. De éste modo, se tiene lo siguiente:
Así pues, tenemos la perturbación que estábamos buscando ocasionada por el acoplamiento LS de la interacción spin-orbita:
Al estudiar el tema de la Teoría de las Perturbaciones, ya se vió que la corrección perturbativa de primer orden para un Hamiltoniano de perturbación viene resultando esencialmente en lo mismo que lo que se define como la esperanza matemática para dicho Hamiltoniano, lo cual en el caso que aquí nos ocupa se puede enunciar de la manera siguiente:
Tomando el resultado obtenido arriba para el Hamiltoniano de la interacción spin-órbita, lo que se requiere evaluar entonces es lo siguiente (las constantes físicas puede ser sacadas fuera de los paréntesis de la esperanza matemática sin detrimento alguno):
Para simplificar lo anterior, recurriremos al hecho de que en la entrada “El acoplamiento LS” ya se vió que el producto punto de los operadores L y S produce la siguiente relación:
De lo anterior se deduce que los eigenvalores del operador combinado L·S tienen que ser:
Ya se sabe que el spin del electrón tiene un valor s.=.1/2, de modo que lo anterior se convierte en:
Todo ésto es una constante numérica, de modo tal que podemos sacarlo fuera del término que representa la esperanza matemática, quedando tan solo:
Nos falta tan solo evaluar la esperanza matemática del término radial cúbico inverso que aparece al final de la anterior expresión. Pero si el lector repasa la entrada anterior titulada “Corrección perturbativa relativista”, encontrará que ya se hizo allí tal cosa, obteniéndose para el átomo de hidrógeno lo siguiente:
De éste modo, la corrección energética perturbativa de primer orden ocasionada por la interacción spin-órbita queda dada en el sistema de unidades MKS-SI por la siguiente relación:
Lo anterior está un poco prolijo. Podemos simplificar el resultado que se acaba de obtener recurriendo a la formula de Bohr que nos da los niveles energéticos En para cada número cuántico principal n (se sobreentiende que En es una energía no-perturbada, y para ser consistentes en la notación al estar haciendo uso y referencia a la Teoría de las Perturbaciones deberíamos agregarle un superíndice de cero a En, o sea un (0) para indicar el hecho; pero haremos esta omisión intencionalmente con el único propósito de no embrollar más la simbología con cosas que a estas alturas se sobreentienden):
con lo cual se obtiene la siguiente fórmula que está un poco más manejable:
Nos falta sumar el efecto de la corrección perturbativa relativista a lo anterior para obtener el efecto combinado en lo que puede ser considerado formalmente como la estructura fina del hidrógeno. Esto se debe a un hecho por demás curioso es que el efecto del acoplamiento spin-órbita LS y la corrección perturbativa relativista tienen el mismo orden de magnitud pese a tener su origen en mecanismos físicos completamente diferentes, y a causa de ello es necesario sumar y combinar ambos efectos para obtener el desdoblamiento esperado en los niveles de la estructura fina del hidrógeno a un primer orden de corrección perturbativa (resaltado ésto último por el superíndice “1” puesto entre paréntesis):
La corrección perturbativa relativista para los niveles del átomo de hidrógeno ya fue derivada en una entrada anterior (véase la entrada “Corrección perturbativa relativista”):
en donde m es la masa en reposo del electrón (en el sentido relativista de la Teoría Especial de la Relatividad).
Para el acoplamiento LS, tenemos dos posibilidades dependiendo del valor que le asignemos al número cuántico s del spin:
Trabajaremos primero con el signo positivo. Podríamos comenzar también con el signo negativo, pero eventualmente se encuentra que la respuesta final que se obtiene sigue siendo la misma independientemente del signo. Para el signo positivo en el spin se tiene:
Substituyendo l en la expresión para la corrección perturbativa relativista, se tiene:
Substituyendo también el valor de l en la fórmula para la interacción LS, vemos que:
Sumando las contribuciones del acoplamiento LS y de la corrección perturbativa relativista, se tiene entonces para los niveles de la estructura fina del hidrógeno:
PROBLEMA: Repetir el desarrollo anterior, pero suponiendo para el spin del electrón un valor negativo.
Para el signo negativo del spin se tiene:
Substituyendo este l en la expresión para la corrección perturbativa relativista, se tiene:
Substituyendo también el valor de l en la fórmula para la interacción LS, vemos que:
Sumando las contribuciones del acoplamiento LS y de la corrección perturbativa relativista, se tiene entonces la corrección perturbativa de primer orden para los niveles de la estructura fina del hidrógeno:
Así pues, para obtener la corrección pertubativa de primer orden de la estructura fina Eef se obtiene el mismo resultado usando para el spin del electrón un valor positivo de 1/2 como un valor negativo de 1/2. Podemos ésto con un poco más de formalidad de la siguiente manera en la notación propia de la Teoría de las Perturbaciones:
en donde el superíndice de cero entre paréntesis (0) indica que la energía a la que nos estamos refiriendo es la energía no-perturbada que corresponde a la vieja fórmula de Bohr, y como puede verse en los subíndices usados para la función de onda el resultado final que se obtenga depende de los números cuánticos n y j.
La corrección de primer orden de la estructura fina del hidrógeno, definida mediante la suma de la corrección perturbativa debida al acoplamiento LS y la corrección perturbativa relativista, son una corrección perturbativa combinada que se debe sumar a la energía dada por el número cuántico principal n del modelo planetario de Bohr para poder predecir los niveles energéticos esperados en el espectro del hidrógeno debido a la estructura fina. Combinando la expresión para la energía Eef del estado fino del hidrógeno (que ya comprobamos que es independiente del valor del número cuántico del spin del electrón) con la formula de Bohr dada arriba que nos da los niveles energéticos En para cada número cuántico principal n, se obtiene el siguiente gran resultado:
Obsérvese un detalle importante: la fórmula que se acaba de obtener nos proporciona los niveles energéticos del átomo de hidrógeno no en función de los números cuánticos que se tenían previamente en la solución ondulatoria de Schrödinger para el átomo de hidrógeno:
- Número cuántico principal n
- Número cuántico azimutal l
- Número cuántico magnético ml
La diferencia estriba, desde luego, en el hecho de que en la solución ondulatoria de Schrödinger para el átomo de hidrógeno no se tomó en cuenta para nada ningún efecto de acoplamiento LS (estaba ausente el conocimiento de que al electrón se le podía asignar una condición de spin S que a su vez se podía acoplar con el número cuántico azimutal correspondiente al momento angular orbital), y de hecho ni siquiera se tenía claro en aquél entonces cómo se tenía que agregar al modelo básico el efecto del spin del electrón que se sabía tenía que contribuír al modelo básico con su propio número cuántico (el número cuántico del spin s).
En la estructura fina del hidrógeno, lo que antes eran los niveles cuánticos en el viejo modelo de Bohr determinados únicamente por el número cuántico principal n
Por otro lado, el valor energético de cada nivel para cada número cuántico n está dado por:
con lo cual se tiene:
Del mismo modo, usando lo anterior, se puede afirmar que la longitud de onda λ del fotón emitido al caer el electrón del nivel n.=.3 al nivel n.=.2 será:
Usando la siguiente constante física:
ħc = 1.97×10-11 MeV·centímetro
se tiene entonces:
λ = 6.55×10-5 centímetro
como la longitud de onda λ de la luz monocromática (roja) emitida de acuerdo al modelo de Bohr, la cual corresponde a una frecuencia igual a:
f = c/λ = (3×1010 centímetros/segundo)/(6.55×10-5.centímetro)
f = 1.965 MHz
Usaremos ahora la corrección perturbativa obtenida arriba para la estructura fina del hidrógeno:
con la finalidad de calcular los niveles energéticos en los cuales se desdoblan los niveles n.=.2 y n.=.3 del viejo modelo de Bohr.
Para el nivel n.=.2, los valores permisibles de l son l.=.0 y l.=.1, así que j.=.1/2 ó j.=.3/2, lo cual implica que el nivel n.=.2 se desdobla en dos niveles energéticos, los cuales son (se usará el superíndice 1 entre paréntesis para indicar que se trata de correcciones perturbativas de primer orden a los niveles de energía no-perturbados):
(1) para j.=.1/2:
(2) para j.=.3/2:
Para el nivel n.=.3, los valores permisibles de l son l.=.0, l.=.1 y l.=.2, así que los valores permisibles de j vienen siendo j.=.1/2, 3/2 ó 5/2, lo cual implica que el nivel n.=.3 se desdobla en tres niveles energéticos, los cuales son (de nueva cuenta se usará el superíndice 1 entre paréntesis para indicar que se trata de correcciones perturbativas de primer orden a los niveles de energía no-perturbados):
(3) para j.=.1/2:
(4) para j.=.3/2:
(5) para j.=.5/2:
A continuación se muestran todas las transiciones posibles entre los niveles del espectro fino del hidrogeno de n.=.3 a n.=.2:
Teniendo a la mano cada uno de los cinco niveles energéticos en los que se desdoblan los niveles energéticos que corresponden a los números cuánticos n.=.2 y n.=.3 como consecuencia del acoplamiento LS y de la corrección perturbativa relativista, resulta cosa fácil calcular las frecuencias de los fotones emitidos en las seis transiciones posibles mostradas en la figura de arriba. Haciendo en dicha figura la siguiente identificación de transiciones:
tenemos para cada una de dichas transiciones yendo de izquierda a derecha desde (a) hasta (f):
Estas son las seis diferencias energéticas para todas las transiciones posibles de n.=.3 a n.=.2. A cada nivel no-perturbado E(0)n del átomo de Bohr se le tienen que agregar las correcciones perturbativas de primer orden que corresponden a dicho nivel para obtener los niveles energéticos perturbados que reemplazan a los niveles no-perturbados:
La energía liberada en la forma de un fotón bajo el esquema de la estructura fina del hidrógeno es:
en donde la primera parte es común a todas las transiciones mientras que la parte ΔE debida a la estructura fina es lo que varía de una transición a la otra.
Las diferentes frecuencias que corresponden a las transiciones de n.=.3 a n.=.2 para cada uno de los subniveles mostrados en la figura de arriba yendo desde la transición (a) hasta la transición (f) son (obsérvese que la frecuencia (a) tiene un valor negativo en virtud de tener una frecuencia menor que la que corresponde a la línea no-perturbada):
Las diferencias entre cada una de las frecuencias contiguas en la figura de arriba, que es una de las cosas que realmente se vienen midiendo en trabajos de espectroscopía, vienen siendo entonces:
Todos los resultados dados arriba para explicar la estructura fina observada en el espectro del átomo de hidrógeno son resultados obtenidos con la ayuda de la Teoría de las Perturbaciones, y por lo tanto deben considerarse como aproximaciones. Sin embargo, hay una fórmula exacta capaz de poder explicar la estructura fina del átomo de hidrógeno que no hace uso en lo absoluto de la teoría perturbativa, la cual puede ser obtenida de la ecuación de onda relativista de Dirac que permite el manejo completo del átomo hidrogenoide relativista y en la cual el concepto del spin del electrón es ampliado a lo que fue bautizado como un espinor, algo reminiscente del spin pero formado por cuatro componentes:
en donde α es la constante de estructura fina del hidrógeno y j es el número cuántico para el momento angular total que a su vez depende de la dirección del spin del electrón (para una discusión más amplia del tema consúltese la entrada “La Mecánica Cuántica Relativista” que forma parte de ésta obra). El factor entre los paréntesis cuadrados en la expresión es muy cercano a la unidad, y el término adicional surge a causa de los efectos relativistas. Resulta un hecho sorprendente y curioso de que una expresión muy parecida fue obtenida anteriormente no por Dirac con su fórmula exacta sino por Arnold Sommerfeld en 1916 no usando la ecuación de onda relativista de Dirac (que aún no había sido descubierta) sino considerando la versión relativista de la vieja teoría cuántica de Bohr, ignorando la cuestión del spin del electrón. Cabe agregar que fue precisamente el mismo Arnold Sommerfeld quien introdujo por vez primera la constante de estructura fina α en la física en 1916 como una medida relativista de las desviaciones en las líneas espectrales atómicas de las predicciones hechas por el modelo de Bohr, y ésta es una contribución de Sommerfeld que aún persiste.
La comparación entre ambas versiones es la siguiente:
Sorprendentemente, la fórmula de Sommerfeld concuerda en algunos aspectos exactamente con resultados obtenidos mediante la ecuación de Dirac en la Mecánica Cuántica Relativista, lo cual es atribuído por una mayoría de la comunidad científica actual a una coincidencia extraordinaria ayudada por una suerte sorprendente, con la fórmula de Bohr-Sommerfeld criticada de inicio por el hecho de que los momentos angulares en la vieja teoría cuántica son “demasiado grandes” por una unidad en ħ. De cualquier modo, la coincidencia resulta tan incómoda para los físicos modernos como el hecho de que el mismo modelo atómico planetario de Bohr, tan exitoso en poder explicar las líneas del espectro del hidrógeno, haya sido derivada aplicando fórmulas y conceptos de la electrodinámica clásica que simple y sencillamente no deberían de haber funcionado en lo absoluto para tal cosa en los fenómenos del mundo submicroscópico. He aquí otra concordancia entre un resultado predicho por la ecuación exacta de Dirac y por la teoría Bohr-Sommerfeld:
Ahora bien, ¿se reduce la fórmula exacta dada por la ecuación de onda relativista de Dirac, al resultado aproximado que se obtuvo arriba con la ayuda de las correciones perturbativas apropiada para el acoplamiento LS y relativista? Usando las siguientes aproximaciones de series de Taylor:
podemos checarlo llevando a cabo los siguientes procedimientos trabajando sobre la suposición de que α es mucho menor que la unidad, empezando con aproximaciones “desde adentro” (empezando por lo más sencillo) “hacia afuera” (usando las aproximaciones que se van obteniendo):
Finalmente:
Este es esencialmente el mismo resultado que el que se había obtenido por procedimientos de obtención de correcciones perturbativas, confirmando la validez de los desarrollos efectuados.
Para el hidrógeno, sin necesidad de tener que aplicar campo magnético alguno, la estructura fina rompe la degeneración en lo que concierne al número cuántico l, y efectúa un desdoblamiento fino en los niveles energéticos del átomo de hidrógeno ya que para un número cuántico principal n los diferentes valores permisibles de l no poseen la misma energía. Sin embargo, aunque también hay una degeneración en el número cuántico j, la degeneración es preservada en ausencia de un campo magnético exterior.
Parecería que ya se tiene, por fin, el modelo mecánico-cuántico completo del átomo de hidrógeno, habiendo tomado en cuenta todos los efectos posibles habidos y por haber, para explicar sin omitir detalle los espectrogramas del hidrógeno. Sin embargo, no es así. Se ha omitido mencionar otro término, conocido como el término Darwin (propuesto por el físico inglés Charles Galton Darwin, nieto del famoso biólogo que concibió la teoría de la evolución de las especies). Sin embargo, hay una buena razón para ésta omisión. Éste término no es proporcionado por la Mecánica Cuántica en su forma convencional, es necesario ir un paso hacia adelante para una evolución posterior en la Mecánica Cuántica en la cual se maneja la ecuación de onda relativista de Dirac. Por completitud, se agregará aquí que el Hamiltoniano de perturbación HDarwin para dicho término, entresacado de la ecuación de onda relativista de Dirac, es el siguiente:
De lo anterior, la esperanza matemática del Hamiltoniano HDarwin resulta ser:
estando la función de onda ψ(0) para el estado fundamental del átomo de hidrógeno (n.=.0) definida de la siguiente manera:
Sumando los efectos producidos por el término Darwin, se tiene el siguiente panorama para lo que en muchos textos se conoce como los niveles energéticos para la estructura fina del hidrógeno:
Hay además otro efecto, conocido como el efecto Lamb, propuesto para explicar una pequeña diferencia observada en la energía asociada a dos niveles de energía 2s1/2 y 2p1/2 en el átomo de hidrógeno. De acuerdo con la solución de la ecuación de Schrodinger para el hidrógeno, los niveles de energía del electrón del hidrógeno deberían depender únicamente del número cuántico principal n. Pero en 1947, algunas décadas después de los espectaculares desarrollos de la Mecánica Cuántica en los años veinte y treinta, Willis Lamb (a quien se acredita como el físico que con sus experimentos dió la última palabra sobre la estructura fina del hidrógeno) comprobó experimentalmente por vez primera que no era así, descubrió que el estado 2p1/2 era ligeramente inferior al estado 2s1/2, con una brecha de frecuencias igual a 1.02 Gigahertz (que corresponde a una longitud de onda de aproximadamente 30 centímetros) resultando en un ligero desplazamiento de la línea espectral correspondiente hoy conocido como el efecto Lamb, explicado teóricamente poco después por Hans Bethe en 1947 sentando con ello las bases para el desarrollo de la Electrodinámica Cuántica. Podría parecer que un efecto tan pequeño se consideraría insignificante, pero en este caso ese desplazamiento sondeó las profundidades de nuestra comprensión de la teoría electromagnética. En el corazón del proceso detrás del efecto Lamb está la fuerza de intercambio, por la cual las cargas interactuan mediante el intercambio de fotones (el modelo de fuerza de intercambio de la fuerza electromagnética). Puede haber una interacción propia del electrón, por intercambio de un fotón (esto es usualmente ilustrado mediante un diagrama de Feynman), y esto “borra” la posición del electrón en un intervalo de aproximadamente 0.1 fermi (radio de Bohr = 52.900 fermis). Esto a su vez hace que el factor g del spin del electrón sea ligeramente diferente de 2. También hay un ligero debilitamiento de la fuerza sobre el electrón, cuando está muy próximo al núcleo, haciendo que el electrón 2s (que tiene una penetración total hasta el núcleo), sea ligeramente más alto en energía que el electrón 2p1/2. Cuando decimos que la penetración del electrón 2s más cerca del núcleo conduce a una energía mayor que la del 2p, parece directamente contradictorio con la situación de átomos con múltiples electrones. Allí, la penetración del electrón 2s más cerca del núcleo, significa que ha penetrado en el interior del electrón 1s, y por lo tanto siente una atracción mas fuerte hacia el núcleo positivo, lo que lleva a un nivel de energía inferior (se necesita más energía para eliminar del átomo el electrón 2s, que el 2p). Pero en el caso del átomo de hidrógeno, sólo hay un electrón, por lo que cuando el átomo de hidrógeno está en los estados excitados 2s ó 2p no hay ningún blindaje de electrones internos. El efecto sobre los niveles de energía tiene un origen completamente diferente, modelado por la Electrodinámica Cuántica. En ausencia de este efecto, los electrones 2s y 2p tendrían energías idénticas, ya que no hay blindaje por la presencia de otros electrones. La “auto-interacción” del electrón cuando está cerca del protón, origina el efecto de “borrado” de la carga del electrón, de manera que su atracción hacia el protón, es un poco más débil de lo que debería haber sido. Esto significa que ha encontrado una interacción, que lo hace ligeramente menos unido que un electrón 2p, por lo tanto, con mayor energía. Puesto que el efecto Lamb es extremadamente pequeño y difícil de medir como un desdoblamiento en las líneas ópticas o ultravioletas espectrales, resultó preferible hacer uso de las transiciones directamente entre los subniveles dirigiéndose a otras regiones del espectro electromagnético. Willis Lamb hizo sus mediciones experimentales del efecto en la región de las microondas, formando un haz de átomos de hidrógeno en estados 2s1/2. Estos átomos no podrían tomar directamente la transición a los estados 1s1/2, debido a la regla de selección que exige que en una transición el momento angular orbital cambie en una unidad. Poniendo los átomos en un campo magnético para dividir los niveles por el efecto Zeeman, expuso los átomos a radiación de microondas de 2395 MHz (no demasiado lejos de la frecuencia de microondas de horno ordinaria de 2560 MHz), con lo cual logró sacar el efecto a flote, proporcionando el estímulo necesario para formalizar dentro de la Mecánica Cuántica la teoría de la renormalización.
El desplazamiento Lamb proporciona una medida de la constante de estructura fina α a una precisión superior a una parte por millón, permitiendo con ello una prueba de precisión en la teoría de la Electrodinámica Cuántica.
De éste modo, el Hamiltoniano total para el átomo de hidrógeno resulta ser una cosa algo más complicada que el simple modelo obtenido con el método de separación de variables en la solución de la ecuación de onda no-relativista de Schrödinger:
H = H0 + Hrelativista + HLS + HDarwin + HLamb
Si se ponen números en el asunto, se obtiene algo como lo siguiente en donde podemos verificar que en orden de importancia el modificador más importante sobre el Hamiltoniano H0 causado por la interacción Coulómbica es sin duda alguna la corrección perturbativa relativista, seguida de la corrección perturbativa debida a la interacción spin-órbita (acomplamiento LS), seguido todo en mucho menor grado por el efecto Lamb y por el término Darwin (obsérvese en el diagrama de niveles de energía que el término Darwin afecta únicamente a los estados S):
A continuación se reproduce la primera página de la primera parte del trabajo “Fine Structure of the Hydrogen Atom” de Willis Lamb publicado en 1950 en The Physical Review, un trabajo que le mereció el Premio Nóbel de Física (esta es una imagen fotográfica de alta resolución que puede ser ampliada al máximo para poder llevar a cabo una lectura de los detalles introductorios):
Hay otro efecto que aún no hemos cubierto aquí. Se trata de lo que se conoce como la estructura hiperfina. Resulta que en lo anterior no se ha tomado en cuenta para nada el hecho de que el protón en el núcleo (en el caso de un átomo de hidrógeno), además de poseer carga eléctrica, también posee su propio momento angular de spin, el cual puede interactuar también con el electrón que se encuentra orbitando en el exterior del núcleo, produciendo efectos visibles en el espectro del átomo de hidrógeno. De hecho, inclusive el neutrón, con una masa casi igual a la del protón pero sin carga eléctrica, también posee un momento angular de spin. Ésto, desde luego, agrega aún otro término de corrección (llamémosle HHiperfino) al operador Hamiltoniano que ya empieza a aparecer algo sobrecargado:
H = H0 + Hrelativista + HLS + HDarwin + HLamb + HHiperfino
La estructura hiperfina del hidrógeno tiene que ver con una radiación de 1420 MHz que es prevalente en el Universo y que es utilizada ampliamente por los astrónomos para el mapeo de nuestra galaxia. A ésa frecuencia, la radiación puede penetrar nubes de polvo interestelar dándonos un mapa más completo del hidrógeno que la luz proveniente de las estrellas porque la luz visible de las mismas es incapaz de penetrar las nubes de polvo interestelar. La radiación de 1420 MHz, mejor conocida como la línea de 21 centímetros del hidrógeno, y proviene de la transición entre los dos niveles del hidrógeno en su estado basal 1s que corresponden al spin del electrón, en relación a su orientación con respecto al momento magnético del spin del protón. El desdoblamiento del estado basal del hidrógeno causado por la estructura hiperfina es extremadamente pequeño comparado con la energía fundamental Bohr del átomo de hidrógeno de 13.6 eV, de únicamente unas dos partes en un millón. Los dos estados provienen del hecho de que ambos spins del electrón y el protón son de 1/2. La configuración en la que el spin del electrón y el spin del protón están alineados apuntando ambos “hacia arriba” (spins paralelos) requiere mayor energía y por lo tanto es menos estable que la configuración en la que ambos spins apuntan en direcciones opuestas que por lo tanto viene siendo una configuración de menor energía. El desdoblamiento de energías, conocido como la estructura hiperfina del hidrógeno, hace que el hidrógeno en su configuración más baja de energía absorba la radiación de 1420 MHz, mientras que la observación de la emisión de radiación de 1420 MHz a través de los fotones emitidos implica una excitación previa al estado de mayor energía. La transición del estado de mayor energía al estado de menor energía con una inversión del spin del electrón es conocida en la literatura técnica como un spin flip o “flip del spin”, un mecanismo ilustrado en la siguiente figura:
Es importante ser cuidadosos en la visualización de esa propiedad mecánico-cuántica que llamamos “spin”, ya que no se corresponde con la imagen de una esfera sólida con carga eléctrica girando en torno a un eje propio de rotación, ésta concepción en realidad no es más que una ayuda mnemotécnica para recordar mejor conceptos que de otro modo nos serían completamente abstractos. El spin es una descripción del comportamiento mecánico-cuántico de algo que llamamos momento angular, y en realidad carece de una analogía definitiva en la electrodinámica clásica. La observación de la línea de 21 centímetros del hidrógeno marcó el inicio de la radioastronomía basada en el estudio de las líneas espectrales, y fue observada por vez primera el 25 de marzo de 1951 por Harold Ewen y Edward M. Purcell en Harvard. La predicción de que la línea de 21 centímetros debería ser observable en las emisiones del hidrógeno fue hecha por vez primera en 1944 por el astrónomo holandés Hendrik C. Van de Hulst.
En la estructura fina del hidrógeno tratada aquí solo se han considerado efectos comparables en magnitud a los efectos principales de los niveles energéticos predichos por el modelo de Schrodinger. Es posible desde luego que existan otros efectos mucho más pequeños que aún no han podido ser detectados porque están completamente fuera del alcance de los espectroscopios más potentes que existen en la actualidad. Si nuevas consideraciones teóricas predicen tales efectos aún no detectados en las líneas espectrales resultando en un operador Hamiltoniano sobrecargado de términos:
H = H0 + Hrelativista + HLS + HDarwin + HLamb + HHiperfino + ... 50 términos adicionales
es posible que jamás puedan ser confirmados en el laboratorio al igual que las condiciones iniciales que prevalecieron al momento del estallido del Big Bang, aunque nunca se sabe de antemano qué podrá ser detectado por generaciones futuras y qué no, y un ejemplo de ello son las ondas gravitacionales predichas por la Teoría General de la Relatividad de Einstein, pequeñas perturbaciones en el espacio-tiempo tan tenues que el mismo Einstein estaba convencido de que jamás serían observadas experimentalmente. Y sin embargo fueron detectadas el 14 de septiembre de 2015 confirmando de manera espectacular una consecuencia postulada por Einstein como resultado de su teoría, la de la existencia de dichas ondas gravitatorias, aunque para lograr tal descubrimiento se requirió de tecnología extraordinariamente sofisticada (el observatorio LIGO) basada en avances de óptica cuántica que apenas una generación atrás ni siquiera se hubiera creído posible. Y la confirmación del bosón de Higgs (conocido popularmente como “la partícula de Dios”) se logró gracias al financiamiento europeo de uno de los colisionadores de partículas más potentes que haya construído el género humano. Aunque muchos supondrían que los físicos no son afectos a andar “cazando fantasmas” buscando financiamientos multibillonarios para confirmar algo que parece casi imposible de ser detectado, al final de cuentas han resultado bastante buenos y convincentes para obtener apoyos gubernamentales no solo para “cazar fantasmas”, sino para confirmar que, en algunos casos, tales fantasmas realmente existen. Y demostrar que tales fantasmas son reales frecuentemente acarrea consigo un Premio Nóbel de Física.